工程力学——压杆稳定
第10章压杆稳定
这表明用低碳钢Q235制成的压杆,仅在柔度≥100时, 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力,常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆,即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时,可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中,直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为:
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明,对各种柔度的压杆,总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素,如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等,都严重影响压杆的稳定,降低了临界
压力。而同样这些因素,对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ,
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态(图10–2b),
则原有的平衡状态是稳定平衡状态;
第十章
压杆稳定性的概念:
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时,撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态(图10–2c),则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置, 当干扰消除以后,它不但不能回到原有的平衡位置,而且 继续离去,那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态, 如图c 所示。
简明工程力学14章压杆稳定
1 Fcr ' = Fcr ' ' , tgα = , α = 18.43o 3
§14-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
一、 欧拉公式的应用范围 1.临界应力:压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
σ cr
Fcr = A
w Fcr
w=0;
代表了压杆的直线平衡状态。 代表了压杆的直线平衡状态。
此时A可以不为零。 此时 可以不为零。 可以不为零
l
w l 2 x
M (x)= Fcrw
x
B y (a)
B y (b)
w = A sin kx ≠ 0 失稳 失稳!!!
失稳的条件是: 失稳的条件是: sin kl = 0
kl = nπ
§14–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力: ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度,却不一定能 安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 :
1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 :
1.理想压杆:材料绝对理想;轴线绝对直;压力绝对沿轴线作用。 1.理想压杆:材料绝对理想;轴线绝对直;压力绝对沿轴线作用。 理想压杆
y
B y (c)
B (d)
x
§14-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 A C— D C B Fcr B Fcr B 一端固定 另端自由 Fcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
《土木工程力学》第6章
φ
λ
0 20 40 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 1.000 0.981 0.927 0.842 0.789 0.731 0.669 0.604 0.536 0.466 0.401 0.349 0.306 0.272 0.243 0.218 0.197 0.180 0.164 0.151 0.139 0.129 0.120 1.000 0.973 0.895 0.776 0.705 0.627 0.546 0.462 0.384 0.325 0.279 0.242 0.213 0.188 0.168 0.151 0.136 0.124 0.113 0.104 0.096 0.089 0.082 1.00 0.91 0.69 0.44 0.34 0.26 0.20 0.16
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四、临界应力的经验公式
对于中长杆和粗短杆,临界应力可以用经验公式(抛物线公
式):
cr = 0 –k2
(6-7)
来进行计算, 0、k都是和材料有关的参数。例如:
Q235钢
cr =(235-0.0068λ2)MPa
16Mn钢
(<p=132 ) (<p=109)
cr =(343-0.00161λ2)MPa
重复二、三次便可达到目的。
