免费的南大历年《量子力学》真题
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
南开大学《量子力学》考研真题详解
南开大学《量子力学》考研真题详解2021年南开大学《量子力学》考研全套目录•南开大学陈省身数学研究所《量子力学》历年考研真题汇编•全国名校量子力学考研真题汇编•2021年量子力学考研真题精解精析50题说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。
2．教材教辅•曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解•[预售]曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。
•试看部分内容波函数与Schrödi nger方程1.1 复习笔记一、波函数的统计诠释1实物粒子的波动性de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-p article duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为并称之为物质波（matter wave）．2波粒二象性的分析（１）包括波动力学创始人Schrödi nger，de Brogli e等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．3概率波，多粒子体系的波函数把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Bo rn（1926）提出的概率波．表征在r点处的体积元中找到粒子的概率．这就是Born提出的波函数的概率诠释．它是量子力学的基本原理之一．根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为1，即要求波函数ψ（r）满足下列条件这称为波函数的归一化（normalization）条件．归一化条件就可以简单表示为（ψ，ψ）=14动量分布概率动量分布概率密度即．5不确定性原理与不确定度关系不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Hei senberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映．6力学量的平均值与算符的引进令称为动量算符．l是一个矢量算符．它的三个分量可以表示为一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出是与力学量A相应的算符．如波函数未归一化，则与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为7统计诠释对波函数提出的要求统计诠释赋予了波函数确切的物理含义．根据统计诠释，究竟应对波函数ψ（r）提出哪些要求?（1）根据统计诠释，要求|ψ（r）|2取有限值似乎是必要的，即要求ψ（r）取有限值．（2）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）但概率描述中实质的问题是相对概率．因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数．（3）按照统计诠释，要求|ψ（r）|2单值．是否由此可得出要求ψ（r）单值?否．（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性．2021年量子力学考研真题精解精析50题1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:量子力学的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含南师大物理学专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含南师大考研专业课量子力学各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据南师量子力学各专业考试科目的考试题型（简答题、计算题、证明题、综合题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 近年真题分析：最新真题是南师考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的南师考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
part 4 未来考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵南师大考研的核心要旨。
part 5 南师大考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。
②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。
③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。
part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。
part 7 章节考点分布表：罗列南师大考研专业课量子力学的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓南师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。
二、南师大历年真题与答案详解：整理南师大该科目的1997-2018年考研真题，并配有2010-2018年真题答案详解，本部分包括了（解题思路、答案详解）两方面内容。
南京大学2003量子力学考研真题
一、一个质量为 µ 的粒子处于一维谐振子势V (x) = 1 µω 2 x 2 中运动，ω 为该谐振子的本
2
征振动频率。如果 t = 0 时，该粒子处于态ψ (x,0) =
1ψ 3
0
(x
)
+
cψ
2
(x
)
，其中ψ
0
(x
)
和
ψ 2(x) 分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数， c 为待定常数且
（30 分）
六、两个粒子被束缚在一个边长为 a > b > c 的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能
为V
(xr1 ,
r x2
)
=
AδБайду номын сангаас
(xr1
−
r x2
) 可以作为微扰，其中
r x1 和
r x2
分别为两个粒子的坐标，
A
为
实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准确至 A 的一次方。
1) 两个粒子为自旋为零的全同玻色子；
（15 分）
2) 两个粒子为自旋 1 的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行（即总自旋为 1）。 2
（15 分）
=
0
V0
x >a/2
x
<
。设粒子的能量 E a/2
> V0 。试求发生共振透射（即透射系数为
1）
的条件。
（30 分）
四、两个自旋为
1 2
的粒子组成的系统由哈密顿量 H
=
A(S1z
+
S2z )+
第3章 量子力学基础 南京航空航天大学 近代物理 习题
第三章量子力学基础
波粒二象性
3-1计算动能分别为1.0keV、1.0MeV、1.0GeV的电子的德布罗意波长。
3-2一束带电粒子经206V电压加速后，测得其德布罗意波长为2.0×10−3nm，已知该粒子所带的电荷量与电子电荷量相等，求这粒子的质量。
3-3一个电子的动能等于它的静能，试求该电子的速率和德布罗意波长。
1
2不确定性关系
3-4设粒子沿x 轴运动时，速率的不确定量为Δv ＝1cm·s −1，试估算下列情况下坐标的不确
定量Δx ：（1）电子；（2）质量为10−13kg 的布朗粒子；（3）质量为10−4kg 的小弹丸。
3-5试证：如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则其速度的不确定量大于或等于
