如何解一元二次不等式
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集一元二次不等式是指一个包含一个未知数的二次方程不等式。
解集指的是满足不等式条件的所有实数值的集合。
在本文中，我们将讨论一元二次不等式的性质、解法和解集的表示方法。
一、一元二次不等式的性质1. 一元二次不等式的基本形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 当a > 0时，一元二次不等式的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，一元二次不等式的图像为开口向下的抛物线。
3. 一元二次不等式有零个、一个或两个解，解的个数取决于不等式的形式和系数的取值。
二、一元二次不等式的解法1. 通过图像法求解：通过绘制一元二次不等式的图像，可确定其解集的范围。
在绘制图像时，注意抛物线的开口方向和顶点的坐标。
2. 通过因式分解求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过因式分解将其转化为多个一次因式相乘的形式，然后利用每个因式的符号确定不等式的解集。
3. 通过配方法求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过配方法将其转化为一个平方差或完全平方式，然后利用平方差或完全平方式的性质求解不等式。
三、一元二次不等式解集的表示方法1. 解集的表示方法有三种常用形式：区间表示法、集合表示法和图像表示法。
a) 区间表示法：用区间形式表示解集，如(a, b)、[a, b]、(a, +∞)、(-∞, b]等。
b) 集合表示法：用集合的形式表示解集，如{x ∈ R | a < x < b}表示一个开区间。
c) 图像表示法：用图形的方式表示解集，通过绘制坐标轴上的区间来表示解集的范围。
2. 解集的界限问题：解集的上下界取决于不等式的形式和系数的取值。
对于开口向上的抛物线，解集的下界是抛物线的顶点坐标；对于开口向下的抛物线，解集的上界是抛物线的顶点坐标。
4. 解集的无解情况：有些一元二次不等式没有实数解，这意味着不等式在实数范围内不成立。
一元二次不等式题型及解题方法
一元二次不等式题型及解题方法一元二次不等式是数学中常见的题型之一，涉及到一元二次函数的不等式关系。
解决一元二次不等式需要掌握一些基本的解题方法。
首先，我们来了解一些常见的一元二次不等式类型：1. 一元二次不等式的基本形式是 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。
这种类型的不等式可以化简为一个二次函数的图像在 x 轴上的开口方向。
2. 一元二次不等式的形式可能会有一些变化，例如 ax^2 + bx + c ≥0（或≤ 0），或者以绝对值的形式出现。
这些变化不影响我们解决问题的思路，只需要根据具体的情况进行适当的分析和转化。
接下来，我们讨论一些解题方法：1. 图像法：对于一元二次不等式，我们可以通过绘制二次函数的图像来直观地看出解的范围。
根据开口方向和图像与 x 轴的关系，我们可以很容易地确定不等式的解集。
2. 代入法：当我们遇到一元二次不等式时，有时可以将其转化为一个方程来求解。
我们可以通过解方程得到函数的根，并根据根的位置和开口方向来确定不等式的解集。
3. 判别式法：对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），我们可以通过判别式 b^2 - 4ac 的正负性来判断解的情况。
当判别式大于零时，不等式有两个实数解；当判别式等于零时，不等式有一个实数解；当判别式小于零时，不等式没有实数解。
4. 化简法：有时候，我们可以通过对不等式进行化简来求解。
例如，将不等式的两边同时乘以一个正数或除以一个负数，可以改变不等式的符号，从而得到一个更简单的不等式。
除了上述方法，还可以使用数轴法、区间判断法等方法来解决一元二次不等式。
不同的问题可能需要结合多种方法进行综合分析和求解。
总之，解决一元二次不等式需要熟练掌握相关的解题方法，并能够根据具体情况进行灵活运用。
通过不断的练习和积累，我们可以更加熟练地解决各种类型的一元二次不等式问题。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法在数学中，一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式。
解一元二次不等式的方法可以通过图像法、代入法和判别法来实现。
本文将介绍这三种解法，并通过实例来说明其具体步骤。
图像法图像法是解一元二次不等式最直观的方法之一，它通过绘制一元二次函数的图像来找到不等式的解集。
下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明图像法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。
我们可以通过求解x的一元二次方程来得到根，即使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
将方程x^2-4x+3=0代入求根公式中，得到x=1和x=3。
其次，在数轴上绘制一元二次函数y=x^2-4x+3的图像。
根据函数的开口方向和图像的凹凸性，我们可以确定函数在x<1和x>3的区间上为正值，即图像在该区间上位于x轴之上。
最后，根据不等式的正号，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
代入法代入法是通过代入特定的数值来判断一元二次不等式的真假。
