三角形内角平分线的性质定理的证明

三角形内角平分定理证明

三角形内角平分定理证明哎呀，今天咱们来聊聊三角形内角平分定理。

这个听上去挺复杂的名词，实际上就是个简单的概念，像喝水一样容易。

你想啊，三角形里有三个角，对吧？然后，如果你把其中一个角平分成两个角，这个时候就有个神奇的事情发生了。

好啦，别担心，咱们不去追求那些晦涩的数学公式，咱们就用生活中的例子来理解一下，保证让你觉得豁然开朗，脑洞大开！想象一下，你和你的朋友在吃披萨。

你们点了一份超级大号的披萨，给你们的三角形分割方法就是将这块披萨的角分成两份。

比如说，披萨的一个角是你们喜欢的香肠口味，另一个角是好友偏爱的素食口味。

为了公平起见，你决定把这个角一分为二。

嘿，结果如何？每个人都能吃到他们想要的口味，还能保证每块披萨的大小差不多，听起来是不是很不错？这就像内角平分定理的基本思想。

咱们先看看这个定理是啥。

它的意思是，如果你有一个三角形，某个角被平分成两个小角，那么这条平分线就会把对面的边分成成比例的两部分。

简单说，就是说，分了两块披萨，吃的方式也得差不多。

你会发现，数学在生活中无处不在，简直就像你身边的空气。

咱们用个更有趣的比喻来说明这个定理。

想象一下，你在一个游乐园里，玩着一个巨大的旋转木马。

这个旋转木马就像一个三角形，木马的中心就是角的顶点。

而当你坐在木马上，旋转的时候，你和你的朋友就像是三角形的边。

平分线就像是一个小女孩，坐在木马上，随意地把你们两个分成两边。

然后，在她旋转的过程中，旁边的小摊子就会分出相同的糖葫芦给你们，每人一半，公平又好吃，真是美滋滋。

咱们再来聊聊这个定理的应用。

想象一下，你要装修你的房子，想要画一面漂亮的墙面画，或者设计一个花园。

你可以用这个定理来帮助你安排每个花坛的位置，确保每个区域的美感都能达到最佳状态，简直就是个艺术家。

用心规划，不仅让花园变得赏心悦目，还能让邻居们羡慕得眼红。

咱们得说说这个定理的魅力所在。

就像一块精美的拼图，内角平分定理就是其中的一块，让整个三角形更加完整。

初中数学三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题 1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD 的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB －∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

内角角平分线定理

内角角平分线定理
内角角平分线定理指的是在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

此外，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

综合这两个定理，可以得到结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

此外，在三角形中，内角角平分线定理还包括三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例。

具体来说，在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC。

这个定理还可以用于推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。

三角形内角平分线性质定理

三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理有两个，其中一个是：若AD为△ABC内角平分线，则BD:DC=AB:AC；在该文中记为性质定理一。

另一个就是斯库顿定理。

斯库顿定理
斯库顿定理：若AD为△ABC内角平分线，则
AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\
证明：作∠CDE=∠BAD=∠CAD，显然∠ADE=∠ABD，那么
△ADE∽△ABD，△DCE∽△ACD，所以
\begin{aligned} \frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AD}\\
\therefore\quad AD^2&=AB\cdot AE\\ \end{aligned}\\
\begin{aligned}
\frac{CE}{CD}&=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\\
\therefore\quad BD\cdot CD&=AB\cdot CE\\
\end{aligned}\\
两个式子相加，即得所证。

推论
假设△ABC的三条边分别为a、b、c，由性质定理一可得：若AD为△ABC内角平分线，则
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\
再由斯特瓦尔特定理，可知
AD^2=bc-\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\
而斯库顿定理
\begin{aligned} AD²&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\ &=bc-BD\cdot CD \end{aligned}\\
所以
BD\cdot CD=\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\。

