人教版数学高一人教B版必修1作业第三章第33课时幂函数

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人教B版数学高一版必修1教材习题点拨3.3幂函数

教材习题点拨思考与讨论(1)解：①定义域为R ，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y 轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．(2)解：①定义域、值域为R ，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R 上单调递增．(3)解：无论α＞1还是0＜α＜1，函数y ＝x α在[0，＋∞)上的图象都是单调递增的，但前者比后者在[0,1]上增得慢，在(1，＋∞)上增得快．习题3－3A1．(1)解：图象如图①所示． (2)图象如图②所示．由图象可以得出：①幂函数图象都经过(1,1)点．②当y ＝x α中α＞0时，在第一象限内，图象上升；当α＜0时，在第一象限内，图象下降．2．解：(1)函数f (x )＝x 2＋x－2的定义域为{x ∈R |x ≠0}，它是偶函数；(2)函数f (x )＝x ＋233x 的定义域为R ，它是非奇非偶函数； (3)函数f (x )＝2x ＋13x 的定义域为R ，它是奇函数； (4)函数f (x )＝2x －4＋12x的定义域为(0，＋∞)，它是非奇非偶函数．3．解：函数13=y x 的图象如图所示．其性质如下：定义域为R ，值域为R ，奇函数，在R 上为增函数，过点(0,0)，(1,1)和(－1，－1)．4．解：函数y ＝(x ＋2)－2的定义域为{x ∈R |x ≠－2}，单调增区间为(－∞，－2)，单调减区间为(－2，＋∞)．习题3－3B1．解：(1)幂函数34=y x 在(0，＋∞)上为增函数，又2.3＜2.4，所以33442.3 2.4<； (2)幂函数65=y x 在(0，＋∞)上为增函数，又0.31＜0.35，所以66550.31<0.35； (3)幂函数32=y x -，在(0，＋∞)上为减函数，又2＜3，所以3322--；(4)幂函数12=y x -在(0，＋∞)上为减函数，又1.1＞0.9，∴11221.1<0.9--.2．解：函数32=y x 的图象如图所示.定义域：[0单调性：在[0，＋∞)上为增函数，图象过点(0,0)和(1,1)．证明：设x 1＜x 2∈[0，＋∞)，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝y 2－y 1＝332221x x -＝x 32－x 31x 32＋x 31＝Δx (x 22＋x 1x 2＋x 21)(x 2)3＋(x 1)3＝Δx ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21(x 2)3＋(x 1)3.∵Δx ＞0，(x 2)3＋(x 1)3＞0，⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21＞0， ∴Δy ＞0.∴函数32=y x 在[0，＋∞)上为增函数．奇函数：非奇非偶函数． ∵定义域不关于原点对称， ∴函数32=y x 为非奇非偶函数． 3．解：函数y ＝x－2和函数y ＝(x －3)－2的图象如图．由图(1)可知，函数y ＝x －2的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}；单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)；由图(2)可知，函数y ＝(x －3)－2的定义域为{x |x ∈R 且x ≠3}；单调增区间为(－∞，3)，单调减区间为(3，＋∞)．4．解：(1)在同一坐标系中画出y ＝x 和y ＝x －1的图象，如图．由图象可知，两图象的交点坐标约为(2.6,1.6)，所以方程x ＝x －1的解为x ≈2.6.(2)在同一坐标系中画出y ＝x 3和y ＝x 2－3的图象，如图．所以方程x3＝x2－3的解为x≈－1.17.。

人教B版数学高一版必修1学案3.3幂函数(1)

数学人教B 必修1第三章3.3 幂函数1．通过实例，了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，12y x =的图象，了解它们的变化情况及简单性质．3．能运用幂函数的图象和性质解决相关问题．1．幂函数的定义一般地，我们把形如________的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数．关于定义的理解： ①幂的底数是______；②幂的指数是一个____，它可以取________；③幂值前面的系数是__，否则不是幂函数，如函数______就不是幂函数；④幂函数的定义域是使____有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同，如函数y ＝x 2的定义域为____，而函数y ＝1x 的定义域为________．判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x α的系数为1，指数位置的α为一个常数，且常数项为0，或者经过变形后满足条件的均可．【做一做1－1】下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝3x 2 B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝－1xD ．y ＝x π【做一做1－2】函数y ＝(k 2－k ＋1)x 3是幂函数，则实数k 的值是( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1C ．k ＝0或k ＝1D ．k ≠0且k ≠12．函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，12y x =，y ＝x－1的图象与性质定义域 ____ R ____ ______ (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 ____ ______ R [0，＋∞) __________奇偶性奇 ____ 奇 ________ ____ 单调性增__________________(0，＋∞) (－∞，0)定点(0,0)，(1,1) __________ __________ __________ ______已知幂函数的图象特征或性质求解析式时，常用待定系数法．判断幂函数y ＝x α的单调性时，通常借助于其指数α的符号来分析．【做一做2－1】函数53y x =的图象大致是( )【做一做2－2】下列函数中既是偶函数，又在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．43y x = B ．32y x = C ．y ＝x －2D ．14y x -=【做一做2－3】当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．一、详述幂函数的定义和性质剖析：(1)幂函数具有严格的形式，形如y ＝mx α，y ＝(mx )α，y ＝x α＋m ，y ＝(x ＋m )α(以上m 均为不等于零的常数)的函数都不是幂函数，二次函数中只有y ＝x 2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，尤其要区分开y ＝x 0与y ＝1，要知道y ＝1是函数，但不是幂函数；y ＝x 0是幂函数．(2)幂函数的定义域由幂指数α确定．①α是正整数时，x ∈R .②α是正分数时，设α＝pq(p ，q 是互质的正整数)，若q 是奇数，y ＝x α的定义域是R ；若q 是偶数，y ＝x α的定义域是[0，＋∞)．③指数α是负整数时，设α＝－k ，x α＝1xk ，则x ∈{x |x ∈R 且x ≠0}．④指数α是负分数时，设n ＝－pq(p ，q 是互质的正整数)，若q 是奇数，则定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}；若q是偶数，则定义域为(0，＋∞)．(3)不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量．二、教材中的“思考与讨论”(1)在幂函数y ＝x α中，如果α是正偶数(α＝2n ，n 为非零自然数)，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？(2)在幂函数y ＝x α中，如果α是正奇数(α＝2n －1，n 为非零自然数)，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？(3)幂函数y ＝x α，x ∈[0，＋∞)，α＞1与0＜α＜1的图象有何不同？剖析：(1)重要性质有：①定义域为R ，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y 轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．(2)重要性质有：①定义域、值域为R ，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R 上单调递增．(3)两者图象的区别和联系为：无论α＞1还是0＜α＜1，函数y ＝x α在[0，＋∞)上的图象都是单调递增的，但前者比后者在[0,1]上增得慢，在(1，＋∞)上增得快．题型一幂函数的图象【例1】幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在第一象限内的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．b ＜c ＜d ＜aB ．b ＜c ＜a ＜dC ．a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜d ＜c ＜b反思：通过这道题，可知对于幂函数不仅仅要从“形式上”掌握其概念、图象和性质，更重要的是要真正理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征．这在今后的学习中也应注意．题型二比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)3423⎛⎫⎪⎝⎭与2334⎛⎫⎪⎝⎭. 分析：(1)借助函数y ＝x 0.5；(2)借助函数y ＝1x ；(3)借助函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x与23y x =. 反思：解以上例题的关键都在于适当选取某一个函数．函数选得恰当，解决问题就简单．尤其在第(3)题中，可适当引进一中间值使问题简化．题型三易错辨析【例3】若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围．错解：∵函数13y x-=是减函数，∴a ＋1＞3－2a .∴a ＞23，即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，＋∞.反思：通过本题，我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象，并且还说明了函数的单调性是针对某一确定区间而言的，不能随便取并集．1幂函数的图象过点(2,4)，则它的单调递增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．(－∞，0) 2下列命题中正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)C ．若幂函数y ＝x α是奇函数，则y ＝x α是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限3已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围为________．4已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)21(14)2t t x --(t ∈Z )是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数的解析式．答案：基础知识·梳理1．y ＝x α(α∈R ) ①自变量 ②常数任意实数 ③1 y ＝2x 3(答案不唯一) ④x α R {x |x ∈R ，且x ≠0}【做一做1－1】D 幂函数必须符合y ＝x α(α为常数)的形式．【做一做1－2】C 由幂函数的定义可知k 2－k ＋1＝1，解得k ＝0或k ＝1.2．R R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 偶非奇非偶奇 (0，＋∞)(－∞，0) 增增 (0,0)，(1,1) (0,0)，(1,1) (0,0)，(1,1) (1,1)【做一做2－1】B 53y x =为奇函数，排除选项D ，又53＞1， ∴图象应为选项B 的图象．【做一做2－2】C【做一做2－3】二、四当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，且x ＞0时，y ＞0，x ＜0时，y ＜0，不经过第二、四象限．当α＝12时，12y x =，此时图象只在第一象限．典型例题·领悟【例1】D 重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值大．方法一(性质法)：由幂函数的性质可知，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b ＞c ＞d ＞a .方法二(类比法)：当x 趋于＋∞时，函数y ＝x a 图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴，类似于典型幂函数y ＝x －1，故a ＜0.函数y ＝x b 在区间[0，＋∞)上是增函数，图象下凸，类似于函数y ＝x 2，故b ＞1. 同理可知y ＝x c ，y ＝x d 类似于12y x =，故0＜c ＜1,0＜d ＜1. ∴a 最小，b 最大．方法三(特殊值法)：作直线x ＝2，由图象可知2a ＜2d ＜2c ＜2b ，由指数函数的性质可知a ＜d ＜c ＜b ，故选D.【例2】解：(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25＞13，∴⎝⎛⎭⎫250.5＞⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23＜－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1＞⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x在(－∞，＋∞)上是减函数，又34＞23，∴23342233⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又∵函数23y x =在(0，＋∞)上是增函数，且34＞23，∴22333243⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴23343243⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【例3】错因分析：误认为13y x-=是R 上的减函数，实质是13y x-=在(－∞，0)和(0，＋∞)内均是减函数，而没有整体定义域上为减函数的性质．正解：对于1133(1)(32)a a --+<-，可分三种情况讨论．①a ＋1和3－2a 都在(－∞，0)内，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>3－2a ，a ＋1<0，3－2a <0，此时方程组无解；②a ＋1和3－2a 都在(0，＋∞)内，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>3－2a ，a ＋1>0，3－2a >0，解得23＜a ＜32；③若a ＋1和3－2a 不在同一单调区间内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，解得a ＜－1.综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，32∪(－∞，－1)．随堂练习·巩固1．B 设f (x )＝x α，由2α＝4，得α＝2，∴f(x)＝x2，其单调递增区间为[0，＋∞)．2．D3．(0，＋∞)∵0.71.3＜0.70＝1,1.30.7＞1.30＝1，∴0.71.3＜1.30.7.∴m＞0.4．解：∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1，t＝0或t＝1.∴当t＝0时，12()f x x，是非奇非偶函数，不满足题意．当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上为减函数，不满足题意．当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．综上所述，所求函数的解析式为f(x)＝x2.。

