工程力学——压杆稳定
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s
临界应力总图
S
cr a b
2E cr 2
P
压杆不会发生屈曲,但将 会发生屈服.
O
S
P
例1 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， P λP =123，E=200GPa。试求荷载P的最大值。 0.6m
解：AB压杆l=1000mm, A
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
2 求各杆轴力
XA
A
C
E
1m
F
S BD 12.5kN
SCD 12.5kN
S ED 17.67kN
3 校核各杆稳定性
ED杆 i
d 10mm 4
F
XB
B
0.5m
1
ED cr
D
1m
1m
L ED ED 141 1 i
n
2 EI 124kN 2 LED
λ为已知可查表得稳定系数
稳定校核步骤
(1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况, 分别计 算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度max. 。
(2) 根据 max ,选择相应的临界应力公式, 计算临界应力或临界力. 计算临界应力或临界力。 (3) 进行稳定计算或利用稳定条件,进行稳定 校核 . 校核。
例1
F
A
h
F
b
B
俯视图：
(a)
z
b
h
hb 3 Iz 12
F
A bh 0.5
F
iy
Iy A
b 2 3
(b )
l
y
l
iy
l
b 2 3
99.6 P 101
Fcr cr A (a b y ) A (304 1.12 * 99.6) A 461.9kN
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
பைடு நூலகம்（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
(n ) EI Fcr 2 L
2
屈曲位移函数 y sin
2
l
x
最小临界载荷：
压杆总是绕 抗弯刚度最小的轴 发生失稳破坏。
Pcr
EI Pcr 2 —欧拉公式 l
2 EI min
l2
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
2 EI min Pcr 2 （l）
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
边界条件
y
x0 L x 2
y0
y
y
B0
挠曲线中点的挠度
L A sin k 2
A
xL
y0
0
kL sin 2 sin kL
kL sin 2
kL sin 2 kL 2 cos 0 2
第十三章
压杆稳定
压杆稳定的概念
细长压杆的临界力 压杆的临界应力 压杆的稳定计算
第一节
压杆稳定的概念
图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力， 其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺 能承受的荷载.
F
Fmax A 215 32 1 6880 N
sin kx
kL 2 cos 0 2
0
n 1, 3,
kL cos 0 2
kL n 2 2
kL n 2 2
A
5...
欧拉临界力公式
2
2 ( n ) k2 L2
Fcr 2 k EI
(n ) 2 2 L EI
i I d 7m m; 1; A 4
d 2
4
615.75m m2 ; I
0.8m
4 d C
64
;
a
B
l
i
11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； 7
A
2 E 2 200000 lj 2 96.7 MPa 2 142.9
校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端铰接，
轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。
解：
i I d 20 l 1 600 5cm; 1; 120; A 4 4 i 5
20 d 20 l 1l 600 1 600 5cm ;5cm ; 1 ; 1; 120 ; 120; 4 4 i i 5 5
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
影响压杆承载能力的综合指标
欧拉公式的适用范围
E cr 2 p
2
p—比例极限
E P P
2
欧拉公式的适用范围:
P —与比例极限对应的柔度
l
i
P
根据柔度的大小可将压杆分为三类
1.大柔度杆或细长杆
P
压杆将发生弹性屈曲.此时压杆在直线平衡 形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极 限. 2.中长杆 p s cr 压杆亦发生屈曲.此时压 杆在直线平衡形式下横截面 上的正应力已超过材料的比 例极限.截面上某些部分已 进入塑性状态.为非弹性屈 曲. 3.粗短杆
(a)
z
b
h
正视图：
F
F
bh 3 A bh 1.0 Iz 12
(b )
l
iz
3
h Iz A 2 3
z
l
iz
l
h 2 3
1 2300 2
60
132.8 P 101
Fcr cr A 275kN
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷 如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为 销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。 材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳 定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为稳定失效（失稳或屈曲）。
临界力—受压直杆的平衡形式由稳定平衡转变为不 稳定平衡时所受的轴向压力，是压杆在原有的直线状态 下保持平衡的最大荷载，也是压杆在弯曲状态下保持平 衡的最小压力。
N CB a
P B
P .75 59.6kN NBA; lj lj A 96.7 615
由结点B的平衡： Y 0, N BA sin Pmax 0;
Pmax 4 N BA sin 59.6 47 .7kN ; 5
NBA
图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢， 但二者长度和约束条件不相同。试： 1.分析那一根杆的临界荷载较大？ 2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。
查表，＝0.208, [ ] 0.20810 2.08; 查表：