角分线长定理

角分线长定理1. 三角形内角平分线长定理- 定理内容：在 ABC中，AD为∠ A的平分线，则AD^2=AB· AC - BD· DC。

- 证明（利用面积法）：- 设 ABC中，AD为∠ BAC的平分线，∠ BAD=∠ CAD = α。

- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)absin C。

- 因为S_{ ABC}=S_{ ABD}+S_{ ACD}。

- 所以(1)/(2)AB· ACsin2α=(1)/(2)AB· ADsinα+(1)/(2)AC· ADsinα。

- 由二倍角公式sin2α = 2sinαcosα，可得AB· AC·2sinαcosα=(AB + AC)· AD·sinα。

- 即AD=(2AB· ACcosα)/(AB + AC)。

- 再根据余弦定理在 ABD和 ACD中分别表示cosα，经过化简可得AD^2=AB· AC - BD· DC。

2. 三角形外角平分线长定理- 定理内容：在 ABC中，AD为∠ A的外角平分线，交BC的延长线于D，则AD^2= - AB· AC+BD· DC。

- 证明（类似内角平分线长定理的证明思路，利用面积关系和余弦定理等知识）：- 设∠ CAD=α，∠ BAD=π-α。

- 同样根据三角形面积关系S_{ ABC}=S_{ ACD}-S_{ ABD}。

- 按照面积公式S = (1)/(2)absin C列出等式，再结合余弦定理进行推导，最终得出AD^2= - AB· AC + BD· DC。

1. 在三角形边长计算中的应用- 例：在 ABC中，AB = 5，AC = 4，∠ A的平分线AD交BC于D，BD = 3，求AD的长。

- 解：根据角平分线长定理AD^2=AB· AC - BD· DC。

高中数学角平分线定理

高中数学角平分线定理角平分线定理是高中数学中一个重要的几何定理，它是在三角形中研究角平分线性质时的一个基本定理。

角平分线定理是指：若一条线段从一个角的顶点出发，平分这个角，并且与这个角的两边相交于两点，那么这条线段就称为这个角的角平分线，并且它将这个角分成两个相等的部分。

角平分线定理在解决三角形问题时具有重要的作用。

我们可以通过角平分线定理来证明一些性质或者解决一些问题。

下面我们将介绍角平分线定理的一些应用。

角平分线定理可以帮助我们证明两条角平分线互相垂直的性质。

假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要证明BD和CD相互垂直。

根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD 的度数相等。

同样地，角BAD和角CAD被角平分线CD所平分，所以角BAD和角CAD的度数也相等。

因此，角BAD和角CAD的度数相等，从而BD和CD相互垂直。

角平分线定理还可以帮助我们解决一些关于角度比例的问题。

假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要求证BD和CD的长度比。

根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD的度数相等。

根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度。

因此，角BAD和角CAD的度数都是90度。

根据三角形中角的度数之和等于180度，我们可以得知角ABC的度数为180度- 90度- 90度= 0度。

这意味着角ABC是一个平角，也就是说，角ABC是一条直线。

根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度，所以它们的度数都是90度。

因此，根据角平分线定理，BD和CD的长度比为1:1。

除了上述应用，角平分线定理还可以帮助我们证明一些关于相似三角形的性质。

假设在三角形ABC和三角形DEF中，角BAD和角CAD的角平分线分别与角EDF和角FDF的角平分线相交于点D和点E，我们想要证明三角形ABC和三角形DEF相似。

相似三角形的内角平分线

相似三角形的内角平分线相似三角形是几何学中重要的概念之一，它能够帮助我们研究图形的相似性质和相关性质。

相似三角形中的内角平分线是一个有趣而且实用的话题。

本文将通过详细分析和举例说明相似三角形内角平分线的性质和应用。

1. 相似三角形的基本定义在几何学中，两个三角形被认为是相似的，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

记作∆ABC ∼ ∆DEF。

在相似三角形中，有一条重要的性质，即它们的内角平分线也是相似的。

2. 相似三角形内角平分线的性质对于相似三角形∆ABC ∼∆DEF，设∠BAC、∠CBD、∠EDE分别是三角形∆ABC和∆DEF的内角，则有以下性质：- ∠ACB的平分线在边AB和边AC上分别交于点D，∠DFE的平分线在边DE和边DF上分别交于点E，则线段CD与线段EF相似且比例相等，即CD/EF = AC/DE。

- ∠BCD的平分线与边BC和边BD分别交于点F，∠AED的平分线与边AE和边AD分别交于点G，则线段CF与线段AG相似且比例相等，即CF/AG = BC/AB。

- ∠EDE的平分线在边DE和边DF上的交点为点E，EF/DE与DF/DE相等，即EF/DE = DF/DE。

3. 相似三角形内角平分线的应用相似三角形内角平分线的性质可以应用于各种几何问题中，例如：- 角平分线定理：利用相似三角形内角平分线的性质，可以证明两个角平分线相交于三角形的内心。