高中数学必修一(人教版)《3.3 幂函数》课件

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(2)幂函数的图象都不过第二、四象限．
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(3)当幂指数 α 取 1,3，12时，幂函数 y＝xα 是增函数．
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(4)若幂函数 y＝xα 的图象关于原点对称，则 y＝xα 在定义域内 y 随 x 的增大
而增大．
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答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为
(1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[典例 2] 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点－2，14在幂函数 g(x)的图象上，问：当 x 为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?
[解] 设 f(x)＝xα，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，所以将点( 2，2)代入 f(x)＝xα 中，得 2＝( 2)α，解得 α＝2，则 f(x)＝x2.同理可求得 g(x)＝x－2.
解得 1≤a<32.
故 m 的值为 1，满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围为1，32.
[方法技巧] 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

人教B版数学高一版必修1课后导练3.3幂函数

课后导练基础达标1.当x ∈(1,+∞)时,下列函数的图象全在直线y=x 上方的偶函数是( ) A.y=x 21 B.y=x -2 C.y=x 2 D.y=x -1解析：如图,当x ∈(1,+∞)时,y=x 2的图象在y=x 的上方,且y=x 2是偶函数.故选C.答案：C2.如果幂函数y=(m 2-3m+3)x22--m m 的图象不过原点,则m 的取值范围是( )A.-1≤m≤2B.m=-1或m=2C.m=1D.m=1或m=2 解析：令m 2-3m+3=1,解得m=1或m=2.又∵y=(m 2-3m+3)x22--m m 的图象不过原点,∴m 2-m-2<0.∴-1<m<2.∴m=1. 答案：C 3.设α∈{-2,-1,-21,31,21,1,2,3},则使函数f(x)=x α为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增的α的值的个数是( )A.1B.2C.3D.4 解析：验证知α=31,1,3时满足题意.故选C. 答案：C4.(2007山东泰安)模拟函数y=321-x 是( ) A.是奇函数,且在R +上是增函数 B.是偶函数,且在R +上是增函数 C.是奇函数,且在R +上是减函数 D.是偶函数,且在R +上是减函数解析：由已知可知:f(x)=321-x ,则f(-x)=f(x). 所以函数为偶函数; 又函数y=32x 在R +是函数, 所以y=321-x 是增函数.故选B.答案：B5.y=x mn(m 为不等于0的偶数，n 为奇数，且m·n<0)，那么它的大致图象是（）解析：∵m 是偶数,n 是奇数,∴x>0.故图象只落在第一象限.另外可取特值,如令m=2,n=-1,则y=x 21-图象符合D.∴选D. 答案：D6.当0<x<1时,f(x)=x 2,g(x)=x 21,h(x)=x -2的大小关系是( ) A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x) C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)解析：f(x)、g(x)、h(x)的图象如图,于是当0<x<1时,f(x)<g(x)<h(x).答案：D7.若x ∈(1,+∞)时,函数y=x n 的图象恒在y=x 直线的下方,则n 的取值范围是________. 答案：n<1 8.已知f(x)=x 31a -在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,那么最小的自然数a=___________.答案：39.把(32)31-、(53)21、332、(52)21、(67)0、(-2)3按从小到大的顺序排列为_________________.答案：(-2)3<(52)21<(53)21<(67)0<(32)31-<33210.已知a=x α,b=x 2α,c=x α1,x ∈(0,1),α∈(0,1)，则a 、b 、c 的大小顺序是_______.解析：∵α∈（0,1）,∴α1>1,2α∈(0,21).于是y=xα,y=x2α,y=xα1的图象如图.于是,当x∈(0,1)时,c<a<b.答案：c<a<b综合运用11.函数f(x)=(m2-m-1)x322--mm是幂函数,且当x∈(0,+∞)时是减函数,求实数m的值.解析：∵y=(m2-m-1)x322--mm为幂函数,∴m2-m-1=1,即(m-2)(m+1)=0.∴m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x-3是幂函数且满足在(0,+∞)上是减函数.当m=-1时,m2-2m-3=0,y=x0=1(x≠0)是幂函数,但不满足在(0,+∞)上是减函数.∴m=-1(舍去),所求实数m=2.12.求函数y=(x2+2x-3)-2的单调区间.解析：首先求出函数的定义域,即x2+2x-3≠0.解得x≠-3且x≠1.令u=x2+2x-3,则y=u-2.当x∈(-∞,-3)时,u=x2+2x-3单调递减,此时u>0.而y=u-2单调递减,由复合函数单调性可知y=(x2+2x-3)-2在(-∞,-3)上单调递增,当x∈（-3,-1］时,u=x2+2x-3单调递减,此时u<0,而y=u-2单调递增.∴y=(x2+2x-3)-2在（-3,-1］上单调递减.同理,当x∈［-1,1）时,y=(x2+2x-3)-2单调递增.当x∈(1,+∞)时,y=(x2+2x-3)-2单调递减.∴y=(x2+2x-3)-2的单调增区间是(-∞,-3),［-1,1）;单调减区间是（-3,-1］,（1,+∞）.13.若(a+1)31-<(3-2a)31-,求a的取值范围.解析：∵y=x31-在(0,+∞)或(-∞,0)上都是减函数,∴原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+2a-31a0,2a-30,1a或⎪⎩⎪⎨⎧>+<<+2a-31a0,2a-30,1a或⎩⎨⎧><+0,2a-30,1a解得32<a<23或∅或a<-1.∴a的取值范围是32<a<23或a<-1.14.已知x 2>x 31,试求x 的取值范围.解析：由y=x 2与y=x 31的图象可知:当x<0时,x 2>x 31;当x>1时,x 2>x 31.∴x 2>x 31的取值范围是x<0或x>1.15.已知幂函数f(x)=x 22--m m (m ∈Z )是偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数,求f(x)的解析式,并讨论φ(x)=a)(x f )(x xf b-(a 、b ∈R )的奇偶性. 解析：∵f(x)=x22--m m 在(0,+∞)上是减函数,∴m 2-m-2<0,即-1<m<2. ∵m ∈Z ,∴m=0,1.∵f(x)是偶函数,∴m=0,1.∴f(x)=x -2. ∵φ(x)=a 2-x2-•-x x b =a·x -11--x b =x a -bx, φ(x)的定义域为{x|x≠0}, 又∵φ(-x)=x a -+bx=-(xa-bx)=-φ(x), ∴φ(x)是奇函数.拓展探究16.已知函数f(x)=x -x1. 求证:(1)f(x)在定义域上为增函数; (2)方程f(x)=1有且只有一个实根. 证明:(1)f(x)的定义域为{x|x>0}. 设任意的x 1、x 2∈（0,+∞）且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=221111x x x x ++-=21x x -+2121x x x x -.∵x 1<x 2,∴1x <2x .∴1x 2x -<0,x 1-x 2<0.∵x 1、x 2∈（0,+∞）,∴x 1x 2>0. ∴1x 2x -+2121x x x x -<0.∴f(x 1)<f(x 2). ∴f(x)在其定义域上是增函数.(2)令x x1 =1, 则x =x 1+1,令y 1=x ,y 2=x1+1. 由图象可知:y 1=x 过(0,0),(1,1)且在(0,+∞)上单调递增,而y 2=x1+1过(1,2)点且在(0,+∞)上单调递减.∴y 1=x 与y 2=x1+1有且只有一个交点. 故x =x1+1只有一个实根, 即f(x)=1有且只有一个实根.。