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例6-2 图示一根钢管支柱,管长l=2.5m,两端铰支,承受 轴向压力F=250kN 。截面尺寸为D=102mm , d=86mm ,材料
采用Q235钢,其容许应力[]=160MPa 。校核该柱的稳定性。 F 解 1)计算柱的长细比
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆,称为压杆。
如前所述,直杆在轴向压力的作用下,发生的是沿轴向的缩短,杆的轴线仍然保持为直线,直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下,是否发生屈服或破坏,由强度条件确定,这是我们已熟知的。
然而,对于一些受轴向压力作用的细长杆,在满足强度条件的情况下,却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲,称为屈曲,构件由屈曲引起的失效,称为失稳(丧失稳定性)。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后,将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后,物体能恢复原来的平衡状态,则称该平衡是稳定的;若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态,则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示,小球在凹弧面中的平衡是稳定的,因为虚箭头所示的干扰(如微小的力或位移)消除后,小球会回到其原来的平衡位置;反之,小球在凸弧面上的平衡,受到干扰后将不能回复,故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体,平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆,如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动(力或位移)时,杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲,如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小,横向的微小扰动消除后,杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置,即图11.2(a),平衡是稳定的;若轴向压力F足够大,即使微小扰动已消除,在力F 作用下,杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大,如图11.2(c)所示,直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下,压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置,扰动引起的微小弯曲也不继续增大,保持微弯状态的平衡,如图11.2(b)所示,这是不稳定的平衡。
如前所述,直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲,发生了屈曲就意味着构件失去稳定(失稳)。
工程力学压杆稳定ppt
0
铸铁 331.9 1.453
松木 39.2 0.199 59
3:小柔度杆(短粗压杆)只需进行强度计算。
——直线型经验公式 细长压杆。
ls
lP
临界应力总图[a]
细长杆—发生弹性屈曲 (llp) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (ls l< lp) 粗短杆—不发生屈曲,而发生屈服 (l< ls)
——直线型经验公式
B=0 sinkl • A =0
y FN
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
B=0 sinkl • A =0
若 A = 0,则与压杆处于微弯状态 的假设不符,因此可得:
sinkl = 0
(n = 0、1、2、3……)
y Fcr
临界载荷:
屈曲位移函数 :
临界力 F c r 是微弯下的最小压 力,故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最 小的轴弯曲。
l=50cm,
求临界载荷 .(已知
)
F
解: 惯性半径:
柔度: A3钢:
可查得
因此
l0 l< lp 可用直线公式.
例:截面为120mm200mm的矩形木柱,长l=7m,材料的弹性模量
E=10GPa,p=8MPa。试求该木柱的临界力。
解: 在屏幕平面内(xy)失稳时柱的两端可 视为铰支端(图a);
若在垂直于屏幕平面内(xz)失稳时, 柱的两端可视为固定端(图b)。
最小临界载荷:
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的欧拉公式
二、支承对压杆临界载荷的影响
两端铰支
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
两端固定
临界载荷欧拉公式的一般形式:
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支(球铰)的细长压杆,当压力
B