- 求比例问题：已知两个相似三角形的某些边的长度，可以通过内角平分线的比例关系推导其他边的长度。

- 分割问题：可以利用相似三角形内角平分线的性质将一个三角形分割为多个相似的子三角形，从而进行进一步的研究和计算。

举例说明：假设∆ABC ∼ ∆DEF，已知AC = 6 cm，DE = 3 cm，且∠BAC =∠EDF = 60°。

根据相似三角形内角平分线的性质，可以推导出以下结果：- 设∠ACB的平分线与边AB和边AC的交点为点D，∠DFE的平分线与边DE和边DF的交点为点E。

三角形内角平分线的性质定理的证明

三角形内角平分线的性质定理的证明本文介绍的是三角形内角平分线的性质定理及其证明。

该定理可以分为两个部分，即三角形内角平分线分对边为两部分，且这两部分与两邻边成比例。

现在我们将介绍四种不同的证明方法。

方法一：利用平行线作等比代换。

我们作DE//BC，DE交AC于点E。

根据已知条件∠1=∠2，我们可以得到∠2=∠3.同时，由平行线的性质可知DE=EC。

因此，我们可以得到AD/AC=DE/EC=BD/BC，即AD/BD=AC/BC。

方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换。

我们作BE//DC，BE交AC的延长线于点E。

根据已知条件∠1=∠2，我们可以得到∠2=∠3.同时，由平行线的性质可知BC=CE。

因此，我们可以得到AD/AC=AE/CE=BD/BC，即AD/BD=AC/BC。

方法三：进行逆推分析。

我们可以在AC的延长线上作一个CE=BC，然后连接BE。

由于∠2=∠ACB，我们可以得到∠3=∠E。

因此，BE//DC，从而可以得到AD/AC=AE/CE=BD/BC，即AD/BD=AC/BC。

方法四：改变三角形的内角大小。

我们可以改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC，使之与△XXX相似并作等量代换。

在∠CAB的同侧，作∠CAE=∠B，AE与CD 的延长线交于点E。

由于∠1=∠2，我们可以得到△ACE∽△BCD。

因此，我们可以得到AD/AC=AE/CE=BD/BC，即AD/BD=AC/BC。

以上是四种不同的证明方法，它们都可以证明三角形内角平分线分对边为两部分，且这两部分与两邻边成比例的性质定理。

角平分线三个定理-概述说明以及解释

角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。

它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。

这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。

在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。

在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。

以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。

角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。

第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。

换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。

这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。

第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。

这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。

第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。

这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。

利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。

角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。

它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。

通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。

1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。

角平分线定理比例关系证明

角平分线定理比例关系证明
关系是:三角形内角平分线所对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。

三角形的一个角的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。

角平分线成比例定理是数学中的一种定理，该定理指出三角形内角平分线所对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。

在三角形中的定义。

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。

由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

三角形的内角角平分线定理

三角形的内角角平分线定理今天咱们聊聊三角形的内角角平分线定理。

这听起来有点高大上，但其实这玩意儿跟我们的生活也有不少关系呢。

你想啊，三角形就是那种既简单又有趣的形状，三条边、三个角，真是个小巧玲珑的家伙。

三角形的内角角平分线，就是把一个角分成两个小角的线。

就像你跟朋友分一块蛋糕，哎，给你一半，给我一半，公平公正。

大家都知道，分享是一种美德嘛。

那这角平分线有什么神奇之处呢？你猜，它跟三角形的边长有直接关系呢。

这就像一个金字塔的基石，稳稳当当。

假如你在一个三角形里画出一条角平分线，那这条线把对面的边分成了两个部分，这两个部分的长度比例，跟角平分线所对的两个角的比例是一样的，简直就是天上掉下来的馅饼，谁不想吃呢？这一点，放在现实中也特别容易理解，比如说，你和朋友一起买东西，你出的钱和朋友出的钱，如果你们的付出是成比例的，那买到的东西肯定也会更公道，嘿嘿，这就是个道理。

