点的应力状态

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描述空间一点的应力状态需要的应力分量

描述空间一点的应力状态需要的应力分量应力是描述物体内部力状态的物理量，是单位面积上作用的力，是力对单位面积的作用力。

在空间中，一个点的应力状态可以用应力张量来描述。

应力张量是一个三维矩阵，包含了物体在三个坐标轴上的应力分量。

在三维空间中，一个点的应力状态可以用6个应力分量来描述，分别是xx分量（σxx）、yy分量（σyy）、zz分量（σzz）、xy分量（τxy）、xz分量（τxz）和yz分量（τyz）。

在应力张量中，对角线上的分量（σxx、σyy和σzz）是正应力分量，表示物体沿着各坐标轴方向的内部拉伸或压缩情况。

xz分量（τxz）和yx分量（τyx）是剪应力分量，表示物体在xz和yx平面上的内部剪切力情况。

yz分量（τyz）和xy分量（τxy）也是剪应力分量，表示物体在yz和xy平面上的内部剪切力情况。

应力分量的正负号表示该点的应力状态是拉伸还是压缩，正号表示拉伸，负号表示压缩。

如果某个应力分量为0，则表示该方向上不存在内部拉伸或压缩力。

应力分量的大小表示该方向上的内部力大小。

在实际应用中，应力分量可以通过力分析、力学实验或数值模拟等方法来确定。

不同材料和结构在不同应力状态下会有不同的应力分量，因此我们需要根据具体情况来确定应力分量。

在工程中，应力分量的大小和方向对材料的强度、稳定性和变形等性能有影响。

因此，了解和掌握应力分量的性质和变化规律对设计和优化结构非常重要。

总之，描述空间一点的应力状态需要的应力分量包括正应力分量和剪应力分量，正应力分量描述物体沿各坐标轴方向的内部拉伸或压缩情况，剪应力分量描述物体在不同平面上的内部剪切力情况。

应力分量的大小和方向对材料的性能有重要影响，因此需要根据具体情况来确定应力分量。

应力状态分析

0 67.5o
HOHAI UNIVERSITY
思考题：一个单元体中最大正应力所在面上的切应力是否一定为零？最大切应力所在面上的正应力是否也一定为零？ τ
D2 A2 C D1 2α0
O
A1
σ
HOHAI UNIVERSITY
§5-3
基本变形杆件的应力状态分析
一、拉压杆件应力状态分析
分析单向受拉杆件中任一点的应力状态
应力状态分类：单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态
平面应力状态空间应力状态
三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态复杂应力状态：二向和三向应力状态的统称
纯切应力状态：只有切应力，没有正应力
HOHAI UNIVERSITY
弯曲时工字形截面各点应力状态：
0 67.5o
主应力单元体为
HOHAI UNIVERSITY 3MPa
2.应力圆求解
1 0 67.5o
6MPa
x 6MPa
y 0
3
τ
x 3MPa
1 1.24MPa
D2
A2 C D1 O A1
2 0
σ
2α0
3 7.24MPa
2 0 135o
HOHAI UNIVERSITY
二、应力圆 σα= τα= σx +σy
2 σx -σy
2 σα-
+
σx -σy
2
cos2α -τxsin2α
sin2α +τxcos2α
σx +σy
2 τα=
=
σx -σy 2 σx -σy
cos2α -τxsin2α

