高等代数-7.2线性变换的运算
线性变换的运算
§7.2 线性变换的运算
2、基本性质 （1）满足结合律：( A B ）满足结合律：
)
C= A ( B C
)
（2） E A = A E = A，E为单位变换 ） 为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地， ）交换律一般不成立，即一般地，
A B
≠
BA
（4）乘法对加法满足左、右分配律： ）乘法对加法满足左、右分配律：
)
0 为零变换. （iii） + A = A + 0 = A , 0为零变换 ） 为零变换
§7.2 线性变换的运算
（3）负变换 为线性空间V的线性变换 的线性变换， 设 A为线性空间 的线性变换，定义变换 − A 为：
( − A ) (α ) = − A (α ) ,
注：① ( − A ) + A = 0 ② 减法
f ( x ) = am x m + L + a1 x + a0 ∈ P[ x ], 设
A 为V的一个线性变换，则 的一个线性变换， 的一个线性变换
f ( A ) = am A m + L + a1 A + a0 E
也是V的一个线性变换， 也是 的一个线性变换，称 f ( A )为线性变换 A 的 的一个线性变换 多项式. 多项式
A −1也是 的线性变换 (1) 可逆变换 A的逆变换 也是V的线性变换 的线性变换.
(2) 线性变换 A可逆 ⇔ 线性变换 A是一一对应 是一一对应. (3) 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基， A 为V的 是线性空间V的一组基 的一组基， 的 线性变换， 线性变换，则 A可逆当且仅当 线性无关. 线性无关 (4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关 的向量组. 的向量组
《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
高等代数章节件
(1, 2, …, n)B=(1, 2, …, n)T1AT. 所以 B=T1AT. 即:
同一线性变换关于两个基的矩阵是相似的. 反之, 两相似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
7.4 不变子空间
设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 定义 设W是V的一个子空间, 如果(W)W, 则称W在线性变换 之下不变, 或说W是的一个不变子空间. 例 1 V本身和零子空间{V}是任何变换的不变子空间. 例 2 的象Im()和核Ker()都是的不变子空间. 例 3 任何一个子空间都是位似变换的不变子空间. 例 4 设L是V3中一条过程原点的直线, 是V3的一个以为轴的旋 转变换. 那么L是的一个一维不变子空间, 过程原点与L垂直的平面 H是的一个二维不变子空间. 例 5 设F[x]是F上的一元多项式所成的向量空间, Fn[x]是次数 不超过n的多项式及零多项式所成的子空间. 则Fn[x]是求导变换的不 变子空间.
一个 (nr)r 阶零矩阵
如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1 的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2 是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是
A1 O O A2
|W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵
n阶矩阵A叫线性变换关于基{1, 2, …, n}的矩阵. 对于给定的线 性变换和取定的基, 它是唯一确定的.
