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九年级数学暑假班讲义(教师版) 第1讲一元二次方程 - 提高班

第1讲一元二次方程1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.【例题精选】例1 （2019秋•邗江区校级期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2011B．2015C．2019D．2020【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，然后利用整体代入的方法计算2015﹣a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．例2 （2019秋•常德期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5B．﹣4C．4D．﹣1【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．【随堂练习】1．（2019秋•长春期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a 的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选：C．2．（2019秋•五华县期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．3．（2019秋•开远市期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A．5、﹣1、4B．5、4、﹣1C．5、﹣4、﹣1D．5、﹣1、﹣4【解答】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．故选：C．2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.【例题精选】例1（2019秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12【分析】移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案．【解答】解：移项得：4x2＝13+12，4x2＝25，，，．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．例2（2019秋•雁塔区校级月考）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣25＝0；（2）x2﹣1＝215．【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．（2）根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣25＝0，∴x﹣2＝±5，∴x＝7或x＝﹣3；（2）∵x2﹣1＝215，∴x2＝216，∴x＝±6【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【随堂练习】1．（2019秋•龙岗区期中）解下列方程：（1）x2﹣121＝0（2）2（x﹣1）2＝338【解答】解：（1）∵x2﹣121＝0，∴x2＝121，∴x＝11或x＝﹣11（2）∵2（x﹣1）2＝338，∴（x﹣1）2＝169，∴x﹣1＝±13，∴x＝14或﹣12；3 配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【例题精选】例1 （2019秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0【分析】根据配方法解方程的步骤依次计算可得．【解答】解：∵2x2﹣6x＝1，∴x2﹣3x＝，∴x2﹣3x+＝+，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，则x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例2（2019秋•徐汇区校级月考）用配方法解方程：20x2+12x＝．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：原方程化为：x2+x＝，∴x2+x+＝，∴（x+）2＝，∴x＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【随堂练习】1.（2019春•沂源县期中）配方法解一元二次方程：﹣2x2+2x+1＝0．【解答】解：∵﹣2x2+2x＝﹣1，∴x2﹣x＝，则x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，。

初三数学暑期标准课讲义(教师版)