工程力学7第七章应力状态和应变状态分析

x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布

• 相互平行的一对面上应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y

y

y
y
y
n
y

x
a
x

e
d
x

x
x
bz
x
x

x
e
x
x

y

f
yy
x
x

b

c
y

y

y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2

第8章点的应力状态

第八章点的应力状态
三. 平面应力状态中的正应力极值和剪应力极值
第八章点的应力状态
本节将对平面应力公式
2 σ xx＋σ yy σ xx－σ yy ＋ σ α＝ cos2α－τ xy sin2α xy α 2 2 进行讨论,主要内容有:
(1)平面应力状态中的正应力极值和极值面方位以及正应力极值面上的剪应力; (2)平面应力状态中的剪应力极值和极值面方位以及剪应力极值面上的正应力.
第八章点的应力状态
(4) σmax× σmin可大于或小于零,也可等于零. 对于前两种情况, 称原单元体为平面应力或二单元体为向应力状态;对后一种情况,称原单元体为单向应力状态. 若构件上某点是平面应力状态,则描述该点应力状态的单元体有无数多个,但该点的主单元体表述却是唯一的,这是一种既简单且又能反映一点应力状态本质内涵的表述. 只要知道某点应力的一个单元体表述，就能找到它的主单元体表述.
第八章点的应力状态
由四个主平面围成的单元体称为原单元体的主单元体，在主单元体上剪应力为零。若围绕研究点取出的是它的主单元体，则称该点的应力表述为主单元体表述或主应力表述。 2τ xy kπ 1 − arctan ; k = 0,±1,±2 主方向角 α p = σ x −σ y 2 2
⎛ 2 τ xy ⎞ ⎛ 2 τ xy ⎞ tan 2 2α p 1 2 (3) 主应力: 将 tan 22α pp＝⎜⎜ cos 2α p = ± ; sin 2α p = ± ⎟ tan 2α ＝⎜ ⎟ 2 ⎜ σ x − σ y ⎟代入 ⎟ 1 + tan 2α p 1 + tan 2 2α p ⎝ σ x −σ y ⎠ ⎝ ⎠
第八章点的应力状态

材料力学第8章应力状态分析

点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b）中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体，根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件，可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正

点应力状态概念及其表示方法

一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。

因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。

例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。

２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。

应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。

如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。

如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。

特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。

§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。

1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。

由剪应力互等定理，有：，，。

2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。

3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。

(精品)一点的应力状态-经典

t 30 0
b
解：x 1 0 M P a, y 3 0 M P a
t t x y 2 0 M P a , y x 2 0 M P a , 30
x
20MPa
x 2 y x 2 yco s2 txysin2
1 0 3 0 1 0 3 0 c o s6 0 2 0 sin 6 0
3 0
2
2
第七章
应力状态分析
7.1 应力状态的概述 7.2 平面应力状态分析——解析法 7.3 平面应力状态分析——图解法 7.4 三向应力状态 7.5 广义虎克定律
§7-1 应力状态的概述一、什么是应力状态？二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
一、什么是应力状态？应力的点
应力的面
（一）、应力的点的概念:
tm
a
T
x
tm
a
t
T
Ip
x
（实心截面）
M y
Mz
Iz
FQ
t
F
S
S
* z
bI z
横截面上的正应力分布
横截面上的切应力分布
结果表明：
同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。
（二）应力的面的概念
FP
FP
FP
FP
F
F
A
F
co2s
t
t
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同，即应力的面的概念
x y 0
t xy t
(2)求主应力
m mainxx 2y
x
y
2
2
t
2 xy
1
t
1 t