下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明代入法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。
我们可以使用同样的方法得到x=1和x=3。
其次，选择一些特定的数值，代入一元二次不等式中，判断不等式的真假。
例如，选择x=0、x=2和x=4来代入不等式。
计算得到代入x=0时，不等式为3>0，代入x=2时，不等式为-1>0，代入x=4时，不等式为3>0。
根据计算结果，我们可以确定不等式在x<1和x>3的区间上为真。
最后，根据不等式的真假，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
判别法判别法是解一元二次不等式的一种常用方法，它利用一元二次不等式的判别式来确定不等式的解集。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一、解一元二次不等式解一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 、与)0(02><++a c bx ax 时，可以通过一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠与一元二次函数()()20f x ax bx c a =++≠进行求解：（一）解不等式例1. (1) 解不等式：2x 2-3x -2>0 (2) 解不等式：-3x 2+x +1>0(3) 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥--0412044322x x x x (4) 解不等式组：2223404210540x x x x x x ⎧+->⎪+-<⎨⎪-+>⎩（二）已知不等式的解集，写不等式例2. (1) 写出一个一元二次不等式，使它的解集()1,3-.(2) 已知219990ax x b -+>的解集是()3,1--，求不等式219990ax x b ++>的解集.(3) 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)25(20222a x a x x x 的整数解值只有2-，求实数a 的范围.二、一元二次方程根的分布例3. 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围.例4.⑴ 已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围.⑵ 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在()0,1内，求m 的取值范围.⑶ 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 只有较大实根在()0,1内，求实数m 的取值范围⑷ 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围.⑸ 若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在()0,1内，另一根在()1,2内，求k 的取值范围.⑹ 已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围.（三）含参数一元二次不等式例5. 当k 为何值时，不等式010)5()5(2>+----k x k x k ，对一切实数都成立.例6. 关于x 的不等式0622<+++m m mx x 的解集包含区间（1，2）时，求实数m 的范围.例7. 设集合{}{}034,0107222<+-=<++=a ax x x B x x x A ，并且B A ⊆，求实数a 的范围.例8. 解关于x 的不等式032>--a ax x .例9. 解关于x 的不等式02)2(2>--+x m mx .例10. (1) 设不等式02>++c bx ax 的解集为βαβα<<<<0},{x x ，试求不等式02<++a bx cx 的解集.(2) 已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），解关于x 的不等式20cx bx a -+>.(3) 已知关于x 的不等式0k x b x a x c++<++的解集为（-2，-1）∪（2，3），解关于x 的 1011kx bx ax cx -+<--.(4) 已知不等式223()0x a a x a -++<的解集为{|33}x x <<，求实数a 的取值情况；(5) 已知不等式223()0x a a x a -++<在{|33}x x <<内恒成立，求实数a 的取值情况．(6) 已知集合]2,21[=P ，}022|{2>+-=x ax x Q ．① 若∅≠Q P ，求实数a 的取值范围；② 若方程0222=--x ax 在]2,21[内有解，求实数a 的取值范围．(7) k 为何值时，不等式13642222<++++x x k kx x 恒成立例11. 已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．例12. 设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围.例13. 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.例14. 设c bx ax x f ++=2)(，若27)1(=f ，问是否存在R c b a ∈,,，使得不等式212+x 2322)(2++≤≤x x x f 对一切实数x 都成立，证明你的结论.。
一元二次不等式全部解法
一元二次不等式全部解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
