数理金融基本数学方法
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Qd c bP cg P Qs g hP hb
假定市场中价格的变化率dP/dt是 正的，它是关于超额需求Qd-Qs的 线性函数。
dP m(Qd Qs )m 0 dt
分析在什么条件下，当t→∞时，P(t)将趋近与上式均衡价格, 这个条件就是市场上的动态价格稳定的条件。
1 PQ1 C1 (Q1 ) P MC1 1 1 2 P2Q2 C2 (Q2 ) P2 MC2
因此划拨价格制定的条件是：
利润最大化
P MC1 NMR1 (MR MCd )MP 1 1 P2 MC2 NMR2 (MR MCd )MP2
1
(MR MCd )MP MC1 NMR1 MC1 0 1
为了使 母公司 利润最 大化
MC1 NMR1 (MR MCd )MP 1
MC2 NMR2 (MR MCd )MP 2
数理金融·第2章 13
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第一节 函数和微积分的应用
两个上游部门的利润分别为
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数理金融·第2章 11
第一节 函数和微积分的应用
（三）划拨价格的决定机制
假定某跨国公司由三个部门组成，两个上游部门，一个下游部门。 两个上游部门的产量为Q1和Q2，相应成本为C1和C2，下游部门 的产量为Q，Q=f（K，L， Q1，Q2 ），公司除了上游部门的成本 外，还有下游部门的成本Cd（Q）；两个上游部门生产的中间产品 的划拨价格分别为P1和P2，下游部门的销售收入为R；当三个部门 各自达到利润最大化时，公司的利润最大化。 设该企业的总利润为
例：边际储蓄倾向 ，当收入是25时，储蓄减少3.5， 既当Y=25时，s=-3.5，求储蓄函数。
1 ds 0.5 0.2Y 2 dY
3 4
7 4
7 4
s 0.5 0.2Y dY 0.5Y 0.4Y c Y 25, s 3.5 c 14
（二）消费者剩余和生产剩余的测度（略）
第一节 函数和微积分的应用
（二）实际利率与名义利率 相同的本金及相同的名义利率但终值不同，即实际利率不同
实际利率记为：ie，则
P(1 ie )t P(1
i mt ) m
可得：
i m ie (1 ) 1 m
若为连续复利，m→∞，有：
ie er 1
例：计算上例中三种情况的实际利率
差分方程表示的是因变量和滞后的自变量之间的关系，这些 变量在离散的时间区间内变化。假定消费量是前一期收入的 函数，那么
Ct C0 cYt 1 , Yt Ct It
若It I0 , 则Yt C0 cYt 1 I0
设b c, a C0 I 0 Yt a bYt 1
例如：
MC dTC TC MCdQ VC C VC FC dQ
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数理金融·第2章 16
第一节 函数和微积分的应用
例：给定净投资率 I (t ) 140t ，且当t=0时初始资本存量为150， 求资本函数。
3 4
Kt 140t dt 80t c 80t 150
P 1
S 应贴利息I S P 1 1 nR
I SnRP2 S I
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数理金融·第2章 8
第一节 函数和微积分的应用
例：面值5000元的汇票，20天后到期，银行月息为0.6%， 求贴息额与兑现额 应得兑现额是4980.08 应贴利息：19.92 实贴利息：20 实际兑现额：4980
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数理金融·第2章 6
第一节 函数和微积分的应用
（四）分期付款
（1）成交时取货，企业需计算现值 （2）货款付清后取货，消费者计算终值 （3）向银行借款购买商品，以后分期偿还 （4）分期付款在半途变更付款条件 例：汽车每辆销售价100000元，成交时付款34000元，其余 的分11个月付款，即每月6000元，试以月息0.42%求其现值。
陕西科技大学理学院 数理金融·第2章 18
第一节 函数和微积分的应用
dP m(Qd Qs ) m[(c bP) ( g hP )] dt
dP m ( h b ) P m (c g ) dt
vdt
令v m(h b), z m(c g )
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数理金融·第2章 15
第一节 函数和微积分的应用
三、数理金融中积分方法的应用
（一）净投资时间积分的测度（连续变换） 净投资I定义为时间t内资本存量构成K的变化率
I (t ) dK (t ) K (t ) dt
