2017年上海高三数学一模客观题难题解析-下
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4
虹口区
（2017 届虹口一模 11）点 M ，抛物线 y 2 px ( p 0) 的焦点为 F，若对于抛物 1、 （20, 40） 线上的任意点 P， PM PF 的最小值为 41，则 p 的值等于 【答案】22 或 42 【详解】分类讨论 （1） 当 M 点在抛物线上时，p=40，则 PM PF 的最小值为 40，不满足题意； （2）当 M 点在抛物线外部（即 40 2 p 20 时） ，若 PM PF 的最小值为 41，此时，
1 A+ B 8 1 5 3 【详解】由题意可得： ,设 m A+ B +n 2 A B A B 3 3 2 A 5 B 22 3 11 m m 2n 1 88 88 3 则 1 ， ， A B 0 即 A B ，所以选 A . 5 4 3 3 m n 1 n 3 3 3
（2017 届浦东新区一模 16）元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 只玫瑰与 1 只康 3、 乃馨所需费用之和大于 8 元，而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元；设购 买 2 只玫瑰花所需费用为 A 元，购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元，则 A 、 B 的大小关系是 （ ） A. A B 【答案】 A B. A B C. A B D. A 、 B 的大小关系不确定
下面用数学归纳法证明： ①当 k 1 时， f 2 3 ， f 3 =6 显然成立； ② 假 设 f 23
k 1
=3
k
， f 3
=2 3
k k
k
成 立 ， 则 f 23
k
=f f 3 3
k
k 1
，
f 3k +1 =f f 2 3k 2 3k 1 ；
2
5 ,
2
【 详 解 】 由 “ 对 称 函 数 ” 的 定 义 知 h( x ) 2 f ( x ) g ( x ) 4 x 2b 1 x ， 又 因 为
h( x) g ( x) 恒成立，即 2 x b 1 x 2 恒成立，作出 f ( x) 2 x b 和 g ( x) 1 x 2 的
2 ，
2 x 2 ，则 A(0,0), M (2,2 2 x 2 ), N (2 x,2)
2
AM AN 2(2 x) 2(2 2 x 2 ) 8 2( x 2 x 2 )
设x
2 sin 0, ，则 AM AN 8 4 sin( ) 4 2
【教法指导】根据对称函数的定义，最终问题落在 h( x ) g ( x ) 恒成立上，恒成立问题采用 数形结合的方法转化为点到直线的距离 d 1 ，利用点到直线的距离公式进行求解. 已知数列 an 满足： 对任意的 n N 均有 an 1 kan 3k 3, 其 2、（2017 届青浦一模 12）
2 3 0, , , ，即 sin ,1 所以 AM AN 4,8 2 2 4 4 4 2 2
法二（向量基本定理法） ：设 CN =x 0 x
2 2 ，则 DN =2 x ， CM 2 x
法三（巧设角） ：设 CNM , 0,
，则 CN 2 cos , CM 2 sin 2
AM AN ( AB BM ) ( AD DN ) 2(2 2 cos ) 2(2 2 sin ) 8 4 sin(
1 x ； ② M ( x, y ) y log 2 x；③ M ( x, y ) y 2 2 ； 2 x
④ M ( x, y ) y sin x 1 .其中是“垂直对点集”的序号是（
）
A.①②③ 【答案】C
B.①②④
C.①③④
D.②③④
图象，则直线 f ( x ) 2 x b 在图像 g ( x ) 1 x 即上半圆 x y 1( y 0) 的上面或相 切，所有圆心 (0,0) 到直线 y 2 x b 的距离 d 1 ,即 d
2 2 2
00b 2 1
2 2
b 5
1 ，即 b 5 .
