第九章质点动力学习题解答

习 题

9-1 如图9-9所示，一质量为700kg 的载货小车以v=1.6m/s 的速度沿缆车轨道下降，轨道的倾角a =15°，运动总阻力系数f =0.015；求小车匀速下降时缆索的拉力。又设小车的制动时间为t=4s ，在制动时小车作匀减速运动，试求此时缆绳的拉力。

图9-9

0sin 1T =-+αmg F F

)cos (sin cos sin sin 1T αααααf mg fmg mg F mg F -=-=-=

N 1676)15cos 015.015(sin 8.9700=︒⨯-︒⨯⨯=

2m/s 4.04

06.1=-=a ma mg F F =-+αsin 2T

N 19564.07001676sin 1T 2T =⨯+=+=+-=ma F ma F mg F α

9-2 小车以匀加速度a 沿倾角为a 的斜面向上运动，如图9-10所示。在小车的平顶上放一重W 的物块，随车一同运动，试问物块与小车间的摩擦因数μ应为多少？

图9-10

y 方向

0sin cos cos N =--αααF W F

αμαtan tan N N F W F W F +=+=

α

μt a n 1N -=

W F x 方向 ma W F F =-+αααsin cos sin N

ma W F F =-+ααμαsin cos sin N N

a g

W W F =-+ααμαsin )cos (sin N a g

W W W =-+-ααμααμsin )cos (sin tan 1 g

a =--+ααμαμαsin tan 1cos sin g

a =-+-+αμααμααμαtan 1sin tan sin cos sin g

a =-+αμαααμtan 1sin tan cos g

a =-αμαμtan 1cos /1 g

a =-αμαμsin cos 1

)sin (cos αμαμ-=

g

a g a a +=ααμsin cos 分析得 g a a +≥ααμsin cos

9-3 如图9-11所示，在曲柄滑道机构中，滑杆与活塞的质量为50kg ，曲柄长300mm ，绕O 轴匀速转动，转速为n=120r/min 。试求当曲柄OA 运动至水平向右及铅垂向上两位置时，作用在活塞上的气体压力。曲柄质量不计。

图9-11 222221m/s π8.4mm/s π4800)60

120π2(300==⨯

⨯=a N 2369π8.450211=⨯==ma F

02=a

022==ma F

9-4 重物A 和B 的质量分别为kg 20=A m 和kg 40=B m ，用弹簧连接，如图9-12所示。重物A 按)π2cos(t A y =的规律作铅垂简谐运动，其中振幅A =10mm ，周期T=0.25s 。试求A 和B 对于支承面的压力的最大值及最小值。

图9-12

F W y

m A A --= )(g y

m g m y m W y m F A A A A A -=-=-= 0N =-+B W F F

y

m g m m g y m g m F W F A B A A B B -+=--=-=)()(N )π2cos()π2(

)(2t T

T A m g m m A B A ++= )25

.0π2cos()25.0π2(01.020602t g ⨯⨯+= )π8cos(π8.125882t += N 3.714π8.125882max =+=F

N 7.461π8.125882max =-=F

9-5 振动筛作振幅A =50mm 的简谐运动，当某频率时，筛上的物料开始与筛分开而向上抛起，试求此最小频率。

)sin(t A y ω=

y

m W F =-N )]sin([)(2N t A g m y

g m F ωω-=+= )(2m i n N ωA g m F -=

抛起时 0m i n N =F

rad/s 1405

.08.9===

A g ω 9-6 如图9-13所示。质量为m 的小球M ，由两根各长l 的杆所支持，此机构以匀角速度ω绕铅直轴A

B 转动。如AB =2a ，两杆的各端均为铰接，且杆重忽略不计，试求两杆的内力。

图9-13

θθθωcos cos cos 2BM AM F F ml +=

mg F F BM AM --=θθsin sin 0

即

2ωml F F BM AM =+ a mgl F F BM AM =

- a g a ml F AM

2)(2+=ω a

g a ml F BM

2)(2-=ω

9-7 为了使列车对于钢轨的压力垂直于路基，在轨道弯曲部分的外轨比内轨稍高，如图9-14所示。试以下列数据求外轨高于内轨的高度，即超高h 。轨道的曲率半径r =300m ，列车速度v=60km/h ，轨距b=1.435m 。

图9-14 b

h mg mg v m

==θρsin 2 mm 136m 136.08.9300435.1)3600100060(22==⨯⨯⨯==g b v h ρ

9-8 球磨机是利用在旋转筒内的锰钢球对于矿石或煤块的冲击同时也靠运动时的磨剥作用而磨制矿石粉或煤粉的机器，如图9-15所示。当圆筒匀速转动时，带动钢球一起运动，待转至一定角度a 时，钢球即离开圆筒并沿抛物线轨迹下落打击矿石。已知当'4054︒=α时钢球脱离圆筒，可得到最大的打击力。设圆筒内径D =3.2m ，试求圆筒应有的转速。

图9-15

22

ωD a = 22cos ωαD m

ma mg == D

g αωcos 2=