F达到临界力FCr时,压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态,
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件,求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度(长细比): L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆(中长压杆)及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p,其临界应力超过材料的
比例极限,属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算, 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中,a、b为与材料有关的常数,单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时,压杆已因强度问题而失效,因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内,压杆两端为固定端,=0.5,则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z>y,连杆将在xy平面内失稳(绕z轴弯曲),因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
工程力学15-压杆稳定详解
§15-3 临界载荷的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
1、挠曲线近似微分方程: EIy" M(x) Fy
引用记号:k 2 F y" k 2 y 0 EI
2、该微分方程的通解为
y Asin kx Bcoskx
压 杆
式中A、B为积分常数
在
微
3、杆的边界条件
FN
5 2
F
150kN
2.CD杆的临界压力:
xA A
C
F
B
yA 2m
3m FN
I (D4 d 4 ) (1004 804 ) 1012 2.9 106 m4
64
64
2.9106 mm4
16
Fcr
2
l
EI
2
2
200103 2.9 3.52 106
106
467103 N 467kN
态
FFF===cccr
rr
b) 微
弯 F1
平 衡
F>FF>cFr cr
c)
失 稳
F1
干扰力去除后恢 复直线状态
干扰力去除后 保持微弯
干扰力去除后继续 变形,直至倒塌
1.临界状态: 由稳定平衡向微弯平衡过度的状态。
2.临界载荷Fcr: 保 持 压 杆 稳 定 的 最 大 轴 向 压 力 , 使 压 杆 失
公式。
解:变形如图,其挠曲线近似微分方程为:
L
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
x
Px
y k 2 y k 2 M
M0
y
工程力学-细长压杆稳定性分析
E为材料的弹性模量,常用单位GPa
I
为横截面的轴惯性矩,常用单位 m 4或m m4
l
为压杆长度,常用单位m或mm
μ为压杆的长度因数,反映压杆两端支承对临界力的影响。
由欧拉公式
cr
得到
Fcr 2 EI A (l ) 2 A
令
2 i I/A 令
2E cr ( l / i) 2
10 22 3 Iz 8873.3mm 4 12
I y I z 压杆截面必绕y轴转动而失稳,因此将Iy代入公式,计算
截面对y轴的惯性半径。
iy
Iy A
1833.3 2.89mm 22 10
0.5 800 138.4 2.89
得到矩形截面柔度为
y
l
iy
y 138.4 101 采用欧拉公式计算临界应力
cr s
s
几种材料的相应数值。
例一矩形截面压杆,两端固定,已知b=10mm,h=22mm,l=800mm,
材料为Q235钢,弹性模量E=206GPa,试计算此压杆的临界力和临界
应力。
22
10
解:1)计算压杆的柔度
压杆两端固定,μ =0.5,截面对y轴和z轴的惯性矩为:
22 10 3 Iy 1833.3mm 4 12
d0=50mm ,最大起重量 F = 90kN ,材料为 Q235 钢,规定稳定安全因 数 nw 4 ,试校核该螺旋杆稳定性。
解: 1 )螺旋杆可以简化为下端固定,上端自由的杆,长度因数
μ =2。
2)计算柔度
i
I d 0 50 12.5mm A 4 4
《工程力学》第十六章 压杆稳定
• 式中:I和A都是与截面有关的几何量,如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积, 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力; • Plj——压杆临界压力; • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数; • [nw]——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件,
将式(16-10)及式(16-11),同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中[σw]——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知,压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下,临界应力与
