方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式
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方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式
1.根式运算法则：
(1) ， ，
；
(2) ，
，
(m
a =≥0)
a =≥0,P ≠0)
(5) ,
0),,a m n N =≥∈其中
2.指数运算法则：
， ， ，
，
，
，
（7）1
(0)m
m a a
a
-=≠， （8）1
n a = （9）m
n a =（10） d b
d
b
a c a c =⇔=
3.对数运算法则：
i 性质：若a ＞0且a≠1，则
，
， （3）零与负数没有对数，
（4）log log 1a b b a ⨯= ⑥,
（7）log log log 1a b c b c a ⨯⨯=
ii 运算法则： 若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0且b≠1，n ∈R 则
， ，
， log log (,01)m n a a n
b b a b m
=>≠且 （4）
, log log n n
a
a m m =， 1log log n
a a m m n
=
（5）换底公式 ， a>0 a ≠1, b>0 b ≠1, N>0,
（6）倒数公式 1
log ,0,1log a b b a a a
=
>≠, b>0 b ≠1 (7) 十进制对数 10log lg N N = ， l g 10x
N x N =⇔=
（8）自然对数 log e N InN = ， x InN x e N =⇔= ， 1lim(1) 2.71828...n n e n
→∞
=+≈
4.指数与对数式的恒等变形：
；
。
5、指数方程和对数方程解题：
()(1)()log ,log ()()(f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=定义法）
()()(2)()(),log ()log ()()()0(f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>转化法） ()()(3)b ()log ()log ,f x g x m m a f x a g x b =⇔=（取对数法）
()(4)log log ()log ()log ()/log ,f x a b a a a g x f x g x b =⇔=（换底法）
6、理解对数
①两种log a b 理解方法
1、表示a 的“指数”，这个指数能让a 变成b 。
2、表示a 的多少次方等于b 。
② log log (...)n
a a m M M M =⨯⨯⨯
n 个
log log ...log a a a M M M =+++ n 个 log a n M =
③ log log n
a a M n M
()n
aaaaaaaaaa
多少个a 相乘等于M ？
= aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa … aaaaaaaaaa
log a M 个a 相乘 log a M 个a 相乘 log a M 个a 相乘
n 组
=aaaaaaaaaa aaaaaaaaaa … aaaaaaaaaa
log a M 个a 相乘 log a M 个a 相乘 log a M 个a 相乘
(log )a n M 个
④
我们知道log b N 表示的是N 是b 的多少次方，也就是表示N 是多少个b 相乘得到，如果知道N ，b 是多少个a 相乘得到的，就可以算出N 是多少个b 相乘得到了。 如下：
∵ N = aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
log a N 个a 相乘
b = aaaaaaaaaaa
log a b 个a 相乘
∴ N = aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa (原式照搬)
log a N 个a 相乘
= bbb
log b N 个b 相乘
= aaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaa （把b 换成了aaaaaaaaaaa ）
log a b 个a 相乘log a b 个a 相乘log a b 个a 相乘 log a b 个a 相乘
log b N 个b 相乘 这里的log b N ，可以轻易看出来等于
log log a a N
b
。