初中数学竞赛——二次函数极值问题

第10讲 二次函数极值问题 典型例题

一. 基本训练

【例1】 求函数243(05)y x x x =-+≤≤的最大值和最小值．

【例2】 已知关于x 的函数23y x ax =++，其中11x -≤≤，试分别求出下列条件下函数的最大值和

最小值．

（1）02a ＜＜；

（2）2a ＞．

【例3】 求函数22y x ax =-（01x ≤≤）的最大值、最小值．

【例4】 求函数2(1)2(1)y m x m x m =+-+-的最大值和最小值，其中m 为常数（1m ≠-）．

【例5】 求函数()2f x x x x x =--在312

x -≤≤的最小值．

【例6】 设a 为非零实数，求函数22()2(1)2f x ax a x =-++（01x ≤≤）的最大值与最小值．

二. 巩固提高

【例7】 已知26y x mx =+-，当13m ≤≤时，0y ＜恒成立．求m 的取值范围．

【例8】 二次函数228y x ax =-+在12x ≤≤时，函数的最小值为5，求a 的值．

【例9】 在ABC △中，2BC =，BC 边上的高1AD =，P 是BC 上任一点，PE AB ∥交AC 于点E ，

PF AC ∥交AB 于点F ．

（1）设BP x =，将PEF S △用x 表示．

（2）P 在BC 的什么位置时，ABC S △最大．

【例10】 设二次函数2()y f x ax bx c ==++的图象的对称轴是230x -=，在x 轴的截距的倒数的和为2，

且经过点(33)-，

． （1）试求a b c 、、的值；

（2）当x 在什么值时，1y ＞或3y -＜？

（3）当x 为何值时，y 有最大值？并求最大值．

（4）作出此函数的图象．

【例11】 已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交于A B 、两点．点P 在抛物

线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间．

（1）求线段AB 的长；

（2）当PQ y ∥轴，求PQ 长度的最大值．

三. 多个字母的极值问题 【例12】 已知x ，y ，z 为实数，且26x y z +-=，23x y z -+=，那么222x y z ++的最小值是多少？

【例13】 设0x ≥，0y ≥，26x y +=，求224363u x xy y x y =++--的最大值.

【例14】 已知1y

≤，且21x y +=，求222162x x y ++的最小值．

【例15】 若x ，y 都是实数，则22331999x xy y x y ++--+的最小值是多少？

【例16】 实数x 、y 、z 满足321x y z ++=，求22232x y z -+的最小值．

思维飞跃

【例17】 已知()y f x =

【例18】 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()

a x x ax bx

b x bx ------0≥恒成立．当乘积ab 最小时，求a b 、的值．

【例19】 若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的顶点在第一象限，且经过(01)，

和(10)-，，求S a b c =++的取值范围．

【例20】 设a 、b 为可使方程43210x ax bx ax ++++=，至少有一实根的实数，对于所有这样的数对

()a b ，，求22a b +的最小值．

作业

1. 若函数2

212y x bx c =

-+的自变量x 的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定能满足要求的是（ ）

（A ）0b c ＞＞

（B ）0b c ＞＞ （C ）0c b ＞＞

（D ）0c b ＞＞

2. 设a b c 、、是ABC △的三边长，二次函数()

222b b y a x cx a =-

---在1x =时取最小值85b -，则ABC △是（ ） （A ）等腰三角形

（B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形

（D ）直角三角形

3. 求函数3y =

4. 已知t 是实数，若a b 、是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，求22(1)(1)

a b --的最小值．

5. 设a 、b 为实数，求代数式222a ab b a b ++--的最小值．

6. 求函数21y x bx =++（02x ≤≤）的最大值、最小值．

7. 二次函数25y x ax =++在12x ≤≤时，函数的最小值为2，求a 的值．

8. 已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点(14)A -，和点(21)B ，，并且与x 轴

有两个不同的交点，求b c +的最大值．