柔度的平方成反比,压杆的柔度愈小,相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比,减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一,在条件允许的情况下,应尽可能地减 小压杆的长度。例如,钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14),为了提高其稳定性, 在顶杆中段增加一个抱辊装置,这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是,压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆,其λ已知,可直接查表163得φ,代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸,可采用逐次逼近法,即先
设定一个φ值,由式(16-14)计算出A值,然
后进行验算、调整,使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
工程力学压杆的稳定问题
稳定安全系数一般大于强度安全系数。
例题 : 1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一
端 固 定 、 一 端 铰 支 的 压 杆 。 已 知 杆 长 l=2m , 直 径 d=65mm,材料的E=210GPa,p=288MPa,顶杆工作 时承受压力F=18.3吨,取稳定安全系数nst=3.0。试校 核该顶杆的稳定性。
①
90
②
l
解:由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为:
N1 P cos , N 2 P sin
两杆的临界压力分别为:
2E I 2E I Pcr 1 2 , Pcr 2 2 l1 l2
要使P最大,只有 N1、 N2 都达
到临界压力,即
P
() 1 () 2
①
P cos P sin
2E cr 2 p
或写成:
2E p
令: 2 E p
p
欧拉公式的 适用范围:
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
如对A3钢,当取E=206GPa,σp=200MPa,则
E p p
2
2 206 109
200 106
应用欧拉公式
654 1012 2 (210 109 ) ( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
Fcr 925.2 103 5.16 n 3 18.3 10 9.8 F
该杆满足稳定性要求
> nst 3.0
x l时:v 0
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,)
n k l
压 杆 稳 定
l
i
则:
cr
2E 2
P
2E P
λ≥λP
工程力学与建筑结构
式中λP是表示能够使用欧拉公式时压杆的最小柔度值。 对于λ≥λP的压杆,通常称为大柔度杆。
当压杆的柔度λ<λP时,说明压杆横截面上的应力已超
过材料的比例极限σp,这时欧拉公式已不再适用。 这时,采用建立在实验基础上的经验公式。
σcr=a-bλ2
上式表明,压杆的临界应力与其柔度成二次抛物线关 系。式中,a、b为与材料性质有关的常数。使用时可查阅 工程手册。
工程力学与建筑结构
1.4 压杆稳定的实用计算 1. 压杆的稳定条件
F A
[ cr ]
式中[ cr ] cr / ncr ,称为稳定允许应力
2. 折减系数法
F [ ]
A
工程力学与建筑结构
(a) (b) (c) (d) 图3.46
工程力学与建筑结构
压杆失去原来直线形状下的平衡状态的现象称为压杆 丧失稳定性,简称失稳。
2.失稳过程和临界力
在临界状态时的轴向压力,称为压杆的临界荷载或临 界力,以Fcr表示。
1.3 欧拉公式
1. 欧拉公式
Fcr
2 El ( l ) 2
式中:E ——材料的弹性模量; l ——压杆横截面的惯性矩;
A
工程力学与建筑结构
(2)确定许用荷载 首先根据压杆的支承情况、载面形状和尺寸确定μ值
,其次计算A 、I、i、λ各值。然后根据材料和λ值从工程 手册中查出φ。最后按稳定条件计算许用荷载。
[F ] A[ ]
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
压杆稳定 1.1 工程中丧失稳定性的实例
工程力学11-压杆的稳定性分析与设计解析
11.1.3 三种类型压杆的临界状态 压杆的分类:
细长杆 ——当F >Fcr时容易发生弹性屈曲 当F≤Fcr时不发生屈曲
中长杆 ——当F >Fcr时发生屈曲,但不再是弹性的
粗短杆 ——不会发生屈曲,失效属于强度破坏
《工程力学》
11.2
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
长细比概念三类不同压杆判断
11.3.2 三类不同压杆的区分
ห้องสมุดไป่ตู้
因,屈曲在弹性范围内导出
故有:
scr =
Fcr A
≤[sp]
在比例极限内有效
稳定平衡构形到屈曲(不稳定平衡构形)是一个 过程。
介于这个过程之间的平衡构形——临界平衡构形
或称:“临界状态” 临界载荷
处于临界状态时,杆件所受的施压载荷
称:“临界载荷”,或临界力,Fcr
《工程力学》
11.1
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