其速度（不确定性关系：h p x ≥Δ⋅Δ）。
*3-6一个光子的波长为3.0×10−7m ，如果测定此波长的精确度
=Δλλ10−6，试求同时测定此
光子位置的不准确量（即光波列长度）。
3波函数 薛定谔方程
3-7一维无限深势阱中粒子的定态波函数为x a n a n πψsin 2=。
试求下列两种情况下在x ＝0到x ＝
3
a 之间找到粒子的概率：（1）粒子处于基态时；（2）粒子处于n ＝2状态时。
3-8一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态： ⎩⎨⎧<≥=−)0(0
)0()(x x Axe x x
λψ 式中λ＞0。
求：（1）波函数)(x ψ的归一化常数A ；（2）粒子的概率分布函数；（3）发现粒子概率的最大位置？（积分公式：
3022dx e x bx ∫∞−=）。
北京大学南京大学量子力学考研试题题库
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南京师范大学量子力学1999真题
南京师范大学1999年硕士入学考试试题量子力学试题南京师范大学1999年研究生入学考试试卷学科专业：理论物理考试科目：量子力学553擒狐（qinhu）编缉 OICQ:6852428一、填充题（每题4分）1、波函数的统计解释是___________________________________________，其标准条件是____________________。
2、设为一维线性谐振子的波函数，则有____________；__________。
____________；_______。
3、设为和的共同本征矢，则；。
4、设有波函数，几率密度；几率流密度；；。
5、氢原子中电子处于3d态，的径向颁为最大值时的r=_______________。
6、在表象中，在自旋态中的可能测值为___________和________，其相应几率分别为_____________和______________。
7、对易关系：；；；。
8、中心力场中，电偶极跃迁的选择定则为；。
9、考虑到电子自旋，氢原子能级的简并度为______________；碱金属原子能级的简并度为___________ _____。
10、两个角动量，耦合的总角动量J=____________和_____________。
相应耦合态个数分别为________个和________个。
二、计算题（每题10分）1、试求粒子（E>0）在下列势阱壁（x=0）处的反射系数（见图）。
2、试计算在和共同本征态中的平均值。
3、设粒子在具有理想反射壁的球内运动，粒子的势能为求粒子的角动量为零时能级和归一化的波函数。
4、一维非线性谐振子的势能为若把非谐振项看作微扰，试求基态和第一激发态能量的一级修正。
5、用玻恩近似方法，求在势场中散射微分截面。
6、两个自旋波函数各有几个？在情况下，对称和反对称的自旋波函数各有几个？。
免费的南大历年《量子力学》的真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
南京大学2001量子力学考研题
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。
求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。
若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。
（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。
在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。
考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。
（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。
可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。
晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。
（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。
免费的南大历年《量子力学》的真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
南京大学2002量子力学考研题
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
一、 一维自由粒子的状态由波函数()kx kx x cos 2
1sin 2+=ψ描述。
求粒子的动量平均值和动能平均值。
（20分）
二、 粒子被约束在半径为r 的圆周上运动
1）设立“路障”进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动，即
()⎩⎨⎧<<∞<<=π
ϕϕϕϕϕ2,0,000V ，求解粒子的能量本征值和本征函数； 2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？
（20分） 提示：在柱坐标系下222222
11z u u u u ∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇ϕρρρρρ 三、 设算符ˆˆˆN a a +=且ˆˆ,1a a +⎡⎤=⎣⎦，
证明：如果ψ是N ˆ的本征函数，对应的本征值为λ，那么，波函数ψ=ψa ˆ1也是N ˆ的本征函数，对应的本征值为1-λ，而波函数ψ=ψ+a ˆ2
也是N ˆ的本征函数，对应的本征值为1+λ。
（20分）
四、 一个粒子在二维无限深势阱()⎩⎨⎧∞<<=elsewhere
a y x x V ,,0,0中运动，设加上微扰xy H λ=1 ()a y x <<,0，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）
五、 若电子处于z S ˆ的本征态，试证在此态中，y S ˆ取值为2
-或2 的几率各为21。
（20分）。
南京大学考研量子力学试题2001-2009
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。
求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。
若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。
（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。
在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。
考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。
（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。
可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。
晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。
（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。
兰州大学量子力学习题
求氢原子能量、角动量平方及角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 4.4 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
-3-
4.5 对于类氢离子的基态 100，求概然半径（最可几半径）及 r , r 。
2
4.6 对于类氢离子的 nlm 态，证明
1 <T>= 2 <V>= En。
Fn1 /[( En E1 ) 2 2 / 2 ]
第七章 自旋
2
7.1 证明
ˆ x ˆ y ˆz i
。 中，
1 (sz )
7.2 求在自旋态
2
ˆ ˆ S S x 和 y 的测不准关系：
S x 2 S y 2 ?