将等式(1)写为矩阵的形式就是
((1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)A. 设= x11+x22+…+xnn是V的任一向量. 所以
第七章线性变换
第七章线性变换一．综述在高中数学和数学分析课中曾学习过函数的概念,那是把函数的定义域定义在某数集（特别是实数域）上.我们同样可以将函数定义在向量空间上来研究.在第五章矩阵代数,第六章向量空间以及第一章映射的基础上,进一步讨论向量空间上的一些特殊的简单的函数——数量函数和向量函数,它们都是线性代数的主要研究对象,并是其他科学中常用的函数.本章只研究一种简单的向量函数——线性变换.教材内容大致可分为四部分：第一部分主要讨论向量空间的线性变换的概念、性质,以及一个变换是否为线性变换的判别；第二部分主要讨论线性变换的运算和运算法则；第三部分主要讨论n维向量空间的线性变换的确定、在某基下的矩阵,由此建立线性变换集合与数域F上所有n阶方阵集合的一一对应且为同构对应；向量与像的坐标变换公式,线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；第四部分主要讨论线性变换的本征值、本征向量的概念与求法,进一步推导得出矩阵相似对角形的条件.这四部分是紧密联系的,前部分内容都为后部分内容的理论基础,而后部分内容又是前部分内容的巩固与发展,由此逐部分的发展和推广得到完整的线性变换概念、性质和有关计算技能,为下面讨论（若当型）欧氏空间奠定了基础.二．教材重点线性变换的定义、性质,线性变换的运算和算律,n维向量空间的线性变换在某基下的矩阵,两者之间的内在联系,矩阵相似对角形的判定及有关对象的求法,向量空间分解为线形变换的根子空间直和的定理的证明.其中线性变换的运算,它和矩阵之间的联系,矩阵的特征根与特征向量的求法,是学好本章的基础. 三．难点抽象的线性变换的概念、加法、乘法的定义,线性变换集合与矩阵集合之间的对应关系使得抽象的线性变换的讨论具体为矩阵的讨论,因而在教学中要从熟知的解析几何实例引入,运用具体模型进行分析,由已知引到未知,指导学生正确地抽象出线性变换概念；在讲特征根、特征向量时,要注意演示具体例子,清晰地培养学生认知、计算能力,逐步建立正确概念.四．教学目的和要求分解到各节,但整体上要注意通过实例抽象出概念,进行逻辑推理、判断得出定理,再由抽象的概念、定理去解决有关的实际问题的教学思想,使学生认识到线性变换来源于实践,又从线性变换与矩阵的内在联系逐步培养学生的辨证唯物主义观点.7.1 线性映射一．教学思考1.本章仅讨论向量空间中一种简单的向量函数——线性变换.但映射与变换的关系前知,所以介绍线性变换先介绍更一般的概念——线性映射.2.线性映射是本节的基本概念,它有丰富的内容,首先它是向量空间到向量空间的一个映射,其次它保持向量空间的两种运算,它对研究线性代数非常有用.明显它是向量空间的一个同态映射.要注意此概念学生理解是一个难点,应强调指出不要只注意到映射的关系法则,不涉及向量的运算.3.讲此概念时,引例从已知的几何知识、数学分析知识等阐明线性映射的实质,然后引入定义使学生反复认识.4.内容中线性映射的判定是定义条件的综合,有些性质课本中没有介绍,如保持相关,但要对照与同构映射的差异（如不保无关）.5.本节方法：1）验线性映射；2）线性映射的像与核的求法.二．教学内容、要求内容：线性映射的定义、性质,线性映射的像与核.要求：理解掌握线性映射的定义、性质,像与核的求法.三．教学过程1.线性映射的定义及例子定义1 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,σ是V 到W 的一个映射；若对,,V a F ξη∀∈∀∈都有：1）()()()σξησξση+=+,2）()()a a σξσξ=；则称σ是V 到W 的一个线性映射.例子（零映射、单位映射、位似变换等等,略）2.线性映射的判定设σ是V 到W 的一个映射,则σ是V 到W 的一个线性映射⇔对,,,V a b F ξη∀∈∀∈都有()()()a b a b σξησξση+=+.3.线性映射的性质设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）(),()()o o σσασα=-=-.2）对11,,,,,n n a a F V ξξ∀∈∀∈ 有1111()()()n n n n a a a a σξξσξσξ++=++ .3）线性映射把线性相关组变为线性相关组.4.