令:当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”
细长杆 中长杆 粗短杆
—— l ≥ lp —— lp >l ≥ ls —— l < ls
细长压杆的临界载荷
山东建筑大学期末工程力学第11章压杆稳定
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题:一长为300 mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢 的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的 轴向压力为
一, 两端为绞支(球形绞支),长为 l 的 细长 压杆。
当 F 达到 FCr 时,压杆的特点是:保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2
m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为
E F cr cr A ( l / i )
l
i
称为压杆的柔度(长细比)。集中地反映了压杆的长度,杆端约
束,截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大,相应的 cr 越小,压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min
《工程力学压杆稳定》课件
压杆的应用案例
建筑
机械
压杆广泛应用于建筑领域,提供 结构稳定和支撑。
在机械工程中,压杆用于连接零 部件和传递力量。
通过案例演示,加深对压杆稳定的理解和应用。
桥梁
桥梁结构中的压杆可以增加桥梁 的稳定性和承重能力。
压杆稳定的条件
压杆稳定是杆件不发生屈曲的状态,包括杆件的截面形状、材料性质、长度等因素。
压杆的计算方法
1
确定杆件的受力状态
根据杆件受力情况进行分析。
2
计算杆件的临界压力
使用适当的公式计算杆件的临界压力。
3
判断是否稳定
根据计算结果判断杆件是否稳定。
压杆稳定的公式有等弯曲时压杆稳定公式和弯矩影响时压杆稳定公式。
《工程力学压杆稳定》 PPT课件
以图文并茂的方式介绍《工程力学压杆稳定》,让你轻松学习压杆的定义、 分类、稳定条件、计算方法和应用案例。
目录
1. 压杆的定义和分类 3. 压杆的计算方法
2. 压杆稳定的条件 4. 压杆的应用案例
压杆的定义和分类
压杆是指受到力作用的细长构件,可分为圆杆、方杆、角杆等多个分类。
工程力学2第九章压杆稳定的概念及三种平衡状态
临界载荷的概念
失稳与屈曲(Buckling)
补充知识: 求二阶常系数线性齐次方程通解
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
挠曲线近似微分方程
弯矩
令
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件: 若 则 (与假设矛盾) 所以
如图(b),截面的惯性矩为
两端固定时长度系数
柔度为
7m
12cm
20cm
y
z
§9.5 压杆的稳定校核
应用经验公式计算其临界应力,查表得
则
临界压力为
木柱的临界压力
临界应力
§9.6 提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ(增强约束)
增大截面惯性矩 I(合理选择截面形状)
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 长度系数(无量纲) 相当长度(相当于两端铰支杆) 欧拉公式的普遍形式: 两端铰支 x y O
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
x
z
F
l1
F
例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆,两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时,杆端约束情况接近于两端铰支,z = 1, 长度为 l1 。在xz平面内失稳时,杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ,长度为 l2 。求 Fcr。
F
FR
x
方程组的非零解条件:
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工程力学(高教版)教案:第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定第一节 压杆稳定的概念对于一般的构件,其满足强度及刚度条件时,就能确保其安全工作。
但对于细长压杆,不仅要满足强度及刚度条件,而且还必须满足稳定条件,才能安全工作。
例如,取两根截面(宽300mm ,厚5mm )相同;其抗压强度极限40=c σMpa 的松木杆;长度分别为30mm 和1000mm ,进行轴向压缩试验。
试验结果,长为30mm 的短杆,承受的轴向压力可高达6kN (A c σ),属于强度问题;长为1000mm 的细长杆,在承受不足30N 的轴向压力时起就突然发生弯曲,如继续加大压力就会发生折断,而丧失承载能力,属于压杆稳定性问题。
如图9-1(a)所示,下端固定,上端自由的理想细长直杆,在上端施加一轴向压力P 。
试验发现当压力P 小于某一数值cr P 时,若在横向作用一个不大的干扰力,如图9-1b 所示,杆将产生横向弯曲变形。
