排列组合解题技巧综合复习.docx

排列组合综合应用（导学案）

学习目标：1 •进一步熟悉解决排列组合问题的基本方法；

2.学会基本的排列组合应用题的解题方法

3.学会应用数学思想分析解决排列组合问题。

学习重点：会运用基本的方法和技巧解决常见的排列组合问题。

学习难点：分类讨论时如何做到不重不漏。

学习方法：指导学习法。

学习过程：

（-）基础知识回顾：

1、排列：一般地，从〃个不同的元素中任取mg个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从“个不同元索中取出加个元索的一个排列.（其中被取的对象叫做元索）排列数：从〃个不同的元素小取出加伽Wn）个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同元索中取出〃7个元索的排列数，用符号A；表示.

排歹U 数公式：, m , n G N+ ,并且加Wn ・

全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.

〃的阶乘：正整数rtll到“的连乘积，叫作"的阶乘，用川表示.规定：0!=1 .

2、组合：一般地，从斤个不同元素中，任意取出加（加Wn）个元素并成一组，叫做从川个元索屮任取加个元素的一个组合.

组合数：从〃个不同元素中，任意取出加SWn）个元素的所有组合的个数，叫做从朴个不同元素中，任意取出加个元素的组合数，用符号C：表示.

组合数公式：c；J"J…（一 + 1）=—，心〃并且加

m l m \（n -m）\

组合数的两个性质：性质1： C； = C：-w,；性质2： C：；严C；：+C；「.（规定C、l）（-）典型例题讲解：

一、特殊元素、特殊位置优先法：先考虑有限制条件的元素、位置的要求，再考虑

其他元素；

例1、六人站成一排，求甲不在排头、乙不在排尾的排法个数。

变式练习1、甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了笫一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（用数字作答）种不同情况.

二、分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏.

例2、在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A, B两种作物，每种种植一垄，为冇利于作物生长，要求A, B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有种。

变式练习2、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有。（用数字作答）

三、排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

例3、某班里有43位同学，从中任抽5人，止、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法冇多少种？

变式练习3、用排除法做例1・

四、捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列.

例4、5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？

变式练习4、某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的 情况？

五、 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空. 例5、学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师， 要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

变式练习5、马路上有编号为1, 2, 3,……,10十个路灯，为节约用电乂看 清路而，可以把其屮的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两 端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？

六、 插板法：〃个相同元素，分成加伽W”）组，每组至少一个的分组问题——把〃个 元素排成一排，从斤-1个空中选加-1个空，各插一个隔板，有C ；：：・

例6、在高二年级中的8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人, 名额分配方案有多少种？

变式练习6、十个相同的小球，放入七个不同的盒子，每个盒子至少放一个，则有 多少种不同的放法？

七、 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）・有等分、不等分、部分等分之 别.一般地平均分成料堆（组），必须除以〃！，如果有加堆（组）元素个数相等, 必须除以〃7 !

例7、6本不同的书

分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种分法？ 分成三堆，每堆两本，有多少种分法？ 分成三堆，一堆一木，一堆两本，一堆三木，有多少种分法？

分给甲乙丙三人，一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种分法？

\)/ \)/ XJ/ \)/ 12

3

4

/(X

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/(X /(X

变式练习7、6个导游分派到三个旅游景点工作，每个景点至少一人，有多少种不同分配方法？

法八、对等法:在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一•在求解中只要求出全体，就可以得到所求.

例8、期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序？

法九、剩余法:在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法,他们是一一对应的，因

此，当求取法困难时，可转化为求剩法.

例9、袋屮有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋小取出2元钱, 有多少种取法？法十、错位法：编号为1至料的料个小球放入编号为1到n的斤个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n = 2,

3,4, 5时的错位数各为1, 2, 9, 44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,

可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.

例10、5个人两两互赠贺卡，则有多少种不同的赠送方法?

（三）课后练习：（排列组合综合问题：涂色问题）

1、用红、黄、蓝、口、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每

个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复

使用，共有多少种不同的涂色方法？

2、四棱锥P-ABCD,用4种不同的颜色涂在四棱锥的

各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

课后小结：（本节课你学到了什么？）