想象一下，三个人围坐在一张圆桌旁，聊着聊着，就开始划分谁出多少钱的问题。

每个人的贡献就像三角形的边长，内角的分平线就像你们在达成共识，别一个人出得多，一个人出得少，这样可不好，大家一起愉快，才是最重要的。

再想想，如果没有这个角平分线，可能就会出现争吵，气氛瞬间变得冷淡，这可就不好了。

我们再来说说这条角平分线的妙用。

在一些设计和建筑中，这个定理可是相当靠谱的哦。

设计师们常常利用这些数学原理来平衡美感和实用性。

比如说，在一个公园里，花坛的布局如果不讲究对称和比例，大家走来走去都感觉不自在，怪怪的。

三角形的内角角平分线定理就像设计师的隐形助手，让一切看起来更加和谐。

大家看着顺眼，心情也会愉快。

角平分线还可以帮助我们找到三角形的内心世界，没错，就是“内心”。

它跟三角形的重心、外心等都有千丝万缕的联系。

这些数学知识的奥妙，就像人际关系一样，复杂但又有趣。

就像有时候你会觉得，啊，我跟朋友的关系简直如同三角形一样，有时候你是那个角，有时候又是边，大家互相支持着，才能构建一个温暖的小社会。

证明三角形的三条角平分线相交于一点

证明三角形的三条角平分线相交于一点一、概述三角形是初中数学中的重要概念，而其三条角平分线的相交性质更是三角形的重要性质之一。

那么，我们如何来证明三角形的三条角平分线相交于一点呢？本文将分步骤进行详细的证明。

二、定义和性质在开始证明之前，我们先来了解一下三角形的三条角平分线的概念和性质：1. 三角形的三条角平分线分别是指从三个顶点出发，分别平分三角形的内角的线段。

2. 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的内心。

三、证明证明的主要思路是利用角平分线的性质和几何定理，分别证明三条角平分线相交于一个点，并得出结论。

1. 先证明角平分线相交于一点：证明思路：对于三角形ABC，我们任取一个角A的角平分线AD，再任取一个角B的角平分线BE，我们需要证明这两条角平分线相交于一点。

而根据角平分线的性质，角平分线将角分成两个相等的角，即∠BAD ≌∠CAD，∠BCE ≌ ∠ABE。

我们可以利用两个相等的角组成的角相等的性质，得到∠DAB ≌ ∠EBA。

再根据角的性质，我们知道如果两个角分别相等于一个角，则这两个角也相等，即∠DAB ≌ ∠EBA ≌ 90°，所以根据角的性质我们知道∠DAB=∠EBA=90°。

因此∠DAB和∠EBA互为补角。

2. 再证明三条角平分线相交于一点：证明思路：在了解了角平分线相交于一点的性质后，我们再进行三条角平分线相交于一点的证明。

对于三角形ABC，我们有三个角A的角平分线AD、B的角平分线BE和C的角平分线CF，我们需要证明这三条角平分线相交于一点。

根据我们在前面证明过的结论，我们知道∠DAB ≌ ∠EBA，∠BAD ≌ ∠CAE，这意味着∠DAB和∠EBA互为补角、∠BAD 和∠CAE也互为补角。

而根据数学中的一个常识，如果两个角互为补角，那它们的角平分线将相交于一点。

因此我们可以得出结论：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的内心。

四、结论通过上述证明过程，我们成功地证明了三角形的三条角平分线相交于一点的几何性质，并得出结论：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心。

角平分线定理的多种证明方法

三角形内角等分线定理的多种证实方法之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日已知,如图,AM为△ABC的角等分线,求证AB／AC=MB／MC证实：方法一：（面积法）三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM,三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM,所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形,面积的比等于底的比,即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM所以AB／AC=MB／MC方法二（相似形）过C作CN平行于AB交AM的延长线于N三角形ABM相似三角形NCM,AB/NC=BM/CM,又可证实∠CAN=∠ANC所以AC=CN,所以AB／AC=MB／MC方法三（相似形）过M作MN平行于AB交AC于N三角形ABC相似三角形NMC,AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证实∠CAM=∠AMN所以AN=MN,所以AB/AC=AN/NC所以AB／AC=MB／MC方法四（正弦定理）作三角形的外接圆,AM交圆于D,由正弦定理,得,AB/s in∠BMA=BM/sin∠BAM,AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,所以AB／AC=MB／MC阅读下面材料,按要求完成后面作业.三角形内角等分线性质定理：三角形内角等分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例. 已知：△ABC中,AD是角等分线（如图1）, 求证：=.阐发：要证=,一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与D C、AC 地点的三角形相似,现在B、D、C在一条直线,△ABD与△ADC不相似,需要推敲用此外方法换比.在比例式=中,AC正好是BD、DC、AB的第四比例项,所以推敲过C作CE∥AD交BA的延长线于E,从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE,这样,证实=,就可转化证=.（1）完成证实过程：证实：（2）上述证实过程中,用到了哪些定理（写对两个即可）答：用了：①____________；②_____________.（3）在上述阐发和你的证实过程中,主要用到了下列三种数学思惟的哪一种：①数形结合思惟②转化思惟③分类谈论思惟答：____________.（4）用三角形内角等分线定理解答问题：如图2,△ABC中,AD是角等分线,AB=5cm,AC=4cm,BD=7cm,求BC之长.（1）证实：过点C作CE//AD交BA的延长线于点E,则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA,所以AE=AC,由CE//AD,可得=,∴=.（2）两直线平行,同位角相等；等腰三角形的剖断；三角形相似的剖断的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边订交,所构成的三角形与原三角形相似.（3）②；（4）“略”时间：二O二一年七月二十九日。