K t I (t )dt K (t ) C K (t ) K 0
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数理金融·第2章 14
第一节 函数和微积分的应用
例：某生产赛车的跨国公司有两个部门组成，上游生产引擎 下游组装赛车。该车需求曲线为：P=20000-Q。已知上游部门 的成本是CE=2QE2，下游部门的成本为CA=8000Q，求引擎的 划拨价格PE，赛车的产量Q，引擎的产量QE和赛车的价格PA？
第一节 函数和微积分的应用
例：某人贷款金额为20万元，年利息为6%，计划办理5年 银行按揭，每个月月末影响银行还款多少？
P 200000, i 6% /12 0.5%, n 5 12 60 A 3868
问题（1）还款总数为多少？ （2）所付利息总额为多少？ （3）若为月初还款，如何计算？ （4）若遇到利息调整，如何计算？
A P 34000 [1 (1 i ) n ] 98366.63 i
陕西科技大学理学院 数理金融·第2章 7
第一节 函数和微积分的应用
（五）银行贴现 企业间存在商业信用，企业可以签发远期汇票，当未到期汇票 的持有者向银行要求兑现，就需要计算贴息额和兑现额 设票面金额为S，离到期时 间为n天，日息为R，则应 的兑现额： 银行实际业务贴付利息和 实得兑现额为：
P A A A A 1 n [1 ( ) ] 2 n 1 i (1 i) (1 i) i 1 i
A P
i 1 (1 i) n
上式又成为资金还原公式，后一个表达式成为资金还原系数 常用（A/P，i，n）表示，可查福利表计算
陕西科技大学理学院 数理金融·第2章 5
F P(1 i)t
i mt F P(1 ) m
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数理金融·第2章 2
第一节 函数和微积分的应用
如果利率为100%，一年内 连续计算复利，终值为： 对于非100%的利率r，及非 一年的时期t，终值为：
i mt F P lim(1 ) Pe m m
F Pert
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数理金融·第2章 10
第一节 函数和微积分的应用
二、数理金融中微分方法的应用 （一）边际效用函数分析 例：已知总成本函数TC=Q3-18Q2+750Q，利用微分知识做出 总成本、平均成本和边际成本三者关系的图形。
（二）经济函数最优化
例：已知一个企业的总收益水平是R=4000Q-33Q2，总成本 函数C=2Q3-3Q2+400Q+500，设Q>0，求最大利润
陕西科技大学理学院 数理金融·第2章 4
第一节 函数和微积分的应用
（三）银行按揭贷款 先在银行贷款，然后分期还款；有等额偿还和等本金偿还。 银行按揭可归纳为数学问题：贷款P元，年利率r，分n期等额 偿还，每期应还多少？ 一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r，月息为i=r/12， 设每期偿还A元，则n期还款折现的总和应等于贷款总和， 有现值公式知：
c g m ( h b ) t c g )e hb h b
价格曲线P(t ) ( P(0) P)em(hb)t P
h b 0 P(t ) P(t )
只要h≥b，拥有正斜率需求函数或负斜率供给函数的市场 也将是动态稳定的。
陕西科技大学理学院 数理金融·第2章 19
陕西科技大学理学院 数理金融·第2章 17
1 2
1 2
第一节 函数和微积分的应用
四、数理金融中微分方程和差分方程的应用 （一）运用微分方程决定动态平衡点
微分方程可用与决定市场均衡模型的动态平衡，它描述出在 不同的宏观经济条件下，价格增长的时间路径，也可以估计 资本函数，并根据边际成本和边际收入函数估计总收益函数 例：
a a t )b ,b 1 y ( y0 求解 t 1 b 1 b yt y0 at , b 1
( A ze vdt dt ) Ae vt z 当t 0时, P (0) A z A P (0) z P(t ) e v v v
z vt z P(t ) ( P(0) )e (还原) v v
P(t ) ( P(0)
Ie( s / K )t C
t 0, I (0) C,
I Ce( s / K )t
I I (0)e( s / K )t
投资量必须以由s/K决定的常数比率即储蓄率与资本——产出 率之比增长
陕西科技大学理学院 数理金融·第2章 21
第一节 函数和微积分的应用
（三）运用差分方程制定滞后收入决定模型
生产能力的变化等于资本存量的变换乘以边际资本——产出 比率的倒数
dQ 1 dK 1 dK I ( I) dt K dt K dt
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数理金融·第2章 20
第一节 函数和微积分的应用
当生产力充分利用时