0 1 0 i ˆ ˆ S S x y 1 0 i 0 2 2 的本征值和所属的本征函数。 7.3 求 及
x0 0 xa ax
中运动，求存在束缚态(E<0)的条件( ，m，a，V0 关系)以及能级方程。
-1-
1 2.7 求二维各向同性谐振子[V= 2 k(x2+y2)]的能级，并讨论各能级的简并度。
2.8 粒子束以动能 E= k
2 2
2m 从左方入射，遇势垒
0, V ( x) V0 ,
r L L r 2ir p L L p 2ip
3.7 设 F 为非厄米算符(F+F)，证明 F 可以表示成 A+iB 的形式，A、B 为厄米算符。求 A、B 与 F、 F+之关系。
-2-
1 3.8 一维谐振子(V1= 2 kx2)处于基态。设势场突然变成 V2=kx2，即弹性力增大一倍。求粒子在 V2 场中
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？
（五）20 分碱金属原子处在 z 方向的外磁场 B 中，微扰哈密顿为 Hˆ 1 = Hˆ ls + Hˆ B ，其中
( ) Hˆ ls
=
1 2µ 2c2
⎛1 ⎜ ⎝r
dV dr
⎟⎞Lv
⋅
v S
⎠
v eB ， H B = 2µc
vr LZ + 2SZ
，
当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函
5） 若在 t = τ 时刻，粒子所处的势场突然变为 V ' ( x) = 1 µω2 x2 ，求粒子在 τ 时刻处于新的势场
3
V ' ( x) 的第一激发态的几率。 （5 分）
二、一根长为 l 的无质量的绳子一端固定，另一端系质点 m 。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，
1） 写出质点运动的哈密顿量； （10 分） 2） 在小角近似下求系统的能级； （10 分） 3） 求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。 （10 分）
2．若此时系统正处在
Tˆ
的某一个本征态上，求此时测量
Sˆ
y
结果为
⎜⎛ ⎝
+
h 2
⎟⎞ ⎠
的几率。（20
分）
南京大学 2002 年硕士研究生入学考试试题———量子力学
一、 一维自由粒子的状态由波函数 Ψ(x) = sin 2 kx + 1 cos kx 描述。求粒子的动量平均值和动
2
能平均值。（20 分） 二、 粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动
⎧0 V (φ ) = ⎩⎨∞
(0 < φ < φ0 ) (φ0 < φ < 2π )
求解粒子的能量本征值和本征函数。 (10 分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少?
(20 分) 三、边长为 a 的刚性立方势箱中的电子，具有能量 3π 2h 2 ma 2
南京大学 2004 年硕士研究生入学考试试题——量子力学
一、已知电子质量为 µ ，电子电量为(-e)，回答以下问题： 1) 一个电子被限制在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5 分） 2) 五个电子被限制在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请
度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁
波的最长的波长。 （20 分）
0
提示：电子质量 mc2 = 0.511MeV , hc ≈ 197MeV ⋅ fm ，晶格常数 a ≈ 1 A
五、考虑自旋 S = 1 h 的系统， 2
1．求算符Tˆ = ASˆ y + BSˆ z 的本征值和归一化本征波函数；（A、B 为实常数）
提示：质量为
m
，本征频率为
ω
的一维谐振子的基态波函数为ψ
0
(
x
)
=
C
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
1 2
α
2
x
2
⎞ ⎟ ⎠
，其中
C
是
∫ ( ) 归一化常数，α =
mω
；
+∞
exp
−x2 dx =
π。
h
−∞
三 、 质 量 为 µ 的 粒 子 从 左 向 右 作 一 维 运 动 ， 穿 越 了 一 个 宽 度 为 a ， 高 度 为 V0 的 一 维 势 垒
∫ 提示: +∞ e−( x−iβ)2 dx = π −∞
(7 分) (7 分) (7 分)
⎧∞
二.
质量为
m
的粒子在一维势场V
(
x)
=
⎪ ⎨
0
⎪⎩V0
x<0 0 < x < a 中运动,求,
x>a
(1) 决定束缚态能级的方程式 (2) 至少存在一个束缚态的条件
(15 分) (5 分)
⎧∞ 三. 质量为 m 的粒子在一维势场V (x) = ⎩⎨cx
x < 0, x > a 中运动,其中 c 是小的实常
0< x <a
数，试用微扰论求准到 c 一次方的基态能量. (20 分)
四. 两个自旋 1 的非全同粒子系的哈密顿量 2
Hˆ s = −J [Svˆ(1) ⋅ Srˆ(2)]
求 Hˆ s 的能量本征值和相应的简并度.
