随机过程习题与答案

西 南 交 通 大 学

本科生考试试卷B

课程名称 随 机 过 程

二零零三年二零零四年第一学期 考试日期

班级 学号 姓名 成绩

一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时

间也是随机的若令为t 时刻的队长)(t X 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间

}),({},),({T t t Y T t t X ∈∈是随机过程吗为什么

二

试写出随机过程

),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形 1若A 是在(上均匀分布的随机变量)1 ,1−−ω在(0, 2π)上服从均匀分布

而Θ为常数 2若A 服从上均匀分布)1 ,1(−Θ服从(0, 2π)上均匀分布而ω为常数

三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程每

位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t )是[0, t )时段内店主从订阅中所获得总收入试求 1)]

([t Y E 即[0, t )时段内总收入的平均收入

2

)]([t Y D

四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t

电路中电流X (t )具有概率分布

2121)(i p C C

t X −

因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论{的平稳

性

}0),(≥t t

X

五若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n

分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程

此过程是马氏过程吗为

什么

六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状

态空间及转移概率矩阵

七

设一齐次马氏链的概率转移图如下图}0),({≥n n X 且已知其初始分布为

3

1})0({=

=i X

P 3,2,1=i

2

1

试求

1 二步转移概率矩阵

2 3)3(,2)1({==X X P }2)5(,=X

参考解答

一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时

来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的

若令)(t X 为时刻的队长

t 即正在被服务的顾客和等待服

务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间

}),({},),({T t Y T t t X ∈∈是随机过程吗t 为什么

解答

若令X (t )为t 时刻的队长,则固定t 时, X (t )为一随机变量,其可能取值为

0,1,2,…, 其参数空间为表示t 时刻的状态,故状态空间为因此为一随机过程}0|{≥=t t T ,n t X =)(},2,1,0{L =E , }0),({≥t t X

若令Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待的时间, 则固定t 时, Y (t ) 为一随机变量,其可能取值为即其参数空间为为t 时刻的状态,故状态空间为因此亦为一随机过程0≥t , }0|{≥=t t T ,s t X =)(}0|{≥=s s E ,}0),({≥t t Y 二

试写出.

(1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数

解答(

)sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1

取 12

A =±得随机过程的两个样

本函数

图形如图1

11

(sin(x t ω=+Θ2))

2

1

()sin()

2t x t t ω=−+Θ

(2)若 服为常

Θ从(0,2),

,U A πω数 解答 ()12,ππ=

2

()sin()cos()2

sin()sin()

X t A t

A t X t A t A t π

ωωωπωΘ=+==+=−取

三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度的一个泊松过程图2

每

为6

位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t [0t )时段内)是, 店主从订阅中所获得总收入试求

1

)]([t Y E 即[0, )时段内总收入的平均收入

t

2

)]

([t Y

D

解答(1) 法一 设N(t)为订阅杂志的顾客数, 为订阅j 年的顾客数

()j N t 123()()()()()N t N t N t N t N t ⇒=++且 (6)t π

故由已知π

123232323()3),()(2),

()()

()[0,)()10()15()()()10()15()531021550()2()100()225()

2531002225500N t t N t t N t t Y t t t N t N t EY t t EN t EN t t t t t

DY t t DN t DN t t t t t

ππ++∴

=++=×+×+==++=⋅+⋅+=111服从服从服从均为泊松过

程记

为内店主的总收

入

则

Y(t )=5N 5EN 5D N

法二 设店主从第n 个订阅者处获利X(n)则

5 10 15

X(n) p k 1/2 1/3 1/6

X(n)相互独且 立 EX(n)=50/6, DX(n)=500/6

()

()()

N t Y t X n =∑总获利100221()[(()/())]

(()/())(())

5050(())(())506

6(2)

()(()())[[(()())/()]]500

(

())5006

n k k EY t E E Y t N t E Y t N t k P N t k kP N t k E N t t

DY t E Y t EY t E E Y t EY t N t E N t t =∞

=∞==========−=−==∑∑

四

在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t

电路中电流X (t )具有概率分布