初中数学竞赛——二次函数极值问题
二次函数的最值问题求解
二次函数的最值问题求解二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式可以表示成f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而二次函数的最值问题是指求解二次函数在给定定义域上的最大值或最小值的过程。
一、二次函数的最值问题一般求解方法要解决二次函数的最值问题，一般可以采用以下几个步骤：1. 确定二次函数的开口方向：根据二次系数a的正负性来确定开口是向上还是向下。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
2. 求解二次函数的顶点坐标：顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得。
将x = -b / (2a)带入函数表达式中，得到对应的y值。
顶点的坐标表示了二次函数的最值。
3. 判定定义域：根据问题给出的条件或定义域限制，确定二次函数的定义域。
4. 推导最值：根据二次函数的开口方向和定义域，判定二次函数的最值。
当二次函数开口向上时，最值为最小值；当二次函数开口向下时，最值为最大值。
二、举例求解二次函数的最值问题为了更好地理解二次函数的最值问题，以下通过一个具体的例子来进行求解：已知二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求解其最小值。
1. 确定开口方向：由于二次函数的系数a = 1 > 0，所以函数的开口是向上的。
2. 求解顶点坐标：通过公式x = -b / (2a)求得x的值。
将函数f(x)的系数代入计算，有x = -(-4) / (2*1) = 2。
将x = 2带入函数表达式f(x)中，计算得y = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1。
因此，顶点坐标为(2, -1)。
3. 判定定义域：对于该函数来说，定义域是全体实数。
4. 得出最小值：由于二次函数开口向上，所以顶点的y值即为最小值。
因此，该二次函数的最小值为-1。
通过以上的计算，我们成功地求解了二次函数的最值问题。
三、总结在实际问题中，二次函数的最值问题是一类常见且重要的数学问题。
二次函数的极值与最值问题
二次函数的极值与最值问题二次函数的极值与最值问题是数学中的重要内容，对于我们理解二次函数的性质和应用具有重要意义。
在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的概念和方法。
在开始讨论二次函数的极值与最值问题之前，我们先来回忆一下二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a \neq 0$。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数$a$的正负决定。
首先，我们来讨论二次函数的极值问题。
在数学中，极大值和极小值统称为极值。
对于二次函数来说，极值通常出现在抛物线的顶点处。
为了找到二次函数的极值，我们需要求解其导数为零的点。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其导数为$f'(x) = 2ax + b$。
令导数$f'(x)$等于零，我们可以得到方程$2ax + b = 0$，解这个方程可以得到唯一的零点$x_0 = -\frac{b}{2a}$。
当二次函数的导数$f'(x)$在$x_0$处等于零时，函数的图像在该点处的斜率为零。
由于二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的顶点处的切线是水平的，即斜率为零。
因此，当$x = x_0$时，二次函数的极值发生。
接下来，我们来讨论二次函数的最值问题。
最大值和最小值统称为最值。
对于二次函数来说，最值的问题通常与其开口方向有关。
如果二次函数的系数$a > 0$，则抛物线开口向上。
当$x$取无穷大或无穷小的值时，二次函数的值也趋向于无穷大。
因此，二次函数在定义域的两端没有最大值，即函数的最大值不存在。
然而，由于二次函数在顶点处有一个极小值，所以最小值是存在的，即函数的最小值为二次函数在顶点处的函数值。
如果二次函数的系数$a < 0$，则抛物线开口向下。
当$x$取无穷大或无穷小的值时，二次函数的值也趋向于无穷小。
因此，二次函数在定义域的两端没有最小值，即函数的最小值不存在。
二次函数的最值问题与问题解决技巧
二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。
解决这类问题需要一定的技巧和方法。
本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。
一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。
对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。
1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。
通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。
当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。
2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。
对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。
3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。
当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。
二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。
1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。
根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。
2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。
例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。
3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。
导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。
初中数学专题复习(二次函数的极值)
初中数学专题复习（二次函数的极值）1．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+）2+，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣，且a＝1＞0，当x＝﹣＜0，∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q，∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q，∴函数最大值与最小值的差为1+p；当x＝﹣＞1，∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q，∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q，∴函数最大值与最小值的差为﹣1﹣p；当0≤x＝﹣，此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣，差为1+p+，＜x＝﹣≤1，当x＝0时，函数有最大值q，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣，差为，x＝﹣＝，当x＝0或1时．函数有最大值q，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣，差为，综上所述，此函数最大值与最小值的差与p有关，但与q无关，答案：D．2．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A．