目录入门检测:1.一次函数21y x =-的图象与x 轴的交点坐标为，与y 轴的交点坐标为．<2分钟>【答案】(1,02)，(0,1-)2. 已知一次函数y=kx+b ，y 随着x 的增大而减小，且kb ＞0，则这个函数的大致图象是( )<2分钟>A ．B ．C ．D ．【答案】B3. 将正比例函数y=3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（）． <2分钟>A ．34y x =+B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =-【答案】B4. 如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，－2）. （1）求直线AB 的解析式；（2）若点C 是第一象限内的直线上的一个点，且△BOC 的面积为2，求点C 的坐标. <5分钟>【答案】解：（1）设直线AB 的解析式为)0(≠+=k b kx y , ∵直线AB 经过点A （1，0），点B （0，－2），∴0,2,k b b +=⎧⎨=-⎩解得2,2.k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为22-=x y .(2) ∵△BOC 的面积为2，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∴CD=2.又∵点C 在第一象限内，∴点C 的横坐标是2. 代入22-=x y ，得到点C 的纵坐标是2. ∴点C 的坐标是（2，2）.5. 已知等腰三角形周长为12，其底边长为y ，腰长为x. （1）写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象. <5分钟>【答案】解：(1)依题意212y x +=，212y x ∴=-+.x ，y 是三角形的边，故有002x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩，将212y x =-+代入，解不等式组得36x <<.(2)-2 -1 -7-6 -5-4-3 -3 -4 -5 -6 -7 12 3 4 5 6 7-1 -2 76 5 4 3 2 1 o yx-2-1-7-6-5-4-3-3-4-5-6-71234567-1-27654321oyx第一讲二次函数的概念与解析式1.1二次函数的定义及图像二次函数的定义一般地，形如2(,,0)y axbx c a b c a =++≠是常数，的函数，叫做二次函数，其中，x 是自变量，,,a b c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【例1】已知函数y=（m+2）x 2m m+是关于x 的二次函数，则满足条件的m 值为______．【答案】m=1【练习1.1】若y=（m －3）232m m x -+是二次函数，求m 的值．【答案】m=0【例2】若y=（k －3）22k x -+x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】分情况讨论：当k －3=0，即k=3时，y=x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=2且k －3+1≠0，即k=－2时，y=－4x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=1时，即k=±3时，y=x 2+（3－4）x+1，或y=x 2－（3+4）x+1均是二次函数，还有k 2－2=0时综合上知k=3或－2或±3或±2【练习2.1】若y=（k －2）22k x -+4x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】21.2 二次函数的性质与a 有关的性质一函数形式：2(0)y ax a =≠开口：0a >，开口向上；0a <,开口向下.a 相同⇔抛物线的形状大小相同.a越大开口越小，a越小开口越大.对称轴：y 轴（0x =）顶点：原点（0,0）【例3】二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( ) ； (2)221x y =如图( )； (3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )．【答案】(1)D ，(2)C ，(3)A ，(4)B ，(5)F ，(6)E ．【练习3.1】若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3【答案】B⏹ 与a 有关的性质二【例4】已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3【答案】C【练习4.1】若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m ___n （填“<”或“=”或“>”）【答案】>⏹ 与a 、b 有关的性质对称轴在y 轴左侧，,a b 同号；对称轴在y 轴右侧，,a b 异号.（左同右异）对称轴在y 轴上，b=0.【例5】判断下列二次函数的对称轴的位置 (1)y ＝x 2＋6x ＋10 (2)y ＝3x 2－2x (3)y ＝100－5x 2 (4)y ＝(x －2)(2x ＋1)(5)y ＝ax 2－6bx ＋10（a<0,b<0）【答案】左，右，0，右，右【练习5.1】已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0）的图象如右图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x =1和x =3时，函数值相等；③4a +b =0；④当y =－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B与c 有关的性质抛物线与y 轴正半轴相交，0c >；负半轴相交，0c <.抛物线经过原点，c=0【例6】判断下列二次函数与y 轴的交点的位置 (1)y ＝2x 2＋3x ＋10 (2)y ＝－3x 2－2x －3 (3)y ＝100x －5x 2(4)y ＝(x －3)(2x ＋1) (5)y ＝x 2－6x ＋a 2+2a+3【答案】正，负，原点，负，正.【练习6.2】已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c>0；③a-b+c<0；其中正确的结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C1.3二次函数的解析式的求法一般式【例7】已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，-4）和（-1，2）.求抛物线解析式.【答案】解：设抛物线解析式为：由题意知：⎩⎨⎧=--=+15b c b c解得：⎩⎨⎧-=-=32b c∴抛物线解析式为232--=x x y【练习7.1】已知：如图，二次函数22y axbx =+-的图象经过A 、B 两点，求出这个二次函数解析式.【答案】解：（1）由图可知A （－1，－1），B （1，1）依题意，得21,21a b a b --=-⎧⎨+-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴ y ＝2x 2＋x －2．顶点式【例8】以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式.【答案】解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+，抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++.【练习8.1】已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．【答案】解：设这个二次函数的关系式为2)1(2--=x ay得：2)10(02--=a 解得：2=a∴这个二次函数的关系式是2)1(22--=x y ，即224.y x x =-双根式【例9】已知抛物线与x 轴相交于两点A(1，0)，B(-3，0)，与y 轴相交于点C(0，3)． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)如果点3,2D m ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，求△ABD 的面积．【答案】解：(1) ∵抛物线与y 轴相交于点C(0，3),∴设抛物线的解析式为23y ax bx =++. ∵抛物线与x 轴相交于两点(1,0),(3,0)A B -， ∴30,9330.a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：1,2.a b =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为：232y x x =-+-. （2）∵点3(,)2D m 是抛物线上一点，∴2(23339)224m =-⨯+=--. ∴119942242ABD D S AB y ∆==⨯⨯=.【练习9.1】已知抛物线过点A (2,0),B (－1,0),与y 轴交于点C ,且OC ＝2.则这条抛物线的解析式是（）A.22y x x =--B.22y x x =-++C.22y x x =--或22y x x =-++D.22y x x =---或22y x x =++【答案】C1.4二次函数与图形变换 ⏹ 平移【例10】将函数234y x x =+-向左平移3个单位，向下平移2个单位后的解析式为．【答案】276y x x =++【练习10.1】将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（） A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-【答案】A【练习10.2】把抛物线y ＝－x 2＋4x －3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是( ) A ．y ＝－(x ＋3)2－2 B ．y ＝－(x ＋1)2－1 C ．y ＝－x 2＋x －5D ．前三个答案都不正确【答案】B⏹ 对称【例11】抛物线234y x x =+-关于x 轴对称的图像解析式为，关于y 轴对称的图像解析式为，关于原点对称的图像解析式为.【答案】234y x x =--+；234y x x =--；234y x x =-++【练习11.1】某抛物线先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折得到新的解析式为223y x x =+，则原抛物线解析式为.【答案】223y x x =-+ 旋转【例12】填空(1)将抛物线21y x =+绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为. (2)将抛物线223y x x =++绕点（1,1）旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为.【答案】（1）21y x =--（2）269y x x =-+-【练习12.1】将抛物线 224=+y x 绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A ． 22=-y xB ． 224=-+y xC ． 224=--y xD ． 224=-y x【答案】C课后作业:1. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（） A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+【答案】C2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中错误．．的是（） A ．函数有最小值 B ．当－1 <x < 2时，0y > C ．0a b c ++< D ．当12x <，y 随x 的增大而减小【答案】B3.已知抛物线y =x 2－4x +5，求出它的对称轴和顶点坐标.【答案】解：y =x 2－4x +5 = x 2－4x +4+1 =(x －2)2+1.∴抛物线的对称轴为x =2.顶点坐标为（2，1）.4. 抛物线22y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【答案】解：设平移后抛物线的表达式为22y x bx c =++．∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，∴3,382.c b c =⎧⎨=++⎩解得4,3.b c =-⎧⎨=⎩所以平移后抛物线的表达式为2243y x x =-+．解二：∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线1x =. ∴设平移后抛物线的表达式为()221y x k=-+．∴()23221k=⨯-+．∴1k =．所以平移后抛物线的表达式为()2211y x =-+．5.已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）的值为；（2）若1()A p y ，，2(1)B p y +，两点都在该函数的图象上，且0p <，试比较1y 与2y的大小.【答案】解：（1）m = 0 . （2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >.6.已知直线y=mx+n 经过抛物线y=ax2+bx+c 的顶点P(1，7)，与抛物线的另一个交点为M （0，6），求直线和抛物线的解析式【答案】解：（1）∵ 直线y mx n =+经过点P （1，7）、M （0，6），∴7,6.m n n +=⎧⎨=⎩解得 1,6.m n =⎧⎨=⎩∴ 直线的解析式为6y x =+． ∵ 抛物线2y ax bx c=++的顶点为P （1，7），∴ 2(1)7y a x =-+．∵ 抛物线经过点M （0，6）， ∴2(01)76a -+=．解得1a =-．∴ 抛物线的解析式为226y x x =-++．7.抛物线2y x bx c =++（b ，c 均为常数）与x 轴交于(1,0),A B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ．．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P 是抛物线上一点，且点P 到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】解:(1) ∵抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,3)C , ∴c=3 .∴23y x bx =++.又∵抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A , ∴b=-4 .∴243y x x =-+. （2）点P 的坐标为(5,8)或(1,8)-．入门检测:1. 下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．<1分钟>A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A2. 已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有（）<2分钟> A ．042>-ac b B ．042=-ac b C ．042<-ac b D ．042≤-ac b【答案】A3．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象为( ) <2分钟>【答案】B4. 抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（）<2分钟> A .b ＝2，c ＝2 B.b ＝2，c ＝0 C .b ＝－2，c ＝－1 D.b ＝－3，c ＝2 【答案】B5．将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．<2分钟> A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-【答案】D6．抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x… 2-1-0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法正确的个数是（）<4分钟>①抛物线与x 轴的一个交点为(20)-，②抛物线与y 轴的交点为(06)， ③抛物线的对称轴是：1x = ④在对称轴左侧y 随x 增大而增大 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C7．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（）<1分钟> A ．0，5 B ．0，1 C ．—4，5 D ．—4，1 【答案】D8．由二次函数y ＝－x 2＋2x 可知（）<2分钟>A ．其图象的开口向上B ．其图象的对称轴为x ＝1C ．其最大值为－1D ．其图象的顶点坐标为（－1，1）【答案】B。

初三数学暑假衔接班讲义(合计18讲-可修改编辑)

暑假班培训初三数学学习资料目录本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（包括矩形，菱形和正方形）的性质和判定第三讲平行四边形的提高篇（涉及中考的压轴题）第四讲梯形的辅助线和中考解题思路第五讲三角形和梯形中位线及其在中考中的解题技巧第六讲一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）第七讲一元二次方程的判别式及其在中考题中的专项训练第八讲一元二次方程根与系数的关系（涵盖压轴题 5 种关系）第九讲一元二次方程的应用题（必讲章节）第十讲因式分解第十一讲分式的运算第十二讲分式的化简求值第十三讲分式方程及其应用第十四讲二次根式的运算专题第十五讲二次根式的化简求值第十六讲代数式的恒等变形第十七讲相似三角形第十八讲相似三角形（提高篇）第一讲：如何解决中考图形类证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

