反比例函数图象与图形面积
反比例函数与坐标轴围成的面积
一、反比例函数的定义与特点反比例函数是一种特殊的函数关系，其定义形式为y=k/x，其中k为非零常数。
在反比例函数中，x和y之间的关系是倒数关系，即x越大，y越小；x越小，y越大。
反比例函数的图像通常呈现出由一条横轴和一条纵轴围成的超出范围的特殊形状。
二、反比例函数的图像及性质对于反比例函数y=k/x而言，其图像通常为从第一象限一直延伸到第四象限的一条曲线，图像特点为：1. 与坐标轴交点- 当x=0时，y=无穷大，即反比例函数图像与y轴有一个渐近线；- 当y=0时，x=无穷大，即反比例函数图像与x轴有一个渐近线。
2. 对称性反比例函数的图像具有关于原点对称的特点，即对于图像上的任意一点P(x,y)，其关于原点O的对称点P'(-x,-y)也在图像上。
3. 导数的性质反比例函数y=k/x的导数为y'=-k/x^2，即导数的绝对值随着x的增大而减小，因此反比例函数的导数曲线呈现出逐渐下降的趋势。
三、坐标轴围成的面积对于反比例函数y=k/x而言，当x轴、y轴和反比例函数围成一个封闭的区域时，我们可以计算这一区域的面积。
这个面积的计算可以分别计算x轴、y轴和反比例函数所围成的三个三角形的面积，然后相加。
具体而言，设反比例函数y=k/x与x轴和y轴所围成的区域为A，则区域A的面积可以表示为：A = 2∫[a, b] k/x dx其中，[a, b]为反比例函数y=k/x在定义域内的区间，∫表示定积分。
根据定积分的性质，我们可以对反比例函数进行积分计算，从而求得区域A的面积。
四、实例分析举例来说，我们考虑反比例函数y=2/x在区间[1, 3]内的图像与x轴、y轴所围成的区域。
首先对反比例函数进行积分计算：∫[1, 3] 2/x d x = 2ln|x| |[1, 3] = 2(ln|3| - ln|1|) = 2ln(3)反比例函数y=2/x在区间[1, 3]内与x轴、y轴所围成的面积为2ln(3)。
苏科版八年级数学下册11.2《反比例函数的图像与性质-面积问题》课件
变式1：如图，过反比例函数 y 2 (x 0)图象上任意两 点A、B分别作x轴的垂线，垂足分x别为C、D，连结OA
、OB，设AC与OB的交点为E，ΔAOE与梯形ECDB的
面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 (B )
A．S1>S2
B．S1=S2
C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
11.2 反比例函数的图像与性质 ——面积相关问题
回顾
如图,点P（m，n）是反比例函数 y k
x
图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,
垂足分别是点A、B，则S矩形OAPB=____k____.
结论1：
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
B P(m,n)
积为——8—— 。
F E
练习3 利用点求图形的面积或函数解析式
如图，已知双曲线 y k (x＞0)经过矩形OABC
x
边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF
的面积为2，则k＝__2___.
练习3利用坐标求图形的面积或函数解析式
变式1：如图，双曲线 y k (k 0)经过矩形OABC的
B P(m,n)
y轴）的垂线，所得直角三角
OA
x
形的面积S为定值，即S= 1 |k| .