9B．8C．1D．解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，∴b＝2﹣a，c＝3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，＝a2+2a+6，∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，∴a＝﹣1时，最小值n＝6，a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，∴m﹣n＝14﹣6＝8．答案：B．3．已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，当x＝﹣1时，y＝7，∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，解得：m＝2，∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．答案：A．4．已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（）时，s的值最小．A．3B．4C．5D．6解：∵函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0，∴a＞0，该函数图象开口向上，∴当s＝0时，9＜n＜10，∵n＝0时，s＝0，∴该函数的对称轴n的值在4.5～5之间，∴各个选项中，当n＝5时，s取得的值最小，答案：C．5．已知二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，其中m，n为常数，则（）A．m＞1，n＜0时，二次函数的最小值大于0B．m＝1，n＞0时，二次函数的最小值大于0C．m＜1，n＞0时，二次函数的最小值小于0D．m＝1，n＜0时，二次函数的最小值小于0解：∵二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，∴当m＝1时，y＝（x﹣1+3）（x+1﹣5）+n＝（x+2）（x﹣4）+n＝x2﹣2x﹣8+n＝（x﹣1）2﹣9+n∴当m＝1，n＞0时，二次函数的最小值为y＝﹣9+n，当0＜n≤9时，﹣9+n≤0，故B错误；当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝﹣9+n＜0，故D正确；选项A：当m＞1，n＜0时，不妨取m＝3，则y＝x（x﹣2）+n＝x2﹣2x+n＝（x﹣1）2﹣1+n，此时二次函数的最小值为﹣1+n，小于0，故A错误；选项C：当m＜1，n＞0时，不妨取m＝0，则y＝（x+3）（x﹣5）+n＝x2﹣2x﹣15+n＝（x﹣1）2﹣16+n，此时二次函数的最小值为﹣16+n，当n≥16＞0时，﹣16+n≥0，故C错误；综上，只有D正确．答案：D．6．如图，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠ABC、∠ADC，使两个直角顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕，设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x＝时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中错误的是（）A．②③B．③④C．①④D．①②解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，∴当AE＝1时，重合点P是BD的中点，∴点P是正方形ABCD的中心；故①结论正确，（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF∽△BAC，∵x＝，∴BE＝2﹣＝，∴，即，∴EF＝，同理，GH＝，∴EF+GH＝2＝AC故②错误．（3）六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．∵AE＝x，∴六边形AEFCHG面积＝22﹣•BE•BF﹣•GD•HD＝4﹣×（2﹣x）•（2﹣x）﹣•x•x＝﹣x2+2x+2＝﹣（x ﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，故③结论错误，（4）∵EF+GH＝AC，六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）＝2+2+2＝4+2．故六边形AEFCHG周长的值不变，故④结论正确．答案：A．7．关于x的分式方程+＝1的解为非负数，则二次函数y＝a2﹣12a+39的最小值是（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3解：解关于x的分式方程+＝1，得，x＝5﹣a，∵解为非负数，∴x＝5﹣a≥0，且5﹣a≠2，解得：a≤5且a≠3，∵二次函数y＝a2﹣12a+39＝（a﹣6）2+3，∴当a＜6时，y随a的增大而减小，∵a≤5且a≠3，∴a＝5时，二次函数y＝a2﹣12a+39＝4最小，答案：A．8．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3＜x1＜x2＜0，则下列结论正确的是（）A．y2＜y1B．y1＜y2C．函数的最小值是﹣3D．函数的最小值是﹣4解：y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），则该抛物线与x轴的两交点坐标分别是（﹣3，0）、（1，0）．又y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x＝﹣1．A、无法确定点A、B离对称轴x＝﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；B、无法确定点A、B离对称轴x＝﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．答案：D．9．若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x﹣3上的点，则m﹣n的最小值是（）A．0B．C．D．﹣3解：∵点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x﹣3上的点，∴n＝﹣2m2+2m﹣3，∴m﹣n＝m﹣（﹣2m2+2m﹣3）＝2m2﹣m+3＝2（m﹣）2+，∴m﹣n的最小值是，答案：C．10．对于题目“当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．”：甲的结果是2或，乙的结果是﹣或﹣，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．所以甲、乙的结果合在一起也不正确，答案：D．11．对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）A．m≤B．m C．D．m解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤，∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．解得m＜，综上，m＜答案：B．12．如图，约定：三角形下方的数等于上方两数之和，则y的最小值为﹣1．解：由题意得：y＝a+b＝x2+2x+2x+3＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴当x＝﹣2时，y有最小值﹣1．故答案为：﹣1．13．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是s≥9．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．14．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，AE＝CF＝3，点G、H在正方形ABCD 的内部或边上，若四边形EGFH是菱形，则菱形EGFH的最大面积为34．解：根据题意可得，由勾股定理可得EF＝；∵四边形EGFH为菱形，根据菱形面积公式，S EGFH＝，∴若要菱形EGFH的面积最大，只需GH值最大，∴根据题意可得G，H在图象上的位置为：过点E作EM⊥BC，垂足为M；过点G作GN⊥CD，垂足为N；又∵EF⊥GH，∴∠MEF＝∠NGH，又∵∠EMF＝∠GNH，EM＝GN，∴△EMF≌△GNH（AAS），∴GH＝EF＝2，∴＝34．