所以 f n f
f n 3 3 n 3 3n 3
k 1 k 1
k
n 3k 1 , n 3k 1 , 2 3k 1 综上： f n k k 1 k 3n 3 , n 2 3 ,3 2 36 1999 2017 37 f 2017 f 1999 3 2017 1999 54
，
3
盾，舍；所以 f 1 =2 . 则有 f 2 3 ， f 3 f
由 单 调 性 及 f n N * 可 知 ： f 4 7 ， f 5 8 ， f 7 f
f 8 f f 5 =15 ，猜想： f 2 3k 1 =3k ， f 3k =2 3k k N ，
2017 年高三数学一模客观题难题解析（下）
（青浦，浦东，虹口，闵行，静安，金山）
青浦区
1、 （2017 届青浦一模 11）若定义域均为 D 的三个函数 f ( x ), g ( x ), h( x ) 满足条件：对于任 意 x D ，点 ( x, g ( x )) 与点 ( x, h( x )) 都关于点 ( x, f ( x )) 对称，则称 h( x ) 是 g ( x ) 关于 f ( x ) 的“对称函数”.已知 g ( x ) 1 x ， f ( x ) 2 x b ， h( x ) 是 g ( x ) 关于 f ( x ) 的“对称 函数” ，且 h( x ) g ( x ) 恒成立，则 b 的取值范围是 【答案】 ．
a4 (a1 3)k 3 3, a5 (a1 3)k 4 3,
所以当 a1 3 0 时， a1 a2 a3 a4 a5 3 符合题目要求； 当 a1 3 0 时， ai 3, i 2,3,4,5 是以 a2 3 为首项， k 为公比的等比数列， 又 ai 3 675,75,0,25,225,2225, i 2,3,4,5 所以 ai 3 675,75,25,225, i 2,3,4,5
已知集合 M ( x, y ) y f ( x ) ， 若对于任意实数对 ( x1 , y1 ) M ， 3、（2017 届青浦一模 16） 存在 ( x2 , y 2 ) M ，使 x1 x2 y1 y 2 0 ，则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ① M ( x, y ) y
*
中 k 为不等于 0 和 1 的常数，若 ai 678,78,3,22,222,2222, i 2,3,4,5, 则满足条件的
a1 所有可能值的和为_________
【答案】
6023 3
2
【详解】由 an 1 kan 3k 3, 得 a2 ( a1 3) k 3, a3 ( a1 3) k 3,
【详解】将“垂直对点集”定义通过数形结合来理解为：函数上的任意一点 A( x1 , y1 ) 都能 找到一点 B ( x2 , y 2 ) ，使得 OB OA ；由①③④ 的图像可以看出符合要求； 对于② M ( x, y ) y log 2 x ，取点 A(1,0) ，则垂直 OA 的直线 y 轴与曲线没有交点，即 找不到点 B 使 OB OA 【教法指导】通过函数的定义域和值域的范围，画出函数图象，利用“垂直对点集”的定义， 即可判断正误.
而 3 2 3
k 1
2 3k 1 3k 1 ，所以 f n n 3k 1
k 1 k 1 k 1 ， 3k 时， n 3 3 ,2 3 ，
当n 2 3 则 f (n 3
k 1
k 1
) n 3k 1 3k 1 n ，
综合①②可知： f 2 3 当n 3
k k 1
k 1
=3
k
，f 3
=2 3
k
对 k N 都成立。
k 1 k k 1 k 1 , 2 3k 1 时， f 3 f n f 2 3 ，即 2 3 f n 3
*Fra Baidu bibliotek
n N * ，都有 f (n) N * ，且 f ( f (n)) 3n 恒成立，则 f (2017) f (1999)
【答案】 54 【详解】由题意 f 若 f 1 =1 ，则 f 若 f 1 =2 ，则 f 若 f 1 3 ，则 f
f 1 3 ，而 f n N
AM AN ( AB BM ) ( AD DN ) 2(2 x) 2(2 2 x 2 ) 8 2( x 2 x 2 )
设x
2 sin 0, ，则 AM AN 8 4 sin( ) 4,8 2 2 4 2
浦东新区
1、（2017 届浦东新区一模 11）如图，在正方形 ABCD 中， AB 2 ，
M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的两个动点，且 MN 2 ，则 AM AN 的取值范围是
【答案】 4， 8 2 2
【详解】 法一 （建系法） ： 分别以 AB, AD 所在直线建立直角坐标系， 设 CN =x 0 x 则 DN =2 x ， CM
1
所以 a2 3 25, k 3 ，解得 a1 或 a2 3 675, k
34 ； 3
1 ，解得 a1 2022 。 3 34 6023 ，所以和等于 3 3