高中数学人教新课标B版必修1：3.3 幂函数

并在(0,+∞)上为减函数;
a<0
4.所有的幂函数在(1,+∞)上，指大图高。
性质应用例1. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）2.5-0.4 与 2.7-0.4
解:(1)y= x0.8 在(0, +∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
构造函数法
性质应用
2
例2. 试写出函数 f (x) x 3 的定义域,值域，
奇偶性，作出它的图象，并根据函数的图象
说明函数的增减性.
解:
f (x)
1
2
x3
3
1 x2
此函数的定义域为x x 0;值域为0,+
f (x) 1 1 f (x) 3 (x)2 3 x2
故此函数为偶函数.
它在(0,+∞)上为减函数，在(-∞,0)上为增函数
(-2,4)Leabharlann 4y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
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人生志气立，所贵功业昌。现实很近又很冷，梦想很远却很温暖。人生十字路口是一道选择题，谨慎选择才能确保正确方向，糊涂选择就易步入歧途，放弃选择就会迷失方向。问渠哪得清如许，为有源头活水来。——朱熹人总是在失去了才知道珍惜！我总觉得，生命本身应该有一种意义，我们绝不是白白来一场的。太阳虽有黑点，却在奋力燃烧中树立了光辉的形象。人与人的友谊，把多数人的心灵结合在一起，由于这种可贵的联系，是温柔甜蜜的。——奥古斯汀成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。人们结成友谊的原因很多，有出于自然的，也有出于契约的，有出于自身利益的，也有出于共同志趣的。岁寒，然后知松柏之后凋也。——《论语·子罕》为中华之崛起而读书。感谢上天我所拥有的，感谢上天我所没有的。

2017-2018学年高中数学人教B版必修一课时作业：幂函数

第三章 3.3一、选择题1．下列命题中正确的是导学号 65165001( D ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限[解析] 幂函数y ＝x 2经过点(－1,1)，排除A ；幂函数y ＝x －1不经过点(0,0)，排除B ；幂函数y ＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C ，故选D ．2．函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值是导学号 65165002( C ) A ．k ＝3 B ．k ＝－2 C ．k ＝3或k ＝－2D ．k ≠3且k ≠－2[解析] 由幂函数的定义知k 2－k －5＝1，即k 2－k －6＝0，解得k ＝3或k ＝－2. 3．如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为导学号 65165112( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[解析] 根据幂函数性质，C 1、C 2在第一象限内为增函数，C 3、C 4在第一象限内为减函数，因此排除A 、C ．又C 1曲线下凸，所以C 1、C 2中n 分别为2、12，然后取特殊值，令x＝2,2－12>2－2，∴C 3、C 4中n 分别取－12、－2，故选B ．4．已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m ＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝导学号 65165003( B )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －5＝12m ＋1<0，解得m ＝－1.5．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象导学号 65165004( D )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称[解析] y ＝x 3与y ＝x 13互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，故选D ．6．设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是导学号 65165005( C )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析] 函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A (2，12)，又点A (2，12)在幂函数y ＝x α的图象上，∴12＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y ＝x －1，其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12(x >0)－2 (x ＝0)(x ＋3)12 (x <0)，则f {f [f (0)]}的值为__1__.导学号 65165006[解析] 当x ＝0时， f (x )＝－2，∴f (0)＝－2；当x <0时，f (x )＝(x ＋3)12，∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1；当x >0时，f (x )＝x －12，∴f (1)＝1.∴f {f [f (0)]}＝1.8．若a ＝⎝⎛⎭⎫1235 ，b ＝⎝⎛⎭⎫1535 ，c ＝(－2)3，则a 、b 、c 的大小关系为__a >b >c .导学号 65165007 [解析] ∵y ＝x 35在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝⎛⎭⎫1235 >⎝⎛⎭⎫1535 >0.又c ＝(－2)3＝－8<0，∴a >b >c .三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m2＋m －1，m 为何值时，f (x )是(2)反比例函数； (3)二次函数；(4)幂函数.导学号 65165008 [解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，解得m ＝－1±2. 10．已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135.导学号 65165009(1)证明f (x )是奇函数，并求函数f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．[解析] (1)∵函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )13－(－x )－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．在(0，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 113 <x 213，x 2－13<x 1－13，从而f (x 1)－f (x 2)＝x 113 －x 1－135－x 213 －x 2－135＝15(x 113 －x 213 )＋15(x 2－13 －x 1－13 )<0，∴f (x )＝x 13－x －135在(0，＋∞)上是增函数．∴函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． (2)f (4)－5f (2)g (2)＝413－4－135－5×213－2－135×213＋2－135＝0；f (9)－5f (3)g (3)＝913 －9－135－5×313－3－135×313＋3－135＝0.由此可推测出一个等式f (x 2)－5f (x )g (x )＝0(x ≠0)．证明如下： f (x 2)－5f (x )g (x )＝(x 2)13－(x 2)－135－5×x 13－x －135×x 13＋x －135＝x 23－x －235－x 23－x －235＝0，故f (x 2)－5f (x )g (x )＝0成立．。

