高考理科数学小题训练
高考理科数学模拟试题精编(一)
高考理科数学模拟试题精编(一)(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A．3B．4C．7D．82．若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则1z＝()A．i B．－i C．2i D．－2i3．已知等差数列{a n}的公差为5，前n项和为S n，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝()A．80 B．85 C．90 D．954．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( )A.34B.23C.12D.135．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是( )6．已知p ：a ＝±1，q ：函数f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋4x 2＋43展开式的常数项为( )A ．120B ．160C ．200D ．2408．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为( )A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1519．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PF→＝3MF →，则|MN |＝( ) A.212B.323C ．10D ．1111．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.5612．已知函数f (x )＝|2x －m |的图象与函数g (x ) 的图象关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 B ．[2,4] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知|a |＝2，|b |＝1，(a －2b )·(2a ＋b )＝9，则|a ＋b |＝________. 14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≥02x ＋y －4≤0y ＋2≥0，则z ＝x ＋y的最小值为________．15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF →·NF →＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．16．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，0)cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与x 轴围成一个封闭区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 相等，则此圆柱的体积为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．18．(本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AC 与BD 相交于点E ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求二面角A PC D 的余弦值．19．(本小题满分12分)某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13. (1)若出现故障的机器台数为X ，求X 的分布列；(2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－132是椭圆上一点． (1)求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值；(2)若T 为椭圆C 上异于顶点的任一点，M ，N 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM 与y 轴交于点P ，直线TN 与x 轴交于点Q ，求证：|PN |·|QM |为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a 和b 的值； (2)讨论方程f (x )＝0的解的个数，并说明理由．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θy ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|(x∈R)．(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(一)班级：___________姓名：__________得分：___________请在答题区域内答题18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)详 解 答 案高考理科数学模拟试题精编(一)1．解析：选D.∵Q ＝{x |0≤x ≤52，x ∈N}＝{0,1,2}，∴满足条件的集合P 有23＝8个．2．解析：选A.由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i＝i ，故选A.3．解析：选C.由题意，得(a 1＋5)2＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52，所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90，故选C.4．解析：选D.解法一：设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )＝45＋5－2040＋5＋45＝13，选D.解法二：设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”，则P (A )＝1－40＋2040＋5＋45＝13，选D.5．解析：选D.由三视图知识可知，选项A ，B ，C 表示同一个三棱锥，选项D 不是该三棱锥的三视图．6．解析：选C.f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔ln(x ＋x 2＋a 2)＋ln(－x ＋x 2＋a 2)＝0⇔ln a 2＝0⇔a ＝±1.7．解析：选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4x 2＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r ·(2x )r ＝C r 62r x 2r －6，令2r －6＝0，可得r ＝3，故展开式的常数项为C 3623＝160.8．解析：选B.在空间直角坐标系O xyz 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域，相应区域的体积为13＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1x 2＋y 2＋z 2＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域内的18球形区域，相应区域的体积为18×43π×13＝π6，因此π6≈5211 000，即π≈3.126，选B.9．解析：选 C.因为f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ|＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)∴－sin φ＞sin φ，即sin φ＜0，所以φ＝－56π＋2k π(k∈Z)，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)，故选C.10．解析：选B.设M (x M ，y M )，∵PF→＝3MF →，∴2－(－2)＝3(2－x M )，则2－x M 4＝13，∴x M ＝23，代入抛物线C ：y 2＝8x ，可得y M ＝±433，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，433，则直线MF 的方程为y ＝－3(x －2)，代入抛物线C ：y 2＝8x ，可得3x 2－20x ＋12＝0，∴N 的横坐标为6，∴|MN |＝23＋2＋6＋2＝323.11．解析：选C.依题意得，S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而减小，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n ＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C. 12．解析：选A.由题易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝|⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m |的图象如图1或图2所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2m ≤1，－log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m |的图象如图3所示，由图象知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.13．解析：由|a |＝2，|b |＝1可得a 2＝4，b 2＝1，由(a －2b )·(2a ＋b )＝9可得2a 2－3a ·b －2b 2＝9，即2×4－3a ·b －2×1＝9，得a·b ＝－1，故|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3.答案：314.解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分)及直线x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (－11，－2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋y 取得最小值，最小值为z min ＝－11－2＝－13.答案：－1315．解析：因为MF→·NF →＝0，所以MF →⊥NF →.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝12|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a ＝1，所以e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2.答案：216．解析：区域A 的面积为S ＝π4＋∫π20cos x d x ＝π4＋1，所得图一中的几何体的体积为V ＝4⎝⎛⎭⎪⎫π4＋1＝π＋4，即圆柱的体积为V 柱＝π＋4.答案：π＋417．解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，(4分)联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(6分)(2)∵sin C ＋sin (B －A)＝2sin 2A ，∴sin (B ＋A)＋sin (B －A)＝4sin A cos A ，∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，(8分) ①当cos A ＝0时，A ＝π2；(9分)②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.(12分)18．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA. 又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB ＝ 3.(2分)∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，(4分) ∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC.又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC.(6分) (2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ， 则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，BD →＝(－23，2,0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD→·n ＝0，PD →·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－23x －4y ＝02y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－433y ＝2，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，1.(8分)由(1)知平面PAC 的一个法向量为m ＝BD →＝(－23，2,0)，(10分)∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝8＋4933×4＝39331，由题意可知二面角A PC D 为锐二面角， ∴二面角A PC D 的余弦值为39331.(12分)19．解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A ，则事件A 的概率为13，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X ，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481，P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881，P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181.即X 的分布列为：(4分)(5分)(2)设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为x ≤n ，即x ＝0，x ＝1，…，x ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则(6分)∵7281≤90%≤8081， ∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.(8分)(3)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18,13,8 P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，(10分)即Y 的分布列为：(11分) 则E (Y )＝18×7281＋13×881＋8×181＝1 40881， 故该厂获利的均值为1 40881.(12分) 20．解：(1)解法一：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，F 1(－23，0)， F 2(23，0)．(1分)由椭圆的定义可得2a ＝(3＋23)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1322＋(3－23)2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1322＝1214＋254＝112＋52＝8， 解得a ＝4，∴e ＝234＝32，b 2＝16－12＝4，(3分) ∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(5分) 解法二：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，椭圆C 的左焦点为F 1(－23，0)，故a 2－b 2＝12，(2分) 又点A (3，－132)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则3b 2＋12＋134b 2＝1，化简得4b 4＋23b 2－156＝0，得b 2＝4，故a 2＝16，∴e ＝234＝32，椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(5分) (2)由(1)知M (4,0)，N (0,2)，设椭圆上任一点T (x 0，y 0)(x 0≠±4且x 0≠0)，则x 2016＋y 204＝1.直线TM ：y ＝y 0x 0－4(x －4)，令x ＝0，得y P ＝－4y 0x 0－4，(7分)∴|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4y 0x 0－4.(8分) 直线TN ：y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0，得x Q ＝－2x 0y 0－2，∴|QM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2x 0y 0－2.