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初三提高数学1班课时1．因式分解（7月15日）知识整理：1.因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ⑶⑷3.提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.4.公式法: ⑴ =-22b a ⑵ =++222b ab a ，⑶=+-222b ab a .5.十字相乘法：()=+++pq x q p x 2 ．例题讲解：例1 分解因式：⑴ x 3-x 2=_______________________;⑵ x 2-81=______________________;⑶ x 2+2x+1=___________________;⑷ a 3-2a 2+a=_____________________.例2. 已知a+b=5,ab=3,求代数式a 3b-2a 2b 2+ab 3的值.课堂练习：1．简便计算：=2271.229.7－ 2．分解因式：=-x x 422____________________；3．分解因式：=-942x ____________________；4．分解因式：=+-442x x ____________________；5.若x 2+kx －6有一个因式是(x －2)，则k 的值是 ;6．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A bx ax b a x -=-)(B 222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C )1)(1(12-+=-x x xD c b a x c bx ax ++=++)(7.（阅读理解题）分解因式：x 2 －120x+3456分析：由于常数项数值较大，则采用x 2－120x 变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：x 2 －120x+3456 = x 2 －2×60x+3600－3600+3456= (x －60)2－144=(x －60+12)(x-60-12)=(x －48)(x －72)请按照上面的方法分解因式：x 2 + 42x －35268.已知a=2006x+2007，b=2006x+2006，c=2006x+2005．求2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac 的值．课后测试：1.若x-y=3，则2x-2y= ．2.分解因式：3x x -=______________________3．若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则；4. 2008200720082⨯- = .5.若x 2＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（）A. 20B.10C. ± 20D. ±10 课时2．分式知识整理：1.分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B的形式，如果除式B 中含有，那么称 A B 为分式．若，则 A B 有意义；若，则 A B 无意义；若，则 A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的．用式子表示为 .3. 约分：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为的分式，这一过程称为分式的通分5．分式的运算⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .② 异分母的分式相加减： .⑵ 乘法法则： .乘方法则： .⑶ 除法法则： .例题讲解：例1：（1）当x 时，分式x-13无意义？（2）当x 时，分式392--x x 的值为零？例2：⑴ 已知 31=-x x ，则221x x + = . ⑵若 311=-yx ，则分式 =---+y xy x y xy x 2232 . 例3先化简，再求值：⑴262393m m m m -÷+--，其中m = 2⑵ (12-x x －x x -12)÷1-x x ,其中x ＝3＋1.课堂练习：1．化简分式：22544______,202ab x x a b x -+=-=________． 2．计算：x －1x －2 ＋12－x＝。

09暑假初三数学1班13729

初三数学1班 §23.2.1 直接开方法和因式分解法（7月29日）【知能点分类训练】知能点1 直接开方法1．16的平方根是______，8的算术平方根是_______．2．a+1有平方根，则a 的取值范围是_______，它的平方根是________． 3．x=81，则x 的值是（）．A ．9B ．－9C ．9或－9D ．以上都不对 4．若一个正方形的面积是（a 2+1）m 2，则正方形的边长是（）． A ．a+1 B ．±（a+1） C ．±21a + D ．21a + 5．（1）2x 2－98=0的根是（）．A ．x 1=72，x 2=－72B ．x=72C ．x 1=7，x 2=－7D ．x=7 （2）（1－2x ）2－4=0的解是（）． A ．x 1=2，x 2=－2 B ．x 1=－12，x 2=32 C ．x=－12 D ．x 1=12，x 2=－3 知能点2 因式分解法6．（1）3x 2－x 分解因式为__________________．（2）－a 2+8a －16分解因式为___________________．（3）2x 2－50分解因式为___________________． 7．一元二次方程x 2=x 的根是___________________． 8．解方程：（1）x 2－3x=0；（2）9x 2－6x+1=0．9．解方程．（1）x （x －12）=x ；（2）（12x －2）2=2．【综合应用提高】10．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）只有一个根是0的条件是（）． A ．b=0，c=0 B ．c=0 C ．c=0，b ≠0 D ．b=0，c ≠0 11．方程12（x －3）2=0的根是（）． A ．x=3 B ．x=0 C ．x 1=x 2=3 D ．x 1=3，x 2=－3 12．给出以下方程的解题过程，其中正确的有（）．①解方程12（x－2）2=16，两边同时开方，得x－2=±4，移项得x1=6，x2=－2；②解方程x（x－12）=（x－12），两边同时除以（x－12）得x=1，所以原方程的根为x1=x2=1；③解方程（x－2）（x－1）=5，由题得x－2=1，x－1=5，解得x1=3，x2=6；④方程（x－m）2=n的解是x1=m+n，x2=m－n．A．0个B．2个C．3个D．4个13．解下列方程．（1）4（2x－1）2=9（3x－2）2；（2）12（x－2）2+x－2=0；14．（1）2x2+8x+8=0；（2）13（x－4）2=3．15．解方程x4－6x2+9=0．【开放探索创新】16．请你自己写出一道含有未知数y的一元二次方程，要求：（1）•能够用因式分解法解；（2）使方程的一个根是2，并解这个方程．17．若方程12（x－m）2－n=0，试说明方程根的情况．【中考真题实战】18．（甘肃）方程（x－1）（x+2）=2（x+2）的根为__________________．19．（温州）方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是________________．20．（衢州）x 3－x=0的解为（）．A ．0，1B ．1，－1C ．0，－1D ．0，1，－1§23.2 一元二次方程的解法（1）作业◆基础知识作业1.方程x 2=16的根是x 1=______,x 2=______;若(x －2)2=0，则x 1=__________,x 2=__________.2.方程2x 2=32的解是________________; 方程2x 2=82的解是___________________.3.方程2(x －1)2=0的解是______________;方程(2x +1)2=0的解是______________________4.解方程:（1）x 2=4 (2)(x +1)2=0 （3）y 2－81=0◆能力方法作业5.若－2x 2+8=0，则x 1=_______,x 2=________;方程(2x －1)2=1的解______________ .6.若x 2+4=0，则此方程解的情况是________________________.7.若2x 2－7=0，则此方程的解的情况是___________________.8.方程5x 2+75=0的根是（） **B.－5C.±5D.无实根9.方程4x 2－0.3=0的解是（） A.075.0=x B.30201-=x C.27.01=x 27.02-=xD.302011=x 302012-=x 10.关于x 的方程(x +m )2=n ,下列说法正确的是（） A.有两个解x =±nB.当n ≥0时，有两个解x =±n －mC.当n ≥0时，有两个解x =±m n -D.当n ≤0时，方程无实根11.若一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0的常数项是0，则m 为（） **B.±2C.－2D.－1012.解方程:（1）3x 2=3 （2）(4t －5)2=9（3）(x +1)2－144=0 （4）21(2x +1)2=313.已知一元二次方程21m y +－3y+1=0，求m 的值.◆能力拓展与探究14.已知方程ax 2+bx +c =0的一个根是－1，则a －b +c =___________.15.方程ax 2+c =0(a ≠0)的解的情况是：当ac ＞0时__________________；当ac =0时__________________；当ac ＜0时__________________. 16.关于x 的方程(m －3)x72-m －x =5是一元二次方程，则m =_________.17、若方程02=-m x 有整数根，则m 的值可以是_________（只填一个） 18. 关于x 的一元二次方程（a －1）x 2－5x －a 2+1=0 有一根为0，求a 的值.§23.2 一元二次方程的解法（2）作业◆基础知识作业1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.2.方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x 1=__________,x 2=__________.3.填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程解：3x (x +5)__________=0 (x +5)(__________)=0x +5=__________或__________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4.用因式分解法解一元二次方程的关键是（1）通过移项，将方程右边化为零（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）分别解这两个__________，求得方程的解 5.一元二次方程(1)(2)0x x +-=的根是。