要求解一元二次不等式，我们需要找到其解集，即使不等式成立的x的取值范围。
下面将介绍几种解一元二次不等式的方法。
方法一：图像法通过绘制二次函数的图像，我们可以直观地观察到不等式的解集。
以ax^2 + bx + c > 0为例，我们可以绘制出函数y = ax^2 + bx + c的图像，然后观察函数图像在x轴上的位置。
如果函数图像位于x轴上方，则不等式成立的x的取值范围为图像所在的区间；如果函数图像位于x轴下方，则不等式不成立的x的取值范围为图像所在的区间。
方法二：因式分解法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先通过因式分解将其转化为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，其中m、n是已知实数。
然后根据乘积大于零的性质，我们可以得到两个因子同时大于零或同时小于零时不等式成立。
因此，我们需要解以下两个不等式：ax + m > 0和ax + n > 0，得到的解集再取交集，即为原不等式的解集。
方法三：配方法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将不等式移项，得到ax^2 + bx + c = 0的形式。
2. 根据二次方程的求根公式，求得方程的两个根x1和x2。
3. 根据二次函数的性质，我们可以得到该二次函数在x1和x2之间变号。
即对于ax^2 + bx + c > 0来说，当x在x1和x2之间时，不等式成立。
方法四：求解判别式对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的值，我们可以得到不等式的解集：1. 当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根x1和x2，此时不等式成立的x的取值范围为x<x1或x>x2。
一元二次不等式的解法
8x 1 16x 2 16x 2 8x 1 0 (4x 1)2 0, 解法二：
x R, 所以原不等式的解集为 R.
突破方法
通过根与系数的关系解一元二次不等式的方法 方法二 ： 一元二次不等式解集的两个端点值（不是 ）是对应
一元二次方程的两个根，故当已知一元二次不等式的 解集确定不等式中的参数值时，可借助韦达定理给出
授课人：谢水霞
考纲解读
会从实际情境中抽象出一元二次不等 式模型； 通过函数图象了解一元二次不等式与 相应的二次函数、一元二次方程的联 系； 会解一元二次不等式，对给定的一元 二次不等式，会设计求解的程序框图
一元一次不等式(组)的解法
1. 一 元 一 次 不 等 式 ax b : 若 a 0, 解 集 为 {x x }; 若 a 0, 解 集 为
一元二次不等式
1.只含有
1 个未元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集如下表：
判别式 b 2 4ac
0
0
0
二次函数 y ax2
bx c(a 0) 的图象
一 元 二 次 方 程 有 两 相 异 实 根 有 两 相 等 实 根 没有实数根
综上所述:
巩固训练
2 x 1 0 1.不等式组 2 的解集为 x 3x 0
C
A.{x 1 x 1 }
B.{x 0 x 3}
D.{x 1 x 3}
C.{x 0 x 1}
2.已知不等式x 2 2 x 3 0的解集为A, 不等式x 2 x 6 0的解集为B, 不等式x 2 ax b 0的解集是A B, 那么a b等于 D.3 B.1 A. - 3 C. 1
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。
这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。
解法一：使用因式分解法。
对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。
解法二：使用它的图像解法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
解法三：使用开平方法。
对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。
首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。
解法四：使用代数求解法。
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。
求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。
解法五：使用数轴法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。
解法六：使用区间法。
将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。
在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是由一个二次方程构成的数学不等式，其形式通常为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。
解一元二次不等式需要运用一些特定的方法和原理，下面将介绍一些常用的解法。
1. 图像法图像法是一种直观的解一元二次不等式的方法。
首先，我们可以将不等式的左边化简成一个二次函数的形式，例如将 ax^2 + bx + c > 0 转化为 y = ax^2 + bx + c 的图像。
然后，通过观察图像的形状和位置，确定不等式的解集。