(10分)|PN |·|QM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4y 0x 0－4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2x 0y 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4y 0－8x 0－4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4y 0－8y 0－2 ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－8x 0－16y 0＋16x 0y 0－2x 0－4y 0＋8，由x 2016＋y 204＝1可得x 20＋4y 20＝16，代入上式得|PN |·|QM |＝16，故|PN |·|QM |为定值．(12分)21．解：(1)因为f ′(x )＝x －ax (x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以f (2)＝2－a ln 2＝2＋b ，f ′(2)＝2－a2＝1，解得a＝2，b ＝－2ln 2.(2分)(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)内恒大于0，此时方程无解．(4分)当a ＜0时，f ′(x )＝x －ax ＞0在区间(0，＋∞)内恒成立，所以f (x )在定义域内为增函数．因为f (1)＝12＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1a ＝12e 2a －1＜0，所以方程有唯一解．(6分)当a ＞0时，f ′(x )＝x 2－ax .当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0，a )内为减函数，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(a ，＋∞)内为增函数，所以当x ＝a 时，取得最小值f (a )＝12a (1－ln a )．(8分)当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )＞0，方程无解；(9分) 当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0，方程有唯一解；(10分) 当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )＜0，因为f (1)＝12＞0，且a ＞1，所以方程f (x )＝0在区间(0，a )内有唯一解，当x ＞1时，设g (x )＝x －ln x ，g ′(x )＝1－1x ＞0，所以g (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，又g (1)＝1，所以x －ln x ＞0，即ln x ＜x ，故f (x )＝12x 2－a ln x ＞12x 2－ax .因为2a ＞a ＞1，所以f (2a )＞12(2a )2－2a 2＝0. 所以方程f (x )＝0在区间(a ，＋∞)内有唯一解，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)内有两解，综上所述，当a ∈[0，e)时，方程无解，当a ＜0或a ＝e 时，方程有唯一解，当a ＞e 时，方程有两解．(12分)22．解：(1)由曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝1cos θy ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.(2分) 当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3＋12t y ＝32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，(3分)得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332.(5分)(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，(7分)则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，(9分)由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝403.(10分)23．解：(1)当m ＝1时，f (x )≥6等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1－(x ＋1)－(x －3)≥6，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜3(x ＋1)－(x －3)≥6，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3(x ＋1)＋(x －3)≥6，(3分)解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}．(5分)(2)解法一：化简f (x )得，当－m ≤3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3－m ，x ≤－mm ＋3，－m ＜x ＜32x ＋m －3，x ≥3，(6分)当－m ＞3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3－m ，x ≤3－3－m ，3＜x ＜－m ，2x ＋m －3，x ≥－m (7分)根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤3m ＋3≤5，即－3≤m ≤2，(8分)或⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＞3－m －3≤5，即－8≤m ＜－3，(9分)∴参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．(10分)解法二：∵|x－3|＋|x＋m|≥|(x－3)－(x＋m)|＝|m＋3|，∴f(x)min ＝|3＋m|，(7分)∴|m＋3|≤5，(8分)∴－8≤m≤2，∴参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．(10分)。
高考数学理科模拟试卷及答案
高考数学理科模拟试卷及答案迎战高考，十年寒窗，今日出招。
早睡早起休息好，餐餐养分搭配好，生冷零食远离好，考试用具预备好，有备而战发挥好。
祝高考顺当，金榜题名！下面就是我给大家带来的高考数学理科模拟试卷及答案，盼望大家喜爱！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设全集，集合,则()A.{2,4}B.{2,4，6}C.{0，2,4}D.{0，2,4，6}2.若复数是纯虚数，则实数()A.±1B.C.0D.13.已知为等比数列，若，则()A.10B.20C.60D.1004.设点是线段BC的中点，点A在直线BC外，,则()A.2B.4C.6D.85.右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是()A.0B.2C.4D.66.给出命题p：直线相互平行的充要条件是;命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则∥。
对以上两个命题，下列结论中正确的是()A.命题“p且q”为真B.命题“p或q”为假C.命题“p且┓q”为假D.命题“p且┓q”为真7.若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是()A.(-∞，1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(1，+∞)8.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的（方法）有()A.36种B.45种C.54种D.84种9.设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，∠=90°，||=1，则的值为()A.B.C.D.10.已知点,动圆C与直线切于点B，过与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A.B.C.D.11.函数有且只有两个不同的零点，则b的值为()A.B.C.D.不确定12.已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为()A.5B.10C.20D.30第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高考理科数学专题练习十四《计数原理》
专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、考点45 中难某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( )A.715B.815C.115D.4152、考点45 中难某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( )A. 11 26B. 9 26C. 11 52D. 9 523、考点45 中难某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204、考点45 中难一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6B.12C.36D.725、考点45 中难某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )A.360种B.432种C.456种D.480种 6、考点45 难2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( )A.5040B.4800C.3720D.4920 7、考点46 易24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．248、考点46 易 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则=8a （ ）A.-180B.180C.45D.-45 9、考点46 易9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）A ．-1B ．1C ．-512D ．51210、考点46 中难已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-111、考点46 中难在二项式1121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,系数最大的项为( )A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项 12、考点46 中难332除以9的余数是( )A.1B.2C.4D.8第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整word版)高考理科数学小题训练.docx
高三理科数学选择、填空训练题(1)一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）若复数z 满足iz 1 2i ，其中 i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（）（ A ）( 2, 1)（B）(2,1)（C）(2,1)（D）(2, 1)（ 2）已知全集U R ，集合A x 0 2x 1 ， B x log3 x 0 ，则A I C U B（）（ A）x x 0（B）x x 0（C）x 0 x 1（D）x x1（ 3）如图，在正方形ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF ＝（）（ A ）1AB1AD（ B）23（ C）1 uuur1 uuur（ D）AB AD321 uuur1 uuurAB AD421 uuur2 uuurAB AD23（ 4）已知a n为等比数列， a4a7 2 ， a5a68 ，则 a1 a10（）（ A）7（ B）7（ C）5（ D）5（ 5）已知随机变量服从正态分布 N (1,1)，若 P(3) 0.977 ，则 P( 13)（）（ A）0.683（ B）0.853（ C）0.954（ D）0.977（ 6）已知双曲线x2y21(a0,b 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a2b2c （c为双曲线的半焦3距），则双曲线的离心率为（）（ A）7（ B）3 7（C）3 7（ D）3 7 327（ 7）设S n是等差数列{ a n}的前n项和，若a69S11＝（）a5，则S911（ A）1（ B）1（ C）2（D）1 2（ 8）如图给出了计算1 1 1 1 24 L L的值的程序框图，660其中①②分别是（）（ A ） i 30 ， n n 2 （ B ） i 30 ， n n 2 （ C ） i30 ， n n 2（ D ） i30 ， n n 1（ 9 ）已知函数 f ( x) sin( x )( 0,0) 的最小正周期是，将函数f (x) 图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1) ，则函数3 f ( x) sin( x) （）（ A ）在区间 [, ] 6 3（ C ）在区间 [, ]3 6上单调递减 （B ）在区间上单调递减 （ D ）在区间[, ] 上单调递增 6 3[, ] 上单调递增 3 61 n（ 10） 若 x 6的展开式中含有常数项，则 n的最小值等于 （）x x（ A ） 3（ B ） 4 （ C ） 5 （ D ） 6（ 11）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几3何体的（）1 13正视图 （ A ）外接球的半径为（B ）表面积为73 13（ C ）体积为3（ D ）外接球的表面积为 4俯视图（ 12）已知定义在R 上的函数 y f ( x) 满足：函数 yf (x 1) 的图象关于直线 x 1 对称，且当x (,0),f (x) xf '( x)0 成立 ( f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数 ), 若 a(sin 1) f (sin 1) ，22b (ln2) f (ln 2) ，c 2 f (log 211) ,则 a, b, c 的大小关系是（）4（ A ） a b c（ B ） b a c（ C ） c a b（ D ） a c b二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
高考考前小题冲刺训练(理科数学)七
,-33'
0-&#
!-#35
1-3'
! " &&!若函数3!$"*:;6$.*$627$%$# +'%' 存在
零点%则实数*的取值范围是 ,-!$%./" 0-!&%./" !-!+/%+&" 1-!+/%$"
&'!如图所示%已知椭圆 -#$*'' .)%'' *&!*')'$"%:>#
$'.%'*)'%点 "$+ 分别是椭圆- 的左顶点和左焦
点%点
(
是:>
上的动点%且"(""为定值%则椭 "(+"
圆
-
的离心率为
&(!如图所示%半径为&的球内切于正三棱锥 (+"#中%则此正三棱锥体积的最小值为!!!!!
&#!/"#- 中%角"$#$- 所对的边分别为*$)$@%下列命
题正确的是!!!!!写出正确命题的编号"!
,-槡''+&
0-槡3'+&
!-&'
小题冲刺训练!七"
!时量##$分钟!!满分#%$分"
班级
!!姓名
!!学号
一$选择题!本题共&'小题%每小题(分%在每小题给出
的四个选项中%只有一项是符合题目要求的!"
&!已知集合 <*&$"$2&'%6*&$"'$'&'%则 <&6*
高考理科数学小题专题练习 (5)
横坐标缩短到原来的
1 2
倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin
2x＋π2
的图象，再把所得函数的图象向左平移
π 12
个单位长度，可得函
数y＝sin2x＋1π2＋π2＝sin2x＋23π的图象，即曲线C2.故选D.
第13页
6.(2019·广东省韶关市高考模拟)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6
得tanθ＝34或43.故选D.
第21页
10.(2019·安徽淮南一模)设α∈ 0，π2 ，β∈ 0，π4 ，且tanα＝
1＋cossi2nβ2β，则下列结论中正确的是(
)
A.α－β＝π4
B.α＋β＝π4
C.2α－β＝π4
D.2α＋β＝π4
第22页
答案 A
解析
tanα＝
1＋sin2β cos2β
＝
（sinβ＋cosβ）2 cos2β－sin2β
＝
cosβ＋sinβ cosβ－sinβ
＝
1＋tanβ 1－tanβ
＝tan
β＋π4
.因为α∈
0，π2
，β＋
π 4
∈
π4，π2
，所以α＝β＋
π4，即α－β＝π4.故选A.