同一点应力状态的三个主应力数值

同一点应力状态的三个主应力数值在力学中，应力是指物体内部受到的力的作用。

在三维空间中，一个点的应力状态可以由三个主应力来描述，分别为最大主应力、中间主应力和最小主应力。

无论力的方向如何，应力状态在一个点处总是具有对称性，即主应力方向相互垂直且大小按由大到小的顺序排列。

应力状态越复杂，三个主应力的差异也越大。

最大主应力是应力变化中最强的。

如果一个物体承受一条单向载荷，最大主应力就在这个方向上。

而如果一个圆柱体在一个向上的载荷下，最大主应力将位于圆柱体底部。

中间主应力表示两个最大和最小主应力之间的应力。

在一个均匀的球形体受到的压力相等时，中间主应力的值等于零。

最小主应力是应力状态中最弱的。

最小主应力的值与应力最强的方向相垂直。

在一个圆柱体上，最小主应力位于圆柱体的侧面上。

三个主应力的数值可以用数学公式来计算。

一个三维应力状态可用一个张量来描述，它被称为应力张量。

应力张量可以表示为一个3×3的矩阵，其中每个元素代表一个分量。

根据线性代数，应力张量可对称分解为三个正交矩阵，每个矩阵对应一个主应力方向和大小。

最大主应力的大小等于应力张量的最大特征值，中间主应力的大小则等于次大特征值，而最小主应力的大小就等于最小特征值。

三个主应力的数值决定了一个物体在应力下的断裂点。

在工程学中，登录这些应力的值非常重要。

例如，在地震工程中，地震的荷载将产生最大主应力，因此可以在修建建筑物之前对地震的强度进行评估。

在地质工程中，岩石层的抗拉强度对于油气开采来说是非常重要的，而最小主应力决定了产储层中的裂缝走向。

总之，同一点的三个主应力的数值是描述物体应力状态必不可少的三个参数。

通过计算这些值，可以更好地理解物体在不同应力下的响应和行为，从而有助于进行工程设计、地震评估、油气勘探等应用。

材料力学第七章应力状态

主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y

过一点所方向面上应力的集合,称为这一点的应力状态

应力是指物体内部受到的力的作用，它可以通过单位面积上的力来描述。

在工程力学中，应力是非常重要的物理量，它与物体的形状、材料特性和外部力的作用密切相关。

本文将围绕应力的概念展开讨论，针对其在材料力学中的应用进行深入分析。

一、应力的定义和分类1.1 应力的概念应力是单位面积上的力，常用符号表示为σ，其计算公式为力F除以面积A，即σ=F/A。

在物体内部，由于外部力的作用，各处都会受到应力的作用，这种应力称为内应力。

而外部施加在物体表面上的力也会导致应力的产生，这种应力称为外部应力。

1.2 应力的分类根据应力的作用方向和大小，可以将应力分为正应力、剪切应力和法向应力三种类型。

正应力是垂直于物体截面的应力，常用符号表示为σn。

而沿着截面方向的应力称为剪切应力，常用符号表示为τ。

另外，法向应力是指作用在物体某一点上的应力。

二、应力状态的描述2.1 应力张量在三维空间中，一个点的应力状态可以由一个3x3的对称矩阵来描述，这个对称矩阵称为应力张量。

应力张量的分量代表了在不同方向上的应力情况，可以通过数学方法进行求解和分析。

2.2 应力状态的表示一个点处的应力状态可以通过应力张量的特征值和特征向量来表示。

特征值代表了应力状态的大小，特征向量则代表了应力作用的方向。

通过对特征值和特征向量的分析，可以判断物体处于何种应力状态，从而进行相应的力学分析和设计。

三、应力的应用3.1 工程材料的性能应力是描述物体受力情况的重要参数，它直接影响着材料的强度、刚度和韧性等性能。

在工程中，通过对材料的应力状态进行分析，可以评估材料的可靠性和安全性，为工程设计提供参考依据。

3.2 结构的稳定性对结构件的受力状态进行分析，可以判断结构在外部载荷作用下的稳定性。

通过对结构的应力分布和应力集中区域的分析，可以预测结构是否会发生破坏或失稳现象，为结构设计和改进提供重要参考。

3.3 力学设计在工程实践中，需要根据实际的力学要求来设计各种零部件和结构件。

平面问题中一点的应力状态

已知X=q， y=0， xy = -2q，求： 1 ， 2 ，α1 1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为方向的正应力n为（b）已知那么
，那么任一 1 2 n 为 ; a , b x y ? 1 2
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） fx f也必须满足。 , y 0
坐标面
当边界面为坐标面时，若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
() σ f ,() f . x x a x x y y x a
b a x