高中数学人教B版必修一练习：3.3 幂函数 Word版含解析

3.3 幂函数【选题明细表】1.(2018·北京海淀期末)若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则在定义域内( C )(A)为增函数(B)为减函数(C)有最小值(D)有最大值解析:设幂函数f(x)=xα,由f(-2)=4,得(-2)α=4=(-2)2,所以α=2,即f(x)=x2,则在定义域内有最小值0,故选C.2.(2018·重庆綦江联考)函数y=()-3的图象是( C )解析:函数y=()-3可化为y=x3,当x=时,求得y=<,选项B,D不合题意,可排除选项B,D;当x=2时,求得y=8>1,选项A不合题意,可排除选项A,故选C.3.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( D )(A)y=(B)y=(C)y=(D)y=解析:y==,定义域、值域都为R,y=的定义域、值域也为R,y==定义域与值域都为(0,+∞),D中y==定义域为R,而值域为 [0,+∞).4.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是( A )(A)[-1,3) (B)(-∞,5)(C)(3,5) (D)(3,+∞)解析:由幂函数f(x)=的性质,有0≤a+1<10-2a,所以-1≤a<3, 故选A.5.(2018·山东烟台期中)幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为增函数,则m的值为( D )(A)1或3 (B)3 (C)2 (D)1解析:由函数f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,则m2-4m+4=1,解得m=1或m=3.又函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上单调递增,则m2-6m+8>0,解得m>4或m<2,因此只有m=1满足条件,故选D.6.已知幂函数y=(m∈N+)的图象与坐标轴不相交,且关于y轴对称,则m= .解析:因为幂函数图象与坐标轴不相交,所以m2-2m-3≤0,所以-1≤m≤3,又m∈N+,所以m=1,2,3.又因为函数为偶函数,所以m=1或m=3.答案:1或37.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( C )解析:当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的正半轴上,只有选项B适合;但此时函数y=x a在(0,+∞)上是减函数,所以B不适合.当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的负半轴上,只有选项A,C适合,此时函数y=x a在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有选项C适合.故选C.8.(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且图象与坐标轴无交点,则f(x)( B )(A)是偶函数(B)是奇函数(C)是单调递减函数(D)在定义域内有最小值解析:幂函数f(x)=(m2-m-1)x m的图象与坐标轴无交点,可得m2-m-1=1,且m≤0,解得m=-1.则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值.故选B.9.幂函数y=(m2-m-1),当x∈(0,+∞)时为减函数,则实数m的值为.解析:由m2-m-1=1得m=2或m=-1,又x∈(0,+∞)时为减函数,则需m2-2m-3<0,所以m=-1舍去.答案:210.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,).(1)求y=f(x)的解析式;(2)判断y=f(x)在其定义域上的单调性,并加以证明.解:(1)设f(x)=xα,将(2,)代入得,=2α,所以α=.所以f(x)=.(2)f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数.证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,因为x1-x2<0,+>0,所以f(x1)<f(x2),即幂函数f(x)=在[0,+∞)上为增函数.11.已知幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)讨论g(x)=a-的奇偶性.解:(1)因为f(x)=(m∈Z)是偶函数,所以m2-m-2为偶数.又因为f(x)=(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,所以m2-m-2<0,即-1<m<2.因为m∈Z,所以m=0或m=1.当m=0时,m2-m-2=-2为偶数;当m=1时,m2-m-2=-2也为偶数,所以f(x)的解析式为f(x)=x-2.(2)g(x)=a-=-bx,所以g(-x)=+bx.①当a≠0且b≠0时,g(x)为非奇非偶函数;②当a=0且b≠0时,g(x)为奇函数;③当a≠0且b=0时,g(x)为偶函数;④当a=0且b=0时,g(x)既是奇函数又是偶函数.。

人教B版高中数学必修一3.3 幂函数

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）3.3 幂函数【目标要求】1.掌握幂函数的概念.2.掌握幂数函数的图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用．【巩固教材——稳扎马步】 1．如图中函数21-=xy 的图象大致是（）图3-72．函数3x y =与31x y =的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y=x 对称 3．212.1=a ，219.0-=b ，211.1=c 的大小关系是（）A.c ＜a ＜bB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜b ＜a4．已知幂函数nx y =图象如右图，则n 可能取的值是（）A.31-B.31C.21- D.21 图3-8【重难突破——重拳出击】5．图中所示曲线为幂函数nx y =在第一象限的图象，则1c 、2c 、3c 、4c 大小关系为（）A.4321c c c c >>>B.3412c c c c >>>C.3421c c c c >>>D.2341c c c c >>> 图3-9 6．函数1-=x y 的图象可以看成由幂函数21x y =的图象（）得到的。

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向上平移1个单位D. 向下平移1个单位7.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是 ( ) A.y=-xB.y=log 21xC.y=31xD.y=-x 2+2x+18.三个数1，23.0）（，3.02的大小顺序是（）A ．12)3.0(3.02<+x x ，032>+x x ，013>+x x ，则)()()(321x f x f x f ++的值 ( )（A ）一定大于零（B ）一定小于零（C ）等于零（D ）正负都有可能10.幂函数y=f(x)的图象经过点)412(，，则)21(f 的值为（）A ．22 B ．21C ．4D ．2 11.函数123)(2-+-=x x x x f 的定义域为（）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|<1或x ≥2}C ．{x|x<1或x>2}D ．{x|1≤x ≤2}12.当(1,)x ∈+∞时，函数ax y =的图象恒在y=x 的下方，则a 的取值范围是（） A.01a << B.0a < C.1a <且0a ≠ D.1a >【巩固提高——登峰揽月】13．已知幂函数97222)199(--+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的值为_________。

人教B版数学高一版必修1同步练习3.3幂函数

第三章基本初等函数3.3 幂函数1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝3x 2B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝－1xD ．y ＝x π2．函数y ＝x 53的图象大致是( )3．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第__________象限．4．已知幂函数y ＝f(x)的图象过点(2，2)，则这个函数解析式为__________．5．(a ＋1)13<(2a －2)13，则实数a 的取值范围为__________．1．幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)2．当x>1时，函数y ＝x a 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是( ) A ．0<a<1 B ．a<0 C ．a<1 D ．a>13．如图，给出幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为__________．4．函数y ＝(1＋x)0－1＋x 的定义域为__________． 5．给定一组函数解析式：①y ＝x －13；②y ＝x －23；③y ＝x －12；④y ＝x 23；⑤y ＝x 13；⑥y ＝x 12；⑦y ＝x 32；⑧y ＝x 3；⑨y ＝x －3；⑩y ＝x －32.回答下列问题：(1)图象关于y 轴对称的有__________； (2)图象关于原点对称的有__________．6．求函数f(x)＝(x ＋2)－23－1的定义域，值域及单调区间．7．已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(3)<f(5)，求m的值，并确定f(x)的解析式．1．函数y ＝|x|x 9n (n ∈N ，n ≥9)的图象可能是……( )2．幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．m ≠1±523．如图所示是函数y ＝x mn (m ，n ∈N *且互质)的图象，则 …( )A ．m 、n 是奇数且mn<1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >14．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．函数f(x)＝x 1m 2＋m ＋1(m ∈N *)的定义域是__________，奇偶性为__________，单调递增区间为__________．6．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围为__________．7．设函数f 1(x)＝x 12，f 2(x)＝x －1，f 3(x)＝x 2，则f 1{f 2[f 3(2 009)]}＝__________.8．已知x ∈[－1，＋∞)，试判断函数f(x)＝x 23＋2x 13＋4的单调性．9．已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (1)求f(x)；(2)讨论g(x)＝a f(x)－bxf(x)的奇偶性．10．已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a)－m3的a 的取值范围．答案与解析课前预习1．D 幂函数必须符合y ＝x α(α为常数)的形式．2．B y ＝x 53为奇函数，排除D ，又53>1，∴图象应为B.3．二、四当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，且x>0时，y>0，x<0时，y<0，不经过第二、四象限．当 α＝12时，y ＝x 12，此时图象只在第一象限．4．y ＝x 12 设f(x)＝x α，将(2，2)点代入，得2＝2α，∴α＝12.∴f(x)＝x 12.5．a>3 y ＝x 13在R 上是增函数，所以有a ＋1<2a －2，解得a>3.课堂巩固1．D 设f(x)＝x α，由2α＝14，得α＝－2，∴f(x)＝x －2，其单调递增区间为(－∞，0)． 2．C 观察幂函数的图象易得．3．－2，－12，12，2 画出直线x ＝2，结合其与图象的交点，可依次判断．4．(－1，＋∞) 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，1＋x ≥0，解得x>－1.5．(1)②④ (2)①⑤⑧⑨ 只有②和④为偶函数；①⑤⑧⑨为奇函数，③⑥⑦⑩不具有奇偶性．6．解：要使函数有意义，则x ＋2≠0，∴x ≠－2. ∴函数的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．y ＝(x ＋2)－23－1＝13(x ＋2)2－1，∵13(x ＋2)2>0，∴y>－1，即函数值域是(－1，＋∞)．根据指数－23<0知函数在(－∞，－2)上递增，在(－2，＋∞)上递减．7．解：∵f(x)是偶函数，∴－2m 2＋m ＋3应为偶数．又f(3)<f(5)，根据幂函数图象特征知该幂函数在(0，＋∞)上是增函数， ∴－2m 2＋m ＋3>0.∴－1<m<32.又m ∈Z ，∴m ＝0或1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数舍去；当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，故m ＝1. ∴f(x)＝x 2.课后检测1．C ∵y ＝|x|9n 为偶函数，∴排除A 、B.又n>9，∴9n<1.由幂函数在(0，＋∞)内幂指数小于1的图象可知，只有C 符合．2．A 由幂函数的定义，知m 2－m －1＝1，∴m ＝－1或m ＝2.又当x ∈(0，＋∞)时为减函数，∴m 2－2m －3<0，得－1<m<3.∴m ＝2.3．C ∵图象关于y 轴对称，∴m 为偶数，n 为奇数；又比较y ＝x 与y ＝x mn在第一象限的图象判断可知mn<1.4．B 作出两个函数在同一坐标系内的图象即可观察得出．5．R 奇函数 (－∞，＋∞) ∵m 2＋m ＝m(m ＋1)，m ∈N *，其值必为正偶数，∴m 2＋m ＋1必为正奇数．6．(0，＋∞) ∵0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1，∴0.71.3<1.30.7.∴m>0.7.12 009 ∵f 1{f 2[f 3(x)]}＝f 1[f 2(x 2)]＝f 1(x －2)＝(x －2)12＝x －1，∴f 1{f 2[f 3(2 009)]}＝2 009－1＝12 009. 8．解：设y ＝f(x)＝x 23＋2x 13＋4＝(x 13＋1)2＋3.令t ＝x 13＋1，则y ＝t 2＋3.∵x ≥－1，∴t ＝x 13＋1在[－1，＋∞)上是增函数．∴t ∈[0，＋∞)．又y ＝t 2＋3在t ∈[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝x 23＋2x 13＋4在[－1，＋∞)上是增函数．点评：注意要对内层函数的取值范围进行判定，否则极易导致判断复合函数的单调性出错．9．解：(1)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3<0.∴－1<m<3. 又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.经验证m ＝1时符合条件，即m 2－2m －3＝－4.∴f(x)＝x －4.(2)g(x)＝a f(x)－bxf(x)＝a x －4－b x·x－4＝ax －2－bx 3，即g(x)＝ax －2－bx 3.g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当a ≠0，b ≠0时，g(x)为非奇非偶函数；当a ≠0，b ＝0时，g(x)＝ax －2是偶函数；当a ＝0，b ≠0时，g(x)＝－bx 3是奇函数；当a ＝b ＝0时，g(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．点评：①f(x)在(0，＋∞)上递减，说明指数小于0，又m ∈Z ，所以可确定m 的值． ②含有字母的问题，解题时应据情况分类讨论．10．解：∵幂函数y ＝xm 2－2m －3在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3<0.∴－1<m<3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.当m ＝1时，y ＝x －4为偶函数；当m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，不合题意，∴m ＝1，y ＝x －4.∴(a ＋1)－m 3<(3－2a)－m 3等价于(a ＋1)－13<(3－2a)－13，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，3－2a>0，a ＋1>3－2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a<0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a>0.解得23<a<32或a<－1.∴a 的取值范围为(23，32)∪(－∞，－1)．。