第23页
11.(2019·山西晋城一模)已知函数f(x)＝2sin ωx＋π3 的图象的
一个对称中心为π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1，3).若对任意的
实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是( )
π
A.1
B.2
C.2
D.π
第24页
答案 B
解析 因为函数f(x)＝2sin ωx＋π3 的图象的一个对称中心为
高考理科数学模拟试卷测试
高考理科数学模拟试卷测试第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n= ．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P 为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1 ．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n= 2n+n2﹣1 ．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为 2 ．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ（k），则ϕ'（k）=2（e k﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=，所以△AOB的面积是|AB|d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|=的图象如图所示，（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且 a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．。
随机变量及其应用练习--高考理科数学微型专题训练
15 随机变量及其应用1.一个盒子中装有12个乒乓球,其中9个没有使用过的、3个已经使用过的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中已经使用过的球个数X 是一个随机变量,则P (X=4)的值为( ).A .1220 B .2755 C .27220D .2155解析▶ “X=4”表示从盒中取了2个已经使用过的球,1个没有使用过的球,故P (X=4)=C 32C 91C 123=27220.答案▶ C2.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )=( ).A .32 B .2C .52D .3解析▶ 由数学期望公式可得E (X )=1×35+2×310+3×110=32. 答案▶ A3.已知随机变量X 服从正态分布N (0,82),若P (X>2)=0.023,则P (-2≤X ≤2)= .解析▶ 因为μ=0,所以P (X>2)=P (X<-2)=0.023,所以P (-2≤X ≤2)=1-2×0.023=0.954. 答案▶ 0.9544.若随机变量X~B (n ,p ),且E (X )=7,D (X )=6,则p= .解析▶ 因为随机变量X~B (n ,p ),且E (X )=7,D (X )=6,所以{nn =7,nn (1-n )=6,解得p=17.答案▶ 17能力1 ▶求离散型随机变量的分布列【例1】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表:年龄/岁[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634(1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;(2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.解析▶(1)由表知,年龄在[15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[25,35)内的有10人,不赞成的有4人,则恰有2人不赞成的概率为P=C41C52·C41·C61C102+C42C52·C42C102=410×2445+610×645=2275.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=C42C52·C62C102=610×1545=15,P(ξ=1)=C41C52·C62C102+C42C52·C41·C61C102=410×1545+610×2445=3475,P(ξ=2)=2275,P(ξ=3)=C41C52·C42C102=410×645=475,∴ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P153475 2275475离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义. (2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率. (3)画表格:按规范要求写出分布列.(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列.解析▶ (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,则P (A )=A 21A 31A 52=310.(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X=200)=A 22A 52=110,P (X=300)=A 33+C 21C 31A 22A 53=310,P (X=400)=1-P (X=200)-P (X=300) =1-110-310=35.故X 的分布列为X 200 300 400 P11031035能力2 ▶ 相互独立事件同时发生的概率【例2】 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B ,设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.解析▶ 记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P (E )=23,P (n )=13,P (F )=35,P (n )=25,且事件E 与F ,n 与F ,E 与n ,n 与n 都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则n =nn , 于是P (n )=P (n )P (n )=13×25=215, 故所求的概率P (H )=1-P (n )=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X (万元),则X 的可能取值为0,100,120,220, 因为P (X=0)=P (nn )=13×25=215,P (X=100)=P (n F )=13×35=15, P (X=120)=P (E n )=23×25=415, P (X=220)=P (EF )=23×35=25.故所求的分布列为X 0 100 120 220 P21515 41525(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为12,“三步上篮”的命中率为34,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响.(1)求小明同学两项测试合格的概率;(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ,求ξ的分布列.解析▶ 设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i (i=1,2),第j 次“三步上篮”命中为事件B j (j=1,2),依题意有P (A i )=12(i=1,2),P (B j )=34(j=1,2),“小明同学两项测试合格”为事件C. (1)P (n )=P (n 1n 2)+P (n 1A 2n 1n 2)+P (A 1n 1n 2)=P (n 1)P (n 2)+P (n 1)P (A 2)P (n 1)P (n 2)+P (A 1)P (n 1)P (n 2) =(1−12)2+(1−12)×12×(1−34)2+12×(1−34)2=1964. ∴P (C )=1-1964=4564.(2)依题意知ξ=2,3,4,P (ξ=2)=P (A 1B 1)+P (n 1n 2)=P (A 1)P (B 1)+P (n 1)P (n 2)=58, P (ξ=3)=P (A 1n 1B 2)+P (n 1A 2B 1)+P (A 1n 1n 2)=P (A 1)P (n 1)P (B 2)+P (n 1)P (A 2)P (B 1)+P (A 1)P (n 1)P (n 2)=516, P (ξ=4)=P (n 1A 2n 1)=P (n 1)P (A 2)P (n 1)=116.故投篮的次数ξ的分布列为ξ 2 3 4 P58516116能力3 ▶ 独立重复试验与二项分布【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本,然后称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X 为质量超过505克的产品数量,求X 的分布列;(3)用样本估计总体,从该流水线上任取2件产品,设Y 为质量超过505克的产品数量,求Y 的分布列.解析▶ (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3, 故质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件. 由题意知X 的取值为0,1,2,X 服从超几何分布. ∴P (X=0)=C 282C 402=63130,P (X=1)=C 121C 281C 402=2865,P (X=2)=C 122C 402=11130,∴X 的分布列为X 0 1 2 P63130286511130(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为1240=310.从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的件数Y 的可能取值为0,1,2,且Y~B (2,310),P (Y=k )=C 2n (1−310)2−n(310)n,∴P (Y=0)=C 20·(710)2=49100, P (Y=1)=C 21·310·710=2150,P (Y=2)=C 22·(310)2=9100.∴Y 的分布列为Y 0 1 2 P4910021509100利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X=k )=C n n p k(1-p )n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:克),按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,47.5),[47.5,52.5]分为5组,其频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值.(2)估计这种植物果实重量的平均数n 和方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的为优质果实,用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个,其中优质果实的个数为X ,求X 的分布列和数学期望E (X ).解析▶ (1)组距d=5,由5×(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05. (2)各组中点值和相应的频率依次为中点值 30 35404550频率0.1 0.2 0.375 0.25 0.075n =30×0.1+35×0.2+40×0.375+45×0.25+50×0.075=40,s 2=(-10)2×0.1+(-5)2×0.2+02×0.375+52×0.25+102×0.075=28.75.(3)由已知,这种植物果实的优质率p=0.9,且X~B (3,0.9), 故P (X=k )=C 3n ·0.9k·(1-0.9)3-k(k=0,1,2,3),X 的分布列为X 0123P0.001 0.027 0.243 0.729∴E (X )=np=2.7.能力4 ▶ 正态分布【例4】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),且P (ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<4)=( ).A .0.6B .0.4C .0.3D .0.2(2)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (-1,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为( ).附:若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544. A .1193 B .1359 C .2718 D .3413解析▶ (1)∵随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),μ=2,∴对称轴为x=2,∵P (ξ<4)=0.8,∴P (ξ≥4)=P (ξ≤0)=0.2, ∴P (0<ξ<4)=0.6.(2)对于正态分布N (-1,1),μ=-1,σ=1,正态曲线关于直线x=-1对称, 故题图中阴影部分的面积为12×[P (-3<X<1)-P (-2<X<0)]=12×[P (μ-2σ<X<μ+2σ)-P (μ-σ<X<μ+σ)]=12×(0.9544-0.6826)=0.1359,∴点落入题图中阴影部分的概率P=0.13591=0.1359,故投入10000个点,落入阴影部分的个数约为10000×0.1359=1359.