1 dI 1 1 dI 1 Idt dI s dt 0 I I K s K s dt K s ln I t c K
(Q) R(Q) Cd (Q) C1 (Q) C2 (Q)
求其最大值
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数理金融·第2章 12
第一节 函数和微积分的应用
利用多元函数求极值：
R Q Cd Q C1 0 Q1 Q Q1 Q Q1 Q1 R Cd Q C1 Q ( ) ( MR MCd ) MC1 0 Q Q Q1 Q1 Q
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数理金融·第2章 9
第一节 函数和微积分的应用
（六）利用指数、对数函数计算时间最优问题
例：为投资买入的土地以下面的公式增值：
V 1000e
3
t
在连续复利下贴现率为0.09，为使土地的现值最大，应持有多久？ 求解此问题的关键是求出现值P。
P 1000e t e0.09t
3
数理金融
第二章 基本数学方法
一、函数和微积分的 应用 二、线性代数的应用 三、随机过程的应用
数学方法的基本应用 原理和应用技巧
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西方经济学·微观·第2章 1
第一节 函数和微积分的应用
主要学习函数和微积分在利率分析、边际分析、银行按揭贷款 等方面的应用 一、数理金融中的指数和对数函数 （一）连续复利和实际利率 给定本金P，每年以利率i计 算复利一次，t年后终值F为： 如果每年计算复利m次，t年 后终值为：
第一节 函数和微积分的应用
（二）运用可分离变量微分方程求投资函数
投资的变化率将影响经济的总需求和生产能力，运用微分方程 寻找经济增长的时间路径，并沿该路径增长 例：若边际储蓄倾向和边际资本——产出变化率K都是常数， 计算可达到预期增长所需的投资函数。
dY 1 dI 总体需求的变化等于投资的变化乘以1/s， dt s dt
对于负增长率，如折旧或贬值，公式中的i或r为负数。 例：求100元本金，以10%复利两年的终值。 （1）每年计算复利一次（2）半年计算复利一次 （3）连续复利计算
0.1 22 F 100(1 0.1) 100(1 ) 100e0.12 2
2
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数理金融·第2章 3
假定市场中价格的变化率dP/dt是 正的，它是关于超额需求Qd-Qs的 线性函数。
dP m(Qd Qs )m 0 dt
分析在什么条件下，当t→∞时，P(t)将趋近与上式均衡价格, 这个条件就是市场上的动态价格稳定的条件。
1 PQ1 C1 (Q1 ) P MC1 1 1 2 P2Q2 C2 (Q2 ) P2 MC2
因此划拨价格制定的条件是：
利润最大化
P MC1 NMR1 (MR MCd )MP 1 1 P2 MC2 NMR2 (MR MCd )MP2
1
(MR MCd )MP MC1 NMR1 MC1 0 1
为了使 母公司 利润最 大化
MC1 NMR1 (MR MCd )MP 1
MC2 NMR2 (MR MCd )MP 2
数理金融·第2章 13
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第一节 函数和微积分的应用
两个上游部门的利润分别为
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数理金融·第2章 11
第一节 函数和微积分的应用
（三）划拨价格的决定机制
假定某跨国公司由三个部门组成，两个上游部门，一个下游部门。 两个上游部门的产量为Q1和Q2，相应成本为C1和C2，下游部门 的产量为Q，Q=f（K，L， Q1，Q2 ），公司除了上游部门的成本 外，还有下游部门的成本Cd（Q）；两个上游部门生产的中间产品 的划拨价格分别为P1和P2，下游部门的销售收入为R；当三个部门 各自达到利润最大化时，公司的利润最大化。 设该企业的总利润为
例：边际储蓄倾向 ，当收入是25时，储蓄减少3.5， 既当Y=25时，s=-3.5，求储蓄函数。
1 ds 0.5 0.2Y 2 dY
3 4
7 4
7 4
s 0.5 0.2Y dY 0.5Y 0.4Y c Y 25, s 3.5 c 14
（二）消费者剩余和生产剩余的测度（略）
第一节 函数和微积分的应用
（二）实际利率与名义利率 相同的本金及相同的名义利率但终值不同，即实际利率不同
实际利率记为：ie，则
P(1 ie )t P(1
i mt ) m
可得：
i m ie (1 ) 1 m
若为连续复利，m→∞，有：
ie er 1
例：计算上例中三种情况的实际利率
差分方程表示的是因变量和滞后的自变量之间的关系，这些 变量在离散的时间区间内变化。假定消费量是前一期收入的 函数，那么