线性映射的其它性质定义2设σ是V 到W 的一个线性映射,1V V ⊆,则{}1()|V σξξ∈（即1V 中所有元素在σ下的像的集合）是W 的一个子集,叫做1V 在σ下的像,记作1()V σ；另一方面,设1W W ⊆,则{}1|,()V W ξξσξ∈∈（即1W 中所有元素在σ下的原像的集合）是V 的一个子集,叫1W 做在σ下的原像.定理7.1.1设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）V 的任一子空间在σ下的像是W 的一个子空间；2）W 的任一子空间在σ下的原像是V 的一个子空间.定义：向量空间V 在σ下的像叫做σ的像,记作Im()σ（即Im()σ=()V σ={}()|V σξξ∈；W 的零子空间{}o 在σ下的原像叫做σ的核,记作()Ker σ（即()Ker σ={}|,()V o ξξσξ∈=）.定理7.1.2设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）σ是满射⇔Im()σ=V ；2）σ是单射⇔()Ker σ{}o =.7.2 线性变换的运算一．教学思考1．一个向量空间V 到自身上的线性映射,叫做V 的线性变换,因而上节关于线性映射的性质本节仍然成立.不同的是V 的向量在线性变换下的象仍是V 中的向量,那么注意有关性质中出现运算及特殊向量（如零向量）都是V 中的.2．本章只将线性变换作为新的代数对象进行研究,首要的是有关运算,所以本节有关线性变换运算的定义（三种运算：加法、数乘、乘法）及满足的算律.有关运算的定义是根本.其中实质在于掌握映射确定的方法,即每个元素（向量）象的确定.3．重点线性变换的各种运算的定义,难点是各种运算所满足的算律,特别是乘法对加法的分配律.但它们的思想实质引导学生把握一点,在于证明映射（变换）的相等（即任一元素的象相同）.还有可逆线性变换的逆变换也是线性变换.（上节关于可逆线性映射的逆映射也是线性映射已解决）.4．注意线性变换的有些运算的实质并不新鲜,如乘法事实为合成.同时讲完本节内容可以总结到()L V 对加法、数乘与乘法作成的代数结构.二．教学内容、要求1．内容：线性变换的运算定义、性质.2.要求：1）理解掌握线性变换的三种运算定义,并能推证它们仍是线性变换.熟练地掌握运算所满足的算律.了解()L V 有关运算作成的代数系结构,特别是()L V 关于加法、数乘构成数域F 上的向量空间,（()L V 关于加法、乘法构成一个环）,从而掌握向量空间、环的运算在()L V 内都可施行. 2）理解逆变换的概念及逆变换仍为线性变换,以及线性变换的多项式. 3）运用有关运算的定义推证其结果仍为线性变换,证明有关运算适合的一些算律,培养严密的逻辑思维能力、论证能力.（这是极为重要的基本的知识及技能,注意有和平常的运算相似地方,但必然不同,必须本着线性变换的有关定义进行,以免有误）.三. 教学过程：1. 线性变换的定义定义1令V 是数域F 上一个向量空间,V 到自身上的一个线性映射叫做V 的一个线性变换.注：可见线性变换是特殊的线性映射,因而具有线性映射的性质.2. 线性变换的运算用()L V 表示向量空间V 上的所线性变换的集合.（1） 加法１） 定义2设σ、()L V τ∈,定义它们的和τσ+为：τσ+：ξ ()()σξτξ+. ２） 性质：a ．设σ、()L V τ∈,则σ+()L V τ∈.即线性变换的和也是一个线性变换.（验证由线性变换的定义或充要条件及和的定义易得,注意其中每一步的根据）.b.加法满足如下算律：对)(,,V L ∈∀ρτσ（1）σττσ+=+（交换律） （2）)()(ρτσρτσ++=++（3）零变换)(V L ∈θ,有对σθσσθσ=+=+∈∀),(V L（4）)(V L ∈∀σ,定义)(:ξσξσ-- ,称σ-为σ的负变换；可验证σ-)(V L ∈且：τρσρτστστσθσσ-=⇒=+-+=-=-+),(,)(（２）数乘１）定义３设)(,V L F k ∈∈σ,定义数乘变换σk 为：)(:ξσξσk k .２）性质：A ．σk )(V L ∈；B ．