但是,若横向干扰力消失,其横向弯曲变形也随之消失,如图9-1c 所示,杆仍然保持原直线平衡状态,这种平衡形式称为稳定平衡。
当压力cr P P =时,杆仍然保持直线平衡,但此时再在横向作用一个不大的干扰力,其立刻转为微弯平衡,但此时在,如图9-1d 所示,并且当干扰力消失后,其不能再回到原来的直线平衡状态,这种平衡形式称为不稳定平衡。
压杆由原直线平衡状态转为曲线平衡状态,称为丧失稳定性,简称失稳。
使压杆原直线的平衡由稳定转变为不稳定的轴向压力值cr P ,称为压杆的临界载荷。
在临界载荷作用下,压杆既能在直线状态下保持平衡,也能在微弯状态保持平衡。
所以,当轴向压力达到或超过压杆的临界载荷时,压杆将产生失稳现象。
图9-1在工程实际中,考虑细长压杆的稳定性问题非常重要。
因为这类构件的失稳常发生在其强度破坏之前,而且是瞬间发生的,以至于人们猝不及防,所以更具危险性。
例如:1907年,加拿大魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为548m 的钢桥,在施工过程中,由于两根受压杆件失稳,而导致全桥突然坍塌的严重事故;1912年,德国汉堡一座煤气库由于其一根受压槽钢压杆失稳,而致致使其破坏。
工程力学压杆稳定
第11章 压杆稳定
§11-2 细长压杆的临界压力
实验方法建立临界力的计算公式 1)用材料、截面的形状和尺寸相同 但长度不同的细长压杆实验: 2)用几何尺寸完全相同但材料不同 的细长压杆实验: 3)用材料相同、长度相等但截面尺 寸不同的细长压杆实验: 欧拉 公式
欧拉公式
1 Fcr 2 l
Fcr E Fcr I
解 (1)计算柔度
先计算惯性半径:
F
d 64 d1 I i A 4 d 4 0.032 m 0.008m 4
4 1 2 1
第11章 压杆稳定 为了偏于安全起见,将螺杆看成一端固定,另 一端自由,查表得 = 2。于是柔度为:
2 0.3 75 i 0.008
cr a b
式中a﹑b为与材料有关的常数。对于 b 1.12 MPa 结构钢:a 304 MPa, 铸铁:a 331 .9MPa , b 1.453 MPa
小柔度杆或短杆:对于结构钢,当 60 时,压杆 可以不考虑稳定性,只需进行压缩强度计算。这种 杆称为小柔度杆或短杆。这时其临界应力 cr 等于 屈服点 s 。
cr
2 Fcr EI 2 A ( l ) A
截面惯性矩 I:截面面积 A 与惯性半径 i 平方之积。
引入压杆柔度
l
i
2 E cr 2
第11章 压杆稳定
欧拉公式的适用范围
由于实验时杆内的压应力不超过比例极限p,因此 只有当cr p 时欧拉公式才适用,即
E cr 2 p
2
大柔度杆或细长杆:对于结构钢的 p 2 10 Pa、 11 E 2 10 Pa,则由上式可算得欧拉公式的适用 范围为 100;同理对于铸铁,欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
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欧拉公 式
其中:i
I — 截面的惯性半径;为截 面的几何性质; A
=
l
i
称为压杆的柔度(长细 比);反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式(稳定平衡)
在扰动作用下,直线平衡形式转为弯曲平衡形式,扰动除 去后,能够恢复到直线平衡形式,则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下,直线平衡形式转为弯曲平衡形式,扰动除去 后,不能恢复到直线平衡形式,则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件: •理想压杆(轴线为直线,压力 与轴线重合,材料均匀) •线弹性,小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果:
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图:
F
F
bh 3 A bh 1.0 Iz 12
(b )
l
iz
3
h Iz A 2 3
z
l
iz
l
h 2 3
1 2300 2
60
132.8 P 101
Fcr cr A 275kN
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷 如图示((a)为正视图(b)为俯视图),在AB两处为 销钉连接。若已知L=2300mm,b=40mm,h=60mm。 材料的弹性模量E=205GPa。试求此杆的临界载荷。
第十三章
压杆稳定
压杆稳定的概念
细长压杆的临界力 压杆的临界应力 压杆的稳定计算
第一节
压杆稳定的概念
图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力, 其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件,求钢板尺 能承受的荷载.
F
Fmax A 215 32 1 6880 N
(n ) EI Fcr 2 L
2
屈曲位移函数 y sin
2
l
x
最小临界载荷:
压杆总是绕 抗弯刚度最小的轴 发生失稳破坏。
Pcr
EI Pcr 2 —欧拉公式 l
2 EI min
l2
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
2 EI min Pcr 2 (l)
一端自由,一端固定 一端铰支,一端固定 两端固定 两端铰支
第二节