三角形内角平分线性质定理的多种证明

三角形内角平分线性质定理的多种证明
建筑学中的三角形内角平分线性质定理是建筑学的重要定理，阐释三角形内角
等分线的定义和性质，且被广泛应用于建筑设计、建筑物结构确定等多种领域。

而在证明三角形内角平分线性质定理中，有两种最常见的证明方法。

第一种证明方法是几何形式证明法。

根据将三角形的三条边分别命名为a、b、c，将三角形内角分别命名为α、β、γ，根据三角函数关系可将。

α：β：γ=a：b：c，进行数学验证，即构造出三角形 ABC 的任意三角形，满足三角函数关系，
该等式的三边比等于角比，从而证明该定理的正确性。

第二种证明方法是代数形式证明法。

根据三角形内角平分线性定理，在三角形
内角等分线上，B 和 C 连接组成的角π，分别为α/2 和γ/2，将α：β：γ=a：b：c 带入，可得：a/2：b/2：c/2，{a/2，b/2，c=2} 三数的等比，且等比的第一个数为π，因而可推断出 {1，a/b，c/a} 为等比，从而最终证明了该定理的正确性。

以上两种方法都可有效证明三角形内角平分线性定理，其中几何形式证明法则
更多地体现了定理的理论性和直观性，而代数形式证明法则更多考虑了数学方面的实际运用，能更深入地推导出三角形内角平分线性质定理的正确性，从而引申出更多几何图形结构的信息。

这一定理也是建筑设计中非常重要的，可指导建筑设计师进行有效地协调造型与功能的空间结构，从而最大化地满足建筑的艺术性和灵活性的设计要求。

三角形的角平分线几何语言

三角形的角平分线几何语言三角形的角平分线是指从三角形的顶点出发，将对应的角分成两个相等的角的直线。

这条直线称为角平分线。

角平分线是三角形的重要性质之一，它在几何学中有着广泛的应用。

我们来看一下角平分线的定义和性质。

设ABC为一个三角形，角A 的角平分线交边BC于点D。

则有以下性质：1. 角BAD和角CAD是相等的，即角BAD=角CAD。

2. 点D在边BC上。

接下来，我们来探讨一些与角平分线相关的重要定理。

一、角平分线定理角平分线定理是指：如果一条直线分别平分一个角的两个相邻边所对应的两个内角，那么这条直线就是该角的角平分线。

证明：设角BAD和角CAD是相等的，点D在边BC上。

我们需要证明角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。

1. 证明角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。

由三角形内角和定理可知，角BAD+角BDA+角ADB=180°，角CAD+角CDA+角ADC=180°。

而角BDA和角CDA是相等的，因为它们都是直角，即角BDA=角CDA。

所以，角BAD+角BDA+角ADB=角CAD+角CDA+角ADC。

将已知条件代入，即有角BAD+角BAD+角ADB=角CAD+角CAD+角ADC。

化简得2角BAD+角ADB=2角CAD+角ADC。

进一步化简可得2角BAD=2角CAD+角ADC-角ADB。

由已知条件可知角ADC=角ADB+角BDA，代入上式得2角BAD=2角CAD+角ADB+角BDA-角ADB。

化简得2角BAD=2角CAD+角BDA。

再次化简可得角BAD=角CAD+角BDA。

这就证明了角BAD和角CAD所对应的两个内角相等。

2. 证明点D在边BC上。

由角平分线的定义可知，直线AD是角A的角平分线，即角BAD=角CAD。

而根据角BAD和角CAD所对应的两个内角相等的证明可知，角BAD=角CAD+角BDA。

将已知条件代入，即有角CAD=角CAD+角BDA。

化简得角BDA=0。

初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题 1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD 的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。