一元整式方程

21.1 一元整式方程

教学目标

知识与技能：知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 过程与方法：经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.

情感态度与价值观：通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.

教学重点及难点

重点:理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法.

难点: 解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程中的分类讨论.

教学流程设计

教学过程设计

一、 问题引入1

1．思考

根据下列问题列方程：

（1） 买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；

（2） 买a （a 是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；

（3） 一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这个正方形的边长；

（4） 一个正方形的面积的b （b ＞0）倍等于s （平方单位），求这个正方形的边长. 说明 为了更好地使学生进行联系和比较已学过的一元一次和一元二次方程与含字母系数一元一次和一元二次方程，增加了（1）、（3）两个问题，也为解含字母的一元一次方程和一元二次方程埋下伏笔.

2．讨论

你所列出的方程之间有什么区别和联系?

二、 新课学习1

1、 归纳概念1

在方程12=ax 和s bx =2中，x 是未知数;字母a 、b 是项的系数，s 是常数项，它们都

表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数.（2）、（4）问题中的方程就分别是含字母系数的一元一次方程和一元二次方程.

2．讲解例题

例题1 解下列关于x 的方程：(学生进行尝试性地类比解题)

（1）;)3(2)23(x x a -=- （2）).1(112

2-≠-=-b x bx 3、思考

含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？

4、结论

含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.

说明 通过学生自主尝试解含字母系数方程,充分暴露学生忽略等式性质中非零条件的限制及根判别式非负的要求，在分情况进行讨论的思维上的缺陷,教师再进行解释和引导,同时强调是在字母不能确定的时候才需讨论,否则不必要,从而使学生对这一思想的认识更为清晰和牢固.

三、问题引入2

（1） 有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角上分别剪去大小一样的一

个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小正方形

的边长为x 分米，根据题意列方程；

（2） 某厂2006年产值为100万元，计划到2010年产值增长到161.051万元.设每年

的平均增长率为x ,根据题意列方程.

说明 增加问题2是为了提供更多的素材，帮助学生寻找共性，感受概念，从而为接下去的归纳概念提供更多的直观认识.

四、 新课学习2

1、 归纳概念2

①如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;

②一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程;其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程.

2．讲解例题

例题2 判断下列关于x 的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?

;1523)3(;0814)2(;012

1)1(332a x x a x x a x -=+=+=-+ .087)6(;322)5(;3122)4(242=-+--=+=+x x a a x x x x

五、 巩固练习

课本练习21.1 1、2、3

六、课堂小结

通过本堂课你有什么收获?

七、作业布置

完成练习册21.1作业

分层作业：金牌B 卷33页5题

教学反思：有字母系数的方程学生不会判断是否是整式方程，还有看起来有三次的方

程，化简以后不一定是三次方程，学生有的没有理解清楚！

21.2（1）特殊的高次方程的解法

教学目标

知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；

过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.

教学重点及难点

重点：掌握二项方程的求解方法.

难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程.

教学过程设计

一、 情景引入

1．复习提问

复习：请同学们观察下列方程

(1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x ； (3) 03422=-+x x ； (4) 23+x =3； (5) 083=-x ； (6) 0162

15=-x ； (7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9) 010324=-+y y .

提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？

（2）后5个方程与前3个方程有何异同？

（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？

（学生口述后，教师简单小结）

二、学习新课

1．概念辨析

（1） 一元高次方程

通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;

（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.

（2）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.

（3）一般形式：

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为

是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+

注 ①n

ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.

②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.

2．例题分析

试一试：（学生尝试，教师讲评）

解下列简单的高次方程： （1）83=x （2）164=x （3）0162

15=-x （4）011853

=+x 分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.

例1：利用计算器解方程06835=-x （近似根保留三位小数）

例2：利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）

（1）0643=-x （2）01824=-x （3）02

3215=+x （4）016=+x 思考：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+

（学生自主归纳，教师总结）

结论：对于二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+

当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根.

当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，