人教版高一数学必修三第三章 模块综合检测

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某中学从已编号(1～60)的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，若用系统抽样法抽取，则所选的6个班级的编号可能是( )A ．6，16，26，36，46，56B ．3，10，17，24，31，38C ．4，11，18，25，32，39D ．5，14，23，32，41，50解析：选A.由题意，知选项A 中6个编号的间隔相等，且为10，其他选项不符合要求．故选A.2．从一副混合后的扑克牌(不含大小王)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则P (A ∪B )＝( )A.726B.1126C.1526D.1926解析：选A.因为P (A )＝152，P (B )＝14，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋14＝726.故选A. 3．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样法从中抽取容量为20的样本，则在一级品中抽取的比例为( )A.124B.136C.15D.16解析：选D.由题意知抽取的比例为20120＝16，故选D.4．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为( ) A.y ^＝1.23x ＋0.08 B.y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋4 D.y ^＝0.08x ＋1.23解析：选A.设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝1.23，因为回归直线必过样本点的中心，代入点(4，5)得a ^＝0.08.所以回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.5．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体验中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为( )A ．10B ．20C ．8D ．16解析：选B.由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，人数为0.4×50＝20.故选B.6．在2，0，1，6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：选C.由题意，可知共有(0，1，2)，(0，2，6)，(1，2，6)，(0，1，6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.故选C.7．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：选B.设中间一组的频数为x ，因为中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，所以其他8组的频数和为52x ，由x ＋52x ＝140，解得x ＝40.8．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，集合B ＝{1，3，5}，从集合A 中随机选取一个数a ，从集合B 中随机选取一个数b ，则a ≤b 的概率为( )A.19B.16C.13D.12解析：选D.从集合A 中选一个数有6种可能，从集合B 中选一个数有3种可能，共有18种可能，其中满足a ≤b 的有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝5，共9种可能，用古典概型的概率计算公式可得P ＝918＝12.故选D. 9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例的数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3解析：选D.根据标志，要求数据中每个个体不超过7.中位数与众数不能体现个体数据，无法确定．方差体现数据中个体的波动程度，若大于0，则无法确定．若均值为2，方差为3，假设∃x i ≥8，则s 2≥（x i －x ）210＝6210＞3，故假设不成立．10．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )A.14B.13C.23D.12解析：选D.以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2 P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.11．一组数据的平均数、众数和方差都是2，则这组数可以是 ( ) A ．2，2，3，1B ．2，3，－1，2，4C ．2，2，2，2，2，2D ．2，4，0，2解析：选D.易得这四组数据的平均数和众数都是2， 所以只需计算它们的方差就可以．第一组数据的方差是0.5；第二组数据的方差是2.8； 第三组数据的方差是0；第四组数据的方差是2.12．在“淘特惠”微信群的某次抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.72元、1.85元、3元、1.37元、0.69元、0.37元，共6份，供该微信群中的小陈、小李等6人抢，每人只能抢一次，则小陈、小李两人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A.12 B.13 C.23D.35解析：选B.设小陈、小李分别抢了x 元、y 元，小陈、小李两人抢的金额记为(x ，y )，则所有可能结果为(2.72，1.85)，(2.72，3)，(2.72，1.37)，(2.72，0.69)，(2.72，0.37)，(1.85，2.72)，(1.85，3)，(1.85，1.37)，(1.85，0.69)，(1.85，0.37)，(3，2.72)，(3，1.85)，(3，1.37)，(3，0.69)，(3，0.37)，(1.37，2.72)，(1.37，1.85)，(1.37，3)，(1.37，0.69)，(1.37，0.37)，(0.69，2.72)，(0.69，1.85)，(0.69，3)，(0.69，1.37)，(0.69，0.37)，(0.37，2.72)，(0.37，1.85)，(0.37，3)，(0.37，1.37)，(0.37，0.69)，共有30种．其中小陈、小李两人抢到的金额之和不低于4元的结果为(2.72，1.85)，(2.72，3)，(2.72，1.37)，(1.85，2.72)，(1.85，3)，(3，2.72)，(3，1.85)，(3，1.37)，(1.37，2.72)，(1.37，3)，共有10种. 所以小陈、小李两人抢到的金额之和不低于4元的概率是P ＝1030＝13，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为________．解析：由题意知试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形，若设大正方形的边长是3，则大正方形的面积是9，满足条件的事件是三个小正方形，面积和是3，所以落在图中阴影部分中的概率是39＝13.答案：1314．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则mn ＝________．解析：由题中茎叶图，可知甲的数据为27，30＋m ，39，乙的数据为20＋n ，32，34，38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33， 所以20＋n ＋32＋34＋384＝33，故n ＝8，所以m n ＝38.答案：3815．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15.答案：1516．设a ∈[0，10)且a ≠1，则函数f (x )＝log a x 在(0，＋∞)内为增函数且g (x )＝a －2x 在(0，＋∞)内也为增函数的概率为________．解析：由条件知，a 的所有可能取值为a ∈[0，10)且a ≠1，使函数f (x )，g (x )在(0，＋∞)内都为增函数的a 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＜0，所以1＜a ＜2.由几何概型的概率公式知，P ＝2－110－0＝110.答案：110三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解：记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥． (1)取出1球是红球或黑球的概率为 P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝512＋412＋212＝1112. 18．(本小题满分12分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级 初二年级初三年级女生 373 x y 男生377370z(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 解：(1)因为x2 000＝0.19，所以x ＝380.(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．19．(本小题满分12分)(2019·广西钦州市期末考试)某高中三年级的甲、乙两个同学同时参加某大学的自主招生，在申请的材料中提交了某学科10次的考试成绩，记录如下：甲：78 86 95 97 88 82 76 89 92 95 乙：73 83 69 82 93 86 79 75 84 99(1)根据两组数据，作出两人成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两人本学科成绩平均值的大小关系及方差的大小关系；(不要求计算具体值，直接写出结论即可)(2)现将两人的名次分为三个等级：成绩分数 [0，70) [70，90) [90，100) 等级合格良好优秀高于乙同学成绩的组合的概率．解：(1)画出甲、乙两人成绩的茎叶图如图：通过茎叶图可以看出，甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，甲成绩的方差小于乙成绩的方差．(2)由表中的数据，甲优秀的数据为95，97，92，95；乙优秀的数据为93，99，甲、乙均获得“优秀”的成绩组合的基本事件有：(95，93)，(95，99)，(97，93)，(97，99)，(92，93)，(92，99)，(95，93)，(95，99)共8种不同的取法，甲同学成绩高于乙同学成绩组合的基本事件是：(95，93)，(97，93)，(95，93)共3种不同的取法，所以，选中甲同学优秀成绩高于乙同学优秀成绩的组合的概率为P＝38.20．(本小题满分12分)(2019·湖北省荆州中学期末考试)为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组，第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人．(1)分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．解：(1)由题意，因为第1组有5人，则0.01×5n＝5，n＝100，所以第3组有0.06×5×100＝30(人)，第4组有0.04×5×100＝20(人)，第5组有0.02×5×100＝10(人)．所以利用分层抽样在第3，第4，第5组中分别抽取3人，2人，1人．(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共15种．其中第3组的3名志愿者A 1，A 2，A 3至少有一名志愿者被抽中的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，共12种．则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为1215＝45.21．(本小题满分12分)(2018·高考全国卷Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×19＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．22．(本小题满分12分)(2018·高考全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7) 频数1324926 5日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6) 频数15131016 5(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)解：(1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48.因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x －1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x －2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3)．。