综上所述 a1 可能取值为 3,2022,
【教法指导】先由递推关系式得出 a2 , a3 , a4 , a5 的式子，就很容易发现规律，但一定要注意 等比数列的定义，不能有零项。
) 4
AM AN 4,8 2 2
【教法指导】此题主要考查了向量的数量积的运算，一般向量问题在解决时可以考虑：一是 使用坐标进行代数的运算， 二是非坐标的运算大部分使用向量的基本定理将未知向量转化为 已知向量。 由于本题如果设长度的话导致后面函数的值域运算起来复杂， 所以可以设角度简 化运算。 （2017 届浦东新区一模 12）已知定义在 N 上的单调递增函数 y f ( x ) ，对于任意的 2、
*
，
f 1 f 1 1 ，不符合题意，舍； f 1 f 2 3 ，符合题意； f 1 f 3 ，由单调性可知 f 3 5 ，故 f f 1 5 ，与已知矛 f 2 =6 ， f 6 f f 3 =9 ， f 9 f f 6 =18 f 4 =12
虹口区
（2017 届虹口一模 11）点 M ，抛物线 y 2 px ( p 0) 的焦点为 F，若对于抛物 1、 （20, 40） 线上的任意点 P， PM PF 的最小值为 41，则 p 的值等于 【答案】22 或 42 【详解】分类讨论 （1） 当 M 点在抛物线上时，p=40，则 PM PF 的最小值为 40，不满足题意； （2）当 M 点在抛物线外部（即 40 2 p 20 时） ，若 PM PF 的最小值为 41，此时，
1 A+ B 8 1 5 3 【详解】由题意可得： ,设 m A+ B +n 2 A B A B 3 3 2 A 5 B 22 3 11 m m 2n 1 88 88 3 则 1 ， ， A B 0 即 A B ，所以选 A . 5 4 3 3 m n 1 n 3 3 3
（2017 届浦东新区一模 16）元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 只玫瑰与 1 只康 3、 乃馨所需费用之和大于 8 元，而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元；设购 买 2 只玫瑰花所需费用为 A 元，购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元，则 A 、 B 的大小关系是 （ ） A. A B 【答案】 A B. A B C. A B D. A 、 B 的大小关系不确定
下面用数学归纳法证明： ①当 k 1 时， f 2 3 ， f 3 =6 显然成立； ② 假 设 f 23
k 1
=3
k
， f 3
=2 3
k k
k
成 立 ， 则 f 23
k
=f f 3 3
k
k 1
，
f 3k +1 =f f 2 3k 2 3k 1 ；
2
5 ,
2
【 详 解 】 由 “ 对 称 函 数 ” 的 定 义 知 h( x ) 2 f ( x ) g ( x ) 4 x 2b 1 x ， 又 因 为
h( x) g ( x) 恒成立，即 2 x b 1 x 2 恒成立，作出 f ( x) 2 x b 和 g ( x) 1 x 2 的
2 ，
2 x 2 ，则 A(0,0), M (2,2 2 x 2 ), N (2 x,2)
2
AM AN 2(2 x) 2(2 2 x 2 ) 8 2( x 2 x 2 )
设x
2 sin 0, ，则 AM AN 8 4 sin( ) 4 2
【教法指导】根据对称函数的定义，最终问题落在 h( x ) g ( x ) 恒成立上，恒成立问题采用 数形结合的方法转化为点到直线的距离 d 1 ，利用点到直线的距离公式进行求解. 已知数列 an 满足： 对任意的 n N 均有 an 1 kan 3k 3, 其 2、（2017 届青浦一模 12）
2 3 0, , , ，即 sin ,1 所以 AM AN 4,8 2 2 4 4 4 2 2
法二（向量基本定理法） ：设 CN =x 0 x
2 2 ，则 DN =2 x ， CM 2 x
法三（巧设角） ：设 CNM , 0,
，则 CN 2 cos , CM 2 sin 2
AM AN ( AB BM ) ( AD DN ) 2(2 2 cos ) 2(2 2 sin ) 8 4 sin(
1 x ； ② M ( x, y ) y log 2 x；③ M ( x, y ) y 2 2 ； 2 x
④ M ( x, y ) y sin x 1 .其中是“垂直对点集”的序号是（
）
A.①②③ 【答案】C
B.①②④
C.①③④
D.②③④
图象，则直线 f ( x ) 2 x b 在图像 g ( x ) 1 x 即上半圆 x y 1( y 0) 的上面或相 切，所有圆心 (0,0) 到直线 y 2 x b 的距离 d 1 ,即 d
2 2 2
00b 2 1
2 2
b 5
1 ，即 b 5 .