对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，可以按照以下步骤使用图像法解答：a) 计算二次函数的顶点坐标 (-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
b) 如果 a > 0，表示二次函数开口向上，则解集为顶点坐标的右侧部分。
如果 a < 0，表示二次函数开口向下，则解集为顶点坐标的左侧部分。
c) 如果二次函数与 x 轴有交点，则解集还包括这些交点。
举例说明：假设要解一元二次不等式 x^2 + 4x + 3 > 0。
a) 通过计算，可得到顶点坐标为 (-2, -1)。
b) 由于 a > 0，解集为顶点坐标的右侧部分。
c) 二次函数与 x 轴的交点为 (-3, 0) 和 (-1, 0)。
因此，解集为 (-∞, -3) ∪ (-1, +∞)。
2. 因式分解法对于一元二次不等式，我们可以先将其因式分解为二次方程的形式，然后再解这个二次方程。
具体步骤如下：a) 将不等式左边移项，将其写成一个完全平方的形式，例如 a(x -r)(x - s) > 0 或 a(x - r)(x - s) < 0，其中 r 和 s 是待定系数。
b) 将方程 a(x - r)(x - s) = 0 求解，得到方程的根（解），记作 x = r和 x = s。
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式有多种解法，以下是一些常见的解法：
1. 图像法：将一元二次不等式转化为图像，通过观察图像的变化来确定解的范围。
首先，将不等式转化为等式，再画出对应的抛物线图像，然后根据不等式的符号确定解的范围。
2. 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，得到一个或多个一次因子和一个二次因子。
然后，根据这些因子的正负确定不等式的解。
3. 求导法：对一元二次不等式两边同时求导数，得到一个一次方程。
然后，通过解这个一次方程得到不等式的解。
4. 完全平方式：将一元二次不等式进行变形，使其成为完全平方式。
然后，通过对方程两边取平方根，得到不等式的解。
5. 化简法：将一元二次不等式进行化简，整理为一个或多个一次项和一个常数项的形式。
然后，根据这些项的符号确定不等式的解。
6. 区间法：将一元二次不等式转化为一个或多个区间，并确定每个区间内的解的情况。
然后，将这些区间的解合并，得到不等式的解集。
以上是一些常见的一元二次不等式的解法，具体使用哪种解法取决于不等式的形式和题目要求。
在解题过程中，可以根据需要选择适合的方法进行求解。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指一个未知数的二次函数与一个数之间的关系式，其形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
解一元二次不等式的关键是找到其解集，即满足不等式的所有实数解。
本文将介绍两种常用的一元二次不等式的解法：图像法和区间法。
一、图像法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。
例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。
2. 绘制出对应一元二次函数的图像，并标出顶点。
对于一元二次函数y = ax² + bx + c，其图像是一个抛物线。
顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-x₀) = f(-b/2a)。
3. 根据一元二次不等式的符号确定解集。
若a > 0，表示抛物线开口向上，此时对应不等式的解集是(x < x₀) ∪ (x > x₁)。
若a < 0，表示抛物线开口向下，此时对应不等式的解集是(x₀ < x < x₁)。
二、区间法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。
例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。
2. 求出一元二次函数的判别式Δ = b² - 4ac的值，并根据Δ的正负确定解集。
若Δ > 0，则对应不等式的解集是(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)。
若Δ = 0，则对应不等式的解集是(-∞, x) ∪ (x, +∞)。
若Δ < 0，则对应不等式的解集为空集。
需要注意的是，使用图像法和区间法时必须要了解一元二次函数的图像特征和判别式的意义。
另外，在求解过程中，可以运用一些常用的数学知识，如因数分解、配方法等，以便更快地得到解集。
一元二次不等式解法
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
⑤得出不等式的解：
不等式是“>”号，解为：x>x ₁或x<x ₂ 口诀为“取两边”
不等式是“<”号，解为：x₂<x<x₁ 口诀为“取中间”。 ⑥不等式是“>”号，解为R，不等式是“<”号，解为∅
b b 2 4ac 5 25 24 x1 1 2a 2
b b 2 4ac 5 - 25 （ 24） x2 6 2a 2
⑤得不等式的解，不等式中是“>”号 口诀为“取两边”即：x>x ₁或x<x ₂ 所以此不等式的解为： ｛x |x>1或x<-6 ｝ 用区间表示为（- ∞ ，－6） ∪（1，+ ∞）
例： x 2 4 x 3 0
解：△＝16-12＝4>0 解方程 x 2 4 x 3 0
（x 3)(x 1) 0 x1 3, x2 1
所以此不等式的解为：x 1或x 3
， 3 1 ， 用区间表示为：
b b 2 4ac 4 - 16 12 x2 3 2a 2
⑤得不等式的解，不等式中是“<”号 口诀为“取中间”即： x₂<x<x₁ 所以此不等式的解为： ｛x |-3<x<-1｝ 用区间表示为（- 3 ，－1）
