三角函数的最值PPT

二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有: 1.涉及正、余弦函数以及 asin+bcos, 可考虑利用三角函 数的有界性.
2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通 过适当变换、配方求解. 3.形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时, 可考虑换元法 处理.
2-1-8t+19=(t-4)2+2. 令 t=sinx+cosx, 则 t= 2 sin(x+ ), y = t 4
∵0≤x≤, ∴ ≤x+ ≤ 5 . 4 4 4 2 ∴- 2 ≤sin(x+ ) ≤1. ∴-1≤t≤ 2 . 4
∴当 t=-1, 即 x= 时, y 取最大值 27. 当 t= 2 , 即 x= 4 时, y 取最小值 20-8 2 .
典型例题
1.求函数 y=2sec2x+cot4x 的最值. 解: y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x
≥2+3
3
tan2xtan2xcot4x =2+3=5.
仅当 tan2x=cot4x, 即 tanx=1 时取等号.
∴当 x=k 4 (kZ) 时, y 取最小值 5;
3.已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x) 的最小正周 期; (2)若 x[0, 2 ], 求 f(x) 的最大值、最小值. 解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x =(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x ∴f(x) 的最小正周期为 . = 2 cos(2x+ 4 ).
(2)∵x[0, 2 ], ∴2x+ [ , 5 ]. 4 4 4
, 即 x=0 时, f(x) 取得最大值 1; ∴当 2x+ = 4 4
3 ∴当 2x+ = , 即 x = 8 时, f(x) 取得最小值 - 2 . 4
4.设 0≤x≤, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最大值和最 小值. 解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.
三、知识要点
常见的三角换元
Байду номын сангаас
1.若 x2+y2=1, 可设 x=cos, y=sin; 2.若 a≤x2+y2≤b, 可设 x=rcos, y=rsin, a≤r2≤b; 3.对于 1-x2 , 由于 |x|≤1, 可设 x=cos(0≤≤) 或 x=sin (- ≤≤ ); 2 2 ) 或 x=cot(0<<); 4.对于 1+x2 , 可设 x=tan(- < < 2 2
y 无最大值.
x 2.求函数 y=(1+cosx)sin 2 (0<x<) 的最值. 解: 由已知 y>0, 只需考察 y2 的最值. x x x 2 2 2 x 2 x 2 x ≤2( 2sin 2 +cos 2 +cos 2 )3 16 2 2 ∵y =4cos 2 cos sin 2 = . 2 3 27 x x x 2 (∵0<x<) 时取等号. 2 2 仅当 2sin 2 =cos 2 , 即 tan 2 = 2 16 2 2 ∴当 x=2arctan 时, y 取最大值 27 . 2 ∴当 x=2arctan 2 时, y 取最大值 4 3 ; 2 9 y 无最小值.
解得: a=2, b=-5 或 a=-2, b=1.
=-2asin(2x+ 6 )+2a+b.
(1+sinx)(3+sinx) 6.求 y= 的最值及对应的 x 的集合. 2+sinx 1 sin2x+4sinx+3 (2+sinx)2-1 = 解: y= 2+sinx 2+sinx =2+sinx- 2+sinx . 1 令 2+sinx=t, 则 y=f(t)=t- t (1≤t≤3). 对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有 1+t1t2 1 1 f(t1)-f(t2)=(t1- t )-(t2- t ) =(t1-t2)( t t ) <0. 1 2 1 2 即 f(t1)-f(t2)<0 f(t1)<f(t2). ∴f(t) 在 [1, 3] 上是增函数. ∴当 t=1 时, ymin=f(t)min=0, 此时, sinx=-1, x 的集合为: {x | x=2k- 2 , kZ}; 当 t=3 时, ymax=f(t)max= 8 3 , 此时, sinx=1, x 的集合为: {x | x=2k+ 2 , kZ}.
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
22《三角函数三角函数的最值》
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值. 2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值. 3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
5.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b(a0) 的定义域 为[0, 2 ], 值域为 [-5, 1], 求常数 a, b 的值. 解: f(x)=a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b
[ , 7 ], 由已知 x[0, ], ∴ 2 x + 6 6 6 2 ∴- 1 ≤sin(2x+ )≤1. 因此由 f(x) 的值域为 [-5, 1] 可得: 2 6 a>0, a<0, 或 -2a×(- 1 )+2a+b=-5, -2a×(- 1 )+2 a + b =1, 2 2 -2a×1+2a+b=-5, -2a×1+2a+b=1.
<<) 或 x=csc 5.对于 x2-1 , 可设 x=sec(0≤< 或 2 2 (- ≤<0 或 0<≤ ); 2 2
6.对于 x+y+z=xyz, 由在 △ABC 中, 有 tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC, 可设 x=tanA, y=tanB, z=tanC(A+B+C=); 7.令 t=sinx+cosx, 则 2sinxcosx=t2-1, t[- 2, 2 ].