35、2020年北京初三数学二模分类汇编：几何综合(教师版)

2020年北京初三数学二模分类汇编：

几何综合

【题1】（2020·东城27二模）

27．在△ABC中AB=AC，BACα

∠=，D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D,A,E不共线，连接AD,BD，CD．

（1）如图1，当60

α=︒，∠ADB=30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；

（2）当90

α=︒，∠ADB=45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；

（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）

（3）当

1

2

ADBα

∠=时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之

间的关系．

【题2】（2020·西城27二模）

27. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE >DE），AE，BD交于点F.

（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H.

求证：∠EAB =∠GHC；

（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．

图1 备用图27．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90°，

∴∠AGH =∠GHC．

∵GH⊥AE，

∴∠EAB =∠AGH．

∴∠EAB =∠GHC．

（2）①补全图形，如图所示．

②

AE ．

证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．

∵四边形ABCD是正方形，

∴点A，点C关于BD对称．

∴NA =NC，∠1=∠2．

∵PN垂直平分AE，

∴NA =NE．

∴NC =NE．

∴∠3=∠4．

在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD = 90°，

∴∠AQE =∠4．

∴∠1+∠AQE =∠2+∠3=90°．

∴∠ANE =∠ANQ =90°．

在Rt△ANE中，

A

F

D

C

E

B

G

H

A

F

D

C

E

B

G

H

A

F

D

C

E

B

E

C

∴

AE =． ····························································· 7分

【题3】（2020·海淀27二模）

27．如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <, 连接AD , 以点A 为中心,

将射线AD 顺时针．．．旋转60°，与△ABC 的外角平分线BM 交于点E . （1）依题意补全图1； （2）求证：AD =AE ；

（3）若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF .

① 求证：AE ∥CF ；

② 若BE CF AB +=成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.

27．（1）依题意补全图形

（2）证明：

∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB =AC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°. ∴ ∠1+∠2=60°.

∵ 射线AD 绕点A 顺时针旋转60°得到射线AE ， ∴ ∠DAE =60°. ∴ ∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3.

∵ ∠ABC =60°，

∴ ∠ABN =180°-∠ABC =120°. ∵ BM 平分∠ABN ， ∴ ∠4=∠5=60°. ∴ ∠4=∠C. ∴ △ABE ≌△ACD . ∴ AD =AE .

（3）① 证明：连接AF ，设∠BAD =α， ∵ 点B 与点F 关于直线AD 对称，

A

B C

M

备用图

图 1

M

C

E

A

M

∴ ∠FAD =∠BAD =α，FA =AB . ∵ ∠DAE =60°，

∴ ∠BAE =∠DAE -∠DAB =60°-α. ∵ 等边三角形ABC 中，∠BAC =60°， ∴ ∠EAC =∠BAE +∠BAC =120°-α.

∵ AB =AC ，AF =AB ， ∴ AF =AC . ∴ ∠F =∠ACF .

∵ ∠FAC =∠BAC -∠FAD -∠BAD =60°-2α， 且∠F +∠ACF +∠FAC =180°， ∴ ∠ACF =60°+α. ∴ ∠EAC +∠ACF =180°. ∴ AE ∥CF . ② 20°.

【题4】（2020·朝阳27二模）

27.已知40,AOB M ∠=︒为射线OB 上一定点，1,OM P =为射线OA 上一动点(不与点O 重合),1OP <，连接PM ，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转40︒，得到线段PN ，连接MN . (1)依题意补全图1; (2)求证:APN OMP ∠=∠;

(3)H 为射线OA 上一点，连接NH .写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN ∠为定值，并求出此定值.

27．解：（1）补全图形，如图所示.

（2）证明：根据题意可知，∠MPN =∠AOB =40°，

∵∠MPA =∠AOB +∠OMP =∠MPN +∠APN , ∴∠APN =∠OMP .

（3）解： OH 的值为1.

在射线PA 上取一点G ，使得PG =OM ，连接GN . 根据题意可知，MP =NP . ∴△OMP ≌△GPN .

∴OP=GN ，∠AOB=∠NGP=40°.

∴PG =OH .

∴OP =HG . ∴NG =HG . ∴∠NHG =70°.

∴∠OHN =110°.

【题5】（2020·丰台27二模）

27. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，将CA 绕点C 顺时针旋转45°得

到CP ，

点A 关于直线CP 的对称点为D ，连接AD 交直线CP 于点E ，连接CD ． （1）根据题意补全图形； （2）判断△ACD 的形状并证明；

（3）连接BE ，用等式表示线段AB ，BC ，BE 之间的数量关系，并证明. 温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考

下面几种解法的主要思路.

解法1的主要思路：

延长BC 至点F ，使CF =AB ，连接EF ，可证△ABE ≌△CEF ，再证△BEF 是等腰直角 三角形.

A

B C