2
回顾
图中这些三角形的 y 面积相等吗？
yk x
O
x
知识点
y k (k 0) x
y PB
y P
x A0
0Q
x
S矩形 k
k S三角形
2
例1 已知解析式 求图形的面积
反比例函数与图形面积
计算定积分
利用定积分的几何意义， 计算直线与双曲线所围成 的图形面积。
注意事项
在计算过程中，需要注意 积分上下限的确定以及被 积函数的正负问题。
参数方程在面积计算中应用
参数方程表示
对于某些复杂图形，使用 参数方程表示更为方便。
面积元素计算
根据参数方程，计算面积 元素并对其进行积分。
注意事项
在使用参数方程计算面积 时，需要确保参数范围选 取合适，且要注意参数方 程的正负问题。
02
圆形面积计算：根据圆形面积公式$S = pi r^2$（其中$r$为圆形半径）， 计算圆形区域的面积。
03
反比例函数图像面积计算：通过极坐 标下的定积分计算反比例函数图像在 圆形区域内的面积，即 $int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(theta)}^{r_2(theta)} frac{k}{r} rdrdtheta$（其中$k$为反 比例函数的常数，$theta_1$和 $theta_2$为交点极角，$r_1(theta)$ 和$r_2(theta)$为交点极径）。
指数函数图像与 $x$ 轴围成的封闭 图形面积可以通过定积分
$int_{x_1}^{x_2} a^x dx$ 来计算， 其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是指定的积分
上下限。
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的图像是一个对数曲线。 当 $a > 1$ 时，曲线上升；当 $0 < a < 1$ 时，曲线下降。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值逐渐减小。
当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像位于 第一、三象限；当 $k < 0$ 时，反比例 函数的图像位于第二、四象限。
反比例函数中的面积很全面课件
05
反比例函数中的面积的深入探讨
面积的几何意义
面积
01
表示一个平面图形所占的范围。
计算方法
02
通过数格子或使用公式计算。
几何意义在反比例函数中的应用
03
通过图形直观地理解反比例函数的性质和变化规律。
面积与反比例函数的关系的深入理解
1 2
反比例函数的图像
双曲线，分布在两个象限内。
面积与反比例函数的关系
与幂函数的联系
幂函数和反比例函数在形式上也有所不同，但它们在某些情况下也可以相互转化 。例如，当反比例函数的分子和分母都为常数时，它可以转化为幂函数的形式。 这种转化有助于我们更好地理解和应用这两个函数。
幂函数和反比例函数在图像上也有所不同。幂函数的图像是一条直线或者是一个 点，而反比例函数的图像是双曲线。但它们在坐标轴上的交点可以通过求解方程 得到，这对于解决一些实际问题非常有用。
，即需求量与价格成反比。
在数学问题函数可以用于解决一些与面积和体积有关的 问题，例如计算由反比例函数图像围成的区域的面积。
概率论
在概率论中，反比例函数用于描述某些事件的概率分布，例如泊松 分布。
数列
在数列中，反比例函数可以用于研究数列的性质和规律，例如等差 数列和等比数列的通项公式。
01
02
03
奇偶性
由于反比例函数的图像关 于原点对称，因此它是奇 函数。
单调性
在各自象限内，反比例函 数是单调递减的。
有界性
反比例函数的值域是除0 以外的所有实数，因此它 是无界函数。
02
反比例函数中的面积
面积的基本概念
面积
一个平面图形所占的二维 空间大小，通常用数值表 示。
中考数学复习指导：反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积求解方法
所得矩形的面积为|k|,这是系数 k 的几何意义，明确了 k 的几
何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题：
Y
Nபைடு நூலகம்
A
OM X 图1
1、求函数的解析式
例 1 如图 2 所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y = kx +1的图象与反比例函数 y = 9 x
的图象在第一象限相交于点 A ．过点 A 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点 B 、 C ．如果
解:(1)四边形 AOBP(O 为坐标原点)的面积为 2,k=2.
⑵ x +1 = 2 , 解得 x=-2 或 x=1. x
⑶由图象得当-2＜x＜0 或 x＞1 时,满足 y1 ≻ y2 .
点拨:反比例函数常与一次函数结合起来考查,而反比例函数独有的特性就是反比例函 数图象上任意一点向坐标轴做垂线,形成矩形的面积为|k|.
S1
B
S2
O
x
图3
例 3 如图 4，A、B 是函数 y = 2 的图象上关于原点对称的任意 x
图4
两点，
BC∥ x 轴，AC∥ y 轴，△ABC 的面积记为 S ，则（ ）
A． S = 2
B． S = 4
C． 2 < S < 4
D． S > 4
解析 ∵A、B 是函数 y = 2 的图象上关于原点对称的任意两点， x
6.确定自变量的取值范围
例
8
已知一次函数
y1
=
x
+ 1,
点
P
在反比例函数
y2
=
k x
(k
≻
0)
的图象上,PA⊥x
轴,垂足为
A,PB⊥y 轴,垂足为 B,且四边形 AOBP(O 为坐标原点)的面积为 2.