所以 f n f
f n 3 3 n 3 3n 3
k 1 k 1
k
n 3k 1 , n 3k 1 , 2 3k 1 综上： f n k k 1 k 3n 3 , n 2 3 ,3 2 36 1999 2017 37 f 2017 f 1999 3 2017 1999 54
，
3
盾，舍；所以 f 1 =2 . 则有 f 2 3 ， f 3 f
由 单 调 性 及 f n N * 可 知 ： f 4 7 ， f 5 8 ， f 7 f
f 8 f f 5 =15 ，猜想： f 2 3k 1 =3k ， f 3k =2 3k k N ，
2017 年高三数学一模客观题难题解析（下）
（青浦，浦东，虹口，闵行，静安，金山）
青浦区
1、 （2017 届青浦一模 11）若定义域均为 D 的三个函数 f ( x ), g ( x ), h( x ) 满足条件：对于任 意 x D ，点 ( x, g ( x )) 与点 ( x, h( x )) 都关于点 ( x, f ( x )) 对称，则称 h( x ) 是 g ( x ) 关于 f ( x ) 的“对称函数”.已知 g ( x ) 1 x ， f ( x ) 2 x b ， h( x ) 是 g ( x ) 关于 f ( x ) 的“对称 函数” ，且 h( x ) g ( x ) 恒成立，则 b 的取值范围是 【答案】 ．
a4 (a1 3)k 3 3, a5 (a1 3)k 4 3,
所以当 a1 3 0 时， a1 a2 a3 a4 a5 3 符合题目要求； 当 a1 3 0 时， ai 3, i 2,3,4,5 是以 a2 3 为首项， k 为公比的等比数列， 又 ai 3 675,75,0,25,225,2225, i 2,3,4,5 所以 ai 3 675,75,25,225, i 2,3,4,5
已知集合 M ( x, y ) y f ( x ) ， 若对于任意实数对 ( x1 , y1 ) M ， 3、（2017 届青浦一模 16） 存在 ( x2 , y 2 ) M ，使 x1 x2 y1 y 2 0 ，则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ① M ( x, y ) y
*
中 k 为不等于 0 和 1 的常数，若 ai 678,78,3,22,222,2222, i 2,3,4,5, 则满足条件的
a1 所有可能值的和为_________
【答案】
6023 3
2
【详解】由 an 1 kan 3k 3, 得 a2 ( a1 3) k 3, a3 ( a1 3) k 3,
【详解】将“垂直对点集”定义通过数形结合来理解为：函数上的任意一点 A( x1 , y1 ) 都能 找到一点 B ( x2 , y 2 ) ，使得 OB OA ；由①③④ 的图像可以看出符合要求； 对于② M ( x, y ) y log 2 x ，取点 A(1,0) ，则垂直 OA 的直线 y 轴与曲线没有交点，即 找不到点 B 使 OB OA 【教法指导】通过函数的定义域和值域的范围，画出函数图象，利用“垂直对点集”的定义， 即可判断正误.
而 3 2 3
k 1
2 3k 1 3k 1 ，所以 f n n 3k 1
k 1 k 1 k 1 ， 3k 时， n 3 3 ,2 3 ，
当n 2 3 则 f (n 3
k 1
k 1
) n 3k 1 3k 1 n ，
综合①②可知： f 2 3 当n 3
k k 1
k 1
=3
k
，f 3
=2 3
k
对 k N 都成立。
k 1 k k 1 k 1 , 2 3k 1 时， f 3 f n f 2 3 ，即 2 3 f n 3
*Fra Baidu bibliotek
n N * ，都有 f (n) N * ，且 f ( f (n)) 3n 恒成立，则 f (2017) f (1999)
【答案】 54 【详解】由题意 f 若 f 1 =1 ，则 f 若 f 1 =2 ，则 f 若 f 1 3 ，则 f
f 1 3 ，而 f n N
AM AN ( AB BM ) ( AD DN ) 2(2 x) 2(2 2 x 2 ) 8 2( x 2 x 2 )
设x
2 sin 0, ，则 AM AN 8 4 sin( ) 4,8 2 2 4 2
浦东新区
1、（2017 届浦东新区一模 11）如图，在正方形 ABCD 中， AB 2 ，
M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的两个动点，且 MN 2 ，则 AM AN 的取值范围是
【答案】 4， 8 2 2
【详解】 法一 （建系法） ： 分别以 AB, AD 所在直线建立直角坐标系， 设 CN =x 0 x 则 DN =2 x ， CM
1
所以 a2 3 25, k 3 ，解得 a1 或 a2 3 675, k
34 ； 3
1 ，解得 a1 2022 。 3 34 6023 ，所以和等于 3 3
综上所述 a1 可能取值为 3,2022,
【教法指导】先由递推关系式得出 a2 , a3 , a4 , a5 的式子，就很容易发现规律，但一定要注意 等比数列的定义，不能有零项。
) 4
AM AN 4,8 2 2
【教法指导】此题主要考查了向量的数量积的运算，一般向量问题在解决时可以考虑：一是 使用坐标进行代数的运算， 二是非坐标的运算大部分使用向量的基本定理将未知向量转化为 已知向量。 由于本题如果设长度的话导致后面函数的值域运算起来复杂， 所以可以设角度简 化运算。 （2017 届浦东新区一模 12）已知定义在 N 上的单调递增函数 y f ( x ) ，对于任意的 2、
*
，
f 1 f 1 1 ，不符合题意，舍； f 1 f 2 3 ，符合题意； f 1 f 3 ，由单调性可知 f 3 5 ，故 f f 1 5 ，与已知矛 f 2 =6 ， f 6 f f 3 =9 ， f 9 f f 6 =18 f 4 =12