如何解一元二次不等式

如何解一元二次不等式，例如：xˆ2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路

解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，

通常有以下两种解决办法：

①运用“分类讨论”解题思想；

②运用“数形结合”解题思想。

以下分别详细探讨。

例1、解不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0。

解法①：原不等式可化为：

(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。

两部分的乘积大于等于零，

等价于以下两个不等式组：

（1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0

x + 2 ≥ 0

x + 2 ≤ 0

解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”）

解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”）

∴不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。

其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。

解法②：原不等式可化为：

[ (x² -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。

∴(x -- 1)² ≥ 9

∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3

∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。

∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。

解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，

那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解，

如本题，用求根公式求得方程x² -- 2x -- 8 = 0

的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。

体会：以上三种解法，都是死板板地去解；

至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。

下面看“数形结合”法。

解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x² -- 2x -- 8 的图像

开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)，

显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，

图像在x 轴的上方；

当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。

∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x² -- 2x -- 8 ≥ 0，

即：不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。

顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x² -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x² -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。

领悟：对于ax² + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”；

对于ax² + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x² + 2x + 3 ＞0。

在实数范围内左边无法进行因式分解。

配方得：(x + 1)² + 2 ＞0。

无论x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零。

∴该不等式的解集为x ∈R。

用“数形结合”考虑，

∵方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，

∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。

即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。

∴不等式x² + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。

例3、解不等式x² + 2x + 3 ＜0。

在实数范围内左边无法进行因式分解。

配方得：(x + 1)² + 2 ＜0。

无论x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零，

∴该不等式的解集为空集。

用“数形结合”考虑，

∵方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，

∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。

即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。

∴不等式x² + 2x + 3 ＞0的解集为空集。

注：在以后的高中学习中，对于“不等式”这一块，较麻烦的是“含有参数的不等式”。如：

f(x) = ax² + x （a ∈R 且a ‡ 1）

若当x ∈[ 0，1] 时，总有| f(x) | ≤ 1，求a的取值范围。

cos27°cos57°-sin27°cos147°=

解一

cos27°cos57°-sin27°cos147°

=cos27°cos57°+sin27°sin57°

=cos(27°-57°）

=cos30°

=√3/2

解二

cos27°cos57°-sin27°cos147°

=cos27°sin33°+sin27°cos33°

=sin（27°+33°）

=sin60°

=√3/2

解三

把cos147度用诱导公式cos(90度+A）=-sinA变成-sin57度，所以原式变为cos27度cos57度+sin27度sin57度=cos(57度-27度）=cos30度=根号3/2

根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．

解：依题意可得{a1+d=35a1+10d=25，

d=2，a1=1

∴a7=1+6×2=13

故答案为：13

本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．

若x>0,则(x^2+4)/x的最小值为

若实数x>0,则(x^2+2x+4)/x的最小值是

原式=x²/x+2x/x+4/x =x+4/x+2 x>0 所以x+4/x+2≥2√(x*4/x)+2=4+2=6 所以最小值=6