Ct C0 cYt 1 , Yt Ct It
若It I0 , 则Yt C0 cYt 1 I0
设b c, a C0 I 0 Yt a bYt 1
例如：
MC dTC TC MCdQ VC C VC FC dQ
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数理金融·第2章 16
第一节 函数和微积分的应用
例：给定净投资率 I (t ) 140t ，且当t=0时初始资本存量为150， 求资本函数。
3 4
Kt 140t dt 80t c 80t 150
P 1
S 应贴利息I S P 1 1 nR
I SnRP2 S I
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第一节 函数和微积分的应用
例：面值5000元的汇票，20天后到期，银行月息为0.6%， 求贴息额与兑现额 应得兑现额是4980.08 应贴利息：19.92 实贴利息：20 实际兑现额：4980
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数理金融·第2章 6
第一节 函数和微积分的应用
（四）分期付款
（1）成交时取货，企业需计算现值 （2）货款付清后取货，消费者计算终值 （3）向银行借款购买商品，以后分期偿还 （4）分期付款在半途变更付款条件 例：汽车每辆销售价100000元，成交时付款34000元，其余 的分11个月付款，即每月6000元，试以月息0.42%求其现值。
陕西科技大学理学院 数理金融·第2章 18
第一节 函数和微积分的应用
dP m(Qd Qs ) m[(c bP) ( g hP )] dt
dP m ( h b ) P m (c g ) dt
vdt
令v m(h b), z m(c g )
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数理金融·第2章 15
第一节 函数和微积分的应用
三、数理金融中积分方法的应用
（一）净投资时间积分的测度（连续变换） 净投资I定义为时间t内资本存量构成K的变化率
I (t ) dK (t ) K (t ) dt
K t I (t )dt K (t ) C K (t ) K 0
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数理金融·第2章 14
第一节 函数和微积分的应用
例：某生产赛车的跨国公司有两个部门组成，上游生产引擎 下游组装赛车。该车需求曲线为：P=20000-Q。已知上游部门 的成本是CE=2QE2，下游部门的成本为CA=8000Q，求引擎的 划拨价格PE，赛车的产量Q，引擎的产量QE和赛车的价格PA？
第一节 函数和微积分的应用
例：某人贷款金额为20万元，年利息为6%，计划办理5年 银行按揭，每个月月末影响银行还款多少？
P 200000, i 6% /12 0.5%, n 5 12 60 A 3868
问题（1）还款总数为多少？ （2）所付利息总额为多少？ （3）若为月初还款，如何计算？ （4）若遇到利息调整，如何计算？
A P 34000 [1 (1 i ) n ] 98366.63 i
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第一节 函数和微积分的应用
（五）银行贴现 企业间存在商业信用，企业可以签发远期汇票，当未到期汇票 的持有者向银行要求兑现，就需要计算贴息额和兑现额 设票面金额为S，离到期时 间为n天，日息为R，则应 的兑现额： 银行实际业务贴付利息和 实得兑现额为：
P A A A A 1 n [1 ( ) ] 2 n 1 i (1 i) (1 i) i 1 i
A P
i 1 (1 i) n
上式又成为资金还原公式，后一个表达式成为资金还原系数 常用（A/P，i，n）表示，可查福利表计算
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F P(1 i)t
i mt F P(1 ) m
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数理金融·第2章 2
第一节 函数和微积分的应用
如果利率为100%，一年内 连续计算复利，终值为： 对于非100%的利率r，及非 一年的时期t，终值为：
i mt F P lim(1 ) Pe m m
F Pert
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数理金融·第2章 10
第一节 函数和微积分的应用
二、数理金融中微分方法的应用 （一）边际效用函数分析 例：已知总成本函数TC=Q3-18Q2+750Q，利用微分知识做出 总成本、平均成本和边际成本三者关系的图形。
（二）经济函数最优化