数乘满足如下算律：)(,,,V L F l k ∈∈τσσσστστσl k l k k k k +=++=+)(;)(；σσσσ==1);()(l k kl .TH7.2.1:)(V L 对上述定义的加法和数乘作成数域F 上一个向量空间.（３）乘法1）定义：设σ、()L V τ∈,我们把合成映射τσ 叫做σ与τ的积,记作στ.即))((:ξτσξτσστ =.2）性质：A ．στ)(V L ∈；B ．满足算律：)(,,V L ∈∀ρτστρσρρτσρτρστσρ+=++=+)(;)(；)()(στρτρσ=.（４）线性变换的幂及线性变换的多项式 1）)(V L ∈σ定义σ的n 次幂为N n n n ∈=, σσσ；规定l =0σ.2）设)(],[)(10V L x F x a x a a x f n n ∈∈+++=σ ,定义n n a a l a f σσσ+++= 10)( )(*称之为当σ=x 时)(x f 的值,或称为σ的多项式.注意：)(*式中的有关运算是线性变换的幂、数乘、加法,易得)()(V L f ∈σ.（５）可逆变换设)(V L ∈σ,若存在)(V L ∈τ使得l ==τσστ,则称σ是可逆变换,且称τ为σ的逆变换,记为1-σ.7.3 线性变换的矩阵一．教学思考1.本节主题是：在数域F 上n 维向量空间V 中可以用V 的基给出V 的线性变换σ的矩阵表示A ,从而把讨论线性变换的问题转化为用矩阵来处理,讨论起来即具体又简单,并且提供了丰富的内容,同时使我们看到矩阵工具的使用.要逐步体会用矩阵解决问题的方法及熟练掌握V 的线性变换σ与F 上n 阶矩阵A 的对应关系.2.本节从内容上讲先定义数域F 上n 维向量V 上线性变换σ关于V 的基的矩阵的概念,定理7.3.1讨论了向量ξ与其象)(ξσ关于同一个基的坐标之间的关系.引理7.3.2是线性变换与n 阶矩阵（环）之间建立一一对应的理论基础,是一难点、重点（下面给出较详尽的分析说明）.而从内容上讲解决给定)(F M A n ∈,存线性变换σ,使A 为σ的矩阵的问题.定理7.3.3建立了()n V L 与()F M n 的一一对应,是线性变换,并用具体n 阶矩阵表示的基础.（定理7.3.4）最后的一个结论：“讨论了一个线性变换σ在不同基底下的矩阵之间的关系——相似”,为矩阵按相似的关系分类提供了依据,为以后研究相似矩阵的不变量（特征根）奠定了基础,此亦可作一个定理.3.本节概念及上述主要定理是重点、难点,在讲述过程中特别是引理7.3.2须作重点详尽的分析,定理7.3.3证明形式上很清楚,不能使学生仅停留在符号上,应掌握证明的实质,要逐步分析使学生理解.4.本节重要的体现出从抽象的线性变换概念及运算进行推理、判断得出线性变换可由n 阶矩阵表示,使问题具体化,由具体矩阵解决实际问题；从线性变换与矩阵的内在联系体会辩证唯物主义观点.二．教学内容、要求（一） 内容：线性变换的矩阵,()n V L 与()F M n 的一一对应,线性变换关于不同基的矩阵的相似.（二） 重点、难点：线性变换的矩阵,()n V L 与()F M n 的同构.（三） 要求：1．n 维向量空间取定一组基n ααα,,,21 后,使学掌握V 上所有线性变换集合()V L 与数域F 上所有n 阶矩阵集合()F M n 之间建立一一对应.2.掌握在某基n ααα,,,21 下,线性变换σ的矩阵A 的概念,并熟练地掌握给定线性变换σ会求在该基下的矩阵；反之给定矩阵A 后,会确定线性变换σ；从而()n V L 与()F M n 为同构的代数系.3．掌握若已知()V L ∈σ在基下n ααα,,,21 矩阵为A,且向量11,()n ni i i i i i x y αασαα====∑∑的坐标公式：11n n y x A y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．掌握若两基满足T n n ),,(),,(11ααββ =且()V L ∈σ在基n ααα,,,21 与基n βββ,,,21 下的矩阵分别为B A ,,则AT T B 1-=.且熟习各计算公式及技能,弄清线性变换的矩阵是随基底的改变而改变的.5．通过学习,从抽象的线性变换概念及运算进行推理、判断得出线性变换可由n 阶矩阵表示,使问题具体化,由具体矩阵解决实际问题；从线性变换与矩阵的内在联系逐步培学生的辩证唯物主义观点.三．教学过程1．