15．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝﹣5．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，MN∥BC交AC于点N．联结NQ，设BQ＝x．则当x＝．时，四边形BMNQ的面积最大值为．解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，∵△QBM∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴QM＝x，BM＝x，∵MN∥BC，∴＝，即＝，∴MN＝5﹣x，∴四边形BMNQ的面积为：（5﹣x+x）×x＝﹣+，∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．故答案为：，．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a＞0），当t≤x≤t+1时，函数的最大值为M，最小值为m，记h＝M﹣m是关于t的函数，若函数h的图象经过点（0，1）和（，1），且函数h的最小值等于函数y的最小值，则函数y的表达式为y＝16x2﹣8x+1或y＝16x2﹣40x+25．解：∵a＞0，∴抛物线的开口方向向上，∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴直线为x＝﹣，∴当x＜﹣时，y随x的增大而减少，当x＞﹣时，y随x的增大而增大，①当t+1＜﹣时，当x＝t+1时，m＝y＝a（t+1）2+b（t+1）+c，当x＝t时，M＝y＝at2+bt+c，∴h＝M﹣m＝[a（t+1）2+b（t+1）+c]﹣（at2+bt+c）＝2at+a+b，此函数是一次函数，∵函数h的图象经过点（0，1）和（，1），∴此种情况不存在，②当t＞﹣时，同①的方法得，h＝﹣2at﹣a﹣b，此函数是一次函数，∵函数h的图象经过点（0，1）和（，1），∴此种情况不存在，③当t≤﹣≤t+1时，Ⅰ、当t≤﹣＜t+时，M＝y＝at2+bt+c，m＝，∴h＝M﹣m＝at2+bt+c﹣＝at2+bt+＝a（t+）2，∴函数h的最小值等于0，∵函数h的最小值等于函数y的最小值，∴函数y的最小值为0，即＝0，∴b2＝4ac，∵函数h的图象经过点（0，1）和（，1），∴，∴，将a＝16，b＝﹣8代入b2＝4ac中，64＝4×16c，∴c＝1，∴二次函数y的表达式为y＝16x2﹣8x+1，Ⅱ、当t+≤﹣＜t+1时，M＝y＝a（t+1）2+b（t+1）+c，m＝，∴h＝M﹣n＝a（t+1）2+b（t+1）+c﹣＝a（t+1）2+b（t+1）+＝a（t+1+）2，∴函数h的最小值等于0，∵函数h的最小值等于函数y的最小值，∴函数y的最小值为0，即＝0，∴b2＝4ac，∵函数h的图象经过点（0，1）和（，1），∴，∴，将a＝16，b＝﹣40代入b2＝4ac中，64＝4×16c，∴c＝25，∴二次函数y的表达式为y＝16x2﹣40x+25，故答案为y＝16x2﹣8x+1或y＝16x2﹣40x+25．18．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为10．解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．。
二次函数的最值问题(中考题)(含答案)
典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体,因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.一、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y ＝ａｘ2+b ｘ＋c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a >0向上，a ＜0向下；常数项ｃ描述抛物线与y 轴的交点（0，ｃ)，c >0时交点处x 轴上方，c <0时交点处x 轴的下方,c =0时时处原点;由对称轴公式x =－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b ２-4a ｃ大于0,等于0或小于0，决定抛物线和ｘ轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x =±１时ｙ的值的情况,来确定a ±b +c 等的符号问题．例１ 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(４,－11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的( )A 、只有a ﻩﻩB 、只有bC 、只有c ﻩＤ、有ａ和ｂ解：由顶点为（４,-11），抛物线交ｘ轴于两点,知ａ>0.设抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｘ1,x 2，即x １、x 2为方程ax 2+b ｘ＋c =0的两个根，由题设ｘ1x ２＜0知a c <0,所以c <0，又对称轴为ｘ=4知－ab2>０，故ｂ＜0.故选（A)． 二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数ａ、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2 已知二次函数f (x )=a ｘ2+b ｘ+ｃ的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=ｆ（99)=1999,|c |<1000，则c = .解：由已知f (ｘ)＝ax ２+bx+c ，且ｆ(19)=f (９9)=１99９，因此可设ｆ(ｘ)=a (x －１9)（ｘ－9９）+19９９,所以a ｘ2+bx+c =a （x -19)(x -99)+1999=ａx 2－(19+99)x +1９×99a ＋1999,故c ＝1999+1881ａ.因为｜ｃ|<1000,a 是整数，a ≠０,经检验,只有a =-1满足，此时c =１999-18８1=1１8．例３ 已知a,ｂ，c 是正整数,且抛物线y ＝ａx ２+bx+c 与x 轴有两个不同的交点Ａ，B,若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值.解:设A 、B 的坐标分别为A(x １，0),Ｂ(x ２，０)，且ｘ1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx+ｃ＝0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x ２<０ 又由题设可知△=b 2-4ac >０，∴b >2ac ① ∵|OA|=|x 1|＜1,|OB|=｜x ２|<1,即－1<x 1,x 2<0, ∴ac=x １x 2<1,∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当ｘ=－１时y >0， ∴a （－１)2+b (-1）＋c >０,即a ＋ｃ>ｂ． ∵b ,a +ｃ都是整数,∴a+c ≥b +1 ③ 由①,③得a+ｃ>2ac +1,∴(c a -)2>1，又由②知,c a -＞1,c a >＋1，即ａ＞(c +１)2≥（1+1)2＝4∴ａ≥５，又b ＞２ac ≥215⨯＞4,∴ｂ≥5 取a =5，b =5,c =1时，抛物线y ＝5x 2+5x ＋1满足题意. 故a+b ＋c 的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a 、b 、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a 、b 、c 建立联系．例4 如果y =ｘ2-(ｋ－1)x -k －1与ｘ轴的交点为A,Ｂ,顶点为C ，那么△ＡB Ｃ的面积的最小值是( )Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４解：由于△=(k －1)2＋４(k ＋1）=（k +1）2+4＞０,所以对于任意实数k ,抛物线与x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x 1,x 2，则：｜AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k ）, 因此Ｓ△ＡB Ｃ=52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k 因为k ２＋2ｋ+5＝（k +1)2＋4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △AＢC ≥14813=,故选A. 