人教b版高一数学必修一：3.3《幂函数2》学案(含答案)

3.3 幂函数
自主学习学习目标 1．掌握幂函数的概念． 2．熟悉 α＝1,2,3，12，－ 1 时幂函数 y＝ xα的图象与性质． 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．
自学导引
1．一般地，幂函数的表达式为 ________；其特征是以幂的 ________为自变量， ________ 为常数．
线 C1， C2， C3， C4 的 α依次为 ________________ ．
三、解答题
9．已知点 ( 2， 2)在幂函数 f(x)的图象上，点
－
2，
1 4
在幂函数
g(x)的图象上，问当
x
为何值时， (1)f(x)> g( x)； (2)f(x)＝ g( x)； (3)f(x)<g(x)．
10．已知幂函数 y＝ xm2－ 2m－3( m∈ Z )在 (0，＋∞ )上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．
变式迁移
1
已知
y＝
(m
2＋
2m－
2)
1 xm2 －
1＋
2n
－
3
是幂函数，求
m， n 的值．
知识点二幂函数单调性的应用
例 2 比较下列各组数的大小：
(1) 3－ 52与 3.1－ 52；
(2) － 8－ 78与－
17 9 8.
规律方法比较大小的题，要综合考虑函数的性质，
“搭桥 ” 法进行分组，常数 0 和 1 是常用的参数．
3．设 α∈ － 2，－ 1，－ 12，13， 12， 1， 2， 3 ，则使 f( x)＝ xα为奇函数且在 (0，＋∞ )内单
调递减的 α值的个数是 ( )
A．1
B． 2

人教B版高中数学必修一第33课时

A．0＜a＜1B．a＜0
C．a＜1，且a≠0D．a＞1
答案：C
解析：如图(1)所示，当0＜a＜1时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图象恒在直线y＝x的下方；如图(2)所示，当a＜0时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图象也符合条件．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．若α∈R，函数f(x)＝(x－1)α＋3的图象恒过定点P，则点P的坐标为________．
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)，可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)均为单调递增，
10．(12分)将下列各组数从小到大排列起来．
(1)2.5 ，(－1.4) ，(－ ) ；
(2)4.5 ，3.8 ，(－1.9) ；
(3)0.16 ，0.5 ，6.25 .
解：(1)∵(－1.4) ＝1.4 ＞0，(－ ) ＜0，
又y＝x 在(0，＋∞)上单调递增．
∴(－ ) ＜(－1.4) ＜2.5 .
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)设f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点P(8， )，
∴8α＝，即23α＝2－1，
∴3α＝－1，即a＝－，(2)∵f(x)＝x ＝，x≠0，∴y≠0，
A．－1或2B．－2或1
C．－1D．1
答案：C
解析：因为f(x)＝(a2－a－1)x 为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.

