第二章线性有界算子
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第二章 线性有界算子
1.判断下面定义的变换，哪些是线性的?哪些 判断下面定义的变换，哪些是线性的 哪些 判断下面定义的变换 不是？ 不是？ （1）在R3中，x=(a1,a2,a3)T,Tx=(a21,a2+a3,a23)T; ）
× （2）给定 0∈Rn×n,X∈Rn×n,TX=A0X-XA0; ）给定A ∈ ×
且它也是线性有界算子 。
4
1
11.设X是Hilbert空间，T∈L(X,X),证明 设 是 空间， ∈ 证明: 空间 证明 (1)当T是正规算子时有 || T T ||=|| T ||; 当 是正规算子时有
* 2
(2)当T是自共轭算子时 必为正规算子 当 是自共轭算子时 必为正规算子. 是自共轭算子时,T必为正规算子 12.设X是Hilbert空间，U∈L(X,X),证明 设 是 空间， ∈ 证明: 空间 证明 (1)U是酉算子U*U=UU*=I; 是酉算子 是酉算子 (2)U为酉算子时必为正规算子 为酉算子时必为正规算子; 为酉算子时必为正规算子 (3)U为酉Байду номын сангаас子时 为酉算子时,||U||=1. 为酉算子时
a≤t≤b a≤t≤b
(1) || x || 是x的范数 ; d (1) D (2)微分算子 = : C [a, b] →C a, b]是线性有界算子 [ . dt 7.设k(x,y)在区域 在区域0≤x,y≤1上连续， 上连续， 设 在区域 上连续
(Tu)(y) = ∫ k(x, y)u(x)dx.
2
5.设U,V是线性赋范空间 设 是线性赋范空间,T:U→V是线性有界算 是线性赋范空间 是线性有界算 子,证明 证明:N(T)={x∈U|Tx=θ}是U中闭子空间。 ∈ θ 是 中闭子空间。 证明 中闭子空间
6.在C [a, b]上定义:
(1)
ax ax : x∈C(1)[a, b],|| x ||= m | x(t) | + m | x′(t) |, 证明
1 0
证明： 是线性连续算子。 证明：T:C[0,1] →C[0,1]是线性连续算子。 是线性连续算子
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8.设X,Y是R上的线性赋范空间 证明 设 上的线性赋范空间,证明 是 上的线性赋范空间 证明:L(X,Y)是 是 R上的线性空间。 上的线性空间。 上的线性空间 9.设V是线性赋范空间 是线性赋范空间,T:V→V是线性算子 是线性算子. 设 是线性赋范空间 是线性算子 证明: 在 上连续 上连续 在 上一致连续 上一致连续. 证明 T在V上连续T在V上一致连续 10.设X,Y为线性赋范空间 设 为线性赋范空间,T:X→Y是线性有界 为线性赋范空间 是线性有界 算子,且是满射 若存在正数 使对一切x∈ 算子 且是满射.若存在正数 使对一切 ∈X, 且是满射 若存在正数b,使对一切 有 || Tx ||≥ b || x ||, 则T : Y → X存在
6
16.设T是Hilbert空间 上的有界线性算子，证 设 是 空间H上的有界线性算子 空间 上的有界线性算子， 是正交投影算子 明：T是正交投影算子T=T*T。 是正交投影算子 。 17.设T是Hilbert空间 上的正交投影算子，证 设 是 空间H上的正交投影算子 空间 上的正交投影算子， 明： x∈H, 有|| Tx ||≤|| x || .
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y∈M
14.证明：正交投影算子是自共轭算子。 证明：正交投影算子是自共轭算子。 证明 证明： 空间H上的正交投影算子 证明：设P是Hilbert空间 上的正交投影算子， 是 空间 上的正交投影算子， 15.设P1,P2是Hilbert空间 上的正交投影算子， 空间H上的正交投影算子 设 空间 上的正交投影算子， 证明： 证明：P2P1是H上的正交投影算子 P P2 = P2P 上的正交投影算子 1 1
5
13.设M是Hilbert空间 的闭子空间 设 是 空间H的闭子空间 空间 的闭子空间,P:H→M是 是 正交投影算子,x 证明： ∈ 正交投影算子 0∈H,证明：y∈M,y≠Px0,有 证明 有 ||x0-Px0||<||x0-y|| 即
|| x0 Px0 ||= inf || x0 y ||
（3）线性空间 n[x]中，T(f(x))=f(x+1)(f∈Rn[x] ）线性空间R 中 ∈
2.在R3中，x1=(-1,0,2)T,x2=(0,1,2)T,x3=(3,-1,0)T是 在 一组基，线性变换T关于该基的象 关于该基的象Tx 一组基，线性变换 关于该基的象 1=(-5,0,3)T, Tx2=(0,-1,6)T,Tx3=(-5,-1,9)T。求T在该基下的矩阵。 1 在该基下的矩阵。 在该基下的矩阵
3.已知线性变换 在基 已知线性变换T在基 已知线性变换
η1 = (1,1,1) , η2 = (1,0,1) , η3 = (0,1,1)
T T
T
下的矩阵为
1 0 1 1 1 0 1 2 0
在基ε 求T在基ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T, ε3=(0,0,1)T下的矩 在基 阵。 4.设T是线性空间 是线性空间V(F )上的线性变换，证明： 上的线性变换， 设 是线性空间 上的线性变换 证明： T的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。 的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。 的不同特征值对应的特征向量是线性无关的 证明： 证明：设λ1，λ2，…，λs为T的所有不同的特征 ， 的所有不同的特征 值，相应的特征向量分别为x1,x2, …,xs. 相应的特征向量分别为
1.判断下面定义的变换，哪些是线性的?哪些 判断下面定义的变换，哪些是线性的 哪些 判断下面定义的变换 不是？ 不是？ （1）在R3中，x=(a1,a2,a3)T,Tx=(a21,a2+a3,a23)T; ）
× （2）给定 0∈Rn×n,X∈Rn×n,TX=A0X-XA0; ）给定A ∈ ×
且它也是线性有界算子 。
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11.设X是Hilbert空间，T∈L(X,X),证明 设 是 空间， ∈ 证明: 空间 证明 (1)当T是正规算子时有 || T T ||=|| T ||; 当 是正规算子时有
* 2
(2)当T是自共轭算子时 必为正规算子 当 是自共轭算子时 必为正规算子. 是自共轭算子时,T必为正规算子 12.设X是Hilbert空间，U∈L(X,X),证明 设 是 空间， ∈ 证明: 空间 证明 (1)U是酉算子U*U=UU*=I; 是酉算子 是酉算子 (2)U为酉算子时必为正规算子 为酉算子时必为正规算子; 为酉算子时必为正规算子 (3)U为酉Байду номын сангаас子时 为酉算子时,||U||=1. 为酉算子时
a≤t≤b a≤t≤b
(1) || x || 是x的范数 ; d (1) D (2)微分算子 = : C [a, b] →C a, b]是线性有界算子 [ . dt 7.设k(x,y)在区域 在区域0≤x,y≤1上连续， 上连续， 设 在区域 上连续
(Tu)(y) = ∫ k(x, y)u(x)dx.