四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例5 已知二次函数y=x ２-x -2及实数ａ>－２.（1)函数在－２<x ≤a 的最小值; (2)函数在a ≤x ≤a ＋2的最小值. 解：函数y ＝x ２-x -2的图象如图1所示.(1）若－2＜a <21,当x ＝a 时,ｙ最小值=a 2-a －2若a ≥21，当x ＝21时,y 最小值=－49.(2)若－2<ａ且ａ+2<21，即-2<a <－23,当x ＝a +２时，ｙ最小值=（a +２）2-(a +2)－2=a ２+3a ，若a <21≤a +２,即-23≤ａ＜21，当ｘ=21时,y 最小值=-49．若a ≥21，当x =a 时,ｙ最小值=a 2－a -2．例6 当|ｘ+１｜≤６时,函数y ＝x |x |-2x +１的最大值是 . 解：由|x +1|≤６,得－７≤x ≤５,当0≤x ≤5时，y ＝x 2－2x ＋１=(x －1)2，此时y 最大值=（5－1）２=1６．当－7≤x <0，y =－x ２－2x ＋1=2-(x +1)2,此时y 最大值=2. 因此,当－7≤ｘ≤５时，y 的最大值是-1６．说明：对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程.例7 当a 取遍０到5的所有实数时，满足3ｂ=a (3ａ－8)的整数b 有几个？解：由３b =a （3ａ-８）有b ＝a 2-38a ,即b =(a －916)342-,因为,当ａ=0时，b =0时;当ａ=5时,b =1132利用二次函数图象可知－916≤b ≤1132所以ｂ可取到的整数值为－1,0,1,…,１１,共有1３个． 例8 已知a <0,b ≤0,c >0,且ac b 42-=b -2a ｃ,求b 2-4a ｃ的最小值. 解:令y ＝ax ２+bx+ｃ，由于ａ<0，b≤0，c >0，则△=b 2-4ａc >0,所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，Ｂ（x 2,0)．因为ｘ1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2,则ｘ１<0＜x 2,对称轴x ＝-ab 2≤0，于是｜x １|=c a acb b a ac b b =--=-+-242422, 故ab ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2-4ａc ≥4，当a =-1，b =0，c =1时，等号成立． 因此,b ２-4ａｃ的最小值为4． 练习题:１、已知二次函数y=a ｘ２＋bx+c 图像如图３所示,并设Ｍ=｜a+b+c |－｜a －b +ｃ|+|２ａ+b |-|２a -b ｜，则( ） Ａ、M >0 B 、M ＝０C 、M <0D 、不能确定M 为正、为负或为0 (答案:C)2、已知二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c （其中ａ是正整数)的图象经过点A(-1，４）与点B(2,１），且与x 轴有两个不同的示点,则b+c 的最大值为 ．(答案:-４)3、如图4,已知直线y =－2ｘ+3与抛物线y=x ２相交于Ａ、Ｂ两点,O 为坐标原点,那么△OＡＢ的面积等于 .(答案:6)4、设ｍ为整数,且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于-59而小于73,则ｍ＝ ．图3 图4(提示：设y =３ｘ2+m ｘ-2，由题设可知x =－59时ｙ>0，且x ＝73时y >0．答案：４)5、已知函数y =(a +2）ｘ2-2(a 2－1)ｘ＋1，其中自变量x 为正整数,a 也是正整数，求x 为何值时,函数值最小．(答案：x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<-=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当a a a a a a (其中a 为正整数),函数值最小.６、已知关于x 的方程x 2-（２m -3)x ＋m －４=０的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-２，α2>0，求m 的取值范围．(答案:5674<<m ) ７、已知关于正整数ｎ的二次式y ＝n 2+an （ａ为实数),若当且仅当n =5时,y 有最小值，则实数a 的取值范围是 .(答案:－11＜ａ<-9)。
二次函数的最值问题(含答案)
---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
二次函数的最值问题
二次函数的最值问题二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，x为自变量。
二次函数图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，而最值问题则是指在给定范围内，函数取得的最大值或最小值。
一、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是数学中常见的问题之一，解决这类问题的关键是找到函数的顶点。
顶点即是抛物线的极值点，对于开口朝上的抛物线，顶点表示最小值；对于开口朝下的抛物线，顶点表示最大值。
二、求解二次函数的最值步骤求解二次函数的最值问题可按以下步骤进行：1. 确定二次函数的开口方向，即判断二次系数a的正负。
2. 利用求导的方法，求得二次函数的导函数。
3. 将导函数等于零并解方程，得到函数的顶点。
4. 求得函数的顶点后，判断是最小值还是最大值。
举例说明：以二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3为例，来演示求解最值的过程。
1. 开口方向的判断：由于二次系数a为正数，故函数的开口朝上，顶点表示最小值。
2. 求导：首先对函数进行求导，得到导函数f'(x) = 4x - 4。
3. 求解顶点：令导函数f'(x)等于零，并解方程得到x = 1。
4. 判断最值：将x = 1代入原始函数f(x)中，得到f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1。
因此，函数f(x)的最小值为1，当x = 1时取得。
通过以上步骤，我们可以求解二次函数的最值问题。
然而，在实际问题中，最值问题往往还涉及到函数的定义域和范围等约束条件。
因此，在解决最值问题时，需要充分考虑这些条件，以确保结果的准确性和合理性。
总结：二次函数的最值问题是数学中常见而重要的问题。
通过分析二次函数的开口方向，并利用导数等工具求解顶点，我们能够准确地确定函数的最大值或最小值。
然而，在实际问题中，我们还需要注意约束条件的考虑，以确保最终结果的可行性。
只有在深入理解二次函数的特性和运用相应的求解方法时，才能更好地解决二次函数的最值问题。
二次函数的极值点问题
二次函数的极值点问题二次函数在高中数学中是一个非常重要的内容，它的应用非常广泛。
在二次函数的相关知识中，极值点问题是一个比较常见的问题。
本文将从什么是极值点、怎样求二次函数的极值点以及如何判断二次函数的极值点来详细讨论二次函数的极值点问题。
一、什么是极值点？极值点是指函数在定义域内取得最大值和最小值的点的集合。
对于函数f(x)来说，如果f(x)在x0处取得最大值或最小值，那么x0就是f(x)的一个极值点。
二、怎样求二次函数的极值点？对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
首先，我们考虑求出它的顶点坐标(x0,y0)。
顶点坐标即为f(x)的最小值或最大值。
可以通过求导来确定顶点坐标。
f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
当f'(x) = 0时，可得二次函数f(x)的极值点为x0 = -b/2a。
此时，f(x)取得最小值y0，当a>0时；或者取得最大值y0，当a<0时。
例如，求函数f(x) = x² + 2x + 1的极值点。
通过求导得到f'(x) = 2x + 2。