人教B版高中数学必修一3.3幂函数

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第三章 3.3一、选择题1．下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 [答案] D[解析]幂函数y ＝x 2经过点(－1,1)，排除A ；幂函数y ＝x －1不经过点(0,0)，排除B ；幂函数y ＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C ，故选D.2．函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值是( ) A ．k ＝3 B ．k ＝－2 C ．k ＝3或k ＝－2 D ．k ≠3且k ≠－2[答案] C[解析] 由幂函数的定义知k 2－k －5＝1，即k 2－k －6＝0，解得k ＝3或k ＝－2. 3．(2013～2014学年度福建厦门一中高一月考)幂函数f (x )的图象过点(2，m )，且f (m )＝16，则实数m 的值为( )A ．4或12B ．±2C ．4或14D ．14或2[答案] C[解析] 本题主要考查幂函数的解析式及简单指数方程的求解．设幂函数f (x )＝x a ，由图象过点(2，m )，得f (2)＝2a ＝m ，所以f (m )＝m a ＝2a 2＝16，解得a ＝－2或2，所以m ＝22＝4或m ＝2－2＝14，故选C.4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x 5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．m ≠1±52[答案] B[解析] ∵函数y ＝(m 2－m －1)x 5m－3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝－1或2，当m ＝2时，y ＝x 7在(0，＋∞)上为增函数，当m ＝－1时，y ＝x－8在(0，＋∞)上为减函数，故选B.5．(2013～2014学年度广东省广雅中学高一期中考试)函数y ＝|x |12的图象大致为( )[答案] C[解析] y ＝|x |12＝|x |＝⎩⎨⎧x (x ≥0)－x (x <0)，函数y ＝|x |12为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ，又函数y ＝|x |12的图象向上凸，排除D ，故选C.6．如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[答案] B[解析] 根据幂函数性质，C 1、C 2在第一象限内为增函数，C 3、C 4在第一象限内为减函数，因此排除A 、C.又C 1曲线下凸，所以C 1、C 2中n 分别为2、12，然后取特殊值，令x ＝2,2－12>2－2，∴C 3、C 4中n 分别取－12、－2，故选B.二、填空题7．(2013～2014学年度河南信阳市高一期末测试)已知幂函数f (x )过点(4,8)，则f (9)＝________.[答案] 27[解析] 设幂函数f (x )＝x α，则4α＝8，∴α＝32.∴f (x )＝x 32，∴f (9)＝27.8．(2013～2014学年度河南郑州一中高一期中测试)若函数f (x )＝(2m ＋3)x m2－3是幂函数，则m 的值为________．[答案] －1[解析] 由幂函数的定义可得，2m ＋3＝1，即m ＝－1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．[解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，解得m ＝－1±2.一、选择题1．下列关系中正确的是( ) A ．(12)23 <(15)23 <(12)13B ．(12)23 <(12)13 <(15)23C ．(15)23 <(12)13 <(12)23D ．(15)23 <(12)23 <(12)13[答案] D[解析] ∵y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且125＜14＜12，∴(125)13 ＜(14)13 ＜(12)13 ，即(15)23 ＜(12)23 ＜(12)13 . 2．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞1 [答案] B[解析] 由幂函数图象的性质知n ＜0,0＜m ＜1. 3．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称[答案] D[解析] y ＝x 3与y ＝x 13互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，故选D. 4．设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] C[解析] 函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A (2，12)，又点A (2，12)在幂函数y ＝x α的图象上，∴12＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y ＝x －1，其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．二、填空题5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不过原点，则m 是__________．[答案] 1或2[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或m ＝2.6．如果幂函数y ＝x a 的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么a 的取值范围是________．[答案] a <1[解析] 分a >1，a ＝1,0<a <1，a <0分别作图观察，知a <1. 三、解答题 7．已知幂函数y ＝x m2－m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求出m 的值，并画出它的图象．[解析] 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3. 当m ＝0或m ＝2时，y ＝x－3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不合题意；当m ＝－1，或m ＝3时，有y ＝x 0，适合题意；当m ＝1时，y ＝x －4，适合题意．∴所求m 的值为－1,3或1. 画出函数y ＝x 0及y ＝x－4的图象，函数y ＝x 0的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，其图象是除点(0,1)外的一条直线，故取点A (－1,1)，B(1,1)，过A，B作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示．函数y＝x－4的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，列出x，y的对应值表：x …－2－1－12－13131212…y (1)161168181161116…描出各点，连线，可得此函数的图象如图②所示．8．已知函数(1)证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．[解析](1)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴定义域关于原点对称．∴函数f(x)为奇函数．在(0，＋∞)上任取x1，x2，且x1<x2，又∵f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，0)上也是增函数．故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．由此可推测出一个等式f (x 2)－5f (x )g (x )＝0(x ≠0)．证明如下：，故f (x 2)－5f (x )g (x )＝0成立．9．定义函数f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f (x )的最小值．[解析] ∵f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴f (x )总是取x 2和x－2中最大的一个值．令x 2>x －2，得x 2>1，∴x >1或x <－1. 令x 2≤x －2，得－1≤x ≤1且x ≠0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >1)x －2(－1≤x <0或0<x ≤1)，x 2 (x <－1)函数f (x )的图象如图所示：由图可知， f (x )在x ＝－1与x ＝1时取最小值1. ∴函数f (x )的最小值为1.。

高中数学必修一3.3 幂函数(课时作业)

3.3 幂函数课程标准核心素养通过具体实例，结合图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.通过对幂函数的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.[对应学生用书P 42]知识点1 幂函数概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．[微思考]幂函数解析式的结构特征是什么？提示：有四个特征：(1)指数为常数；(2)底数是自变量，自变量的系数为1；(3)幂x α的系数为1；(4)只有1项．知识点2 五个幂函数的性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞) 上减，在(－∞，0)上减[微思考]幂函数的图象能经过第四象限吗？提示：不能. 在幂函数中，当x >0时，幂函数值大于0，故图象不经过第四象限． [微体验]1．若幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．α＞0 B ．α＜0 C ．α＝0D ．不能确定 A [根据幂函数的性质知，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)内恒为增函数．]2．函数y ＝x 54的图象是( )C [∵函数y ＝x 54是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又54>1，故选C ．]3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1，13，1,3. 又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.]4．下列命题中，不正确的是( ) A ．幂函数y ＝x －1是奇函数 B ．幂函数y ＝x 2是偶函数C ．幂函数y ＝x 既是奇函数又是偶函数D ．y ＝x 12 既不是奇函数，又不是偶函数C [∵x －1＝1x ，1－x ＝－1x，∴A 正确；(－x )2＝x 2，∴B 正确；－x ＝x 不恒成立，∴C不正确；y ＝x 12 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴D 正确．][对应学生用书P 43]探究一幂函数的概念函数f (x )＝(m 2－m －5)x m－1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数．试确定m 的值．解根据幂函数的定义，得m 2－m －5＝1. 解得m ＝3或m ＝－2.当m ＝3时，f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.[互动探究] 在本例中其他条件不变，只把“f (x )是增函数”改为“f (x )是减函数”，又如何确定m 的值？解根据幂函数的定义，得m 2－m －5＝1.解得m ＝3或m ＝－2.当m ＝3时，f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上是增函数，不符合题意；当m ＝－2时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数．故m ＝－2.[方法总结]求幂函数解析式的依据及常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．(2)常用方法：设幂函数解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.[跟踪训练1] 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．]探究二幂函数的图象及应用已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上．问当x 为何值时：(1)f (x )＞g (x )； (2)f (x )＝g (x )； (3)f (x )＜g (x )．解设f (x )＝x α，由题意，得(2)α＝2⇒α＝2. ∴f (x )＝x 2.同理可求，g (x )＝x －2.在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图．由图象可知，(1)当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； (2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；(3)当－1＜x ＜0或0＜x ＜1时，f (x )＜g (x )． [方法总结]1．作幂函数图象的原则和方法(1)原则：作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等． (2)方法：首先作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出幂函数在其定义域内完整的图象．2．幂函数y ＝x α在第一象限内图象的画法 (1)当α＜0时，其图象可以类似y ＝x －1画出；(2)当0＜α＜1时，其图象可以类似y ＝x 12 画出；(3)当α＞1时，其图象可以类似y ＝x 2画出．[跟踪训练2] 已知x 2<x 12 .试求x 的取值范围．解在同一坐标系中，画出y ＝x 2，y ＝x 12 的图象，如图．∴满足x 2<x 12 的x 的取值范围是0<x <1.探究三幂函数性质的应用比较大小：(1)1.512 ，1.712 ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1.解 (1)因为函数y ＝x 12 在(0，＋∞)上是增函数，且1.5＜1.7, 所以1.512 <1.712 .(2)因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，且－1.2>－1.25，所以(－1.2)3>(－1.25)3.(3)因为函数y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，且5.25<5.26，所以5.25－1>5.26－1. [方法总结]利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法[跟踪训练3] 下列不等式在a b －1B ．a 13 b －23D [分别构造函数y ＝x－1，y ＝x 13 ，y ＝x 2，y ＝x －23 ，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，故A ，C 成立. 而y ＝x 13 ，y ＝x －23 在(－∞，0)上为增函数，从而B 成立，D 不成立．][对应学生用书P 44]1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．3．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0，曲线下凸．课时作业(十六) 幂函数[见课时作业(十六)P 157]1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5 C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3B [函数y ＝5x 不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．]2．下列幂函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝x 12 C ．y ＝x 35D ．y ＝x 43B [B 中y ＝x 12 ＝x ，定义域为{x |x ≥0}．A 中y ＝x ，C 中y ＝x 35 ＝5x 3，D 中y ＝x 43 ＝3x 4，定义域均为R .]3．下面给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )A ．①y ＝x 2，②y ＝x 13 ，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1B [注意到函数 y ＝x 2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，该函数图象应与②对应；y ＝x 12 ＝x 的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y ＝x －1＝1x，其图象应与④对应．] 4．函数y ＝x －12 在区间[4,64]上的最大值为_________．解析因为y ＝x －12 在[4,64]上是减函数，所以y ＝x －12 在区间[4,64]上的最大值为12.答案 125．若(3－2m ) 12 ＞(m ＋1) 12 ，则实数m 的取值范围为________．解析因为y ＝x 12 在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m ＞m ＋1.解得－1≤m＜23. 故m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1， 23. 答案 ⎣⎡⎭⎫－1， 23 6．讨论函数y ＝x 25 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出函数图象的草图．解 ∵y ＝x 25 ＝5x 2≥0，∴函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )25 ＝ 5(－x )2＝5x 2＝x 25 ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．由于25＞0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．又f (x )是偶函数，∴f (x )在(－∞，0]上单调递减．根据以上性质可画出函数y ＝x 25 图象的草图如图所示：1．如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0A [由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0，且2m >2n ，则m >n .] 2．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5＜0，即m ＜53. 又m ∈N ，∴m ＝0,1. ∵f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数；当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数．∴m ＝1.]3．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是________．解析由题意知，m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，故m ＝1或m ＝2.经检验m ＝1或m ＝2均符合题意，即m ＝1或2.答案 1或24．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”. 若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．解析由题目可知加密密钥y ＝x α(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝12，则y ＝x 12 . 由x 12 ＝3，得x ＝9.答案 95．(拓广探索)已知幂函数f (x )＝x 2－k (k ∈N *)，满足f (2)＜f (3)． (1)求实数k 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式；(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在正数m ，使函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x 在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)对于幂函数f (x )＝x 2－k (k ∈N *)，满足f (2)＜f (3)，因此2－k ＞0，解得k ＜2. 因为k ∈N *，所以k ＝1，f (x )＝x .(2)由(1)知，g (x )＝1＋(m －1)x ，当m ＞1时，函数g (x )为增函数，故最大值为g (1)＝m ＝5.当0＜m ＜1时，函数g (x )为减函数，故最大值为g (0)＝1≠5，不成立．当m ＝1时，g (x )＝1，不合题意．综上所述，m ＝5.。

