专题01 动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题

动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.

其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.

一、基础知识点综述

1. 两点之间，线段最短；

2. 垂线段最短；

3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；

（1）单动点模型

作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求P A+PB的最小值的作图.

P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.

作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.

5. 二次函数的最大（小）值

()2

y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k .

二、主要思想方法

利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析

例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为

例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）

O

A .

817 B . 717 C . 49 D . 59

例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；①①OAB 的面积的最大值为144；①当OD 最大时，点D 的坐标为)26

26125,262625(，其中正确的结论是 （填写序号）.

例4. （2019·天津）已知抛物线2

y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，若点Q （1,2

Q b y +

2QM +

b 的值.

例5. （2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm ．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为 2

cm ．

例6. （2019·巴中）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .

（1）求证：DC 是圆O 的切线；

（2）若AC =4MC ，且AC =8，求图中阴影部分面积；

（3）在（2）的前提下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH +PM 的值最小，并求出最小值.

B

D

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题（解析）例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为

【答案】4.

【解析】解：∵PQ⊥EP，

∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，

∴∠BEP=∠QPC，

∴△BEP∽△CPQ，

∴BE BP CP CQ

=，

∵AB=12，AE=3，

∴BE=9，

设CQ=y，BP=x，CP=12－x，（0

∴

9

12

x

x y

=

-

，

即

()

()2

121

64

99

x x

y x

-

==--+，

∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.

【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.

例2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan

∠BAD =（ ）

A . 817

B . 717

C . 49

D . 59

【答案】B .

【解析】解：S △ABE =142

BE OA BE ⨯⨯=, 当BE 取最小值时，△ABE 面积为最小值.

设x =－5与x 轴交于点G ，连接DG ，

因为D 为CF 中点，△CFG 为直角三角形，

所以DG =152

CD =, ∴D 点的运动轨迹为以G 为圆心，以5半径的圆上，如图所示

由图可知：当AD 与圆G 相切时，BE 的长度最小，如下图，