答案▶ (1)A (2)B(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x 轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用:①P (X<a )=1-P (X ≥a );②P (X<μ-σ)=P (X ≥μ+σ).已知某批零件的长度误差X (单位:毫米)服从正态分布N (0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ).(附:若随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544)A .0.0456B .0.1359C .0.2718D .0.3174解析▶ 依题意知,X~N (0,32),其中μ=0,σ=3.∴P (-3<X<3)=0.6826,P (-6<X<6)=0.9544.因此P (3<X<6)=12[P (-6<X<6)-P (-3<X<3)]=12×(0.9544-0.6826)=0.1359.答案▶ B能力5 ▶ 离散型随机变量的均值与方差【例5】 为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准如下:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,16;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列与数学期望E (ξ),方差D (ξ).解析▶ (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0元,40元,80元,两人都付0元的概率为P 1=14×16=124, 两人都付40元的概率为P 2=12×23=13,两人都付80元的概率为P 3=(1−14-12)×(1−16-23)=14×16=124, 则两人所付费用相同的概率为P=P 1+P 2+P 3=124+13+124=512. (2)由题设知ξ可能取值为0,40,80,120,160,则P (ξ=0)=14×16=124; P (ξ=40)=14×23+12×16=14; P (ξ=80)=14×16+12×23+14×16=512; P (ξ=120)=12×16+14×23=14; P (ξ=160)=14×16=124.故ξ的分布列为ξ 0 40 80 120 160 P1241451214124E (ξ)=0×124+40×14+80×512+120×14+160×124=80.D (ξ)=(0-80)2×124+(40-80)2×14+(80-80)2×512+(120-80)2×14+(160-80)2×124=40003.(1)求离散型随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E (aX+b )=aE (X )+b ,D (aX+b )=a 2D (X )的应用.某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29.项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 解析▶ 若按“项目一”投资,设获利为X 1万元,则X 1的分布列为X 1 300 -150P79 29∴E (X 1)=300×79+(-150)×29=200(万元).若按“项目二”投资,设获利为X 2万元, 则X 2的分布列为X 2 500 -3000 P3513115∴E (X 2)=500×35+(-300)×13+0×115=200(万元).D (X 1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,D (X 2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140000. ∴E (X 1)=E (X 2),D (X 1)<D (X 2),这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.一、选择题1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是( ).A .1425 B .1225 C .34 D .35解析▶ 因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P (甲)=45,P (乙)=710,所以他们都中靶的概率是45×710=1425.答案▶ A2.若随机变量X 的分布列为X -2 -1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是( ). A .(-∞,2] B .[1,2] C .(1,2] D .(1,2)解析▶ 由随机变量X 的分布列知P (X<-1)=0.1,P (X<0)=0.3,P (X<1)=0.5,P (X<2)=0.8,则当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是(1,2].答案▶ C3.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是( ). A .435 B .635C .1235 D .36343解析▶ 如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,那么这是一个超几何分布问题,故所求概率为P=C 32C 41C 73=1235.答案▶ C4.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 3 5 P0.5m0.2则其方差D (X )=( ). A .1 B .0.6 C .2.44 D .2.4解析▶ 由0.5+m+0.2=1得m=0.3,∴E (X )=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,∴D (X )=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.答案▶ C5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ). A .0.8 B .0.75 C .0.6 D .0.45解析▶ 记事件A 表示“一天的空气质量为优良”,事件B 表示“随后一天的空气质量为优良”,则P (A )=0.75,P (AB )=0.6. 由条件概率,得P (B|A )=n (nn )n (n )=0.60.75=0.8. 答案▶ A6.已知随机变量X 服从二项分布B (n ,p ),且E (X )=2.4,D (X )=1.44,则n ,p 的值为( ). A .n=4,p=0.6 B .n=6,p=0.4 C .n=8,p=0.3 D .n=24,p=0.1解析▶ 由X~B (n ,p )及E (X )=np ,D (X )=np ·(1-p )得2.4=np ,且1.44=np (1-p ),解得n=6,p=0.4.故选B .答案▶ B7.设随机变量X 服从正态分布N (1,σ2),则函数f (x )=x 2+2x+X 不存在零点的概率为( ). A .14B .13C .12D .23解析▶ ∵函数f (x )=x 2+2x+X 不存在零点,∴Δ=4-4X<0,∴X>1.∵X~N (1,σ2),∴P (X>1)=12,故选C .答案▶ C8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940,则p=( ).A .110B .215 C .16 D .15解析▶ 由题意得18(1-p )+(1−18)p=940,∴p=215,故选B .答案▶ B9.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( ). A .24181B .26681C .27481D .670243解析▶ 依题意,知X 的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为(23)2+(13)2=59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P (X=2)=59,P (X=4)=49×59=2081,P (X=6)=(49)2=1681,故E (X )=2×59+4×2081+6×1681=26681. 答案▶ B 二、填空题10.若随机变量X~N (μ,σ2),且P (X>5)=P (X<-1)=0.2,则P (2<X<5)= .解析▶ ∵P (X>5)=P (X<-1),∴μ=5−12=2,∴P (2<X<5)=12P (-1<X<5)=12×(1-0.2-0.2)=0.3.答案▶ 0.311.已知随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 3P12xy若E (ξ)=158,则D (ξ)= .解析▶ 由分布列性质,得x+y=12. 又E (ξ)=158,得2x+3y=118,可得{n =18,n =38.D (ξ)=(1−158)2×12+(2−158)2×18+(3−158)2×38=5564.答案▶556412.一个质地均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X 的数学期望是 .解析▶ 随机变量X 的取值为0,1,2,4,则P (X=0)=34,P (X=1)=19,P (X=2)=19,P (X=4)=136,因此E (X )=49.答案▶ 4913.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这三层中任一层下电梯的概率均为13,用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P (X=4)= .解析▶ 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故X~B (5,13),即P (X=k )=C 5n (13)n×(23)5−n,k=0,1,2,3,4,5.故P (X=4)=C 54(13)4×(23)1=10243. 答案▶10243三、解答题14.雾霾天气对人体健康有伤害,应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5.我们要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措,聚焦重点领域,严格指标考核.某省环保部门为加强环境执法监管,派遣四个不同的专家组对A ,B ,C 三个城市进行治霾落实情况抽查.(1)若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率.(2)若每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价,每个专家组给每一个城市评价为优的概率均为12,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检,否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为X ,求X 的分布列和期望.解析▶ (1)随机选取,共有34=81种不同方法,恰有一个城市没有专家组选取的有C 32C A (4122C +42)=42种不同方法,故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281=1427.(2)设事件A 为“城市需复检”, 则P (A )=1-(12)4=1516,由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3, 则P (X=0)=C 30×(116)3=14096,P (X=1)=C 31×(116)2×1516=454096,P (X=2)=C 32×116×(1516)2=6754096,P (X=3)=C 33×(1516)3=33754096.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P14096454096 675409633754096因为X~B (3,1516),所以E (X )=3×1516=4516.15.某手机卖场对市民进行国产手机认可度调查,随机抽取100名市民,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:分组/岁 频数 [25,30) x [30,35) y [35,40) 35 [40,45) 30 [45,50] 10 合计 100(1)求频率分布表中x ,y 的值,并补全频率分布直方图;(2)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查,现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份,设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X ,求X 的分布列.解析▶ (1)由题意知,年龄在[25,30)内的频率为0.01×5=0.05, 故x=100×0.05=5.因为年龄在[30,35)内的频率为1-(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=1-0.8=0.2, 所以y=100×0.2=20,且[30,35)这组对应的频率组距=0.25=0.04.补全频率分布直方图如图所示.(2)因为年龄按从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2,且共抽取20人,所以抽取的20人中,年龄在[35,40)内的人数为7. 