例： （ 1 x)(4 x) 0
2 x 3x 4 0 ①化成一般式： 二次项系数a=-1，即a<0 2 ②化正得同解不等式： x 3x 4 0 ③计算△， △＝b ²-4ac＝9-（-16）＝25>0 2 x 3x 4 0 的根 ④求对应方程 用求根公式得：
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式，其解的范围通常是实数集合中的某个区间。
解决一元二次不等式问题需要运用一些基本的数学原理和方法。
本文将介绍几种常见的一元二次不等式的解法。
1. 图形法解一元二次不等式图形法是解决一元二次不等式的一种直观方法。
我们可以通过绘制一元二次函数的图像来观察其解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）绘制该二次函数的图像，并标出函数图像上的关键点，如顶点、交点等；3）根据函数图像的特征，确定不等式的解的范围。
2. 因式分解法解一元二次不等式因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。
通过将不等式转化为因式的形式，可以更方便地确定解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将二次函数因式分解为一元一次函数的乘积，得到因式表达式；3）根据因式表达式的性质，确定不等式的解的范围。
3. 完全平方式解一元二次不等式完全平方式也是解决一元二次不等式的一种常用方法。
通过完全平方式，可以将不等式转化为平方形式，从而更容易确定解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将一元二次函数利用完全平方式转化为平方（二次）表达式；3）根据平方表达式的性质，确定不等式的解的范围。
4. 配方法解一元二次不等式配方法是解决一元二次不等式的另一种有效方法。
通过进行配方法，可以将一元二次不等式转化为二次函数的平方差形式，从而简化求解过程。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）运用配方法，将二次函数转化为平方差的形式；3）根据平方差的性质，确定不等式的解的范围。
综上所述，一元二次不等式的解法包括图形法、因式分解法、完全平方式和配方法等多种方法。
在具体解题过程中，可以根据实际情况选择合适的解法。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次不等式，通常形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法主要有以下几种：图像法、代数法和判别法。
一、图像法1. 绘制一元二次函数的图像：根据不等式的形式，确定二次函数的开口方向（a的正负），以及顶点的横坐标、纵坐标（b和c的值）。
2. 根据不等式的符号（大于或小于），确定图像与x轴的关系，即求解函数值大于0或小于0的区间。
3. 根据求解得到的区间，直观地表示出不等式的解集。
二、代数法1. 化简一元二次不等式：通过合并同类项、配方等方法，将二次不等式化简为标准形式，即ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
2. 求解方程：将不等式转化为等式，即ax^2+bx+c=0，并求解得出方程的根。
3. 利用根的性质：通过根的位置和值的正负判断方程在不等式中的取值情况，从而确定不等式的解集。
三、判别法1. 计算判别式：根据二次不等式的形式，计算出判别式Δ=b^2-4ac。
2. 根据判别式的值判断解集：a) 当Δ>0时，二次不等式有两个不同的实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集；b) 当Δ=0时，二次不等式有且仅有一个实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集；c) 当Δ<0时，二次不等式没有实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集。
综上所述，一元二次不等式的解法包括图像法、代数法和判别法。
根据具体情况，选择合适的方法求解可以快速得到一元二次不等式的解集。
通过掌握这些解法，我们能够更加灵活地处理和求解各种形式的一元二次不等式，提高数学问题的解决能力。
一元二次不等式解法(通用5篇)
一元二次不等式解法（通用5篇）一元二次不等式解法篇1第十二教时教材：目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系动身，把握运用二次函数求解一元二次不等式的方法。
过程：一、课题：一元二次不等式的解法先回忆一下学校学过的一元一次不等式的解法：如 2x-70 x y这里利用不等式的性质解题从另一个角度考虑：令 y=2x-7 作一次函数图象： xco引导观看，并列表，见 p17 略当 x=3.5 时, y=0 即 2x-7=0当x3.5 时, y0 即 2x-70当 x3.5 时, y0 即 2x-70结论：略见p17留意强调：1°直线与 x轴的交点x0是方程 ax+b=0的解2°当 a0 时, ax+b0的解集为{x | x x0 } 当 a0 时, ax+b0可化为 -ax-b0来解y二、一元二次不等式的解法同样用图象来解，实例：y=x2-x-6 作图、列表、观看-2 o 3 x 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2-x-6=0当 x-2 或 x3 时, y0 即 x2-x-60当 -2x3 时, y0 即 x2-x-60∴方程 x2-x-6=0 的解集：{ x | x = -2或 x = 3 }不等式x2-x-6 0 的解集：{ x | x -2或 x 3 }不等式 x2-x-6 0 的解集：{ x | -2 x 3 }这是△0 的状况：若△=0 , △0 分别作图观看争论得出结论：见p18--19说明：上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c0(0) 当 a0时的状况若a0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解三、例题 p19 例一至例四练习：（板演）有时间多余，则处理《课课练》p14 “例题推举”四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法）五、作业：p21 习题 1.5 《课课练》第8课余下部分一元二次不等式解法篇2各位评委、各位专家：大家好!今日，我说课的内容是人民教育出版社全日制一般高级中学教科书(必修)《数学》第一章第五节"一元二次不等式解法'。
一元二次不等式的解法全面版
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1 )a2x b xc0(a0) (2)a2x b xc0(a0) (3)a2x b xc0(a0) (4)a2x b xc0(a0)
一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程 a2xb xc0(a0) （2）二次函数ya2xb xc(a0)的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的
解与二次函数ya2xb xc(a0)的图象 有什么联系？
一元二次方程a2xb xc0(a0)的解实
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
xxx2或 xx1
xR
x
b 2a
xx1xx2
xxx2或 xx1 R
xx1xx2
x
x
b 2a
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
同 学 们 再 见 ！
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是数学中常见的一种不等式类型，涉及到一个未知数的平方，通常可以表示为ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解决一元二次不等式的关键在于找到其解集，即满足不等式的x的取值范围。
本文将介绍两种常用的解法：因式分解法和判别式法。
一、因式分解法因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。
其主要思路是将不等式左侧转化为一个或多个二次因子的乘积，并通过每个因子的正负确定不等式的取值范围。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 \geq 0，可以通过因式分解将其转化为(x - 2)(x - 3) \geq 0。
根据因子的正负确定不等式的解集。
由于(x -2)(x - 3)为两个因子的乘积，因此只有在这两个因子同时为非负或同时为非正的情况下，不等式才成立。
首先考虑(x - 2) \geq 0，解得x \geq 2；然后考虑(x - 3) \geq 0，解得x \geq 3。
因此，不等式的解集为x \geq 3。
二、判别式法判别式法是解决一元二次不等式的另一种常用方法。
其基本思想是通过求解一元二次不等式对应二次方程的判别式来确定不等式的解集。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c < 0，首先计算其对应的二次方程的判别式，记作\Delta = b^2 - 4ac。
若\Delta > 0，则二次方程有两个不相等的实数解，此时不等式的解集为x < \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} 或 \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} < x。
若\Delta = 0，则二次方程有两个相等的实数解，此时不等式的解集为x = \frac{-b}{2a}。
若\Delta < 0，则二次方程无实数解，此时不等式无解。
举个例子，考虑不等式x^2 - x - 6 > 0。
计算其对应的二次方程的判别式：\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25。
一元二次不等式的解法和解题技巧
一元二次不等式的解法和解题技巧一元二次不等式是高中数学知识点中的重要内容，所以一元二次不等式的解法是非常重要的。
高中网校的数学老师称同学们对于一元二次不等式的题目一定要首先掌握一元二次不等式的解法和技巧，本文中酷课网老师就像同学们介绍一下一元二次不等式的解法和解题技巧。
定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。
它的一般形式是ax^2+bx+c>0 或ax^2+bx+c<0(a不等于0)其中ax^2+bx+c是实数域内的二次三项式。
一元二次不等式的解法解法一当△=b^2-4ac≥0时，二次三项式，ax²+bx+c有两个实根，那么ax²+bx+c 总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
举例：试解一元二次不等式2x²-7x+6<0解：利用十字相乘法2x -3x-2得(2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论：1) 2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2。