09暑假初三数学1班10725

MNP例1图A初三数学1班课时14．视图与投影（7月25日）知识整理1.从观察物体时，看到的图叫做主视图；从观察物体时，看到的图叫做左视图；从观察物体时，看到的图叫做俯视图.2.主视图与俯视图的一致；主视图与左视图的一致；俯视图与左视图的一致.3. 叫盲区.4.投影可分为平行投影与中心投影.其中所形成的投影叫平行投影；所形成的投影叫中心投影.5.利用光线是否平行或是否交于一点来判断是投影或投影，以及光源的位置和物体阴影的位置.例题讲解例1.如图，已知MN 是圆柱底面的直径，NP 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M P ，嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP 剪开，所得的侧面展工图是（）例 2.如图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积。

（结果保留π）课堂练习1.下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（）Ａ．球体Ｂ．长方体Ｃ．圆锥体Ｄ．圆柱体2.将如图所示的Rt △ABC 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图是（）P P 'N 'N M N 'N MPP 'N 'M N P P 'N 'MN P M 'P 'Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．例2图•DCB AC B A 5 题图主视2cm 3cm 左视俯视第7题图3.下面简单几何体的左视图是（）4.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）Ａ．正方体Ｂ．球Ｃ．圆锥Ｄ．圆柱5.与如图所示的三视图对应的几何体是( )6.如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，现沿着虚线折起，使A 、B 、C 三点重合，折起后得到的空间图形是（）。

A 、正方体B 、圆锥C 、棱柱D 、棱锥 7.如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为．课后测试1.如图是某一立体图形的三视图，则这个立体图形是（）主视图左视图俯视图A ．正三棱柱B ．三棱锥C ．圆柱D ．圆锥 2.下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（）A B CD E F第6题图正视图左视图俯视图A ．B ．C ．D ．正面第3题图第5题图第4题图 6541233.如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个4.如图，这是一个正方体的展开图，则号码2代表的面所相对的面的号码是______．课时15．轴对称与中心对称知识整理1.如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能，那么这个图形就是，这条直线就是它的 .2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形，那么这两个图形成，这条直线就是，折叠后重合的对应点就是 .3. 如果两个图形关于对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做图形，这个点就是它的．5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点，这个点叫做．这两个图形中的对应点叫做关于中心的．6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被对称中心所．关于中心对称的两个图形是图形.7.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点),(y x P 关于原点的对称点1P 为 .例题讲解例1.如图，在直角坐标系xOy 中， A(一l ，5)，B(一3，0)，0(一4，3)． (1)在右图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′； (2)写出点C 关于，轴的对称点C ′的坐标(_____，_______)。

初三数学-09暑假1班1783

初三数学1班 23.3 实践与探索 8月3日一、选择题(每题5分,共30分)1.已知方程x 2+2x-1=0的两根分别是x 1,x 2,则1211x x += ( ) A.2 B.-2 C.-6 D.62.若k>1,关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0的根的情况是( )A.有一正根和一负根B.有两个正根C.有两个负根D.没有实数根3.已知二次三项式2x 2+kx+c 分解因式为2(x-3)(x+1),则b,c 的值分别为( )A.3,-1B.-6,2C.-6,-4D.-4,-64.如果24410x x -+=,那么4x等于( ) A.-2 B.2 C.4 D.-2或45.已知方程x 2+5x-2=0,求作一个新的一元二次方程, 使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数,则此新方程为( )A.4y 2-29y+1=0B.4y 2-25y+1=0C.4y 2+29y+1=0D.4y 2+25y+1=06.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.19二、填空题(每题3分,共24分)7.若方程x 2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=______,两个根是_______.8.某制药厂生产的某种针剂,每支成本3元,由于连续两次降低成本,现在的成本是2.43元,则平均每次降低的百分数是_________.9.关于x 的代数式x 2+(m+2)x+(4m-7)中,当m=_______时,代数式为完全平方式.10.已知a 2+3a=7,b 2+3b=7,且a≠b,则a+b=_______.11.某市计划在两年内将工农业生产总值翻两番,则平均每年工农业生产总值的增长率是________.12.关于x 的方程x 2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_______.13.在Rt △ABC 中,斜边AB=5,BC 、AC 是一元二次方程x 2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,则m 等于_________.14.在一元二次方程x 2+bx+c=0中,如果系数b 、c 可在1,2,3,4,5,6中任意取值, 那么其中有实数解的方程有______个.三、解答题(每题7分,共28分)15.已知x 1=q+p,x 2=q-p 是关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根,求p 、q 的值.16.已知:321329m nm n+=⎧⎨=-⎩, 求以22,22m n m n-+--的值为根的一元二次方程.17.某小会议室的地面为长方形,长比宽多2米,如果地面用384块边长为25 厘米的正方形瓷砖恰好铺满,试算一算,这个小会议室的长和宽各是多少?18.已知x1和x2是方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的两正根,且(x1-1)(x2-1)=4, 求k的值.四、列方程解应用题(每题9分,共18分)19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升?五、实践探索题(15分)21.当n=1,2,3,…,2007时,关于x的一元二次方程n(n+1)x2-(2n+1)x+1=0 的根为,n na b,试求:(1)│a1-b1│+│a2-b2│的值;(2)│a 1-b 1│+│a 2-b 2│+…+│20072007a b -│的值.22.已知关于x 的方程x 2-2mx+14n 2 =0,其中m,n 是一个等腰三角形的腰和底边的长. (1)求证这个方程有两个不相等的实数根;(2)若方程的两实根的绝对值是8,且等腰三角形的面积是16,求m,n 的值.23.关于x 的方程(a+c)x 2+2bx-a+c=0有相等二实根,问正数a,b,c 可否作为一个三角形三边的长?如果可以,是什么形状的三角形?◆能力方法作业13、已知一元二次方程 2 x 2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，,c= .14、若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____．15.如果x 1 、x 2 是方程x 2 + 4x + 3 = 0 的两根，则（x 1 + 1）（x 2 + 1）的值是。