由题意知,X 可取0,1,2, 则P (X=0)=C 132C 202=78190,P (X=1)=C 131C 71C 202=91190,P (X=2)=C 72C 202=21190.故X 的分布列为X 0 1 2 P78190911902119016.某企业有甲、乙两个分厂生产某种产品,按规定该产品的某项质量指标值落在[45,75)的为优质品.从两个分厂生产的产品中各随机抽取500件,测量这些产品的该项质量指标值,结果如下表:指标值分组[25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95]甲厂频数 10 40 115 165 120 45 5 乙厂频数 5 60 110 160 90 70 5(1)根据以上统计数据完成下面2×2列联表,并回答是否有99%的把握认为两个分厂生产的产品的质量有差异.甲厂 乙厂 合计 优质品 760 非优质品 240 合计5005001000(2)求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数n (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)经计算,甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差n 12=142,乙分厂的500件产品质量指标值的样本方差n 22=162,可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ近似为样本平均数n ,σ2近似为样本方差s 2.由优质品率较高的分厂的抽样数据,能否认为该分厂生产的产品中,质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%? 附注:P (K 2≥k 0) 0.050.010 0.001 k 03.8416.63510.828参考数据:√142≈11.92,√162≈12.73. 参考公式:K2=n (nn -nn )2(n +n )(n +n )(n +n )(n +n ),其中n=a+b+c+d.若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P (μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974.解析▶ (1)由以上统计数据填写2×2列联表甲厂 乙厂 合计 优质品 400 360 760 非优质品 100 140 240 合计5005001000K 2的观测值k=1000×(400×140−100×360)2500×500×760×240≈8.772>6.635,所以有99%的把握认为两个分厂生产的零件的质量有差异. (2)甲分厂优质品率=400500=0.8,乙分厂优质品率=360500=0.72, 所以甲分厂优质品率高.甲分厂的500件产品质量指标值的样本平均数n =1500×(30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5)=60.(3)由(2)知μ=60,σ2=142,甲分厂的产品的质量指标值X 服从正态分布X~N (60,142), 又σ=√142≈11.92,则P (60-11.92<X<60+11.92)=P (48.08<X<71.92)=0.6826,P (X ≥71.92)=1−n (48.08<n <71.92)2=1−0.68262=0.1587<0.18,故不能认为甲分厂生产的产品中,质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%.。
2021高考数学(理)统考版二轮复习80分小题精准练8
故∠BF2O＝60°，所以 F2B∥OA，∴A 为 F1B 的中点，即λ＝1. ]
15．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，
初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔
细算相还．”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起
脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”则该人第一天走
10．将函数 y＝sin
6x＋π 4
的图象上各点的横坐标伸长到原来的
3
倍，再向右
平移π个单位，得到的函数的一个对称中心( ) 8
A．
π，0 2
B．
π，0 4
C．
7π，0 16
D．
5π，0 16
A
[函数 y＝sin
6x＋π 4
的图象上各点的横坐标伸长到原来的
3
倍得到图象的
解析式为
y ＝ sin
2x＋π 4
C．3 4
D．20 21
A [记事件 A：这人一次性饮酒 4.8 两未诱发这种疾病，记事件 B：这人一次
性饮酒 7.2 两未诱发这种疾病，则事件 B|A：这人一次性饮酒 4.8 两未诱发这种疾
病，继续饮酒 2.4 两不诱发这种疾病，则 B⊂A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝
0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，
A．ac2>bc2
B．a|c|>b|c|
1a 1b C． 2 > 2
D．c2＋a 1>c2＋b 1
D [对于 A，当 c＝0，显然不成立；对于 B，当 a＝1，b＝－2，c＝0 时，显
1a 1b 然不成立；对于 C，根据指数函数的单调性应为 2 < 2 ；对于 D，∵a>b，c2＋1>0，
高三理科数学小题狂做21
高三理科数学小题狂做（2）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}15x x A =<<，{}2320x x x B =-+<，则AB =（ ）A ．{}25x x <<B ．{}25x x ≤<C ．{}25x x ≤≤D ．∅2、复数212ii+-的虚部是（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-3、函数1y x x =-+的定义域为（ ）A ．{}1x x ≤B ．{}0x x ≥C ．{}10x x x ≥≤或D ．{}01x x ≤≤ 4、如图，在正方形C OAB 内任取一点，取到函数y x =的图象与x 轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（ ）A ．12B ．23 C ．34D ．455、已知双曲线C :222x y m -=（0m >），直线l 过C 的一个焦点，且垂直于x 轴，直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，则2mAB 等于（ ）A ．1B ．2C ．2D ．126、若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87、已知等比数列{}n a 中，1633a a +=，2532a a =，公比1q >，则38a a +=（ ）A ．66B ．132C ．64D ．128 8、已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的一条对称轴是8x π=，则函数()f x 的最小正周期不可能是（ ） A ．9πB ．5πC ．πD ．2π9、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．32 C ．12D ．3410、抛物线24y x =的焦点为F ，点(),x y P 为该抛物线上的动点，又已知点()2,2A 是一个定点，则F PA +P 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111、已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ） A ．63B ．123C ．183D ．24312、下图展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M （点A 对应实数0，点B 对应实数1），如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧D A M 的长度，如图③，图③中直线AM 与x 轴交于点(),0n N ，则m 的象就是n ，记作()f m n =．给出下列命题：①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()f x 是奇函数；④()f x 在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、二项式()621x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是．14、已知a ，b 是平面向量，若()2a a b ⊥-，()2b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是． 15、函数()212log 231y x x =-+的递减区间为．16、在C ∆AB 中，22sin 3sin 2A =A ，()sin C 2cos sin C B -=B ，则CA =AB． 高三理科数学小题狂做（2）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDBAABDCBCD13、160 14、3π15、()1,+∞ 16、1132+高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝03．(·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)4．(·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋16．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．17．(·贵阳模拟)直线l 经过点A(1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．8．(·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．9．(·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 11．(·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π22．(·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五)A 级1．A2.B3.D4.A5．选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k(x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．解：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a||b|＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12．解：由题意可得kOA ＝tan45°＝1， kOB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线lOA ：y ＝x ，lOB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)． 又P(1,0)， 所以kAB ＝kAP ＝33－1＝3＋32， 所以lAB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级1．选B 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋32＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.2．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x0＋2)k －y0＋1＝0恒成立， ∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)． 又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为 x －2y ＋4＝0.。
2023年高考-数学(理科)考试备考题库附带答案9
2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB = 90° ，C为该球面上的动点。
若三棱锥 O - ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π正确答案：C,2.(填空题)(每题 5.00 分) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为.正确答案：40√2π，3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 记SN.为等差数列αN}的前n项和.若3S3=S2+S4，α=2,则α5= {A. -12B. -10C. 10D. 12正确答案：B,4.(填空题)(每题5.00 分) 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_______?正确答案：-3√3/2，5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 双曲线x2/α2-y2/b2=1(α>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√2/2xD. y=±√3/2x正确答案：A,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. 3√3/4B. 2√3/3C. 3√2/4D. √3/2正确答案：A,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知集合A=x∣x2-x-2>0}，则CRA={A. x∣-12}{D. {x∣x≦-1}∪{x∣x≧2}正确答案：B,8.(单项选择题)(每题 5.00 分) 在△ABC中，cos C/2=√5/5,BC=1,AC=5,则AB=A. 4√2B. √30C. √29D. 2√5正确答案：A,9.(填空题)(每题 5.00 分) 某髙科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。