P 50000 4 1.59 MPa [ ]; 木柱稳定。 2 A 200
∴ 木杆稳定。
试确定直径为d＝60mm长度L＝2m的圆截面木杆的 承载力。已知木材的抗压强度 ＝10MPa，立柱两端 均按铰接考虑。
＝2.0 ＝0.7 ＝0.5 ＝1.0
＝1.0
＝2.0
＝0.7
＝0.5
例1：截面为200×120mm2的轴向受压
木柱，l=8m，柱的支承情况是: 在最 大刚度平面内压弯时为两端铰支（图 a）；在最小刚度平面内压弯时为两端 固定（图b）。木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 （即绕y轴失稳）
由上可知：木柱的临界压力为Pcr=123kN。
两端铰支细长压杆，横截面直径d=50mm,材料为 Q235钢,弹性模量E=200GPa， s 235MPa 试确定其 临界力。 解： 截面惯性矩
临界力
269103 N 269kN
第三节
压杆的临界应力
一、临界应力与柔度 临界应力：处于临界状态时横截面上平均应力
2 E d 2 Fcr cr A 2 4
2 206 103 1602
1252
112.52
Facr
Fbcr
4
4
2.6 103 kN 3.21103 kN
2 206 103 160 2
两端铰支压杆的临界荷载小于两端 固定压杆的临界荷载。
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
第四节
一、 稳定条件
压杆的稳定计算
Pcr n [nst ] P
安全系数法（适用于机械、
动力、冶金等荷载情况复杂）
cr P [ ]st A nst
稳定系数法（适用于土建工
程）
φ—稳定系数；一般[σ]>[σ]st，故φ<1。
cr cr ( ) st ( ) nst nst ( )[ ]
第二节
细长压杆的临界力
一、两端铰支压杆的临界荷载 考察微弯状态下局部压杆的平衡
F
Fcr
x
Fcr
M x Fcr y
Fcr y d2y 2 dx EI
M x
d2y M x 2 dx EI d2y 2 k y0 2 dx
Fcr k EI
2
y A sin kx B cos kx
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳）
z
200
中性轴为z轴：
2001203 Iz 28.8 106 m m4 28.8 106 m 4 12
120
y
木柱两端固定，，则得：
2 EI z 3.142 10103 28.8 106 P 178KN lj 2 2 l 0.5 8000
F A
i
I A
d 4
64 d 15mm 4 d 2 4
L
i
1 2 103 133.3 15
2800
2
2800 0.158 2 133.3
F 0.158 10
60 2
4
4.47 kN
YA
梁AF由直杆连接支撑在墙上，并受均布荷载 q=4kN/m作用，若各杆直径均为40mm(不计杆重)，材 2 60 1 100 料为A3钢,其弹性模量E=206MPa, 稳 定安全系数nst=5，试求：（1）支座处反力；（2）校 核各杆稳定性。 1 求支反力 X A X B 12.5kN YA 10kN
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受 的载荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两 处为销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。 材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。
F
A
h
F 正视图平面弯曲截面绕z轴转
b
B
动；俯视图平面弯曲截面绕y 轴转动。
临界应力总图
S
cr a b
2E cr 2
P
压杆不会发生屈曲,但将 会发生屈服.
O
S
P
例1 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， P λP =123，E=200GPa。试求荷载P的最大值。 0.6m
解：AB压杆l=1000mm, A
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
2 求各杆轴力
XA
A
C
E
1m
F
S BD 12.5kN
SCD 12.5kN
S ED 17.67kN
3 校核各杆稳定性
ED杆 i
d 10mm 4
F
XB
B
0.5m
1
ED cr
D
1m
1m
L ED ED 141 1 i
n
2 EI 124kN 2 LED
λ为已知可查表得稳定系数
稳定校核步骤
(1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况, 分别计 算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度max. 。
(2) 根据 max ,选择相应的临界应力公式, 计算临界应力或临界力. 计算临界应力或临界力。 (3) 进行稳定计算或利用稳定条件,进行稳定 校核 . 校核。
例1
F
A
h
F
b
B
俯视图：
(a)
z
b
h
hb 3 Iz 12
F
A bh 0.5
F
iy
Iy A
b 2 3
(b )
l
y
l
iy
l
b 2 3
99.6 P 101
Fcr cr A (a b y ) A (304 1.12 * 99.6) A 461.9kN
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
பைடு நூலகம்（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
(n ) EI Fcr 2 L
2
屈曲位移函数 y sin
2
l
x
最小临界载荷：
压杆总是绕 抗弯刚度最小的轴 发生失稳破坏。
Pcr
EI Pcr 2 —欧拉公式 l
2 EI min
l2
二、其他支承情况下细长压杆的临界力
2 EI min Pcr 2 （l）
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
边界条件
y
x0 L x 2
y0
y
y
B0
挠曲线中点的挠度
L A sin k 2
A
xL
y0
0
kL sin 2 sin kL
kL sin 2
kL sin 2 kL 2 cos 0 2
第十三章
压杆稳定
压杆稳定的概念
细长压杆的临界力 压杆的临界应力 压杆的稳定计算
第一节
压杆稳定的概念
图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力， 其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺 能承受的荷载.
F
Fmax A 215 32 1 6880 N
sin kx
kL 2 cos 0 2
0
n 1, 3,
kL cos 0 2
kL n 2 2
kL n 2 2
A
5...