J >0
(20 分)
v 五．(1) 设氢原子处于沿 z 方向的均匀静磁场 B 中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求 n=2 能级
是 Nˆ 的本征函数，对应的本征值为 λ + 1。（20 分）
四、
一个粒子在二维无限深势阱
V
(x)
=
⎧0,0 < x, y < a ⎩⎨∞, elsewhere
中运动，设加上微扰
H1
=
λxy
(0 < x, y < a) ，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20 分）
五、
若电子处于
Sˆ
z
的本征态，试证在此态中，
（30 分）
六、两个粒子被束缚在一个边长为 a >b>c 的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为
V
(
r x1,
r x2
)
=
Aδ
(
r x1
−
r x2
)
可以作为微扰，其中
r x1
和
r x2
分别为两个粒子的坐标，A
为实常数。分别就以
下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至 A 的一次方。 1） 两个粒子为自旋为零的全同玻色子； （15 分） 2） 两个粒子为自旋为 1/2 的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为 1)。（15 分）
∑ 1 π4
n 提示：
4
n =1,3,5⋅⋅⋅
=
96
（20 分）
二、考虑势能为V
(x)
=
⎧V0 ⎩⎨0,
,x >0 x<0
的一维系统，其中V0
为正常数。若一能量为
E
的粒子从
x
=
−∞
处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑 E 的所有可能值。（20 分）
三、有一质量为 µ 的粒子，在一维谐振子势场V (x) = 1 µω 2 x2 中运动。在动能ห้องสมุดไป่ตู้ = p 2 的非相对
试求对能量的一级修正(式中 b 为常数)。
，如微扰哈密顿 H1 = bxy ，
(15 分) 四、 对自旋为 1／2 的粒子，Sy 和 Sz 是自旋角动量算符，求 ASy+BSz 的本征函数和本 征值(A 和 B 是实常数)。
(15 分) 五、已知 t=0 时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
的分裂情况.
(10 分)
v
v
(2) 如果沿 z 方向不仅有均匀静磁场 B ,还有均匀静电场 E , 再用微扰论求 n=2 能级的分
裂情况.
(9 分)
提示: 200 z 210 = −3a
南京大学 2001 年硕士研究生入学考试试题———量子力学
专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等
一、有一质量为
µ
2
2µ
1
论极限下，基态能 E0
=
1 hω 2
，基态波函数为
Ψ0
(x
)
=
⎛ ⎜ ⎝
µω πh
⎞ ⎟ ⎠
4
exp⎜⎛ − ⎝
µω 2h
x
2
⎞ ⎟
。考虑
T
与
p
⎠
的关系的相对论修正，计算基态能级的移动 ∆E 至 1 阶。（c 为光速）（20 分） c2
四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺
V
(
x
)
=
⎧0 ⎨⎩V0
| x |> a / 2 | x |< a / 2 。设粒子的能量 E > V0 。试求发生共振透射（即透射系数为 1）的条件。（30
分）
rr
r
四、两个自旋为 1/2 的粒子组成的系统由哈密顿量 H = A( S1z + S2z ) + BS1 S2 描述，其中 S1 和分别是两个
1）设立“路障”进一步限制粒子在
0
<
ϕ
<
ϕ0
的一段圆弧上运动，即V
(ϕ )
=
⎧0,0 < ⎩⎨∞, ϕ 0
ϕ <
< ϕ
ϕ0 < 2π
，
求解粒子的能量本征值和本征函数； 2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在
最低能量态的几率是多少？ （20 分）
提示：在柱坐标系下 ∇2u
ϕ(x) = Nxexp−(αx2)expi(p0x/h)； φ( p) = c( p − p0 ) exp[−b( p − p0 )2 ]
式中 N、α、c、b 和 p0 都是已知实常数．试求 t=0 和 t>0 时粒子坐标和动量的平
均值, < x >t>0=? < p >t>0=?，（ < Aˆ > 表示力学量算符 Aˆ 的平均值）。
南京大学 1998 年硕士研究生考试试题——量子力学
专业: 理论物理、粒子物理与光学
(一) 20 分 有半壁无限高势垒的一维阱
⎧∞
V
(x
)
=
⎪ ⎨
0
⎪⎩V0