初三数学-09暑假1班12728

初三数学§23.1 一元二次方程（7月28日）【知能点分类训练】知能点1 一元二次方程的定义1．下列方程是一元二次方程的是_________________________．（只填序号）．（1）x2=5；（2）x2+xy+3=0；（3）x+1x=2；（4）mx2+x+1=0（m≠0）；（5）ax2+bx+c=0；（6）23x2+3x+1=0；（7）x2+1=0；（8）24x+x=0．2．试写出一个含有未知数x的一元二次方程________．3．若关于x的方程mx2+nx+p=0是一元二次方程，则m_______，n_______，p_____．4．若关于x的方程x21a +3x+5=0是一元二次方程，则a应满足________．5．若（k+1）x2+（k－1）x+2=0是关于x的一元二次方程，则k________．6．若关于x的方程（m2－1）x2+（m+1）x+3=0是一元二次方程，则m______；•若是一元二次方程，则m_______．知能点2 一元二次方程的一般形式7．一元二次方程（2x+1）（x－1）=3x+1化为一般形式是________，二次项是______，一次项是_______，常数项是_________．8．一元二次方程13x2=7的二次项系数是_____，一次项系数是______，•常数项是_______．知能点3 方程根的理解9．方程x+1=0的根是___________．10．若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则有________成立．11．若x=－1是方程（a2－1）x2+x+1=0的解，则a=_________．12．m满足什么条件时，方程mx2+4x+3=0的根是1？【综合应用提高】13．关于x的方程（k－2）x2k+8kx+1=0，当k满足什么条件时：（1）它是一元二次方程？（2）它是一元一次方程？14．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）－c=0化成一般形式为4x2+3x+1=0，试求（2a+b）·3c 的值．15．已知关于x的方程（m－3）x2+4x+m2－9=0的一个根是零，求m的值．16．关于x 的方程（a 2－4a+3）ax a -1+5x=4是一元二次方程吗？说明理由．【开放探索创新】17．已知方程x a+1+2x －5=0与方程x a －b +6x+4=0都是关于x 的一元二次方程，求（a+b ）2005·（a －b ）2007的值．【中考真题实战】18．（甘肃）下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）．A ．3（x+1）2=2x+1B ．+－2=0C ．ax 2+bx+c=0D ．x 2+2x=x 2－119．（四川）若（m －1）x 21m =5是一元二次方程，则m 的值为（）．A ．±1B ．－1C ．1D ．220．（烟台）若关于x 的方程x 2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p 的值是____________．21．（辽宁）已知2是关于x 的方程32x 2－2a=0的一个根，则2a －1的值是（）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．622．（黑龙江）写出满足方程x+2y=9的一对整数解_________．§23.1 一元二次方程作业◆基础知识作业1.（1）x +5=0,x =__________;（2）10x +3=8,x =__________;（3）6x －21=1,x =__________. 2.一元二次方程的一般形式是___________________________.3.将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为______________________.4.将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为_______________________.5.方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________.6．方程2233x x +=的二次项是，一次项是，常数项是。

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初三数学1班课时9．锐角三角函数（7月23日）知识整理1．sinα，cosα，tanα，cotα的定义：（a2+b2=c2常用）sinα=bc<1，cosα=_______<1，tanα=_______>0，cotα=________>02．sinα，cosα，tanα，cotα之间的关系：（1）sin2α+cos2α=1，tanα·cotα=1， tanα=sincosαα（角度必须相同）（2）sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinαtan（90°-α）=cotα，cot（90°-α）=tanα3．特殊角三角函数值：30°45°60°sinαcosαtanαcotα例题讲解例1．在Rt △ABC中，a=5，c=13，求sinA，cosA，tanA，cotA．例2．计算sin30sin60cos45︒︒-︒-2(1cot30)-︒-tan45°例3．解答下列各题（1）若α为锐角，且sinα=cos40°，求α；（2）已知sinα+cosα=2，求sinα·cosα的值；（3）若为锐角，且12<cosα<32，求α的范围．课堂练习13125A CBB(0,－4)A(3,0)xy 1．在直角三角形中，各边的长度都扩大原来的m 倍，则锐角A 的各三角函数值（） A ．都扩大到m 倍 B ．都扩大到（m+1）倍 C ．不变 D ．不能确定 2．已知α为锐角，且54cos =α，则sin tan αα+＝． 3．在Rt △ABC 中，∠C =90°，32tan =A ，AC =4，则BC = ． 4．计算：sin 30cos 45cos30︒︒-︒+4cos60°sin45°-2(tan 602)︒-；5．在△ABC 中，若（sinA-12）2+|32-cosB|=0，求∠C 的大小．6．图中有两个正方形，A ，C 两点在大正方形的对角线上，△HAC•是等边三角形，若AB=2，求EF 的长．（sin30°=12，cos30°=32，tan30°=33，sin45°=22，cos45°=22，tan45°=1．）课后测试1．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则AC 的长是（） A ．5 B ．3 C ．45D ．132．Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（）A ．21B ．22C ．23D ．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点Ａ（３，０），点Ｂ（０，－４）则cos OAB ∠等于（）Ａ.34 Ｂ.34- Ｃ.35 Ｄ.45_E_A _F_D _C_B _O _H_G4．︒+︒60sin 160cos ·1tan 30︒的值是（）A ．23－3B ．334 C ．2－332+ D ．233－1 课时10．解直角三角形及其应用知识整理1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些边和角求未知的边和角叫做解直角三角形．2．解直角三角形的类型：已知一边，一锐角；已知两边． 3．解直角三角形的公式：（1）三边关系：a 2+b 2=c 2，（2）角关系：∠A+∠B=_____，（3）边角关系：sinA=a c ，sinB=bc ，cosA=b c， cosB=a c ，tanA=a b ，cosA=b a ，tanB=b a ，cotB=a b．4．仰角、俯角5．象限角：OA ：北偏东60°，OB ：东南方向，OC ：正东方向，OD ：西偏南70°． 6．坡度：AB 的坡度i AB =AC BC ，∠α叫坡角，tan α=i=ACBC．例题讲解例1如图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高出水平地面24米，从A 到B ，从B 到C 是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB 的长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC 的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC 的坡角降到与AB 的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01米）（1）求山坡路AB 的高度BE ．（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）c baA CBαACB45︒南北西东60︒ADC B70︒O例2如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图，•在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向；•取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向，以点A为圆心，500m•为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，•高速公路是否会穿过居民区？（例2图）例3为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形）•，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：（1）渠面宽EF；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．（例3图）课堂练习1．在Rt ABC△中，∠C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，则sin∠A= ．2．升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_________。