2012届高考理科数学小题训练
2012届高考理科数学小题训练1 姓名一、本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则M N = （ ） A ．{|12}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x <<2．已知向量()525,2,1=-=⋅=b a a等于（ ）A ．5B ．52C ．25D ．53．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm4．命题“存在R x ∈，使24x ax a +-＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ） A. m 250B. m 350C. m 225D. m 22256. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽 取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表 示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 为（ ） A ．> B ．< C ．＝ D ．不能确定7. 函数x x y sin 3+=的图象大致是（ ）正视图侧视图俯视图8．设双曲线1422=-y x 的两条渐近线与直线2=x 围成的三角形区域（包括边界）为D ，P ()y x ,为D 内的一个动点，则目标函数y x z -=21的最小值为 （ ）A ．2-B ．223-C ．0D ．225-二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上。
2020版新高考复习理科数学专项小测：13“17～19题”+“二选一”含解析
教课资料范本2020版新高考复习理科数学专项小测：13“ 17～ 19题”＋“二选一”含分析编辑： __________________时间： __________________第二部分解答题专项小测专项小测 (十三 )“17～19题”＋“二选一”时间： 45 分钟满分：46分17．(12分)已知是△ ABC的内角分别是角的对边．若 cos2B－sin2A－sinAsinB＝cos2C.(1)求角 C的大小；π(2)若A＝6 .△ABC的面积为 3.M为BC的中点 .求 AM.思路剖析： (1)由 sin2α＋cos2α＝1.可将 cos2B.cos2C 转变为 1－sin2B,1－sin2C.代入原式 .依据正弦定理可得 c2－b2＝a2＋ab.联合余弦ππ定理 .及 0＜C＜π.可得角 C 的大小； (2)因为 A＝6 .所以 B＝6 .所以△ABC 为等腰三角形 .依据面积为 3.可得 a＝b＝2.在△ MAC 中.AC＝2π2.CM＝ 1.C＝3 .联合余弦定理 .即可求解．解： (1)由 cos2－ 2 －＝2B sin A sinAsinB cos C.得 sin2＋＝2－2B.(2分)A sinAsinB sinC sin由正弦定理 .得 c2－b2＝a2＋ab.即 a2＋b2－c2＝－ ab.(4 分 ) a2＋b2－c2－ab1所以 cosC＝2ab＝2ab＝－2.2π又 0＜C＜π.所以 C＝3 .(6 分)ππ(2)因为 A＝6 .所以 B＝6 .2π所以△ ABC 为等腰三角形 .且顶角 C＝3 .(8 分) 13因为 S△ABC＝2absinC＝4ab＝ 3.所以 a＝b＝2.(10 分)2π在△ MAC 中.AC＝2.CM＝1.C＝3 .1所以 AM2＝ AC2＋CM2－2AC·CM·cosC＝4＋1＋2×2×1×2＝7.解得 AM＝ 7.(12 分)18．(12分)在四棱锥 P－ABCD中.四边形 ABCD为菱形 .且∠ ABC＝2π3.M.N分别为棱 AP.CD的中点．(1)求证： MN∥平面 PBC；(2)若PD⊥平面 ABCD.PB＝2AB.求平面 PBC与平面 PAD所成二面角的正弦值．思路剖析： (1)设 PB 的中点为 G.连结 MG.GC.先证明 MN∥GC.即证 MN∥平面 PBC；(2)连结 AC.BD.设 AC∩BD＝O.连结 OG. 分别以OA.OB.OG 为 x 轴.y 轴.z 轴的非负半轴 .成立以下图的空间直角坐标系O－xyz.再利用向量方法求平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的正弦5值为5.解： (1)证明：设 PB 的中点为 G.连结 MG.GC.∵M .G 分别是 AP.PB 的中点 .1∴MG∥AB.且 MG＝2AB.1由已知得 CN ＝2AB.且 CN ∥AB.∴MG ∥CN.且 MG ＝CN.∴四边形 MGCN 是平行四边形 .∴MN ∥GC.(4 分)∵MN?平面 PBC.CG? 平面 PBC.∴MN ∥平面 PBC. (6 分)(2)连结 AC.BD.设 AC ∩BD ＝O.连结 OG. 设菱形 ABCD 的边长为 a.由题设得 PB ＝2a.PD ＝ 3a.OG ∥PD.OG ⊥平面 ABCD.分别以 OA.OB.OG 为 x 轴.y 轴.z 轴的非负半轴 .成立以下图的空间直角坐标系O －xyz.a3由题设得 P 0，－ 2， 3a .A 2 a ，0，0 .a a ，03D 0，－ ，0 .B 0， .C － a ，0，0 .2 22 →→3 a∴PB ＝(0.a.－ 3a).CB ＝ 2 a ，2，0 . (8 分)设 n ＝(x.y.z)是平面 PBC 的法向量 .→y－ 3z＝0，n·PB＝0，则化简得→3x＋y＝0.n·CB＝0，令 x＝1.则 y＝－ 3.z＝－ 1.∴n＝(1.－ 3.－1)．同理可求得平面 PAD 的一个法向量 m＝(1.－ 3.0)． (10 分)|m·n| 2 5∴|cos〈m.n〉|＝|m||n|＝5 .5∴sin〈m.n〉＝5 .∴平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的正弦值5为5 .(12 分) 19．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0).其焦点为F.O为坐标原点 .直线l 与抛物线 C订交于不一样的两点为AB的中点．(1)若p＝2.M的坐标为 (1,1).求直线 l的方程；2|MN|2(2)若直线 l 过焦点 F.AB的垂直均分线交 x轴于点 N.试问：|FN|能否为定值？若为定值 .试求出此定值；不然 .说明原因．思路剖析： (1)判断直线 l 的斜率存在且不为 0.设出直线 l 的方程 . 将直线 l 的方程与抛物线的标准方程联立 .利用根与系数的关系及中点坐标公式计算直线的方程； (2)先利用中点坐标公式计算点 M 的坐标 .2|MN|2再计算点 N 的坐标 .由两点间的距离公式计算|MN|.|FN|.并计算|FN|的值．解： (1)由题意知直线 l 的斜率存在且不为0.故设直线 l 的方程为 x －1＝t(y－1).即 x＝ty＋1－t.设 A(x1.y1).B(x2.y2)．x＝ty ＋1－t(2 分)由得 y2－4ty－4＋ 4t＝0.y2＝4x∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)>0.y1＋y2＝4t.(3 分)1∴4t ＝2.即 t ＝2.(4 分) ∴直线 l 的方程为 2x － y －1＝0.(5 分)2|MN|2(2) |FN| 为定值 2p.证明以下．p∵抛物线 C ： y 2＝2px(p>0).∴焦点 F 的坐标为 2，0 .由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0.直线 l 过焦点 F.故设直线 l 的p方程为 x ＝ty ＋2(t ≠0).设 A(x 1.y 1).B(x 2.y 2)．p由 x ＝ty ＋2得 y 2－2pty －p 2＝0.y2＝2px∴y 1＋y 2＝2pt. ＝4p 2t 2＋4p 2>0.(7 分)∴x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2＋ ＝2＋p.)p 2ptp∴M pt2 ＋2，pt .(8 分 )p∴MN 的方程为 y －pt ＝－ t x －pt2 －2 .(9 分)3p 3p令 y ＝0.解得 x ＝pt 2＋ 2 .N pt2 ＋ 2 ，0 .(10 分) ∴|MN|2＝p 2＋p 2 ＝3p p (11 分)2 2＋ － ＝pt 2＋p. t .|FN| pt2 22|MN|2∴ |FN| ＝错误 ! ＝2p.(12 分)(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答 .如果多做 .则按所做的第一题计分．22．[选修 4－4：坐标系与参数方程 ](10分)1x ＝a ＋2t ，在直角坐标系 xOy 中.直线 l 的参数方程为3y ＝ 2 t(t 为参数 ).以坐标原点为极点 .x 轴的非负半轴为极轴 .成立极坐标系 .曲3线C 的极坐标方程为 ρ2＝1＋2cos2θ .(1)求直线 l 的一般方程以及曲线 C 的直角坐标方程；(2)当a ＝1时.P 为曲线 C 上一动点 .求点 P 到直线 l 距离的最大值．解： (1)直线 l 的参数方程消去参数 .得直线 l 的一般方程为 y ＝3(x － a)．曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ2＋2ρ2cos 2θ＝3.y2即 x 2＋y 2＋2x 2＝3.即 x 2＋ 3 ＝1.y2所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2＋ 3 ＝1.(5 分)(2)当 a ＝ 1 时.直线 l 的一般方程为3x －y －3＝0.y2由点 P 在曲线 C ：x 2＋ 3 ＝1 上.可设点 P 的坐标为 (cos α. 3sin α).| 3cos α－ 3sin α－ 3| 3 所以点 P 到直线 l 的距离 d ＝2＝ 23 π －1.|cos α－sin α－1|＝ 2 | 2cos α＋ 4当 cos α＋ π＝－ 1 时.d 获得最大值为6＋ 34 2.所以点 P 到直线 l 距离的最大值为6＋ 3(10 分)2.23．[选修 4－5：不等式选讲 ](10分)设＞0.且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3.(2)a b c＋＋≥ 3( a＋ b＋ c)．bc ac ab证明： (1)要证 a＋b＋c≥ 3.因为＞ 0.所以只要证 (a＋b＋c)2≥3.即证 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.而 ab＋bc＋ca＝1.故只要证 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ ca).即证 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.a2＋b2 b2＋c2＋c2＋a2而这能够由 ab＋bc＋ca≤2＋2＝a2＋b2＋2c2(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立 )证得 .∴原不等式成立．(5 分)a b c a＋b＋c(2)bc ＋ac＋ab＝abc.因为 (1)中已证 a＋b＋c≥ 3.所以要证原不等式成立 .只要证1≥ a＋ b＋ c. abc即证 a bc＋b ac＋c ab≤1.即证 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.而 a bc＝ ab·ac≤ab＋ac.bab＋bc 2ac≤2.c ab≤bc＋ca2.2∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(当且仅当 a＝b＝c＝3时等号成立 ).∴原不等式成立．(10 分)。
届高三理科数学六大专题训练题含详解
5高三数学(理科)专题训练 A. —B. -C. —D.—6.下列关系式中正确的是()《三角函数、三角包等变换与解三角形》A. sinllsin168C. sin11sin1687.在锐角cos10 sin168sin 11 cos10sin168 cos10cos10 sin11ABC中,角A,B.D.1 . 选择题为三角形的一个内角,边长分别为a,b.若2asinB角A等于()B所对的J3b,则tan A.1212c13B,()VC。
沪2.函数y sin x和函数增函数的区间是()12有cosx者B是A . - B. - C. - D.8.已知函数f (x) Acos( x )(A则f(x)是奇函数”是“0, 0,R),A. [2k. [2k ,2k Lk2— ](k2](k Z)BZ)C. [2k ,2ka](k Z)D.[2k -,2k25 3.已知sin(一2 ](kZ)2A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是.1,那么510.设sin2 sincos A.() 2 B. 54.在图中,1C.51D. 25 5tan2 的值是11.在锐角ABC中,BC 1, BA、B是单位圆。