反比例函数与坐标轴围成的面积
在物理问题中的应用
描述物体的运动规律
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些 物体的运动规律，如简谐振动、匀速圆周运 动等。通过反比例函数与坐标轴围成的面积 ，可以计算物体在特定时间内的位移、速度 等物理量。
解决物理最值问题
在物理问题中，有时需要求某个物理量的最 值，如最大速度、最小加速度等。通过反比 例函数与坐标轴围成的面积，可以建立相应 的数学模型，进而求出最值。
已知反比例函数 $y = frac{8}{x}$，求其与坐标 轴在第二象限内围成的面 积。
• 同样根据公式，$S = \frac{1}{2} |k| = \frac{1}{2} \times 8 = 4$。注意在第二象限 内，$k$ 的值为负，但 计算面积时取绝对值。
05
反比例函数与坐标轴围成 的面积的性质
VS
面积的变化具有对称性。对于原点对 称的反比例函数，其在第一象限和第 三象限（或第二象限和第四象限）与 坐标轴围成的面积是相等的。
面积的性质总结
01
反比例函数与坐标轴围成的面积具有连续性和对称性
。
02
面积与反比例函数的参数具有反比关系和平方正比关
系。
03通过研究面积的性质，源自以进一步了解反比例函数的反比例函数与坐标轴围成的 面积
汇报人：XXX 2024-01-22
目 录
• 引言 • 反比例函数的基本性质 • 坐标轴与反比例函数的交点 • 反比例函数与坐标轴围成的面积的计算 • 反比例函数与坐标轴围成的面积的性质 • 反比例函数与坐标轴围成的面积的应用
01
引言
目的和背景
研究反比例函数与坐 标轴围成的面积在数 学和实际应用中的重 要性。
03
反比例函数与坐标轴围成的面积
反比函数图像上四种三角形的面积
反比函数图像上的四种三角形的面积函数是解决实际生活问题的重要模型，在近几年各省市的考题中，对于函数的考查比例占有相当重的份量，绝大部分是考查考生对其基本概念、图象性质的理解和应用，甚至成为中考压轴题的大类。
反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。
结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。
设P （a ，b ）是反比例函数y=xk（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x轴，垂足为A ，三角形PAO 的面积是S ，则S k 2=结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。
设P （a ，b ）是反比例函数y=x k（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ，三角形PBO 的面积是S ，则S k 2=。
结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、kx 襄樊市第四十七中学 熊沙 图（1）2）B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。
证明：I因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=x k（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，所以，x k xk1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（11k kk ，1kk ），当x =-11k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-11k kk ，-1kk ），所以，OC 的长度是11k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积=21×OC ×AC+21×OC ×BD =21×11k kk ×1kk +21×11k kk ×|-1kk | =21k+21k=k 。
反比例函数与几何图形的面积
反比例函数图象与几何图形的面积 签名_______一. 反比例函数与矩形面积 1. 如图，P 是反比例函数y kxk =≠()0的图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求这个反比例函数的解析式。
二. 反比例函数与三角形面积 2．如图，点A 在反比例函数y kxk =≠()0的图象上，AB 垂直于x 轴，若S AOB ∆=4，那么这个反比例函数的解析式为_____________。
评析：如图，若A 点是反比例函数y k xk =≠()0图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积=ABOC S ；三角形AOB 的面积=∆AOB S _____,常做的辅助线是过图像上的点做X 轴或者Y 轴的垂线构建矩形或者直角三角形。
1．如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=1的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若∆ABC 面积为S ，则________.练习：1. （2010湖北孝感）如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上， 且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 2. 如图，A 、B 是函数y x=1的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，∆ABC 的面积为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 12<<SC. S ＝2D. S >23、 如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=2的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为____________。
4、如图，反比例函数y=xk(x>0)与矩形OABC 的边AB 、BC 交于F 、E 两点，且BE=CE ，四边形OEBF 的面积为2 ；求三角形OAF 的面积和k5、如图，双曲线)0(2>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .x。
人教版反比例函数图象中的面积问题
思考
图中的这些矩形面积相等吗？
结论：
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
y k x
O
x
如图，已知点P(m,n)在函数y= k （k＞0）
x
的图像上，PB⊥y轴，垂足为B，O’A在x轴
反比例函数图象中的面积问题
y
y
0
x
0
x
探究1 反比例函数与矩形的面积
k 已的象足知图(上 分2点像)点过 的 别上PPP 一是(（分 m，点点m,那n,A，过)、么别 在n点x）Bm函轴 P，是分n,数作 则y反=别轴 yS比y向2矩=形例xO的 轴函kAxP、B数.,=垂 y_垂 轴y_|_作k_kx|_足 垂(线 _k_≠线_0.),分 垂图A,B,别
B P(m,n)
(或y轴）的垂线，所得直 O’ O
x
角三角形的面积S为定值，
即S=
1 2
|k|
.