( e )
fx
xy
σ
x
σ
x
fx
n
B
py
xy
2
x

xy

y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0

第10章应力状态概述

sx 三个互相垂直的主平面.
主应力：
sz
主平面上的正应力。
z
x 主应力排列规定：按代数值大小，
s2
s 1s 2 s 3
s1 主应力单元体：
由主平面构成的单元体。
s3
六.应力状态的分类: 三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态。二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。
s1 17°
x
(e)
解析法：
s max s min
1 2
(s
x
s
y)
1 2
(s x
s y )2
4t
2 x
46.1MPa
26.1MPa
0
1 tg 1 2t x 2 sx sy
16.85o
s 1 46.1MPa, s 2 29MPa, s 3 26.1MPa
t max
s1
s3
2
36.1MPa
t
(c)
s 2 20MPa s 3 26MPa
t
(d)
B
D2
D2
max t
OC
A
s
OC
A
s
D1
s3
s1
D1
s3
s2 s1
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。
最大剪应力对应于B点的纵坐标，即
tmax BC 36MPa
作用面与s2平行而与s1成45°角，如图e所示。
s3
tmax s2
s2
s1
t
s3
s2
s3
s1
s3
s2
s2
s1
s3

应力状态图和应变状态图

3
2
1 约定： 1 2 3
应力状态图和应变状态图
一、应力状态图
主应力表示的应力状态
可能的主应力状态
6.在各种受力情况下，可能的主应力状态图共有九种：
一种零应力状态、二种线性应力状态、三种平面应力状态、四种立

体应力状态。
应力状态图和应变状态图
二、塑性变形体积不变定律
1.定律的应用：它可以应用于计算毛料尺寸，也可以用于塑性理论的各种计算，并用来判断应变状态。
z
z
zx zy
xz yz
x x
xy
yx
y y
应力状态图和应变状态图
一、应力状态图
3.主平面:只有正应力而无剪应力存在的坐标面称为主平面。
4.点的主应力状态图:是表示所研究的点，在各主轴方向上，有无主应力及其主应力性质的定性图形。
5.主应力性质:是指拉或压应力，通常规定，拉应力为正，其箭头向外；压应力为负，其箭头指向内。
主应变状态图
2.根据塑性变形体积不变定律方程可得如下结论
（1）主应变状态图只存在三种形式。
（2）无论何种应变状态，总有一个主应变的符号与其他两个主应变
的符号相反，且其绝对值最大。
谢谢观看！
应力状态图和应变状态图
1
应力状态图
2
塑性变形体积不变定律
3
最小阻力定律
4
应变状态图
应力状态图和应变状态图
一、应力状态图
1.点的应力状态:是指物体内的任意一个质点附近不同方位上所承受的应力情况。
（实心截面）
T
Ip
应力状态图和应变状态图
一、应力状态图
2.应力状态图:在立方体的三个互相垂直的截面上，用箭头定性地表示有无应力及应力方向的图形，称为应力状态图。

材料力学之应力状态知识讲解

1
m main =xx 2y
(x 2y)2x2y=
26MPa 96MPa
1=26 MP , a2=0, 3=96 MPa
26
例题 5 图示单元体。
已知: x =-40MPa ，y =60MPa ，xy=-50MPa 。试求: ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。
(1) 求 ef 截面上的应力
P A
B
C
A A
A
B B C
C
C C
从A、B、C三点截取 7
例题 1 画出如图所示梁 S 截面的应力状态单元体.
F
S平面
l/2 l/2
5 4 3 2
1
8
5
S平面
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x1
1
x1 x2
2
x2
2
2
3
3
3
9
例题2 画出如图所示梁的危险截面上, 危险点的应力状态
yy
单元体。
1
4
FS
2
z
3
z2 xT 3
45°
所以 0= -45°与 max 对应
1
（2）求主应力
m m= a in x x 2y(x 2y)2x 2= y
1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 30
§8-3 平面应力状态分析-图解法
一.莫尔圆
将斜截面应力计算公式改写为
= xx 2 2yys=i2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
把上面两式等号两边平方, 然后相加便可消去 , 得
(x 2y)2 2=( x 2y)2x 2y

一一点的应力状态与应力张量

一一点的应力状态与应力张量二主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示。

在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。

通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。

式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。

因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。

已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。

在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。

另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。

分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。

x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1.2）在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5而剪应力则由式1-5得 2N τ=2N P -2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。