不成立2)2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集为：1.5完毕。
解法二另外，你也可以用配方法解二次不等式。
如上例题：2x^2-7x+6=2(x^2-3.5x)+6=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)^2-0.125<02(x-1.75)^2<0.125(x-1.75)^2<0.0625两边开平方，得x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为1.5解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
一元二次不等式的解法和技巧
一元二次不等式的解法和技巧大家好，今天咱们聊聊一元二次不等式的解法。
别担心，我会把它讲得简单明了，让你不至于觉得像看天书一样。
话不多说，咱们直接进入正题。
1. 一元二次不等式的基本概念1.1 什么是“一元二次不等式”？简单来说，一元二次不等式就是这样的：它的形状像个大写的“U”，我们通常看到的格式是“ax² + bx + c < 0”（或者“> 0”、“≤ 0”、“≥ 0”）。
这里的a、b、c都是数字，而x是未知数。
听起来有点复杂，但别急，慢慢来，我们一步一步搞定它。
1.2 为什么要解一元二次不等式？解这些不等式的目的，就是找出使得不等式成立的x的值。
说白了，就是找出符合条件的x的范围。
比如，咱们想知道在什么情况下，一辆车的速度会低于60公里每小时。
这些条件就可以通过解不等式来找出。
2. 解一元二次不等式的步骤2.1 先把不等式转化为标准形式首先，要把一元二次不等式的两边整理得干干净净。
比如，给你一个不等式“x² 4x 5 < 0”，你要确保它的右边是0。
这就像整理房间，把东西都摆放整齐一样。
把它整理成“x² 4x 5 < 0”这个标准形式。
2.2 求出对应的方程的根接下来，我们要找出与这个不等式相关的方程的根。
也就是把它变成一个等式：“x² 4x 5 = 0”。
要找出x的值，可以使用因式分解法或者求根公式。
这就像是解一个谜题，找出那些关键的线索。
因式分解法：如果一元二次方程比较简单，可以尝试因式分解。
比如，“x² 4x 5”可以分解成“(x 5)(x + 1) = 0”，所以它的根是x = 5和x = 1。
求根公式：对于复杂一点的方程，我们可以用求根公式。
公式是这样的：“x = [b ± √(b² 4ac)] / 2a”。
记得要代入方程中的a、b、c值，解出x的值。
2.3 确定不等式的解集有了方程的根之后，我们就得确定不等式的解集。
一元二次不等式的解法逐字稿
一元二次不等式的解法逐字稿嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们一起来聊聊一元二次不等式的解法，这可是数学中的一个重要知识点哟！一、什么是一元二次不等式一元二次不等式呀，就是形如ax² + bx + c > 0 或者ax² + bx + c 0 （其中a ≠ 0）这样的不等式。
比如说2x² 3x + 1 > 0 ，这就是一个一元二次不等式啦。
二、一元二次不等式的解法步骤1. 先把不等式化为标准形式就是要把二次项系数化为正数，如果本来就是正数就不用管啦。
比如2x² + 5x 3 0 ，咱们就变成2x² 5x + 3 > 0 。
2. 求出对应的一元二次方程的根也就是令ax² + bx + c = 0 ，然后用求根公式算出根。
比如说对于x² 2x 3 = 0 ，用求根公式可以算出 x1 = 3，x2 = 1 。
3. 画出二次函数的图象根据二次项系数的正负，确定图象的开口方向。
如果 a > 0 ，开口向上；a 0 ，开口向下。
然后把刚才求出的根标在图象上。
4. 根据图象写出不等式的解集如果开口向上，大于 0 的解集就是图象在 x 轴上方的部分对应的 x 的取值范围；小于 0 的解集就是图象在 x 轴下方的部分对应的x 的取值范围。
开口向下就反过来哟。
三、举个例子瞧瞧比如说解不等式x² 5x + 6 > 0 。
先求方程x² 5x + 6 = 0 的根，用十字相乘法可以得到 (x 2)(x 3) = 0 ，所以根是 x1 = 2，x2 = 3 。
然后画图象，开口向上，把 2 和 3 标上。
最后看图象，大于 0 的解集就是 x 2 或者 x > 3 。
怎么样，小伙伴们，一元二次不等式的解法是不是也没那么难呀？多做几道题练练手，相信大家都能轻松搞定！。
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如何解一元二次不等式，例如：xˆ2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路
解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，
通常有以下两种解决办法：
①运用“分类讨论”解题思想；
②运用“数形结合”解题思想。
以下分别详细探讨。
例1、解不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0。
解法①：原不等式可化为：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。
两部分的乘积大于等于零，
等价于以下两个不等式组：
（1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0
x + 2 ≥ 0
x + 2 ≤ 0
解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”）