探究3
任意正比例函数与反比例函数 图象交于A、B两点，那么
y k (k 0) x
△ABC的面积为多少呢？
y
A
C
D
图7
x
B
反比例函数与正比例函数围成的图形面积
变式：任意正比例函数与反比例函数 y＝ k 图像相交，
则a-b的值是多少？（中考题）
⊿AOB的面积。
图中面积相等的图形有哪些？
y
y k x
O
x
学会寻找图像中的基本构图、寻找单位面积 矩形或三角形、寻找变化中的不变量
拓展.如图，已知点A，C在反比例函数 y 的图象上，点B，D在反比例函数 y b(b
9.2 反比例函数图象中的面积问题
图象上的面积1
☞
y
过P分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为A, B,
B
P(m,n) A
o
x
S矩形OAPB＝ k
图象上的面积2
☞
k 设P(m, n)是双曲线y (k 0)上任意一点, x 过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
y P(m,n) o A x y
A
o
P(m,n)
，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作
x 轴与y
轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
S1，S2，S3 ，则
y
3 S1 S 2 S3 2 ．
思考：1.你能求出S2和S3的值吗？ 1 1 3 6 2.S1呢？ 1
O
2 y （x>0) x
P1 P2
P3 3
P4 4 x
k (2) 在双曲线 y (X>0) 上 x
y
O
x
3 (3)如图3，点A、B是双曲线y 上的点， x 分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 若S阴影 1，则S1 S 2
y
A
S1 S2
O
图3
B
x
2 （x>0) 的图象上，有点 P (4) 如图，在反比例函数 y x 1，P 2，P 3，P 4
如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与反比例
函数
的图像交于点E、F，其中点E、
F分别是BC、AB的中点，若四边形OFBE的面积
S四边形 OFBE 2 ，
则k的值_______
y
C
E
B F
O
A
x
变式一
反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数是指一种具有如下形式的函数：y=k/x，其中k是常数。
在解决反比例函数的面积问题时，有以下几种解题技巧：
1. 确定函数图像：反比例函数的图像通常是一条双曲线。
确定函数图像可以帮助我们更好地理解函数的性质和规律，从而更好地解决面积问题。
2. 确定积分区间：反比例函数的积分区间通常是有限的，因为函数在x = 0处不存在。
在解决面积问题时，需要确定积分区间以便进行积分计算。
3. 利用对称性：反比例函数具有对称性，即在y轴和x轴上对称。
在解决面积问题时，可以利用对称性简化计算。
4. 利用换元法：在进行积分计算时，可以利用换元法将反比例函数变形成容易积分的形式，从而简化计算。
5. 利用图形面积计算公式：反比例函数的面积可以用图形面积计算公式求解。
这种方法适用于简单的反比例函数图形，但对于复杂的反比例函数图形不太实用。
总之，在解决反比例函数的面积问题时，需要充分理解函数性质和规律，灵活运用解题技巧，才能得到准确的答案。
- 1 -。
与反比例函数的图象有关的面积问题
1
解析 由反比例函数的图象关于原点对称的性质
知 : 图中两个阴影部分 面积的和 恰好 是一个 圆的面 积 ,
而已知圆与 x轴相切 , A点纵坐标为 2,即 圆的半径为 2, 所求面积 = 22π = 4π.
例 3 ( 07年荆州 中考 ) 如图 3,边 长为 4 的正 方形
AB CD 的对称中心是坐标原点 O, AB ∥x轴 , BC∥y轴 , 反
足为 C , 过 点 B 作 y 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 D. 记 △AOC , △BOD 的面积分别为 S1 和 S2 ,则 S1 和 S2 的大小关系怎 样?