人教B版数学高一版必修1同步训练3.3幂函数

3.3 幂函数5分钟训练1.下列函数中是幂函数的是（）A.y=(x+2)2B.y=x2 C.y=21x D.y=3x 答案：C解析：根据幂函数的定义判断. 2.下列函数图象中，表示y=31-x的是（）答案：C 解析：因为31-<0,所以A 、D 错误.又因为函数是奇函数，所以B 错误. 3.幂函数y=x a 的图象一定经过（0，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1）中的( ) A.一点 B.两点 C.三点 D.四点答案：A解析：所有幂函数的图象都过点（1，1）.4.已知幂函数y=f(x)的图象经过点（2，2），那么这个幂函数的解析式为_____________. 答案：y=21x10分钟训练1.下列命题中，不正确的是（）A.幂函数y=x -1是奇函数B.幂函数y=x 2是偶函数C.幂函数y=x 既是奇函数又是偶函数D.幂函数y=21x 既不是奇函数也不是偶函数答案：C解析：函数y=x 是奇函数，不是偶函数. 2.幂函数的图象过点（2，41），则它的单调递增区间是（） A.（0，+∞） B.［0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 答案：D解析：设f(x)=x α.由2α=41,得α=-2,故f(x)=x -2,其单调增区间是（-∞,0）. 3.函数y=11+x 的图象是（）答案：D 解析：y=11+x 的图象是由函数y=x1的图象向左平移1个单位得到的. 4.当x>1时，函数y=x a 的图象恒在直线y=x 的下方，则a 的取值范围是（） A.0<a<1 B.a<0 C.a<1 D.a>1答案：C解析：观察幂函数的图象.5.若幂函数y=x n 对于给定的有理数n ，其定义域和值域相同，则此幂函数（） A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.一定不是奇函数 D.一定不是偶函数答案：D解析：可使用排除法，如y=21x 满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A 、B 均不对.y=x 3满足题意，它是奇函数，所以C 不对. 6.已知x 2>21x ，求x 的取值范围.解：在同一坐标系中，作出函数y=x 2与y=21x 的图象，如图. 通过图象可以看出，当且仅当x>1时，x 2>21x , ∴所求x 的取值范围是x>1.30分钟训练1.下列命题中正确的是（）A.当α=0时函数y=x α的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C.若幂函数y=x α是奇函数，则y=x α是定义域上的增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限答案：D解析：对于A，当α=0时，函数y=xα是y=1(x≠0),它不是直线；当幂指数α<0时图象不经过原点，所以B错；由y=x-1,可知C错.2.已知幂函数y=1n x，y=2n x，y=3n x，y=4n x在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是( )A.n1>n2>1，n3<n4<0B.n1>n2>1，n4<n3<0C.n1>1>n2>0>n4>n3D.n1>1>n2>0>n3>n4答案：D解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过（1，1）点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小.3.下列不等式中错误的是( )A.0.50.3＜0.70.3B.5131)34()43(<C.43328.08.0--> D.2log3log4222>答案：C解析：利用幂、指、对函数的单调性进行判断.4.(创新题)函数①y=|x|;②y=xx||;③y=||2xx-;④y=||xxx+中，在（-∞,0）上是增函数的有（）A.①②B.②③C.③④D.①④答案：C解析：①y=|x|=⎩⎨⎧<-≥,,0,xxxx在（-∞,0）上是减函数，排除A、D；②y=⎩⎨⎧<->=,1,0,1||xxxx在（-∞,0）上为常数函数，排除B.5.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--,0,,0,1221xxxx若f(x0)>1,则x0的取值范围是（）A.（-1，1）B.（-1，+∞）C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案：D解析：由⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤>--,0,1,0,112xxxx得所以x<-1.又由⎩⎨⎧>>⎪⎩⎪⎨⎧>>,0,1,0,121xxxx得所以x>1.所以x0的取值范围是（-∞,-1）∪(1,+∞).6.幂函数y=x-1,直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示)，那么幂函数y=23-x的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A.ⅣⅦB.ⅣⅧC.ⅢⅧD.ⅢⅦ答案：D解析：y=3231xx=-，其图象为第一象限的一条双曲线，与y=x-1交叉出现.由23-<-1,可知它经过Ⅲ、Ⅶ“卦限”.7.3131)22()1(-<+aa,则实数a的取值范围是__________________.答案：a>3解析：y=31x在R上是增函数，所以有a+1<2a-2.解得a>3.8.已知函数f(x)=xx+1.(1)画出f(x)的草图；（2）指数f(x)的单调区间；（3）设a,b,c>0,a+b>c,证明f(a)+f(b)>f(c).解：(1)f(x)=111+-x.函数f(x)是由y=x1-向左平移1个单位后，再向上平移1个单位形成的，图象如图.（2）由图象可以看出，函数f(x)有2个单调递增区间:（-∞,-1）,(-1,+∞).(3)f(a)=a a +1,f(b)=bb +1. ∵a,b>0,∴b a bb b b a a a a ++>+++>+11,11. ∴f(a)+f(b)>ba ba +++1=f(a+b).∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，a+b>c>0, ∴f(a+b)>f(c).∴f(a)+f(b)>f(c). 9.(探究题)已知函数f(x)=xx 1-,求证：（1）f(x)在其定义域上是增函数；（2）方程f(x)=1最多有一个实根.答案：(1)证明:f(x)的定义域为（0，+∞）. 设x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=221111x x x x +--)11)((11212121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-++-=-+-=. ∵0<x 1<x 2,∴f(x 1)-f(x 2)<0,f(x 1)<f(x 2).∴f(x)为增函数.（2）证明：f(x)的值域为R .假设存在x 1,x 2>0,使f(x 1)=f(x 2)=1.不妨设x 1<x 2. ∵f(x)是（0，+∞）上的增函数， ∴f(x 1)<f(x 2)与假设相矛盾.∴假设不成立，即f(x)=1的根只有一个. 10.已知幂函数f （x ）=322--m m x（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称且与x 轴、y 轴无交点.（1）试求函数f （x ）的解析式，并画出它的图象；（2）讨论函数g （x ）=)()(x xf bx f a-的奇偶性（a 、b ∈R ）. 解：（1）由幂函数的图象与x 、y 轴无公共点， ∴m 2-2m-3<0，即-1<m<3. 又m ∈Z ，得m=0，1，2.∵幂函数的图象关于y 轴对称，∴它是偶函数.把m=0，1，2分别代入得f （x ）=x -3，f （x ）=x -4，f （x ）=x -3，只有f （x ）=x -4符合条件，故m 只能取1.∴f （x ）=x -4.其图象如图所示.（2）把f （x ）=x -4代入g （x ）的解析式，得 g （x ）=3244bx xax x b x a -=•---（x≠0）， g （-x ）=3232)()(bx xa xb x a +=---. ∴当a≠0，b≠0时，g （x ）为非奇非偶函数；当a=0，b≠0时，g （x ）为奇函数；当a≠0，b=0时，g （x ）为偶函数；当a=b=0时，g （x ）既为奇函数又为偶函数.。