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5.设U,V是线性赋范空间 设 是线性赋范空间,T:U→V是线性有界算 是线性赋范空间 是线性有界算 子,证明 证明:N(T)={x∈U|Tx=θ}是U中闭子空间。 ∈ θ 是 中闭子空间。 证明 中闭子空间
6.在C [a, b]上定义:
(1)
ax ax : x∈C(1)[a, b],|| x ||= m | x(t) | + m | x′(t) |, 证明
1 0
证明： 是线性连续算子。 证明：T:C[0,1] →C[0,1]是线性连续算子。 是线性连续算子
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8.设X,Y是R上的线性赋范空间 证明 设 上的线性赋范空间,证明 是 上的线性赋范空间 证明:L(X,Y)是 是 R上的线性空间。 上的线性空间。 上的线性空间 9.设V是线性赋范空间 是线性赋范空间,T:V→V是线性算子 是线性算子. 设 是线性赋范空间 是线性算子 证明: 在 上连续 上连续 在 上一致连续 上一致连续. 证明 T在V上连续T在V上一致连续 10.设X,Y为线性赋范空间 设 为线性赋范空间,T:X→Y是线性有界 为线性赋范空间 是线性有界 算子,且是满射 若存在正数 使对一切x∈ 算子 且是满射.若存在正数 使对一切 ∈X, 且是满射 若存在正数b,使对一切 有 || Tx ||≥ b || x ||, 则T : Y → X存在
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16.设T是Hilbert空间 上的有界线性算子，证 设 是 空间H上的有界线性算子 空间 上的有界线性算子， 是正交投影算子 明：T是正交投影算子T=T*T。 是正交投影算子 。 17.设T是Hilbert空间 上的正交投影算子，证 设 是 空间H上的正交投影算子 空间 上的正交投影算子， 明： x∈H, 有|| Tx ||≤|| x || .
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y∈M
14.证明：正交投影算子是自共轭算子。 证明：正交投影算子是自共轭算子。 证明 证明： 空间H上的正交投影算子 证明：设P是Hilbert空间 上的正交投影算子， 是 空间 上的正交投影算子， 15.设P1,P2是Hilbert空间 上的正交投影算子， 空间H上的正交投影算子 设 空间 上的正交投影算子， 证明： 证明：P2P1是H上的正交投影算子 P P2 = P2P 上的正交投影算子 1 1
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13.设M是Hilbert空间 的闭子空间 设 是 空间H的闭子空间 空间 的闭子空间,P:H→M是 是 正交投影算子,x 证明： ∈ 正交投影算子 0∈H,证明：y∈M,y≠Px0,有 证明 有 ||x0-Px0||<||x0-y|| 即
|| x0 Px0 ||= inf || x0 y ||
（3）线性空间 n[x]中，T(f(x))=f(x+1)(f∈Rn[x] ）线性空间R 中 ∈
2.在R3中，x1=(-1,0,2)T,x2=(0,1,2)T,x3=(3,-1,0)T是 在 一组基，线性变换T关于该基的象 关于该基的象Tx 一组基，线性变换 关于该基的象 1=(-5,0,3)T, Tx2=(0,-1,6)T,Tx3=(-5,-1,9)T。求T在该基下的矩阵。 1 在该基下的矩阵。 在该基下的矩阵
3.已知线性变换 在基 已知线性变换T在基 已知线性变换
η1 = (1,1,1) , η2 = (1,0,1) , η3 = (0,1,1)
T T
T
下的矩阵为
1 0 1 1 1 0 1 2 0
在基ε 求T在基ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T, ε3=(0,0,1)T下的矩 在基 阵。 4.设T是线性空间 是线性空间V(F )上的线性变换，证明： 上的线性变换， 设 是线性空间 上的线性变换 证明： T的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。 的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。 的不同特征值对应的特征向量是线性无关的 证明： 证明：设λ1，λ2，…，λs为T的所有不同的特征 ， 的所有不同的特征 值，相应的特征向量分别为x1,x2, …,xs. 相应的特征向量分别为