上的AC2 A,则小匕的值等于cosA点，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(3,4),5 5且AOB是正三角形.则cos COB的值为(),AC的取值范围为12.函数 f(x) si 的最大传A.C. 4 3、3103 4 310B.D.4 3.3103 4 . 310-2 sin cos(x )三、解答题山13.已知函数f(x) 3sin( x )( 0,- -)5,将函数y 3cosx sin x(x R)的图象向左平移m(m 0)个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是() 的图象关于直线x —对称，且3图象上相邻两个最高点的距离为⑴求和的值;3 / ,求⑵右 f (—) 2 cos( ，)的值. 14 .已知向量， 1、।a (cosx, -), b2x R,设函数f (x)(1)求f (x)的最小正周期; (2)求f (x)在［0,—］上的最大值和2最小值.■ ---(3sin x, a b.15 .已知函数f (x) Asin(x —), x R,且 4f(- ) 3. 12 2(1)求A 的值；3⑵若 f( ) f()二, 2 求 f(3).416 .已知函数f (x) 3 sin xcos x Q x R,且函数f (x)的最小正周期为.(1)求的值和函数f(x)的单调增区问；(2)在ABC 中，角A,B,C 所对的边分 别是a,b,c,又A 4f (一 一) —, b 2, ABC 的面积 2 3 5等于3,求边长a 的值. 17 .已知函数x x xf (x) 2 sin - cos - . 3 cos -4 4 2(1)求函数f(x)的最小正周期及 最值;(2)令g(x) f (x 3),判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由.18 .在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 已知a b, c 3,(1)求角C 的大小；4(2)若sin A —,求 ABC 的面积.5("，1cos2 x,2高三数学(理科)专题训练数列一、选择题1.数列\；’275,2.虎,/1,,的一个通项公式是()A. a n J3n 3B. a n J3n 1C. a n J3n 1D. % Cn 32.已知等差数列⑶｝中,a? a9 16冏1,则a12的值是()A. 15B. 30C. 31D. 643.等比数列⑶｝中，a〔a9 64, a3 a? 20,则an 的值是()A. 1B. 64C. 1 或64D. 1 或324. ABC的三边a,b, c既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.已知数列｛a n｝满足二、填空题9.在等差数列｛a n｝中，a〔a3 a5 12, a3 a4 a5 8,则通项a n 1 a n a n 1(n 2), a1 记S n a1 a2 a3结论正确的是()1, a2 3, a n,则下列A. a2014C. a2014 a20143,S2014a20141,S20141 ,S2053, S20'514142B.2D.6.如果在等差数列｛a n｝中,a3 a4 a5 12,那么a〔a2 a?()A. 14B. 21C. 28D. 357.数列｛a n｝中，a11,a2 2 3,a3 4 5 6,a47 那么a10 ()A. 495B. 505C. 550D. 5958.各项均为实数的等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若S10 10, S30 70,贝US40 ()A. 150B. 200C. 150 或200D. 400 或50 a n .10.设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若"I 3,则S9 .11.设平面内有n条直线(n 2),其中任意两条直线都相交且交点不同；若用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域个数，则f (2) , f(3) , f(4) .当n 4 时，f (n) .12.已知数列｛a n｝的通项公式为n 1a n log2----------(n N*).设其刖n 项n 2和为S n,则使S n 5成立的最小自然数n是.三、解答题13.等差数列｛a n｝的前n项和为S n,a123,公差d为整数，且第6 项为正，从第7项起变为负.(1)求d的值；(2)求S n的最大值；(3)当S n是正数时，求n的最大化14.设a1,d为实数，首项为诩、公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,满足&S6 15 0.⑴若S5 5,求S6及为；(2)求d的取值范围.[0,5.，已知数歹｛a n｝的首项a1 a,S n是,薮列｛a n｝的前n项和，且满足S2 3n2a n S21,a n 0,(1)若数列｛a n｝是等差数列，求a 的值；(2)确定a的取值集合M,使a M时，数列｛a n｝是递增数列.16 .已知｛a n ｝为递增的等比数列，且⑶自0}{ 10, 6, 2,0,1,3,4,16}.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在等差数列｛b n ｝,使得对一切n N *都成立？若存在， 求出bn ；若不存在，说明理由.17 .等差数列｛a n ｝各项均为正整数，a 1 3,前n 项和为S n ,等比数列 ｛b n ｝中，b 1 1,且b 2s 2 64, ｛b a n ｝ 是公比为64的等比数列.(1)求 a n 与 b n ；1 113 (2)证明：-——3S 1 S 2S n 418.已知数列｛a n ｝, S n 为其前n 项的 和，S n n a n 9, n N *.(1)证明数列｛a n ｝不是等比数列；(2)令b n a n 1,求数列｛b n ｝的通项公式b n ；(3)已知用数列｛b n ｝可以构造新数 列.例如：｛sin b n ｝,…，请写出用数列｛b n ｝构造 出的新数列｛P n ｝的通项公式，使数 列｛P n ｝满足以下两个条件，并说明 理由.①数列｛ P n ｝为等差数列；②数列a 〔b na 2b n 1a 3b n 2a nb 12n{3b n }, {2b n1}, {b ：}, {，}, {2b n },｛P n｝的前n项和有最大值.高三数学(理科)专题训练三＜概率〉一、选择题1 .对满足A B的非空集合A、B有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取x A,则x B是必然事件②若x A,则x B是不可能事件③若任取x B,则x A是随机事件④若x B,则x A是必然事件A. 4B. 3C. 2D. 12.从1, 2,…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A.①B.②④C.③D.①③3.如图所示，设D是图中边长为4 的正方形区域，E是D内函数y x2图象下方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为()A. 1B. 1C. -D. 12 3 4 54.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记硬币正面向上”为事件A,骰子向上的点数是3”为内任取A. 1B. 1C. -D. 2 3 36.已知随机变量服从正态分布N(0, 2),若P( 2) 0.023, WJP( 2 2)的值为()7.把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投8.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布~N(80,102),则下列命题中不正确的是()事件B,则事件A、件发生的概率是()B中至少有一A. —B. -C.12 2172D-5.如图所示，圆C内切于扇形AOB, AOB 一,若在扇形AOB3点，则该点在圆C内的概率为()点，此点落在星形内2 2 *2 1 2 ,()4 2 c 4 1A . — 1B . — C.——A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10二、填空题9.盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是. 10.在集合{x|x —,n 1,2,3, ,10}中任取6 1个元素，所取元素恰好满足方1一程cosx -的概率是.211.在区间［3,3］上随机取一个数x,使得|x 1 | |x 2| 1成立的概率为.12.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为旦，则参20 加联欢会的教师共有 _______ 人.13.已知三、解答题14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是1,得到黑球或黄球的概率是—,3 12得到黄球或绿球的概率也是-,12试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是2和3.现安排甲组研发新产品A,3 5乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2 大的日销售量都不低于100个且另一大的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量2{(x, y)|x y 6,x Qy 0}, A {(x, y)|x 4, y 0,x y 0}. 若向区域上随机投一点P,则P落入区域A的概率是.不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X).17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0605050.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2) X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，落点在1分，其它情况记0分，落点D上记1在C上的概率为—，在D上的概率为 5 3.假设共有两次来球且落在A, B上 5 各一次，小明的两次回球互不影响. 求：(I )小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(II )两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1.已知ABC的三个顶点为A（3,3,2）、B（4, 3,7）、C（0,5,1）, 则BC边上的中线长为（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 183. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱4.已知m、n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A .若m// , n〃，则m// nB.若m// ,m n,,则nC.若m , m n,,贝U n〃D.若m , n ,，则m n5.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积为（）A. 10 cm3B. 20 cm3c 10 3 20 3C. ---- c m D . ---- cm6.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB BC CA 2,则球的半径是（）7.用a,b,c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是（）①若a // b,b // c,则a // c;②若 a b,b c,贝U a c;③若a// ,b//，则a//b;④若a ,b ，则a//b.A.①②B.②③C.①④D.③④8. 一个圆锥和一个半球有公共底A.3B. 4C. - D. 45 5二、填空题9.已知三棱柱ABC顶点都在球。
高考理科数学小题专题练习 (13)
第22页
答案 A
解析 当 0＜m＜3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M
满足∠AMB＝120°，则ba≥tan60°＝
3，即
3≥ m
3，解得
0＜
m≤1；当 m＞3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足∠AMB
第31页
15.(2019·安徽滁州模拟)已知椭圆 E：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的右 焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x－4y＝0 交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于45， 则椭圆 E 的离心率的取值范围是________.
第25页
12.(2019·长春模拟)设椭圆 C：y2＋mx22＝1(0<m<1)的两焦点分
别为 F1，F2，若在椭圆 C 上存在点 P 使得 PF1⊥PF2，则 m 的取 值范围是( )
A. 22，1 C.12，1
B.0，
2 2
D.0，12
第29页
14.已知椭圆 E：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)，直线 y＝b2与 E 的一个
交点为 P，以 P 为圆心的圆与 y 轴相切，且被 x 轴截得的弦长等
于 E 的焦距，则 E 的离心率为( )
2 A. 3
3 B. 3
5 C. 3
6 D. 3
第30页
答案 D 解析 将 y＝b2代入椭圆方程，得 x＝± 23a，不妨设点 P 的坐 标为 23a，b2.因为圆 P 与 y 轴相切，所以圆的半径为 23a.又点 P 到 x 轴的距离为b2，圆 P 被 x 轴截得的弦长为 2c，所以b22＋c2 ＝ 23a2，且 b2＝a2－c2，所以 e＝ca＝ 36.故选 D.