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初三数学1班 §23.2.3 公式法（7月31日）【知能点分类训练】知能点1 一元二次方程的求根公式1．一元二次方程12x 2+x=3中，•a=•____，•b=•_____，•c=•_____，•则方程的根是________． 2．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________．3．用公式法解方程:（1）2x 2－3x+1=0；（2）2y （y －1）+3=（y+1）2．4．有一长方形的桌子，长为3m ，宽为2m ，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，•且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为_______，宽为______．5．如果12x 2+1与4x 2－3x －5互为相反数，则x 的值为_______．知能点2 根的判别式6．一元二次方程212232x x x ++=中，b 2－4ac=______，所以原方程______实数根． 7．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根_________．8．求出方程x 2－5x=12（x+3）的根的判别式的值，并判断方程根的情况．9．若方程－34x 2+kx －3=0无实数根，求k 的取值范围．10．是否存在这样的m 值，使最简二次根式22m m -与42m -同类二次根式？若存在，求出m 的值；•若不存在，请说明理由．【综合应用提高】11．不解方程，判断下列方程根的情况．（1）－2x 2+3x=－1；（2）12x 2－kx+2（k －1）=0．12．已知a ，b ，c 均是实数，且│a －1│+221b b +++（c+2）2=0，求方程：ax 2+bx+c=0的根．13．阅读并回答问题．求一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根（用配方法）．解：ax 2+bx+c=0，∵a ≠0，∴x 2+b a x+c a=0，第一步移项得：x 2+b a x=－c a，第二步两边同时加上（2b a ）2，得x 2+b a x+（）2=－c a +（2b a ）2，第三步整理得：（x+2b a）2=2244b ac a -，直接开方得x+2b a =±2244b ac a -，第四步 ∴x=242b b ac a-±-， ∴x 1=22244,22b b ac b b ac x a a-+----=．第五步上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．14．关于x 的方程mx 2+3x+1=0有两个实数根，求m 的取值范围．15．已知方程x2－8xy－9y2=0，求证：x=－y或x=9y．【开放探索创新】16．m为何值时，关于x的一元二次方程mx2－2（2m+1）x+4m－1=0：（1）有两个相等实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）无实根．【中考真题实战】17．（福州）解方程4x2+8x+1=0．18．（泰安）若关于x的方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）．A．k>－1 B．k<－1 C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0-++│c+2│=0，ax2+bx+c=0，求19．（烟台）设a，b，c都是实数，且满足（2－a）2+2a b c代数式x2+x+1的值．20．（上海）关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根．§23.2 一元二次方程的解法（4）作业◆基础知识作业1.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为____________，确定__________的值，当__________时，把a,b,c的值代入公式，x1，2=_________________求得方程的解.2、把方程4 —x2 = 3x化为ax2 + bx + c = 0(a≠0)形式为，则该方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为。

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初三数学1班课时7．全等三角形（7月22日）知识整理1．三角形全等的判定：SAS，ASA（AAS），SSS，HL2．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等因此利用全等三角形可证明线段相等或角相等的题目．例题讲解例1．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．例2．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC ．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．课堂练习1.如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D•点到直线AB的距离是_______cm．3．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．•要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）A．10，25 B．10，36或12，36C．12，36 D．10，25或12，364．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E•不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（）A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④E C D B A5．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=30°，求∠EDC 的度数．6．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ，且PA=PD ．（1）写出图中3对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．课后测试1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 和∠B 的平分线交于O 点，钝角∠AOB=_____．2．已知三角形的两边分别为7cm 和12cm ，•则它的周长必须大于_______•而小于_______． 3．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对课时8．相似三角形知识整理1．相似三角形的定义：三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2．相似三角形的判定方法：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=__________，CD 2=_________，BC 2=__ ____；E A D CBEADCBA D CB（3）两个角对应相等的两个三角形__________；（4）两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似；（5）三边对应成比例的两个三角形___________． 3．相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应边_________，对应角________．（2）相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．PFE C D BAADCB（3）相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________的平方．例题讲解例1．在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，•这两个三角形相似．例2．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，•这个正方形零件的边长是多少？例3．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？课堂练习1．如图，若∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，△ABC∽△CDB，则BD与a，b•的关系是________．2．如图，D是△ABC的边AC上的点，过D作直线DE，与AB交于点E，若△ADE•与△ABC相似，则这样的直线DE最多可作_______条．（第1题图）（第2题图）3．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）（第3题图）134EAFDCB_M _F _E _D_C _B_A EA 1MDCB4．如图，已知△ABC ，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能确定△ACP ∽△ABC 的是（） A ．∠ACP=∠B B ．∠APC=∠ACBC ．AC 2=AP ·AB D ．AC AB CP BC=5．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，E ，F 分别是AB ，BC•的中点，EF 与BD 相交于点M ．（1）求证：△EDM ∽△FBM ；（2）若DB=9，求BM ．6．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E ，求证：AM 2=MD ·ME ．课后测试1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．3．已知：如图所示，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（）A ．.AD AEAE AD B ABACBC BD == C ．.DE AEDE AD D BCABBC AC==（第3题图） 4．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：（1）;(2)''''''''AB BC BC AC A B B C B C A C ==；（3）∠A=∠A ′；（4）∠C=∠C ′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有多少组（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4。

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初三数学1班第五课时一次函数与反比例函数 7月20日【要点讲解】1、如果y=kx+b(k 、b 是________，且k_______)，那么y 叫做x 的_________函数；当b=0时，y 就变成x 的_________函数．2、一次函数的图像是3、一次函数的性质：4、形如xky =（k ≠0），这样的函数叫做。

5、反比例函数的图象是；反比例函数的性质：【典型例题】【例1】已知函数y=(2m －1)x n+3+(m －5)，当m________且n________时，它是一次函数；当m_________且n_________时，它是正比例函数．【例2】已知y=y 1+y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成反比例，当x=1时，y=0；当 x=－3时，y=4，求x=3时，y 的值．【例3】如图所示是一次函数y=mx －n 的图象，则下面结论正确的是（） A ．m<0，n<0 B ．m<0，n>0 C ．m>0，n>0 D ．m>0，n<0 练习：①一次函数y=－2x+3经过象限②一次函数y=mx －n 第二象限，则m 0，n 0 【例4】作出函数y=2x －8的图象，并回答下列问题：（1）y 的值随着x 的值的增大怎样变化？（2）图象与x 轴，y 轴的交点坐标分别是什么？（3）若函数y=－x+m 2与y=2x －8的图象交于x 轴上同一点，你能求出m 的值吗？练习：已知一次函数y=（6+3m ）x+（n －4）．（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？（2）m ，n 为何值，函数图象与y 轴的交点在x 轴的下方？【例5】求经过点（1，-2）且平行于23--=x y 的直线解析式。