解析 在如图 1 中 ,设点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则
S1
=
1 2
x1 y1 , S2
=
Rt△AOD中 , 因为 ∠AOD = 30°,所 以 , AO = 2 y,根 据勾 股
定理得 :
AO2 = OD2 + AD2 ,即 4 y2 = x2 + y2 ,即 x2 = 3 y2
①
由点
A ( x,
y) 在双曲线
y
=
3 x;
( x > 0 ) 上知 : xy =
3,
于是 x2 y2 =3,
8, 选 D.
图 1 图 2
例 2 (改编题 ) 已知 ,如图 2,正比例函数 y = k1 x与
反比例函数
y=
k2 的图 象相交于 x
A, B 两点
( k1
> 0, k2
>
0) , A点坐标为 ( 4, 2) ,分别以 A、B 为圆心 的圆与 x轴相
切 ,则图中两个阴影部分面积的和为
例谈与反比例函数有关的图形面积计算
例谈与反比例函数有关的图形面积计算反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线，双曲线上任一点的横坐标与纵坐标的乘积是一定值k，所以过双曲线上任意一点向x轴（或y轴）引垂线，由该点、垂足和坐标原点所构成的三角形的面积都相等，等于│k│。
类似地，过双曲线上任一点分别向x轴和y轴引垂线，由垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为定值│k│。
反之，已知上述三角形或矩形的面积，求反比例函数的解析式，则应注意图象所在的象限；对于k值进行恰当的取舍，或应注意多解。
1题:如图1所示，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有三点a、b、c，经过此三点分别向x轴引垂线，交x轴于d、e、f三点，连接oa、ob、oc，记△oad、△obe、△ocf的面积分别为s1、s2、s3，则有（）图1a、s1＜s2＜s3b、s1＞s2＞s3c、s1＝s2＝s3d、s3＜s1＜s2分析：∵s△oad＝od·ad＝xa·ya＝1同理s△obe＝s△ocf＝s△oad＝1答案：c2题:如图2，在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上任取一点p。
过p分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为n、m，则四边形onpm的面积为___________。
图2分析：s矩形pnom＝pn·on＝│xp│·│yp│＝│xp· yp│＝6答案：63题．如图3所示，a、b是反比例函数y＝的图象上关于原点o 对称的任意两点。
ac平行于y轴交x轴于d点，bc平行于x轴。
求：△abc的面积、△abd的面积、△bod的面积。
分析：由题意知，△abc是直角三角形，s△abc＝bc·ac，因为a、b两点关于原点对称，所以，设a的坐标为（xa、ya）且（xa＞0，ya＞0）则b的坐标为（－xa、－ya）、c点坐标为（xa、－ya）线段ac＝2ya bc＝2xa因为点a、b在在反比例函数y＝上；xa·ya＝1所以，s△abc＝bc·ac＝·2xa·2ya＝2xaya＝2s△abd＝s△abc－s△bcd＝s△abc－·2 xa·ya＝2－1＝1或s△abd＝s△aod＋s△bod＝×od·ad＋×od·│yb│＝│xa· ya│＋│xa ·ya│＝＋＝1s△bod＝s△abd－s△aod＝1－＝或s△bod＝×od·│yb│＝│xa· ya│＝解略拓展：若a、b是反比例函数y＝(k≠0)的图象上关于原点对称的任意两点。
反比例函数面积问题
反比例函数面积问题
反比例函数面积问题通常是指与反比例函数相关的图形面积的计算
问题。
例如，给定反比例函数y=k/x的图像与坐标轴所围成的区域，要求该区域的面积。
解决这类问题通常需要应用积分学知识，因为反比例函数的图像通常是一个双曲线，与坐标轴围成的区域是一个不规则图形。
通过积分，我们可以求出这个不规则图形的面积。
具体地，如果要求反比例函数y=k/x在第一象限内与x轴、y轴所围成的区域面积，可以先求出该函数在第一象限内的图像与x轴之间的面积，然后再乘以2（因为反比例函数在第一、三象限内是对称的）。
这个面积可以通过定积分来计算，积分区间是从0到正无穷大，被积函数是y=k/x。
需要注意的是，由于反比例函数的图像在x轴和y轴上都趋于无穷大，
因此所求得的面积也是无穷大的。
但是，在某些特定情况下，例如给定一个特定的矩形区域，我们可以通过计算该矩形区域内反比例函数图像的面积来得到一个有限的数值。
总之，反比例函数面积问题需要根据具体情况进行具体分析，通常需要应用积分学知识和几何知识来解决。
以上是对于反比例函数面积问题5的回答，希望对你有所帮助。
如何求反比例函数图象中相关图形的面积
因为
S△AOB=
1 2
OB·AB= 1 2
x
·y
= 1 x y= 1 , 所以 S 22
= ABCD 4S△AOB=2.