例：已知一个企业的总收益水平是R=4000Q-33Q2，总成本 函数C=2Q3-3Q2+400Q+500，设Q>0，求最大利润
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第一节 函数和微积分的应用
（三）银行按揭贷款 先在银行贷款，然后分期还款；有等额偿还和等本金偿还。 银行按揭可归纳为数学问题：贷款P元，年利率r，分n期等额 偿还，每期应还多少？ 一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r，月息为i=r/12， 设每期偿还A元，则n期还款折现的总和应等于贷款总和， 有现值公式知：
c g m ( h b ) t c g )e hb h b
价格曲线P(t ) ( P(0) P)em(hb)t P
h b 0 P(t ) P(t )
只要h≥b，拥有正斜率需求函数或负斜率供给函数的市场 也将是动态稳定的。
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1 2
1 2
第一节 函数和微积分的应用
四、数理金融中微分方程和差分方程的应用 （一）运用微分方程决定动态平衡点
微分方程可用与决定市场均衡模型的动态平衡，它描述出在 不同的宏观经济条件下，价格增长的时间路径，也可以估计 资本函数，并根据边际成本和边际收入函数估计总收益函数 例：
a a t )b ,b 1 y ( y0 求解 t 1 b 1 b yt y0 at , b 1
( A ze vdt dt ) Ae vt z 当t 0时, P (0) A z A P (0) z P(t ) e v v v
z vt z P(t ) ( P(0) )e (还原) v v
P(t ) ( P(0)
Ie( s / K )t C
t 0, I (0) C,
I Ce( s / K )t
I I (0)e( s / K )t
投资量必须以由s/K决定的常数比率即储蓄率与资本——产出 率之比增长
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第一节 函数和微积分的应用
（三）运用差分方程制定滞后收入决定模型
生产能力的变化等于资本存量的变换乘以边际资本——产出 比率的倒数
dQ 1 dK 1 dK I ( I) dt K dt K dt
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数理金融·第2章 20
第一节 函数和微积分的应用
当生产力充分利用时
1 dI 1 1 dI 1 Idt dI s dt 0 I I K s K s dt K s ln I t c K
(Q) R(Q) Cd (Q) C1 (Q) C2 (Q)
求其最大值
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第一节 函数和微积分的应用
利用多元函数求极值：
R Q Cd Q C1 0 Q1 Q Q1 Q Q1 Q1 R Cd Q C1 Q ( ) ( MR MCd ) MC1 0 Q Q Q1 Q1 Q
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数理金融·第2章 9
第一节 函数和微积分的应用
（六）利用指数、对数函数计算时间最优问题
例：为投资买入的土地以下面的公式增值：
V 1000e
3
t
在连续复利下贴现率为0.09，为使土地的现值最大，应持有多久？ 求解此问题的关键是求出现值P。
P 1000e t e0.09t
3
数理金融
第二章 基本数学方法
一、函数和微积分的 应用 二、线性代数的应用 三、随机过程的应用
数学方法的基本应用 原理和应用技巧
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第一节 函数和微积分的应用
主要学习函数和微积分在利率分析、边际分析、银行按揭贷款 等方面的应用 一、数理金融中的指数和对数函数 （一）连续复利和实际利率 给定本金P，每年以利率i计 算复利一次，t年后终值F为： 如果每年计算复利m次，t年 后终值为：
第一节 函数和微积分的应用
（二）运用可分离变量微分方程求投资函数
投资的变化率将影响经济的总需求和生产能力，运用微分方程 寻找经济增长的时间路径，并沿该路径增长 例：若边际储蓄倾向和边际资本——产出变化率K都是常数， 计算可达到预期增长所需的投资函数。
dY 1 dI 总体需求的变化等于投资的变化乘以1/s， dt s dt
对于负增长率，如折旧或贬值，公式中的i或r为负数。 例：求100元本金，以10%复利两年的终值。 （1）每年计算复利一次（2）半年计算复利一次 （3）连续复利计算
0.1 22 F 100(1 0.1) 100(1 ) 100e0.12 2
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