解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”）
∴不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。
其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。
解法②：原不等式可化为：
[ (x² -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。
∴(x -- 1)² ≥ 9
∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3
∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。
∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。
解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解，
如本题，用求根公式求得方程x² -- 2x -- 8 = 0
的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。
下同解法①。
体会：以上三种解法，都是死板板地去解；
至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。
下面看“数形结合”法。
解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x² -- 2x -- 8 的图像
开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)，
显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，
图像在x 轴的上方；
当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。
∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x² -- 2x -- 8 ≥ 0，
即：不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。
顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x² -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x² -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。
其解集为：[ -- 2，4 ]。
领悟：对于ax² + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”；
对于ax² + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。
例2、解不等式x² + 2x + 3 ＞0。
在实数范围内左边无法进行因式分解。
配方得：(x + 1)² + 2 ＞0。
无论x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零。
∴该不等式的解集为x ∈R。
用“数形结合”考虑，
∵方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式x² + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。
例3、解不等式x² + 2x + 3 ＜0。
在实数范围内左边无法进行因式分解。
配方得：(x + 1)² + 2 ＜0。
无论x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零，
∴该不等式的解集为空集。
用“数形结合”考虑，
∵方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式x² + 2x + 3 ＞0的解集为空集。
注：在以后的高中学习中，对于“不等式”这一块，较麻烦的是“含有参数的不等式”。
如：
f(x) = ax² + x （a ∈R 且a ‡ 1）
若当x ∈[ 0，1] 时，总有| f(x) | ≤ 1，求a的取值范围。
cos27°cos57°-sin27°cos147°=
解一
cos27°cos57°-sin27°cos147°
=cos27°cos57°+sin27°sin57°
=cos(27°-57°）
=cos30°
=√3/2
解二
cos27°cos57°-sin27°cos147°
=cos27°sin33°+sin27°cos33°
=sin（27°+33°）
=sin60°
=√3/2
解三
把cos147度用诱导公式cos(90度+A）=-sinA变成-sin57度，所以原式变为cos27度cos57度+sin27度sin57度=cos(57度-27度）=cos30度=根号3/2
根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．
解：依题意可得{a1+d=35a1+10d=25，
d=2，a1=1
∴a7=1+6×2=13
故答案为：13
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．
若x>0,则(x^2+4)/x的最小值为
若实数x>0,则(x^2+2x+4)/x的最小值是
原式=x²/x+2x/x+4/x =x+4/x+2 x>0 所以x+4/x+2≥2√(x*4/x)+2=4+2=6 所以最小值=6。