责 任编 辑 / 沈红艳 czsshy@
的 我
世
界
我
36
喜 欢
数 学 .com
★
分析: 在坐标平面上求矩形的面积可借用坐标, 应用 坐标的特点找到矩形各顶点坐标, 再利用矩形面积公式,
原点 O 对称为的任意两点, AC∥y 轴, BC∥x 轴, 记
△ABC 的面积为 S, 则
.
A.S=1 B.1<S<2 C.S=2 D.S>2
分析: 应用对称点坐标的特点分别找出 A, B, C
各点坐标, 然后再根据求得的坐标求三角形的面积.
图5
解 : 设 A( x0, y0) , 则 B( - x0, - y0) .
责 任 编辑 / 沈红艳 czsshy@
的 我
世
界
我
38
喜 欢
例3
如图
3,
Rt△AOB
的 顶点
A
在双 曲 线
y=
m x
上,
且
S△AOB=3 ,
求
m
的 值.
思 路
分 析 : 利 用 S△AOB=3 这 个 条 件 确 定 m , 然 后 再 根 据 双 曲 线 所 在 象 限 确 定 m 方
的 符号 .
法
解: 设 A( x , y ) , 则 OB= x , AB= y ,
A. S= k
B. S= k
C. S=k D. S>k
Q
4
2
分析: 由于此三角形的面积为过 P 作两坐标 轴的垂
反比例函数关系式中k与图形面积的关系
作EB、FC、GD垂直于x轴，垂足分别为B、C、D，且 OB=BC=CD，△OBE的面积记为S1，△BCF的面积记为S2， △CDG的面积记为S3，若S1+S3=2，则S2= ．
变式：如图,直线 和双曲线 交于A、B亮点,P是线段AB上的
点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足 分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、 △BOD面积是S2、△POE面积是S3、则S1,S2,S3的大小 关系是（ ）
双曲线在第一象限内的图象如图所示作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于ab两点连接oaob则aob的面积为12yyxx??和1saof2在一次函数反比例函数的图象组合图形的面积计算要注意选择恰当的分解方法
专题习题课
反比例函数关系式中k与 图形面积的关系
k 点P为反比例函数 y 上任意一点，求 x S矩形OAPB
当堂检测：
1.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作 轴于点B，点P在x 轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。
当堂检测：
2.双曲线 在第一象限内的图象如图所示，作一条平 行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则 △AOB的面积为（ ） 3.如图，在直角坐标系中， A点 是 轴正半轴上的一个定点， 3 点 B是双曲线 y 上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， x △OAB的面积将会( ) A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小
5、根据面积求k值要注意图象的象限、K值的符号.；
x
2.如图，A、B两点在双曲线y= 4 上，分别经过A、B两点向轴作 ）
热身运动
3.如图，点A、B在反比例函数 (k>0，x>0)的图象上，过点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C， 若OM= MN= NC，△AOC的面积为6，则k的值为
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2 ).又因 为
A(4, 2)也在双曲线 y= kx上 , 所以可把 A(4,
2)代入
y=
kx, 得
2
= k, 所以 4
k=8.
(2)由 (1)得 k=8, 从而双曲线 y= kx即
为 y= 8x.因为双曲线和正比例函数的图象都 是中心对称图形 , 所以有 OA=OB, OP =OQ,
从而四边形 APBQ是平行四边形 .
设动点 C的坐标为 C(x, y). 因为点 C在第四象限 , 则 x>0, y<0, 所以 BC = x =x, AC = y =-y. 因为 BC· AC =6, 所以 x· (-y) =6, xy=-6, 所以 y= -x6(x>0). 这就是说 , 在变化过程中 , 所有的点 C组成 双曲线 y= -x6在第四象限的一个分支 . 评注 :本题实际上是 “双曲线 的面积不变 性 ” 的逆过程 .它告诉我们 , 由与本例相类似的 长方形或三角形的面积不变可推知双曲线及其 解析式 . 三 、反比例函数图象与梯形面积 例 5 (2007年湖 北省 荆州市 )如图 6, D为反比例 函数 :y= kx(k<0)图象上 一点 .过 D作 DC⊥ y轴于 C, DE⊥ x轴于 E, 一次函数
滨州市 )如图 2, 已知 M(2, 1)、N(2, 6)两点 , 反比例函
数 y= kx的图象与线段 MN
相交 , 过反比例函数
y=
k x
图象上 任意一点 P作 y轴
的垂线 PG, G为垂足 , 则 ■OPG的面积 S的取
值范围是 .