细长压杆的临界力
一、两端铰支压杆的临界荷载 考察微弯状态下局部压杆的平衡
F
Fcr
x
Fcr
M x Fcr y
Fcr y d2y 2 dx EI
M x
d2y M x 2 dx EI d2y 2 k y0 2 dx
Fcr k EI
2
y A sin kx B cos kx
影响压杆承载能力的综合指标
欧拉公式的适用范围
E cr 2 p
2
p—比例极限
E P P
2
欧拉公式的适用范围:
P —与比例极限对应的柔度
l
i
P
根据柔度的大小可将压杆分为三类
1.大柔度杆或细长杆
P
压杆将发生弹性屈曲.此时压杆在直线平衡 形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极 限. 2.中长杆 p s cr 压杆亦发生屈曲.此时压 杆在直线平衡形式下横截面 上的正应力已超过材料的比 例极限.截面上某些部分已 进入塑性状态.为非弹性屈 曲. 3.粗短杆
(2)计算最小刚度平面内的临界压力 (即绕 z 轴失稳)
z
200
中性轴为z轴:
2001203 Iz 28.8 106 m m4 28.8 106 m 4 12
120
y
木柱两端固定,,则得:
2 EI z 3.142 10103 28.8 106 P 178KN lj 2 2 l 0.5 8000
=2.0 =0.7 =0.5 =1.0
=1.0
=2.0
=0.7
=0.5
例1:截面为200×120mm2的轴向受压
木柱,l=8m,柱的支承情况是: 在最 大刚度平面内压弯时为两端铰支(图 a);在最小刚度平面内压弯时为两端 固定(图b)。木材的弹性模量 E=10GPa,试求木柱的临界压力。 (即绕y轴失稳)
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受 的载荷如图示((a)为正视图(b)为俯视图),在AB两 处为销钉连接。若已知L=2300mm,b=40mm,h=60mm。 材料的弹性模量E=205GPa。试求此杆的临界载荷。
F
A
h
F 正视图平面弯曲截面绕z轴转
b
B
动;俯视图平面弯曲截面绕y 轴转动。
边界条件
y
x0 L x 2
y0
y
y
B0
挠曲线中点的挠度
L A sin k 2
A
xL
y0
0
kL sin 2 sin kL
kL sin 2
kL sin 2 kL 2 cos 0 2
y
120
z
200
z 200
y
120
(图a)
(图b)
解:(1)计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴:I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支,,则得:
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力,称其稳 定性。(指受压杆件其平衡状态的稳定性) 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时,突然变弯直至 弯断的现象称为稳定失效(失稳或屈曲)。
临界力—受压直杆的平衡形式由稳定平衡转变为不 稳定平衡时所受的轴向压力,是压杆在原有的直线状态 下保持平衡的最大荷载,也是压杆在弯曲状态下保持平 衡的最小压力。
F
A
h
F
b
B
俯视图:
(a)
z
b
h
hb 3 Iz 12
F
A bh 0.5
F
iy
Iy A
b 2 3
(b )
l
y
l
iy
l
cr A (a b y ) A (304 1.12 * 99.6) A 461.9kN
2 E d 2 Fcr cr A 2 4
2 206 103 1602
1252
112.52
Facr
Fbcr
4
4
2.6 103 kN 3.21103 kN
2 206 103 160 2
两端铰支压杆的临界荷载小于两端 固定压杆的临界荷载。
λ为已知可查表得稳定系数
稳定校核步骤
(1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况, 分别计 算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度max. 。
(2) 根据 max ,选择相应的临界应力公式, 计算临界应力或临界力. 计算临界应力或临界力。 (3) 进行稳定计算或利用稳定条件,进行稳定 校核 . 校核。
例1
F A
i
I A
d 4
64 d 15mm 4 d 2 4
L
i
1 2 103 133.3 15
2800
2
2800 0.158 2 133.3
F 0.158 10
60 2
4
4.47 kN
YA
梁AF由直杆连接支撑在墙上,并受均布荷载 q=4kN/m作用,若各杆直径均为40mm(不计杆重),材 2 60 1 100 料为A3钢,其弹性模量E=206MPa, 稳 定安全系数nst=5,试求:(1)支座处反力;(2)校 核各杆稳定性。 1 求支反力 X A X B 12.5kN YA 10kN
查表,=0.208, [ ] 0.20810 2.08; 查表:
P 50000 4 1.59 MPa [ ]; 木柱稳定。 2 A 200
∴ 木杆稳定。
试确定直径为d=60mm长度L=2m的圆截面木杆的 承载力。已知木材的抗压强度 =10MPa,立柱两端 均按铰接考虑。
N CB a
P B
P .75 59.6kN NBA; lj lj A 96.7 615
由结点B的平衡: Y 0, N BA sin Pmax 0;
Pmax 4 N BA sin 59.6 47 .7kN ; 5
NBA