令f'(x) = 0，得到x0 = -1。
所以f(x)的极值点为(-1,0)。
同时可以证明f(x)的顶点就是(-1,0)。
三、如何判断二次函数的极值点？判断二次函数的极值点需要借助二次函数图像的性质。
具体来说，当二次函数是开口向上时，它在顶点处取得最小值；当二次函数是开口向下时，它在顶点处取得最大值。
例如，函数f(x) = -x² + 2x + 1。
通过求导得到f'(x) = -2x + 2。
令f'(x) = 0，得到x0 = 1。
由于a<0，所以f(x)的顶点就是极大值，即f(x)的极值点为(1,2)。
总结：本文从什么是极值点、怎样求二次函数的极值点以及如何判断二次函数的极值点三个方面详细讨论了二次函数的极值点问题。
二次函数最值问题及其解决方法
二次函数最值问题及其解决方法首先，我们可以通过求导数的方法来找到二次函数的极值。
对于一个一般形式的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a \neq 0$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=2ax+b$。
通过求导数，可以得到函数的极值点。
当导数 $f'(x)$ 为零时，即 $2ax+b=0$，解出 $x$ 的值，并代入原函数$f(x)$ 中，即可得到函数在该点上的最大值或最小值。
举个例子来说明，设有一个二次函数 $f(x)=2x^2+3x-2$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=4x+3$。
将导数设置为零，得到 $4x+3=0$，解得$x=-\frac{3}{4}$。
将 $x=-\frac{3}{4}$ 代入原函数 $f(x)$ 中，得到$f(-\frac{3}{4})=\frac{31}{8}$。
所以函数在 $x=-\frac{3}{4}$ 处取得最小值 $\frac{31}{8}$。
其次，我们也可以通过二次函数的图像特征来找到二次函数的最大值和最小值。
我们知道，二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
如果二次函数的系数$a>0$，那么它的抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值就是抛物线的顶点的纵坐标值；如果二次函数的系数$a<0$，那么它的抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值就是抛物线的顶点的纵坐标值。
下面我们以一个具体的例子来说明这种方法。
考虑一个二次函数$f(x)=x^2-4x+3$。
我们可以求出该二次函数的顶点坐标，并判断它的开口方向。
先求导数$f'(x)=2x-4$，将导数设置为零，得到$2x-4=0$，解得$x=2$。
将$x=2$代入原函数$f(x)$中，得到$f(2)=-1$。
所以函数的最小值为$-1$。
通过分析二次函数$f(x)$，我们可以发现系数$a=1>0$，所以抛物线开口朝上，这也验证了我们的结论。
二次函数线段最值问题二师兄解答
二次函数线段最值问题二师兄解答
【实用版】
目录
1.二次函数线段最值问题的基本概念
2.二次函数线段最值问题的求解方法
3.二次函数线段最值问题的实际应用
正文
一、二次函数线段最值问题的基本概念
二次函数线段最值问题是数学中的一个经典问题，它涉及到二次函数的性质以及线段最值的求解。
在实际生活和学习中，我们经常会遇到这类问题，例如在物理、化学、经济学等领域，它都有广泛的应用。
二次函数是指一个函数的最高次项是二次的函数，它的一般形式是f(x)=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
线段最值问题是指在线段上寻找某一函数的最大值或最小值。
二、二次函数线段最值问题的求解方法
求解二次函数线段最值问题，通常采用以下两种方法：
1.配方法：将二次函数转化为顶点式，然后根据顶点的横坐标求出最值。
配方法的步骤是：先将二次项和一次项的系数分别除以 2，然后将二次项和一次项的平方项加减到一个完全平方项中，从而将二次函数转化为顶点式。
2.导数法：对二次函数求导，然后令导数等于 0，求出极值点。
根据极值点的横坐标，可以判断出最大值或最小值。
三、二次函数线段最值问题的实际应用
二次函数线段最值问题在实际应用中非常广泛，例如在经济学中的最
优化问题，求解最大利润或最小成本；在物理学中的抛物线运动问题，求解最高点或最低点等。
掌握好二次函数线段最值问题的求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。
综上所述，二次函数线段最值问题是一个具有实际意义的数学问题，通过配方法和导数法，我们可以有效地求解这类问题。
中考数学二次函数大题 二次函数最值问题
二次函数最值问题题型一竖直线段（或水平线段）最值问题典例剖析例1如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标及DF的最大值．跟踪训练1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值．2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．（1）求二次函数的表达式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB 于点D，求线段PD的最大值．过关精练1．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．题型二斜线段最值问题典例剖析例1如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点过点P作PH⊥AC于点H，求线段PH长度的最大值．例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B 的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，求直线BD的表达式；（2）点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，当MN取得最大值时，求点N的坐标．1．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．当EF取最大值时，求点D的坐标．1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．2. 在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；题型三 线段和差最值问题典例剖析例1 如图，抛物线L ：y ＝x 2﹣x ﹣3与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求PD +BD 的最大值，并求出此时点P 的坐标．例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （-1，0），B （25，0），直线y=x+21与抛物线交于C ，D 两点，点P 是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P 作PG⊥CD，垂足为G ，PQ∥y 轴，交x 轴于点Q ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）当2PG+PQ 取得最大值时，求点P 的坐标和2PG+PQ 的最大值1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A （1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，4），且抛物线的对称轴为直线x=23-． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC 上方的抛物线上有一动点M ，过点M 作MN⊥x 轴，垂足为点N ，交直线BC 于点D ；是否存在点M ，使得MD+22DC 取得最大值，若存在请求出它的最大值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23212--x x 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．一次函数y=21x+b 与抛物线交于A 、D 两点，交y 轴于点C ． （1）求点D 的坐标；（2）点E 是线段CD 上任意一点，过点E 作EF⊥y 轴于点F ，过点E 作EP⊥AD 交抛物线于点P ．