人教版高中数学新教材必修第一册《3.3幂函数》公开课优秀课件

写出下列y关于x的函数关系式
❖ (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;
❖ (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2; ❖ (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;
1
c S2
❖ (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= S
❖ (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= 1 km/s . t
(-2,4)
y y x3 y x2
4
(2,4)
yx
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1 2
1
2
y x1
3
4x
yx
y x2
y
1
x
1
y x2
y
3
x
(-1,-1)
-1
-2
-3
xx
…0
3 2
1-1
yy=x3x
1 2
…0
-3.38 1-1
212
30
1
24
1-0.4.113 1.073 0.123
1…
3 2
…
1…3.38 …
幂函数的性质
观察5个幂函数的图像，填写课本 P90 的表格.
y
y
3
x
y x2
yyx x
1

y
yx
函数 y x
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性奇函数
单调性增函数
y
y x-1
O
函数
y x-1

高中新课程数学新课标人教B版必修一3.3幂函数评估训练

双基达标(限时20分钟)1．在[－1,1]上是()．A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数解析∴f(x)为奇函数．又由概念可证f(x)在[－1,1]上为增函数．答案 A2．当x∈(1，＋∞)时，下列函数的图象全在直线y＝x下方的偶函数是()．A．B．y＝x－2C．y＝x2D．y＝x－1解析∵函数是偶函数，排除A、D.又当x∈(1，＋∞)时，图象在直线y＝x 下方，故y＝x－2适合．答案 C3．函数的图象大致是()．解析由53>1，∴在第一象限内图象是递增，且下凸，排除A、C，又是奇函数，故排除D.答案 B4.函数y＝x m，y＝x n，y＝x p的图象如图所示，则m，n，p的大小关系是________．解析结合题目给出的幂函数图象，咱们可以将其转化成指数问题解决，作直线x＝a(0<a<1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n<a m<a p，按照指数函数y＝a x(0<a<1)是单调减函数可得n>m>p.答案n>m>p5．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都通过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，而y＝xα在概念域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．解析当α＝0时，函数y＝xα的概念域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在概念域内不是增函数，故③不正确．④正确．答案④6．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求知足的a的范围．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，∴又∵在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.综合提高 (限时25分钟)7．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 α＝13，12，1,2,3时，使f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递增，不合题意． α＝－2时，y ＝x α为偶函数，α＝－12时，非奇非偶；当α＝－1时符合题意．答案 A 8.已知幂函数，(p ，q ∈N *)的图象如图所示，则( )．A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq ＜0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq ＞0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq ＜0解析研究函数的性质，得出p 、q 的取值．因为函数为偶函数，所以p 为偶数，且由图象形状判定pq ＜0.又因p 、q 互质，所以q 为奇数．所以选D.答案 D9．以下三个数：由小到大的顺序是________________________．答案10．设，则a，b，c的大小关系是________(按从大到小顺序排列)．解析构造函数y＝(25)x，此函数在概念域内递减，答案a>c>b11．已知幂函数(1)试肯定该函数的概念域，并指明该函数在其概念域上的单调性；(2)若该函数还通过点(2，2)，试肯定m的值，并求知足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．解(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中一定有一个为偶数，∴m2＋m为偶数，∴函数的概念域为[0，＋∞)，而且函数y＝f(x)在其概念域上为增函数．(2)∵函数f(x)通过点(2，2)，∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.∴m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，知足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 12．(创新拓展)若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．。

人教B版必修一课后作业：第三章基本初等函数(Ⅰ) 3.3 Word版含答案

学习目标 1.理解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1,2,3)的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案底数为x ，指数为常数．梳理一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三一般幂函数的图象特征思考类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质．答案 y ＝x 3与y ＝x 5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同．只不过当0<x <1时，x 5＝x 3·x 2<x 3，当x >1时，x 5＝x 3·x 2>x 3，结合两函数性质，可得图象如下：梳理一般幂函数特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．类型一幂函数的概念例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x －＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3或1，n ＝32，所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数．类型二幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )． (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )． (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．引申探究若对于例2中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象．解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟注意本题中对f (x )＞g (x )，f (x )＝g (x )的几何解释．这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式和方程，是以后常用的方法．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么αβ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定答案 A解析由条件知，M (13，23)、N (23，13)，∴13＝(23)α，23＝(13)β， ∴(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三幂函数性质的综合应用命题角度1 比较大小例3 设a ＝⎝⎛⎭⎫2323，b ＝⎝⎛⎭⎫2313，c ＝⎝⎛⎭⎫2523，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．c >b >a答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝⎛⎭⎫2323<⎝⎛⎭⎫2313，即a ⎝⎛⎭⎫2523，即a >c .∴b >a >c .故选B.反思与感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与(0.3)25. 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数．又25>13， ∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3.(2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，又－23<－35.∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴0.30.3>0.325.② 由①②知⎝⎛⎭⎫250.3>0.325.命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝mx 2－2mx ＋m －1x 2－2x ＋1(m ∈R )，试比较f (5)与f (－π)的大小．解 f (x )＝mx 2－2mx ＋m －1x 2－2x ＋1＝m (x －1)2－1(x －1)2＝m －1(x －1)2＝m －(x －1)－2. f (x )的图象可由y ＝x －2的图象首先作关于x 轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m ≥0)(或向下(m <0))平移|m |个单位长度得到(如图所示)．显然，图象关于x ＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (－π)＝f (2＋π)，而2＋π>5， ∴f (－π)＝f (2＋π)>f (5)．反思与感悟幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．跟踪训练4 已知幂函数f (x )＝21m mx+ (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数．令m 2＋m ＝2k ，k ∈N ＋，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数． (2)∵2＝212＝212m m+，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ∴f (x )＝x 12，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数． ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0，解得1≤a <32.1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值等于( ) A ．16 B.116 C ．2 D.12答案 D3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．下列是y ＝x 23的图象的是( )答案 B5．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限答案 D1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．课时作业一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1答案 C解析根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．3答案 A解析由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3.3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 C解析因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝x 25在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝(25)x 在x >0时是减函数，所以c >b .5．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23n n－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2答案 B解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.6．若α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析 ∵幂函数y ＝x α是奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝13，1,3.故选A.二、填空题7．已知函数：①y ＝3x －2；②y ＝x 4＋x 2；③y ＝3x 2，其中幂函数有________个．答案 1解析 ③y ＝3x 2＝x 23，符合幂函数的定义；①y ＝3x －2，②y ＝x 4＋x 2不符合幂函数的定义． 8．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)答案 >解析 ∵y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. 9．函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________．答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)． 10．已知幂函数f (x )＝x21m －(m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1. 三、解答题11．已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，求m 的值．解因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意．综上知，m ＝1. 12．已知幂函数f (x )＝x223m m －－(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由．解 (1)由于幂函数f (x )＝x 223m m －－在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3，因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4.(2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )＝a ·x －4＋(a －2)x .当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )，所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )，所以F (x )＝2x 4是偶函数；当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2，因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)，所以F (x )＝ax 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数．13．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)．四、探究与拓展14．已知实数a ，b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①01，则1<a 0，解得12<k <3.∵k ∈Z ，∴k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，(2k －1)(3－k )＝2，满足函数f (x )为偶函数，当k ＝2时，(2k －1)(3－k )＝3，不满足函数f (x )为偶函数，∴k ＝1，且f (x )＝x 2.(2)∵f (x )＝x 2，∴g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－mx ，函数g (x )的对称轴为直线x ＝m 2.要使函数g (x )当x ∈[－1,1]时是单调函数，则m 2≤－1或m 2≥1，解得m≤－2或m≥2，故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．。

新人教版高中数学必修第一册幂函数ppt课件及课时作业

反思感悟
(1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用. (2)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象. ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.
(3)若f(a＋1)＞f(2a－3)，求实数a的取值范围.
函数 f(x) 在 [0 ，＋ ∞) 上为增函数，由 f(a ＋ 1) ＞ f(2a － 3) ，则
a＋1＞2a－3， 2a－3≥0，
得32≤a＜4.
综上，a 的取值范围为32，4.
反思感悟
解决幂函数的综合问题时应注意掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性.
内容索引
一、幂函数的概念二、幂函数的图象与性质三、幂函数性质的综合运用
随堂演练课时对点练
一
幂函数的概念
问题1 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝ S，这里c 是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝1t km/s，即 v＝t－1，这里v是t的函数.