几何学的本质

《几何学的本质》---

几何学是人们在长期的生活实践中逐渐发展起来的理论思维成果之一。在它的启蒙阶段，现实中的物体形状和理论上的几何形状，一般是被混为一体或不加区分的，直到柏拉图时代，人们才开始注意到几何形状对于理论和现实的不同。人们所画在物体表面上的线都是有一定宽度的，它并非是几何学理论所意味的那种没有宽度的线；画在沙面上的三角形诸角，实际上是一些小块的面积，因此也不是理想的尖角。几何学概念的意义与体现它的现实事物的不相吻合，使柏拉图相信在超越现实事物的表面，一定有着“理念”事物存在，它们以十全十美的完善方式，显示出理想的几何属性。因而可靠的几何学知识，不是由现实事物来直接提供的，它需要人们对“理念”事物的一种“洞见”行为才能获得。

柏拉图的观点，代表了对几何学本质的早期见解，它使人们清楚地认识到，理想化的几何形状并不存在于人们生活的现实空间中。由于人们普遍认为欧几里德几何学中的每一条公理或公设，都不能从更为基本的前提中推导出来，而且每一条公理或公设对于处理现实事物都是有效的，所以，康德紧紧抓住几何学公理的不证自明性，认为几何学知识一定是通过逻辑以外的其它方式才能获得，并且是先天的和综合的。人们对现实事物所具有的几何特征

的认识，实际上是把现实事物置于几何学先天公理的构架上使之呈现的结果。同柏拉图一样，康德也把确定性的几何形状，同现实空间中的事物形状区分开来，但是他没有用理想的事物来解释几何学的本质，而是认为几何学知识是先于人类认识的，它们不能从人们的认识中得到解释和说明。

随着实验科学的发展，以及面对一系列通过实验所取得的丰硕成果，人们对科学理论的鉴别，逐渐倾向于依赖客观实验的检验。人们开始放弃柏拉图和康德的神秘主义几何学观点，并力图使几何学知识在现实空间中，能够得到客观实验的证明。高斯曾经测量过以三座山峰的顶端为顶点的三角形诸角，以试图验证这个三角形的内角和是否等于1800。后来爱因斯坦对此解释说，三角形内角和不等于1800，只有在很大的空间范围上才会明显，所以，对于我们附近的现实空间，欧几里得几何学是近似有用的。但是，高斯未能说明他所测量的三角形，为什么等同于理论意义上的几何三角形，爱因斯坦也没有区分三角形对于理论和现实的不同，他们回避了几何学中绝对理想化的几何形状，不存在于现实空间这一根本性的前提。理想化的直线和平面，在现实中没有与它们相对应的客观对象，研究直线平面几何形关系，应当只能针对理论意义上的直线和平面所构成的几何形及其几何关系。只有将几何学的研究

对象，看作与物理学的研究对象一样，是外在于自然空间的情况下，人们才会考虑理论中的几何定律，是否符合客观实际的问题。非欧几何学者就是在这样的情况下，来提出他们的非欧几何学观点的。

非欧几何学者认为，人们在实际应用几何学知识时，总是依据直观经验来选择几何定律的。由于空间弯曲这一客观原因，人们观察下的直线和平面，在事实上可能是曲线和曲面，因此，对于这样的几何学应用对象，人们只会依据直观经验来选择直线平面几何形定律，而不会把它们当做曲线曲面几何形问题来进行处理的。所以在理论上，人们仍然应当将这种事实上的曲线和曲面，称为直线和平面。同传统的欧氏几何学相比，非欧直线和平面，是观察下的直线和平面、事实上的曲线和曲面；欧氏直线和平面，是观察下的直线和平面、同时也是事实上的直线和平面。

观察下的直线和平面、在事实上同时也是直线和平面，只有在理想化空间中才能实现，对于现实空间这种情况是不可能存在的。所以，非欧几何学者坚持认为欧几里德几何学，只能正确地适用于理想化空间中的事物形状，如果对欧几里德几何学在现实空间中应用时存在的偏差，不能采用有效的“修正”方法，那么，就有必要专门针对现实空间重新建立一套完整的几何学知识，这种几何学知

识需要与空间弯曲的方式及程度密切地联系起来。其中，传统的欧几里德几何学，应当是在假设空间弯曲程度为零时的一种理想化特殊情况。

从内在理论逻辑上来看，非欧几何学与欧氏几何学之间是不存在矛盾的，因为两者的几何学命题在结论上的不同，完全取决于两者在直线和平面概念上的不同,对此，人们不能因为非欧几何学和欧氏几何学同样都使用着直线和平面概念“称谓”，而误认为非欧平行线公设和欧氏平行线公设两者的前提条件，就是完全相同的。

在几何学中，“线”是没有宽度的，“面”也是没有厚度的，如何将非欧几何学概念、特别是非欧直线和平面概念，在现实空间中具体地实现，始终是非欧几何学者无法解决的问题。即使是高斯等人给出的曲线曲面非欧几何形模型，也只能存在于理想化空间之中，它们不能脱离“线无宽和面无厚”这些几何学基本概念所必须的基本要求，而外在于现实空间中。另外，直线和平面概念所具有的“无限”含义，只有在理论上被理解，它们是欧几里德几何学中的第五公设或平行线公设成立的必要前提条件。仅凭实际观察,不能给予非欧直线和平面概念以“无限”的含义。那么，非欧平行线公设表述的具体几何关系又是什么呢？

事实上，欧几里德几何学中的第五公设表述的是平行

线公设的例外情况，因为在同一平面上两条直线之间的位置关系，除了相互平行就是相交，所以，人们在习惯上认为“平行”概念和“不相交”概念是等价概念。但是，在几何学中，平行概念只能用两条直线之间的距离处处相等来进行定义，该定义不仅要适用于直线平面几何关系，对于立体几何关系也同样要适用，而两条不相交直线之间的距离处处相等，只有在同一欧氏平面上才会出现，对于曲线曲面立体几何形来说，平行概念和不相交概念就不能被看作是等价的概念。非欧几何学者可以在“观察”时认为同一“平面”上的不相交直线，是相互平行的直线，但不能从“事实上”来认为同一“曲面”上的不相交曲线，是相互平行的曲线。非欧几何学者，实际上是在以观察时因错觉而认为的直线和平面为前提，然后按照事实上的曲线和曲面来考察几何关系，之后将得出的结论，再回过头来用误认为的直线和平面来陈述的，他们之所以这样看待具体的几何关系的理由，就是认为几何学中的直线和平面，是外在于自然空间中的直线和平面。据此他们认为，由于自然空间不存在绝对的理想化平直情形，因而传统的欧氏几何学，只是一种近似正确的几何学理论。至于客观的自然空间中，是否存在着几何学所必须要求的点、线、和面，则是非欧几何学者所没有考虑的。

认为欧几里德几何学中的第五公设陈述的几何关系，