分析 :本题的关键是先求出系数 k的变化
范围 , 然后由 k的变化范围来确定面积 S的取
值范围 .根据题意 , 图象必与线段 MN相交 .因
为 MN平行于 y轴 , 故当双曲线过点 N时 , k的
值最大 ;当双曲线过点 M时 , k的值最小 .
解 :当双曲线 y= kx过点 M(2, 1)时 , k=
2;
当双曲线 y= kx过点 N(2, 6)时 , k=12,
所以 k的变化范围是 2 ≤ k≤ 12.
从而有 S■OPE =S■OAF, 所以 S■OAP =S梯形 , PEFA 又 S■OAP =6, 所以 S梯形 PEFA =6.
欲求点 P的坐标 , 可设为 (x, 8x), 又因为
点 A的坐标为 (4, 2), 所以
AF =2, PE = 8x, EF =4 -x.
由
S梯形 PEFA
=6得
1 2
于图中梯形 DCAE已被 y轴分割成两部分矩形
DCOE和 ■OCA, 所以可得 S矩形 DCOE +S■OCA =4, 由 OC =2, OA=2易得 S■OCA =2, 从而 S矩形 DCOE =2. 由于矩形 DCOE恰好 是双曲线 的特征矩
形 ,所以
S矩形 DCOE = k =-k(因为 k<0), 从而 -k=2, k=-2. 四 、反比例函数图象与平行四边形面积
根据面积公式
S=
1 2
k , 可知 ■OPG的
面积 S的取值范围是 1 ≤ S≤ 6. 例 2 (2005年浙江
省课 改实验 区 )两个 反
比例函数
y=
3x,
y=
6 x
在第一象 限内的图 象如
图 3所示 , 点 P1 , P2 , P3 ,
…, P2005 在反比例函数 y
= 6x的图象 上 , 它们的 横坐标分别是 x1 , x2 ,
y=-x+m与 y=- 3x+ 3
2的图象都过 C点 , 与 x轴分别交于 A、B两点 . 若梯形 DCAE的面积为 4, 求 k的值 .
解析 :先分析两个一次函数的图象 .因为一
次函数 y=- 33x+2的图象交 x轴 、y轴分别 于点 B、C, 所以可把 y=0代入得
y=- 33x+2 =0,
解得 x=2 3, 从而 B点坐标为 (2 3, 0), 把 x=0代入得 y=2, 从而 C点坐标为 (0, 2),
-x+2 =0, 解得 x=2, 从而 A点坐标为 (2, 0), 所以 OA=2.接着 从条件 “梯形 DCAE的面积为 4”出发着手建立 关于 k的方程 , 若直接用梯形面积公式计算 ,
必须用 k的代数式表示线段 DC、EA的长 , 但由
于点 D的坐标未知 , 所以线段 DC、EA的长不易 表示出 , 所以考虑把梯形面积作适当的转化 .由
所以 OB =2 3, OC =2; 又因为一次函数 y=-x+m的图象也经 过 C(0, 2), 所以可把 C(0, 2)代入 y=-x+m, 得 m =2, 从而一次函数 y=-x+m即为 y =-x+2, 又因为它的图象交 x轴于点 A, 所以 可把 y=0代入 y=-x+2得
· 10·
2008年第 5期
2008年第 5期
反比例函数图象与图形面积
江苏省泰州外国语学校 (225300)于志洪
如图 1, 对于双曲线 y
= kx(k≠ 0)上 任 一 点
P(x0 , y0 ), 恒有 x0 y0 =k(k 为定值 ).
进而可知 , 过反比例函
数 y= kx图象上任一点 P(x0, y0)作 PA⊥ x轴
(A)y=-
4 x
(B)y=
8 x
(C)y=-1x6 (D)y=-
8 x
答案 :选 (D).