将直线y=－2x－1经过怎样的平移会经过点（1，-2）？【例6】求直线y=－2x－1与直线y=2x－8以及x轴所围城的三角形的面积。

初三数学-09暑假1班184

初三数学1班§23.3 一元二次方程的应用（1） 8月4日【知能点分类训练】知能点1 数字问题1．一个三位数，百位上是a，十位上是b，个位上是c，则这个三位数是（）．A．abc B．a+b+c C．100a+10b+c D．cba2．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，•把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．3．两个连续奇数的积是143，求这两个连续奇数．知能点2 商品销售问题4．某种商品的进价为10元，当售价为x元时，此时能销售该商品（x+10）个，此时获利是1500元，则该商品的售价为________元．5．某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售，经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是（）．A．a元B．0.9a元C．1.12a元D．1.08a元6．某玩具厂生产某种儿童玩具，每个成本是2元，利润率为25%．工厂通过改进技术，降低了成本，•在售价不变的情况下，•利润增加了15%，•则这种玩具的成本降低了_______元（精确到0.1元，利润率=售价成本成本×100%）．7．某商品销售某种商品可获利润35元，若打八五折销售，每件商品所获利润比原来减少了10元，则该商品的进价是__________元．【综合应用提高】8．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．•如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．9．工艺品厂计划生产某种工艺品，每日最高产量是40个，且每日生产的产品全部售出．已知生产x个工艺品成本为P（元），售价为每个R（元），且P与x，R与x•的关系式分别为P=500+30x，R=170－2x．（1）当日产量为多少时，每日获得利润为1950元？（2）要想获得最大利润，每天必须生产多少个工艺品？【开放探索创新】10．某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听和书包的单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元．（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元．（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，A超市所有商品打八折销售，B超市全场购物满100元返购物券30元，但他只带了400元钱．如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪家购买吗？若两家都可以选择，•在哪家购买更便宜？11．五个连续整数－2，－1，0，1，2满足下面关系：（－2）2+（－1）2+02=12+22，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，•你能否再找到五个连续整数，使它们也具有上面的性质？【中考真题实战】12．（海淀）在某校举办的足球比赛中，规定：胜一场得3分，平一场得1分，•负一场得0分．某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个球队只输了2场，那么此队胜几场，平几场？13．（南京）某西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg．为促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg．另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？14．（福州）小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，•给你打八折”．小明测算了一下，如果买50支铅笔，比按原价购买可以便宜6元，•那么每支铅笔的原价是多少元？知能点1 面积问题1．有一个三角形的面积为25cm2，其中一边比这一边上的高的3倍多5cm，那么这一边的长是________，高是_________．2．要用一条铁丝围成一个面积为120cm2的长方形，并使长比宽多2cm，则长方形的长是______cm．3．有一间长为18m，宽为7.5m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的1，四周未铺地毯处的宽度相同，则所留宽度为_______m．24．在一块长16m，宽12m的矩形空地上，要建造四个花园，•中间用互相垂直且宽度相同的两条甬路隔开，并使花园所占面积为空地面积的，求甬路宽．知能点2 增长（降低）率问题5．某工厂用两年时间把产量提高了44%，求每年的平均增长率．•设每年的平均增长率为x，列方程为_______，增长率为_________．6．某粮食大户2005年产粮30万kg，计划在2007年产粮达到36.3万kg，若每年粮食增长的百分数相同，求平均每年增长的百分数．7．某厂一月分的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（）．A．95=15（1+x）2B．15（1+x）3=95C．15（1+x）+15（1+x）2=95 D．15+15（1+x）+15（1+x）2=958．某种商品经过两次降价，由每件100元降低了19元，•则平均每次降价的百分率为（）．A．9% B．9.5% C．8.5% D．10%9．某班将2005年暑假勤工俭学挣得的班费2000元按一年定期存入银行．2006•年暑假到期后取出1000元寄往灾区，将剩下的1000元和利息继续按一年定期存入银行，待2007年毕业后全部捐给母校．若2007年到期后可取人民币（本息和）1069元，•问银行一年定期存款的年利率是多少．（假定不交利息税）【综合应用提高】10．用24cm长的铁丝：（1）能不能折成一个面积为48cm2的矩形？（2）•能不能折成面积是32cm2的矩形？若能，求出边长；若不能，请说明理由．11．如果一个正方体的长增加3cm，宽减少4cm，高增加2cm，•所得的长方体的体积比原正方体的体积增加251cm3，求原正方体的边长．12．某厂计划在两年后总产值要翻两番，那么，•这两年产值的平均增长率应为多少？【开放探索创新】13．某农户种植花生，原种植的花生亩产量为200kg，出油率为50%．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，•其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求新品种花生亩产量的增长率．【中考真题实战】14．（陕西）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，•制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，•那么x满足的方程为（）．A．x2+130x－1400=0 B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0 D．x2－65x－350=015．（遵义）某商店将一件商品的进价提价20%后又降价20%，以96元的价格出售，•则该商店卖出这种商品的盈亏情况是（）．A．不亏不赚B．亏4元C．赚6元D．亏24元16．（大连）某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长的百分率．17．（新疆）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，图a、图b分别是小明和小颖的设计方案．（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）．（3）你还有其他的设计方案吗？请在下图中画出你的设计草图，并加以说明．18．（兰州）某地2004年外贸收入为2．5亿元，2006年外贸收入到达到4亿元．•若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（）．A．2.5（1+x）2=4 B．（2.5+x%）2=4C．2.5（1+x）（1+2x）2=4 D．2.5（1+x%）2=4。

初三数学-09暑假园区722

园区新初三数学讲义7 二次函数 7.22一．二次函数的概念二次函数的概念_____________________________( )常数a 、b 、c 的取值范围是______________________，特别注意0≠a 。

自变量的取值范围是______________. 例1.下列函数中，是二次函数的是 .①142+-=x x y ；②22x y =； ③x x y 422+=；④x y 3-=；⑤12--=x y ；⑥p nx mx y ++=2；⑦xy 4=； ⑧x y 5-=。

2.已知扇形的周长为20㎝，半径为x ㎝，扇形的面积S 与半径x 之间的函数关系式是_________。

3、若函数54)82(22++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

4、已知函数1)3(72++=-m x m y 是二次函数，则m ＝。

5、若函数15)2(22++-=-x x m y m是关于x 的二次函数，则m 的值为。

6、已知函数35)1(12-+-=+x xm y m 是二次函数，求m 的值。

例7、如图（1），正方形ABCD 的边长为16㎝，P 是AB 上任意一点（不与A 、B 重合），QP ⊥DP ，，设AP ＝x ㎝，BQ ＝y ㎝，y 与x 的函数关系式为。

8、如图（2），正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上的一动点，若QP ⊥AP ，交DC 于Q ，设PB ＝x ，△ADQ 的面积为y ， y 与x 的函数关系式为 .9.如图（3），△ABC 是等腰三角形铁板余料，其中AB ＝AC ＝20㎝，BC ＝24㎝，若△ABC 上截出一矩形零件DEFG ，使EF 在边BC 上，点D 、G 分别在AB 、AC 上，（1）设EF ＝x ㎝，S矩形DEFG ＝y ㎝2，试写出y 与x 的函数关系式；（2）问截得的矩形DEFG 的长、宽为何值时，该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半？BCAD QPBCADQPK B CA DGH F E练习 1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y图1图2图3（3）x x y 12+= （4）322-+=x x y2．已知y=(m 2一m)221m m x --+(m －3)x+m 2是x 的二次函数，求出它的解析式．3．若二次函数2y ax =+c ，当x 取1x ，2x ， (1x ≠2x )时，函数值相等，则当x取1x +2x 时函数值为（） A ．a +c B ．a －c C ．一c D ．c4.正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积（3）盒子的表面积有最大值还是最小值.二．二次函数的图象与性质一 2y ax = 我们已经知道，一次函数y=2x+1，反比例函数3y x=的图象分别是________、_________，那么二次函数2y x =的图象是什么呢？（1）描点法画2y x =函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2y x =的图象，得出二次函数的图像是___________用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 例1．在同一直角坐标系中，画出y=2x ² 和y=-2x ²的图象，它们共同点：都以y 轴为__________，顶点都是__________．不同点： y=2x ²图象开口_______，顶点是抛物线的最___点，在对称轴的左边，曲线自左向右_____；在对称轴的右边，曲线自左向右______．y=-2x ² 的图象开口_______，顶点是抛物线的最__点，在对称轴的左边，_________________；在对称轴的右边，曲线_______________．例1．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm2．分析这是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；列表：描点：练习1. 二次函数221x y =的顶点坐标是，对称轴是直线。