欧拉临界力公式
2
2 ( n ) k2 L2
Fcr 2 k EI
(n ) 2 2 L EI
i I d 7m m; 1; A 4
d 2
4
615.75m m2 ; I
0.8m
4 d C
64
;
a
B
l
i
11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； 7
A
2 E 2 200000 lj 2 96.7 MPa 2 142.9
校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端铰接，
轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。
解：
i I d 20 l 1 600 5cm; 1; 120; A 4 4 i 5
20 d 20 l 1l 600 1 600 5cm ;5cm ; 1 ; 1; 120 ; 120; 4 4 i i 5 5
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
影响压杆承载能力的综合指标
欧拉公式的适用范围
E cr 2 p
2
p—比例极限
E P P
2
欧拉公式的适用范围:
P —与比例极限对应的柔度
l
i
P
根据柔度的大小可将压杆分为三类
1.大柔度杆或细长杆
P
压杆将发生弹性屈曲.此时压杆在直线平衡 形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极 限. 2.中长杆 p s cr 压杆亦发生屈曲.此时压 杆在直线平衡形式下横截面 上的正应力已超过材料的比 例极限.截面上某些部分已 进入塑性状态.为非弹性屈 曲. 3.粗短杆
(a)
z
b
h
正视图：
F
F
bh 3 A bh 1.0 Iz 12
(b )
l
iz
3
h Iz A 2 3
z
l
iz
l
h 2 3
1 2300 2
60
132.8 P 101
Fcr cr A 275kN
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷 如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为 销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。 材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳 定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为稳定失效（失稳或屈曲）。
临界力—受压直杆的平衡形式由稳定平衡转变为不 稳定平衡时所受的轴向压力，是压杆在原有的直线状态 下保持平衡的最大荷载，也是压杆在弯曲状态下保持平 衡的最小压力。
N CB a
P B
P .75 59.6kN NBA; lj lj A 96.7 615
由结点B的平衡： Y 0, N BA sin Pmax 0;
Pmax 4 N BA sin 59.6 47 .7kN ; 5
NBA
图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢， 但二者长度和约束条件不相同。试： 1.分析那一根杆的临界荷载较大？ 2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。
查表，＝0.208, [ ] 0.20810 2.08; 查表：
P 50000 4 1.59 MPa [ ]; 木柱稳定。 2 A 200
∴ 木杆稳定。
试确定直径为d＝60mm长度L＝2m的圆截面木杆的 承载力。已知木材的抗压强度 ＝10MPa，立柱两端 均按铰接考虑。
＝2.0 ＝0.7 ＝0.5 ＝1.0
＝1.0
＝2.0
＝0.7
＝0.5
例1：截面为200×120mm2的轴向受压
木柱，l=8m，柱的支承情况是: 在最 大刚度平面内压弯时为两端铰支（图 a）；在最小刚度平面内压弯时为两端 固定（图b）。木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 （即绕y轴失稳）
由上可知：木柱的临界压力为Pcr=123kN。
两端铰支细长压杆，横截面直径d=50mm,材料为 Q235钢,弹性模量E=200GPa， s 235MPa 试确定其 临界力。 解： 截面惯性矩
临界力
269103 N 269kN
第三节
压杆的临界应力
一、临界应力与柔度 临界应力：处于临界状态时横截面上平均应力
2 E d 2 Fcr cr A 2 4
2 206 103 1602
1252
112.52
Facr
Fbcr
4
4
2.6 103 kN 3.21103 kN
2 206 103 160 2
两端铰支压杆的临界荷载小于两端 固定压杆的临界荷载。
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
第四节
一、 稳定条件
压杆的稳定计算
Pcr n [nst ] P
安全系数法（适用于机械、
动力、冶金等荷载情况复杂）
cr P [ ]st A nst
稳定系数法（适用于土建工
程）
φ—稳定系数；一般[σ]>[σ]st，故φ<1。
cr cr ( ) st ( ) nst nst ( )[ ]
第二节
细长压杆的临界力
一、两端铰支压杆的临界荷载 考察微弯状态下局部压杆的平衡
F
Fcr
x
Fcr
M x Fcr y
Fcr y d2y 2 dx EI
M x
d2y M x 2 dx EI d2y 2 k y0 2 dx
Fcr k EI
2
y A sin kx B cos kx
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳）
z
200
中性轴为z轴：
2001203 Iz 28.8 106 m m4 28.8 106 m 4 12
120
y
木柱两端固定，，则得：
2 EI z 3.142 10103 28.8 106 P 178KN lj 2 2 l 0.5 8000
F A
i
I A
d 4
64 d 15mm 4 d 2 4
L
i
1 2 103 133.3 15
2800
2
2800 0.158 2 133.3
F 0.158 10
60 2
4
4.47 kN
YA
梁AF由直杆连接支撑在墙上，并受均布荷载 q=4kN/m作用，若各杆直径均为40mm(不计杆重)，材 2 60 1 100 料为A3钢,其弹性模量E=206MPa, 稳 定安全系数nst=5，试求：（1）支座处反力；（2）校 核各杆稳定性。 1 求支反力 X A X B 12.5kN YA 10kN
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受 的载荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两 处为销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。 材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。
F
A
h
F 正视图平面弯曲截面绕z轴转
b
B
动；俯视图平面弯曲截面绕y 轴转动。