新课标高考理科数学模拟试题含答案
新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1 不能D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A．B．C ．D ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+ D ．2213FPFP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7．12- C ．12D 7 10．曲线12e x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2年B ．4e 2, C ．2e 2 D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
高考理科数学模拟试题
高考理科数学模拟试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出四个选项中，只有一项正确。
1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A ，B ≠⊂U ，若A∩B={2}，（A C U ）∩B={4}，（A C U ）∩（B C U ）={1，5}，则下列结论中正确的是（ ）A ．B A ∈∈3,3 B ．B A ∉∉3,3C ．B A ∈∉3,3D ．B A ∉∈3,3 2．ii-13的共轭复数是（ ） A ．i 2323+-B ．i 2323+C ．i 2323--D ．i 2323- 3. 已知函数()2ln 38,f x x x =+则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为（ ）A ．-20B ．-10C ．10D ．204. 若，且，则P （）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5. 等差数列2008200520071,220052007,2008,,}{S S S a n S a n n 则项和是其前中=--=的值为（ ）A ．2006-B ．2006C ．2008-D ．20086. 设定义域为R 的函数()(),f x g x 都有反函数，且()1f x -和()12g x --的图象关于直线y x = 对称，若()52007g =，则()4f =（ ） A 、2008 B 、2009 C 、2007 D 、20067.O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+- ，则ABC ∆的形状为（ ）A 、直角三角形B 、等腰直角三角形C 、斜三角形D 、等边三角形 8. 从双曲线=1的左焦点F 引圆x 2 + y 2= 3的切线GP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则| MO |－ | MT | 等于（ ）A ．B ．C ．D ．9.如图，在棱长a 为得正方体中''''ABCD A B C D -，P 为''A D 的中点，Q 为''A B 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成角C ．二面角P-EF-Q 的大小D ．三棱锥P －QEF 的体积10. 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台.现在为使各校电脑台数相等，各调出几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小.若甲小给乙小-3台，即为乙小给甲小3台，则电脑移动的总台数的数量最小值为（ ） A ．9 B ．10 C ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分， 11. 在如下图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数：z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则ax y-的最大值是_12. 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克 的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．13. 设()()()()621220121222222xx a a x a x a x +-=+++++++，其中()0,1,2,,12i a i =为实常数，则0123122312a a a a a +++++=14. 已知函数b ax x x f +-=2)(2 （R x ∈），给出下列命题： ①)(x f 不可能为奇函数。
2021年高考数学小题综合狂练(理科数学)(6)(原卷版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2021年高考理科数学小题狂练6（非新高考地区）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：满分80份，选择题12小题，填空题4小题，每小题5分。
限时：40分钟一、单选题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．(本题0分)已知复数()131i i z i -=+，则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．-1 B ．1C ．-2D ．2 2．(本题0分)已知全集{}4,5,6,8,9U =，{}5,6,8M =，则集合U C M =（ ）A ．{}5,6,8B ．{}4,6,9C ．{}4,5,6,7,8,9D ．{}4,93．(本题0分)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是2400cm ，2900cm ，高为9cm ，长方体形凹槽的高为12cm ，斗的密度是30.50/g cm .那么这个斗的质量是（ ）A ．3990gB ．3010gC ．6900gD ．6300g 4．(本题0分)()522111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．4- C ．3 D ．45．(本题0分)已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“//l β”是“//αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．(本题0分)将函数()32cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）试卷第2页，总3页 A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 7．(本题0分)设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F 若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（） A ．(2,3) B ．(1,3] C ．[2,2) D ．(2,3] 8．(本题0分)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．12C ．32D ．29．(本题0分)已知点(),x y 满足1{122x y x y x y +≥-≥--≤ ，目标函数z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()2,1-D ．()2,4-10．(本题0分)数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，则122016111a a a +++=（ ） A ．20152016 B ．40322017 C ．40342017 D ．20162017原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 11．(本题0分)若圆222(0)x y r r +=>和曲线||||134x y +=恰有六个公共点，则r 的取值集合为（ ）A ．12{}5B ．{3}C ．{4}D ．φ12．(本题0分)已知函数2lg()0()640x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，，，若关于x 的方程2()()10f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是（ ）A ．17(2]4，B ．17(2](2)4，，⋃-∞-C ．(28)，D ．(2)(2)-∞-⋃+∞，，二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．(本题0分)已知()2,a k =-，()2,1b =，且a 和b 平行，则k 的值为________.14．(本题0分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2tan A B =，2213a b c -=，则c 的值为___________．15．(本题0分)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为______________16．(本题0分)已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈在其定义域上不单调，则a 的取值范围是__________．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三理科数学选择、填空训练题(1)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ） （A ）)1,2(-- （B ）)1,2(- （C ）)1,2( （D ）)1,2(- （2）已知全集U R =，集合{}021xA x =<<，{}3log 0B x x =>，则()UAC B =（ ）（A ）{}0x x < （B ）{}0x x > （C ）{}01x x << （D ）{}1x x > （3）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝（ ） （A ）AD AB 3121- （B ）1142AB AD + （C ）1132AB AD + （D ）1223AB AD - （4）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a ⋅=-，则110a a +=（ ） （A ）7 （B ）7- （C ）5- （D ）5 （5）已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.977P ξ<=，则(13)P ξ-<<=（ ）（A ）0.683 （B ）0.853 （C ）0.954 （D ）0.977（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为2c （c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） （A ）37 （B ）273 （C ）73 （D ）773 （7）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119SS ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）2（D ）123111正视图侧视图俯视图（8）如图给出了计算111124660++++的值的程序框图， 其中①②分别是（ ）（A ）30i <，2n n =+ （B ）30i =，2n n =+ （C ）30i >，2n n =+ （D ）30i >，1n n =+（9）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则函数()sin()f x x ωϕ=+（ ）（A ）在区间[,]63ππ-上单调递减 （B ）在区间[,]63ππ-上单调递增 （C ）在区间[,]36ππ-上单调递减 （D ）在区间[,]36ππ-上单调递增 （10）若6nx x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（11）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）（A ）外接球的半径为3（B ）表面积为731++（C ）体积为3 （D ）外接球的表面积为4π（12）已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立('()f x 是函数()f x 的导函数), 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =, 则,,a b c 的大小关系是（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c a b >> （D ）a c b >> 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则11a b+的最小值为___________．（14）已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为___________．（15）已知x 、y 满足不等式组 2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．（16）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成角为︒60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________．数 学（理科）答案与评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）4， （14）2， （15） 6， （16）0454π或（1）解析：z=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选D. （2）【解析】{}210|0xx A x x <⇒<⇒=< ,{}3log 01|1x x B x x >⇒>⇒=>⇒{}|1U C B x x =≤ 所以(){}|0U A C B x x =< ，故选A ．（3）【解析】解析：在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D.(4)【解析】由47564728a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=-⎩得44772442a a a a =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或，所以113381122a a q q =-⎧=⎧⎪⎨⎨=-=-⎩⎪⎩或，所以1110101881a a a a ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或，所以1107a a +=-，故选B. (5)【解析】因为已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，所以正态曲线关于直线1x =对称，又(3)0.977P ξ<=，所以(3)10.9770.023P ξ>=-=，(13)P ξ-<<所以1(1)(3)P P ξξ=-<-->12(3)10.0460.954P ξ=->=-=，故选C(6)【解析】任取一焦点)0,(c F 到一条渐近线x aby =的距离为b ，则c b 32=，有⇒=c b 23⇒=2229c b 77379972)(92222222=⇒=⇒=⇒=-e a c a c c a c ，故选D ．(7)【解析】因为65911a a =，由等差数列前n 项和公式得，111611199511()11219()92a a a S a a S a +===+，故选A ．(8)【解析】因为2,4,6,8，…，60构成等差数列，首项为2，公差为2，所以2＋2(n －1)＝60，解得n ＝30，所以该程序循环了30次，即i >30，n ＝n ＋2，故选C ．(9)【解析】依题 2ω=, ()sin(2)f x x ϕ=+，平移后得到的函数是2sin(2)3y x πϕ=++，其图象过（0，1），∴2sin()=13πϕ+，因为0πϕ-<<，∴ 6πϕ=-，()sin(2)6f x x π=-，故选B(10)【解析】由展开式的通项公式156621()(),(0,1,,)r n rn rrr r nnT C x C xr n x x--+===，得15602n r -=即54n r =有符合条件0,1,,n Z r n∈⎧⎨=⎩的解，∴ 当4r =时，n 的最小值等于5，故选(11)【解析】观察三视图可知，该几何体是一三棱锥底面等腰三角形底边长为2，高为1，有一侧面是正三角形且垂直于底面，该几何体高为3，根据图中数据，另两侧面为腰长为2，底边长为2的等腰三角形，所以其表面积为2211212122(2)()237312222⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯=++，故选B. (12)【解析】∵函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，∴()y f x =关于y 轴对称， ∴函数()y xf x =为奇函数. 因为[()]'()'()xf x f x xf x =+，∴当(,0)x ∈-∞时，[()]'()'()0xf x f x xf x =+<，函数()y xf x =单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，函数()y xf x =单调递减.110sin22<<，11ln 2ln 2e >>=，121log 24= 12110sin ln 2log 24<<<，∴a b c >>，故选A.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）4， （14）2， （15） 6， （16）0454π或(13)圆心坐标为 ()1,2-，22201a b a b ⇒-+=⇒+=()1111a b a b a b ⎛⎫⇒+=++ ⎪⎝⎭2224b aa b =++≥+=(14)【解析】根据题意1'1y x a ==+，求得1x a =-，从而求得切点为(1,0)a -，该点在切线上，从而求得011a =-+，即2a =.(15)【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用z 的几何意义求最大值x , y 满足不等式组2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的可行域如图：目标函数为2z x y =+当3,0x y ==时，2z x y =+取得最大值是6.（16）【解析】如图，由题意易知︒=∠60PAC ，因为PA EO //，所以BEO ∠为异面直线PA 与BE 所成角，又2=PA ，BEO Rt ∆中，1=EO ，1==AO BO ，得BEO ∆为等腰直角三角形，故异面直线PA 与BE 所成角为45.。