初三数学-09暑假7月28日第9份

09暑假新初三数学复习材料之八 7月28二次函数的概念一、情景创设1．什么叫函数？它有几种表示方法？2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k ≠0的条件？k值对函数性质有什么影响？二、实践与探索例1 正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是由以上两例，归纳出(1)函数解析式均为(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．巩固对二次函数概念的理解：1．二次函数即y是关于x的二次多项式．2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．3．在y=50x2＋100x＋50中，a=50，b=100，c=50．4．为什么二次函数定义中要求a ≠0？(若a=0，ax 2＋bx+c 就不是关于x 的二次多项式了)5．b 和c 是否可以为零？由例1可知，b 和c 均可为零．若b=0，则y=ax 2＋c ；若c=0，则y=ax 2＋bx ；若b=c=0，则y=ax 2．以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般形式．三、巩固新课例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出a 、b 、c ．(1)y=1-3x 2；(2)y=x(x -5)； (3)y=3x(2-x)＋3x 2； (4)y ＝(x ＋2)(2-x)；(5)y=x 4＋2x 2＋1．例2．m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解回顾与反思形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？探索若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？延伸：已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数，求m 的值．例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．例4．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．例5．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式．四、课外作业1．在长20cm ，宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下木板的面积y(cm 2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．2．已知二次函数y=4x 2＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值．3．已知二次函数y=x 2-kx -15，当x=5时，y=0，求k ．4．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a 、b 、c 的值5. 当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k kx k y 为二次函数？二次函数的图象与性质（1）——二次函数y=ax 2的图象一、情境导入我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是、，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？二、新课例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y =（2）22x y -=共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得)0(1612>=C C S ．列表：C2 4 6 8 … 2161C S = 41 1 49 4 …描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ．（3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2．回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．补充例题1．已知点M(k ，2)在抛物线y=x 2上，(1)求k 的值．(2)点N(k ，4)在抛物线y=x 2上吗？(3)点H(-k ，2)在抛物线y=x 2上吗？2．已知点A(3，a)在抛物线y=x 2上，(1)求a 的值．(2)点B(3，-a)在抛物线y=x 2上吗？三、小结1．抛物线y=ax 2(a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点．2．a ＞0时，抛物线y=ax 2的开口向上．3．a ＜0时，抛物线y=ax 2的开口向下．四、作业：1、已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值．2、已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．3、已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y ．4、用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．二次函数的图象与性质（2）—二次函数k ax y +=2的图象一、情境导入同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？．二、实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．回顾与反思抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y … 20 10 4 2 4 10 20 …三、作业1、一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y 相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．。

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C 1
A 1
B 1
B 2A 2A
B C 初三数学1班课时16．平移与旋转（7月27日）
知识整理
1.一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为______，它是由移动的__ ___和___ ___所决定．
2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段__ __，对应角_ __，图形的_ __与__ __都没有发生变化，即平移前后的两个图形；且对应点所连的线段__ __．
3.图形旋转的定义：把一个图形的图形变换，叫做旋转，叫做旋转中心，叫做旋转角．
4.图形的旋转由、和所决定．其中①旋转在旋转过程中保持不动．②旋转分为时针和时针. ③旋转一般小于360º.
5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着旋转了的角度，对应点到旋转中心的相等，对应相等，对应相等，图形的都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 .
例题讲解
例1.如图，在一个10×10的正方形DEFG 网格中有一个△ABC.
①在网格中画出△ABC 向下平移3个单位得到的△A 1B 1C 1。

②在网格中画出△ABC 绕C 点逆时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2。

③若以EF 所在的直线为x 轴，ED 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，写出A 1、A 2两点
的坐标。

例2.在平面直角坐标系中，AOB △的位置如图所示，已知90AOB ∠=，AO BO =，点
A 的坐标为(31)
-，．（1）求点B 的坐标；
课堂练习
1.按右边33⨯方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空格内（）
A B C O x y
第4题图
2.如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到
DEF △．如果8cm AB =，4cm BE =，3cm DH =，则图中阴影部分面积为 2
cm ．
3.如图，将一块斜边长为12cm ，60B ∠=°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转
90°至A B C '''△的位置，再沿CB 向右平移，使点B '刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是 cm ．
4.如图，ABC △中(23)A -，
，(31)B -，，(12)C -，．（1）将ABC △向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △；（2）画出ABC △关于x 轴对称的222A B C △；
（3）将ABC △绕原点O 旋转180，画出旋转后的333A B C △；（4）在111A B C △，
222
A B C △，333A B C △中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；
△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．
5.把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
课后测试
A
B C D
第2题图
A
B
C
D
H E
F
D C
A B G H
F E
第5题图
A B
A C
B '
第3题图
A ．
B ．
C ．
D ．（1） 1.观察下面图案，在A ，B ，C ，D 四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（）
2.如图，正方形OABC 的边长为2，则该正方形绕点O 逆时针旋转45后，B 点的坐标为（） A ．(22)， B ．(022)，
C ．(220)，
D ．(02)，
3.如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是
A ．向右平移7格
B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB 为对称轴作轴对称
C ．绕AB 的中点旋转1800
，再以AB 为对称轴作轴对称 D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格 4.已知点P 的坐标为(1，1)，若将点P 绕原点顺时针旋转45°，得到点P 1，则点P 1的坐标为_______.
三角形、梯形中位线
【要点回顾】
1、连结三角形两边中点的线段叫；
2、三角形中位线定理；
3、连结梯形两腰中点的线段叫；
4、梯形中位线定理；
5、中点四边形必是，它的形状取决于外围原四边形的的关系；
当外围四边形时，所得四边形是矩形；当外围四边形时，所得四边形是菱形；当外围四边形时，所得四边形是正方形；
【典型例题】
C O
B A
y
x 第2题图
第3题图
【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。

求证：MD ⊥MC 。

分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM 与CB 的延长线交于E 点进行证明。

【例2】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC
＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

分析：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP 交AC 于点Q ，由△ABP ≌△AQP 知AB ＝AQ ＝14，又知M 是BC 的中点，所以PM 是△BQC 的中位线，于是本题得以解决。

【练习】
1、如图，EF 为梯形ABCD 的中位线，AC 是对角线，已知:2:3AEFD EBCF S S =，则:ACD ABC S S ∆∆等于（）A 、2：3 B 、3：5 C 、2：7 D 、3：7 ；
2、如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=3CD ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，那么，EF 与AB 的比为（）A 、1：3 B 、1：4 C 、1：5 D 、2：3 ；
3、证明：连结四边形一组对边中点的线段，小于两条对角线的和的一半；
第1题
F
E D C
B
A
第2题
F E D C B
A
例1图
N
M D
C
B A 例2图
Q
P M
D
C
B
A。