点P 位于直线AD 下方，求EF PE 455+的最大值及相应的P 点坐标．1. 抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E，当PE+EC的值最大时，求出对应的点P的坐标．题型四 周长最值问题典例剖析例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过(0,1)A -，(4,1)B ．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，//PE x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PDE ∆的周长取得最大值时，求点P 的坐标和PDE ∆周长的最大值．例2 如图，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴交于点E ．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 周长的最大值；跟踪训练1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）如图1，连接AC，BC，求直线BC的表达式；（2）若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF ⊥BC于点F．当△PEF的周长最大时，求△PEF的周长最大值及此时点P的坐标．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AD、BD．（1）如图1，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥BC 交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，求点P的坐标．过关精练1. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（-4，0），与y轴交于C（0，-3），连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；题型五面积最值问题典例剖析例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接P A，PD，求△P AD面积的最大值．例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标．跟踪训练1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接P A，PB，求△P AB面积的最大值．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F 为y轴上一点，求△PBE的最大面积及点P的坐标．A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．求△PCE的最大面积及点P的坐标．过关精练1．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积最大？2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）试判断△ABC的形状；（1）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，求△PCD的最大面积及点P的坐标．4．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），直线BC的解析式为y＝x﹣2，过点A作AD∥BC交抛物线于点D，点E为直线BC下方抛物线上一点，连接CD，DB，BE，CE．（1）求抛物线的解析式；（2）求四边形DBEC面积的最大值，以及此时点E的坐标．题型六 其他最值问题典例剖析已知：抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-1，0），B （3，0），C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 为直线BC 上方抛物线上任意一点，连PC 、PB 、PO ，PO 交直线BC 于点E ，设k OEPE ，求当k 取最大值时点P 的坐标，并求此时k 的值．跟踪训练1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A （-2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点C （0，-3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当AM PM 最大时，求点P 的坐标及AMPM 的最大值。
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
二次函数的极值问题解析与求解技巧
二次函数的极值问题解析与求解技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，具有许多实际应用。
在解析与求解二次函数的极值问题时，我们需要掌握一些基本的技巧和方法。
本文将对二次函数的极值问题进行分析，并介绍求解的具体步骤和技巧。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax²+ bx + c，其中a、b和c为实数，且a≠0。
在解析与求解极值问题时，我们通常关注函数的顶点，即极值点。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点可以通过求导数的方法来找到。
我们首先将二次函数的一般形式化为顶点形式：f(x) = a(x - h)²+ k，其中(h, k)为顶点的坐标。
求导数f'(x) = 2a(x - h)，令f'(x) = 0，解得x = h。
将x = h代入二次函数中，得到顶点的纵坐标k。
通过以上步骤，我们可以得到二次函数的顶点坐标。
三、极值问题的求解步骤1. 将二次函数化为顶点形式：f(x) = a(x - h)²+ k。
2. 求导数f'(x) = 2a(x - h)，令f'(x) = 0，解得x = h。
3. 将x = h代入二次函数中，得到顶点的纵坐标k。
4. 判断二次函数的开口方向：若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
5. 根据二次函数的开口方向，可以确定函数的极值：若开口向上，则顶点为最小值；若开口向下，则顶点为最大值。
四、解题技巧1. 注意二次函数的定义域和值域：对于一般的二次函数，定义域为全体实数；对于顶点形式的二次函数，定义域为全体实数，值域为k 及以上或k及以下的实数。
2. 对于较复杂的二次函数，可以通过配方法或因式分解的方式将其化简，进而求得顶点形式。
3. 如果需要求二次函数的最值，可以通过求导数的方法来找到极值点。
五、实例解析现假设有一个二次函数f(x) = 2x² - 3x + 1，我们来求解它的极值问题。
二次函数的极值问题
2.某公司试本单价,又不高于
800元/件,经市场调查,发现销售量y(件)与销售单价
x(元/件)可以近似看作一次函数的关系(如图).
(1)根据图象,求y与x的函数关系式;
(2)设公司获得的毛利润为s元,试求s与x的函数
关系式;
(3)试问:销售单价定为多少时,该公司可获得最大
的面积最大为112.5平方米。
（3）由图象知：当6≤X ≤11时,面积 不小于88平方米.
如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱 笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少 (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积.
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
x \ 元 以求出顶点的横坐标.
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x)
少 设该种粮大户的今年总收益为y元.
y=440×360+(440-2x)●x
=-2x2+440x+158400 ……
=-2(x-110)2+182600