2.(2006 年 内江 市 中考 题 )如图 10, 反比例函数图 象上一点 A与坐标轴围成的 矩形 ABOC的面积是 8, 则该 反比 例 函数 的 解 析 式为
. 答案 :反比例函数的解
析式为 y= 8x. 3.(2006 年兰州 市中
解 :因为 A为 y= 6x的图象上的任一点 , 所 以
S矩形 AEOH =6. 故 S矩形 ABCD =4 ×6 =24, 所以总费用为 15 ×24 =360(元 ). 答 :所需钢条一共花 360元 . 例 4 (2006 年江苏省 南通市 )某 电子游戏中 , 有 一个魔幻长方形 , 它的长与 宽都可任意伸长与缩短 , 但 面积保持不变 , 都是 6.若将 此长方形放在如图 5所示的 位置 , 并且长方形在变化过 程中 OA、OB始终在 x轴 、y轴上 , 则在此变化 过程中 , 所有的点 C组成怎样的线 ?为什么 ? 分析 :设点 C的坐标为 C(x, y), 则 BC = x =x, AC = y =-y. 因为在变化过程中长方形的面积不变 , 所 以 BC· AC =6, 故 x· (-y) =6, 即 xy=-6. 解 :在变化过程中 , 所有的点 C组成双曲线 的一个分支 .理由如下 :
(AF+PE)×EF=6,
即
1 2
(2
+ 8x)×(4
-x) =6,
解得 x1 =2, x2 =-8.
由于点 P在第一象限 , 所以舍去 x2 =-8,
· 11·
数理化学习
所以 x=2, 故点 P的坐标为 (2, 4). 附练习题 1.(2006 年山东省临沂市
中考题 )如图 9, 点 A是反比例 函数图象上的一点 , 自点 A向 y 轴作垂线 , 垂足为 T, 已知 S■AOT =4, 则此反比例函数的表达式 为 ( )
形 ,而
S■AOB
=
1 2
,
所以
,
不论
k取何正数 , 总有
四边形 ABCD面积 =4S■AOB =2.
例 7 (2007 年福建省
福州市 )如图 8所示 , 已知
直线 y= 1 x与双曲线 y= 2
kx(k>0)交于 A、B两点 ,
且点 A的横坐标为 4. (1)求 k的值 ;
(2)过原点 O的另一条直线 l交 y= kx(k
例 6 (2005年浙江省 宁波市 )如图 7, 正比例函 数 y=kx(k>0)与反比
例函数 y= 1x的图象相交
于 A、C两点 , 过 A作 x轴的 垂线 , 交 x轴于 B, 过 C作
x轴的垂线 , 交 x轴于 D.
求证 :当 k取不同正数时 , 四边形 ABCD的面积 是常数 .
证 :由题意易得 , 四边形 ABCD为平行四边
>0)于 P、Q两点 (P点在第一象限 , 且 P点的 横坐标小于 4), 若由点 A、B、P、Q为顶点组成的 四边形面积为 24, 求点 P的坐标 .
解析 :(1)由于点
A在直线
y= 1 2
x上 , 且
点 A的横坐标为 4, 所以可把 x=4 代入 y=
1 x, 得 2
y=2,
从而点
A的坐标为
(4,
考 题 )如 图 11, P1 、P2 、P3 是双曲线上的三点 , 过这 三点分别 作 y轴 的垂 线 , 得 到 三 个 三 角 形 P1 A1 O、 P2 A2 O、P3 A3 O, 设它们的面 积分别是 S1 、S2 、S3 , 则 ( )
(A)S1 <S2 <S3 (B)S1 <S3 <S2 (C)S2 <S1 <S3 (D)S1 =S2 =S3 答案 :选 (D). 4.(2006年呼和浩特市中考题 )如图 12, P 是反比例函数 y= k x(k>0)的图象上的任意
于点 A, 作 PB⊥ y轴于点 B, O为坐标原点 , 则
PA=BO = y0 , PB =OA= x0 .
从而
S■OPA
=
1 2
k,
S矩形 OAPB = x0 · y0 = k . 下面我们通过几个实例 , 说明反比例函数
的上述性质在解题中的应用 .
一 、反比例函数图象与三角形面积
例 1 (2006 年山东省