所以,当x=110时,y有最大值182600 ……
3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元, 每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查, 如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出 租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的 日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高 比装修前的日租金的总收入增加多少元
二次函数的极值问题
二次函数的极值问题二次函数是一个常见的数学概念，在数学中经常遇到与二次函数相关的问题。
其中一个重要的问题是关于二次函数的极值问题。
本文将探讨二次函数的极值问题，包括寻找极大值和极小值的方法以及与实际问题的应用。
一、二次函数的形式二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a≠0。
二次函数的图像为一条抛物线，开口的方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、寻找二次函数的极值寻找二次函数的极值可以用求导数的方法进行，即通过计算导数的零点来确定函数的极值点。
以f(x) = ax^2 + bx + c为例，对其进行求导，有f'(x) = 2ax + b。
令f'(x) = 0，求得x = -b/(2a)。
根据二次函数的图像特点可知，当a>0时，二次函数的图像开口向上，此时二次函数在x = -b/(2a)处取得极小值；当a<0时，二次函数的图像开口向下，此时二次函数在x = -b/(2a)处取得极大值。
因此，通过计算得到极值点的横坐标x = -b/(2a)，然后将其代入原函数f(x)中，即可求得函数的极值。
三、二次函数极值问题的应用二次函数的极值问题在实际中有广泛的应用。
以下以两个实际问题为例说明。
1. 高空抛物问题某人从建筑物的顶部往下抛一个物体，其抛出的高度可以用二次函数进行描述。
已知抛物线的顶点坐标为(x0, y0)，可以通过求解极值点找出抛物线的最高点或最低点。
2. 最大利润问题假设一个公司生产某种产品，其销售量与售价之间的关系可以用二次函数表示。
此时，通过求解极大值点，可以找到销售量与售价组合下的最大利润。
通过上述两个实际问题的例子，可见二次函数的极值问题对于解决实际问题非常有用。
结语通过本文对二次函数的极值问题的探讨，我们了解到了如何寻找二次函数的极值以及其在实际问题中的应用。
二次函数的极值与拐点问题
二次函数的极值与拐点问题二次函数是一种常见的函数形式，其通常表示为f(x) = ax^2 + bx + c 的形式，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，极值和拐点是重要的概念，它们能帮助我们理解函数的特性和图像的形状。
本文将详细讨论二次函数的极值与拐点问题，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、极值问题在二次函数中，极值是指函数取得的最大值或最小值。
要确定二次函数的极值，我们需要首先找到函数的顶点。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点坐标可以通过如下公式求得：x = -b/2ay = f(x)其中，x为顶点的横坐标，y为顶点的纵坐标。
根据这一公式，我们可以先求得x的值，再代入函数中求得相应的y值，从而得到顶点的坐标。
需要注意的是，当a>0时，二次函数开口向上，顶点为函数的最小值；当a<0时，二次函数开口向下，顶点为函数的最大值。
因此，极值的判断依赖于二次函数的开口方向。
二、拐点问题拐点是指函数图像由凹向上变为凹向下（或由凹向下变为凹向上）的转折点。
对于二次函数来说，拐点的存在与函数的二阶导数有关。
要确定一个二次函数的拐点，我们首先需要求得函数的二阶导数。
对一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，该函数的一阶导数为f'(x) = 2ax + b，二阶导数为f''(x) = 2a。
由此可见，二次函数的二阶导数恒为2a，即不与x有关。
有了二次函数的二阶导数恒为2a的结论，我们可以得出以下结论：1. 当a>0时，二次函数的二阶导数恒为正值，表示函数图像是凹向上的，因此不存在拐点。
2. 当a<0时，二次函数的二阶导数恒为负值，表示函数图像是凹向下的，同样不存在拐点。
综上所述，二次函数的拐点问题只存在于一次函数中，而在二次函数中，拐点的概念并不适用。
因此，我们重点关注二次函数的极值问题。
总结：二次函数的极值与拐点问题是函数的重要概念，通过求解二次函数的顶点，我们可以确定函数的最大值或最小值。
初中数学竞赛——二次函数极值问题
第10讲 二次函数极值问题 典型例题一. 基本训练【例1】 求函数243(05)y x x x =-+≤≤的最大值和最小值．【例2】 已知关于x 的函数23y x ax =++，其中11x -≤≤，试分别求出下列条件下函数的最大值和最小值．（1）02a ＜＜；（2）2a ＞．【例3】 求函数22y x ax =-（01x ≤≤）的最大值、最小值．【例4】 求函数2(1)2(1)y m x m x m =+-+-的最大值和最小值，其中m 为常数（1m ≠-）．【例5】 求函数()2f x x x x x =--在312x -≤≤的最小值．【例6】 设a 为非零实数，求函数22()2(1)2f x ax a x =-++（01x ≤≤）的最大值与最小值．二. 巩固提高【例7】 已知26y x mx =+-，当13m ≤≤时，0y ＜恒成立．求m 的取值范围．【例8】 二次函数228y x ax =-+在12x ≤≤时，函数的最小值为5，求a 的值．【例9】 在ABC △中，2BC =，BC 边上的高1AD =，P 是BC 上任一点，PE AB ∥交AC 于点E ，PF AC ∥交AB 于点F ．（1）设BP x =，将PEF S △用x 表示．（2）P 在BC 的什么位置时，ABC S △最大．【例10】 设二次函数2()y f x ax bx c ==++的图象的对称轴是230x -=，在x 轴的截距的倒数的和为2，且经过点(33)-，． （1）试求a b c 、、的值；（2）当x 在什么值时，1y ＞或3y -＜？（3）当x 为何值时，y 有最大值？并求最大值．（4）作出此函数的图象．【例11】 已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交于A B 、两点．点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间．（1）求线段AB 的长；（2）当PQ y ∥轴，求PQ 长度的最大值．三. 多个字母的极值问题 【例12】 已知x ，y ，z 为实数，且26x y z +-=，23x y z -+=，那么222x y z ++的最小值是多少？【例13】 设0x ≥，0y ≥，26x y +=，求224363u x xy y x y =++--的最大值.【例14】 已知1y≤，且21x y +=，求222162x x y ++的最小值．【例15】 若x ，y 都是实数，则22331999x xy y x y ++--+的最小值是多少？【例16】 实数x 、y 、z 满足321x y z ++=，求22232x y z -+的最小值．思维飞跃【例17】 已知()y f x =【例18】 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()a x x ax bxb x bx ------0≥恒成立．当乘积ab 最小时，求a b 、的值．【例19】 若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的顶点在第一象限，且经过(01)，和(10)-，，求S a b c =++的取值范围．【例20】 设a 、b 为可使方程43210x ax bx ax ++++=，至少有一实根的实数，对于所有这样的数对()a b ，，求22a b +的最小值．作业1. 若函数2212y x bx c =-+的自变量x 的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定能满足要求的是（ ）（A ）0b c ＞＞（B ）0b c ＞＞ （C ）0c b ＞＞（D ）0c b ＞＞2. 设a b c 、、是ABC △的三边长，二次函数()222b b y a x cx a =----在1x =时取最小值85b -，则ABC △是（ ） （A ）等腰三角形（B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形（D ）直角三角形3. 求函数3y =4. 已知t 是实数，若a b 、是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，求22(1)(1)a b --的最小值．5. 设a 、b 为实数，求代数式222a ab b a b ++--的最小值．6. 求函数21y x bx =++（02x ≤≤）的最大值、最小值．7. 二次函数25y x ax =++在12x ≤≤时，函数的最小值为2，求a 的值．8. 已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点(14)A -，和点(21)B ，，并且与x 轴有两个不同的交点，求b c +的最大值．。
二次函数中的极值问题
专题复习——二次函数中的极值问题教学目标1.熟悉三角形三边之间的关系与两线段和差的极值的关系2.了解三角形与二次函数结合图形中的极值问题的解决方法3.通过解决几何图形中的线段和差的极值问题，周长的极值问题，以及面积的几值问题提高学生解决问题的能力，培养学生的数学素养。
重点1．三角形三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边定理的应用2．会从复杂的几何图形中分解出熟悉简单的几何图形解决几何问题难点1.如何利用三角形三边关系的模型解决极值问题2.通过综合利用所学知识解决几何问题的能力，提高学生的答题技巧。
教学方法探究法，转化法，类比法教学过程（一）知识点复习1.三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边2.三角形的底边不变，面积的大小和高之间的关系底边不变时高越长面积越大3.二次函数的极值与极小值是什么？当二次函数y＝ax2＋bx＋c，a>0时，函数有最小值当二次函数y＝ax2＋bx＋c，a<0时，函数有最大值（二）例题如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(4，0)、B(1，0)，点C为y轴上一点，且OC＝2.连接AC，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；定理应用：三角形任意两边之和大于第三边因E点在y轴上，作B点关于y轴的对称点坐标为M（-1.0）与D点的连线与y 轴的交点就是E点。
(3)设点F在直线l上，是否存在点F，使得△FCB的周长最小，若存在，求点F的坐标及△BCF的周长最小值，若不存在，说明理由；定理应用：三角形任意两边之差小于第三边由三角形三边关系得GD-GB<BD,当三点共线时GD-GB=BD，所以G,D,B三点共线时GD-GB的差最大，所以连接BD并延长与y轴的交点为G点，G点的坐标可有BD的解析式与y轴的交点求得。
(5)在线段AC上方的抛物线上存在一点H，使得△ACH的面积取得最大值，求出H点的坐标，并求出此时△ACH的面积（思路解析一）利用二次函数求极大值H在抛物线上设H（m，- m²＋m-2），K在AC上，K(m，m-2)，HK平行L，则三角形的面积可表示为S=×4×[（- m²＋m-2）-m-2) ]=-(m+2)²+4所以面积最大值为4.（思路解析二）当三角形的底边不变时，高越大面积越大。
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第10讲 二次函数极值问题 典型例题
一. 基本训练
【例1】 求函数243(05)y x x x =-+≤≤的最大值和最小值．
【例2】 已知关于x 的函数23y x ax =++，其中11x -≤≤，试分别求出下列条件下函数的最大值和
最小值．
（1）02a ＜＜；
（2）2a ＞．
【例3】 求函数22y x ax =-（01x ≤≤）的最大值、最小值．
【例4】 求函数2(1)2(1)y m x m x m =+-+-的最大值和最小值，其中m 为常数（1m ≠-）．
【例5】 求函数()2f x x x x x =--在312
x -≤≤的最小值．
【例6】 设a 为非零实数，求函数22()2(1)2f x ax a x =-++（01x ≤≤）的最大值与最小值．
二. 巩固提高
【例7】 已知26y x mx =+-，当13m ≤≤时，0y ＜恒成立．求m 的取值范围．
【例8】 二次函数228y x ax =-+在12x ≤≤时，函数的最小值为5，求a 的值．
【例9】 在ABC △中，2BC =，BC 边上的高1AD =，P 是BC 上任一点，PE AB ∥交AC 于点E ，
PF AC ∥交AB 于点F ．
（1）设BP x =，将PEF S △用x 表示．
（2）P 在BC 的什么位置时，ABC S △最大．
【例10】 设二次函数2()y f x ax bx c ==++的图象的对称轴是230x -=，在x 轴的截距的倒数的和为2，
且经过点(33)-，
． （1）试求a b c 、、的值；
（2）当x 在什么值时，1y ＞或3y -＜？
（3）当x 为何值时，y 有最大值？并求最大值．
（4）作出此函数的图象．
【例11】 已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交于A B 、两点．点P 在抛物
线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间．
（1）求线段AB 的长；
（2）当PQ y ∥轴，求PQ 长度的最大值．
三. 多个字母的极值问题 【例12】 已知x ，y ，z 为实数，且26x y z +-=，23x y z -+=，那么222x y z ++的最小值是多少？
【例13】 设0x ≥，0y ≥，26x y +=，求224363u x xy y x y =++--的最大值.
【例14】 已知1y
≤，且21x y +=，求222162x x y ++的最小值．
【例15】 若x ，y 都是实数，则22331999x xy y x y ++--+的最小值是多少？
【例16】 实数x 、y 、z 满足321x y z ++=，求22232x y z -+的最小值．
思维飞跃
【例17】 已知()y f x =
【例18】 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()
a x x ax bx
b x bx ------0≥恒成立．当乘积ab 最小时，求a b 、的值．
【例19】 若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的顶点在第一象限，且经过(01)，
和(10)-，，求S a b c =++的取值范围．
【例20】 设a 、b 为可使方程43210x ax bx ax ++++=，至少有一实根的实数，对于所有这样的数对
()a b ，，求22a b +的最小值．
作业
1. 若函数2
212y x bx c =
-+的自变量x 的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定能满足要求的是（ ）
（A ）0b c ＞＞
（B ）0b c ＞＞ （C ）0c b ＞＞
（D ）0c b ＞＞
2. 设a b c 、、是ABC △的三边长，二次函数()
222b b y a x cx a =-
---在1x =时取最小值85b -，则ABC △是（ ） （A ）等腰三角形
（B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形
（D ）直角三角形
3. 求函数3y =
4. 已知t 是实数，若a b 、是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，求22(1)(1)
a b --的最小值．
5. 设a 、b 为实数，求代数式222a ab b a b ++--的最小值．
6. 求函数21y x bx =++（02x ≤≤）的最大值、最小值．
7. 二次函数25y x ax =++在12x ≤≤时，函数的最小值为2，求a 的值．
8. 已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点(14)A -，和点(21)B ，，并且与x 轴
有两个不同的交点，求b c +的最大值．。