线性变换的矩阵,向量的象的坐标公式（1）问题 设)(,dim V L n V ∈=σ,取定V 的一个基{}n αα,1 对V ∈∀ξ,有ξ关于基{}n αα,1 的坐标),,(1n x x ；同样)(ξσ关于基{}n αα,1 的也有坐标),,(1n y y ；问ξ与)(ξσ关于基{}n αα,1 的坐标有和关系？而研究向量的某种性质时,往往从分析基向量的性质入手,为此引入：（2）线性变换的矩阵定义１ 设)(,dim V L n V ∈=σ,{}n αα,1 为V 的一个基,令：n n a a ααασ11111)(++=n n a a ααασ21122)(++=……n nn n n a a ααασ++= 11)(作矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111,称之为线性变换σ关于基{}n αα,1 的矩阵. 例1．2V 中取从原点出发的彼此正交的向量21,εε作为2V 的一个基,令σ是将2V 的每一向量旋转角θ的一个旋转,求σ关于{21,εε}的矩阵.例2．求n 维向量空间的位似变换关于任一基的矩阵,由此的单位变换、零变换关于任一基的矩阵.（1、2解略）（3）向量的象的坐标公式定理7.3.1设)(,dim V L n V ∈=σ,σ关于基{}n αα,1 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111,若ξ关于基{}n αα,1 的坐标为),,(1n x x ,而)(ξσ关于基{}n αα,1 的坐标为),,(1n y y ;则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x A y y 11.2．))(dim (n V V L =与)(F M n 的同构对应设,dim n V =取定V 的一个基{}n αα,1 后,可知对()V L ∈∀σ都有唯一n 阶矩阵)(F M A n ∈与之对应；问题是上述结论的反面是否成立？即对∀)(F M A n ∈,是否恰有一个()V L ∈σ使得σ关于取定的基{}n αα,1 的矩阵为A ？这个问题成立的意义在于： 对n 维空间V ,可建立))(dim (n V V L =与)(F M n 的1—1对应；进一步的是()V L ,)(F M n 各自有相应的加法、数乘运算,这种对应与运算又有什么联系？引理7.3.2设,dim n V ={}n αα,1 为V 的一个基,则对V 中任意n 个向量n ββ,,1 ,恰有一个()V L ∈σ使得),,2,1(,)(n i i i ==βασ.注：（1）引理含义为：存在唯一一个线性变换把给定的基向量变为任意指定的n 个向量.（2）该引理是建立()V L 与)(F M n 同构对应的基础.推论7.3.4设,dim n V ={}n αα,1 为V 的一个基,()V L ∈σ,σ关于基{}n αα,1 的矩阵为A ；则σ可逆的充要条件为A 可逆,且1-σ关于这个基的矩阵为1-A .3．线性变换在不同基下矩阵间关系引言：一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换σ在V 的两个不同基下的矩阵是不同的（如作业）,为了利用矩阵研究线性变换,显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系.引例 设()2F L ∈σ,且σ关于基{1ε,2ε}的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4231A ,求关于基()(){}012111==αα、的矩阵.分析：本题不能直接用定义做,因σ的对应关系不清楚,由定义是求B 使()()()2121)(ααασασ，，=B,由由题知A ),())(),((2121εεεσεσ=,而{}21,εε与{}21,αα间的关系易得,因而可通过上述已知转化一下.解：设()()()2121)(ααασασ，，=B,因22211,εαεεα=+=,所以T ),(1101),(),(212121εεεεαα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101T .于是 T))(),(())(),()(())(),(())(),((2122122121εσεσεσεσεσεσεεσασασ=+=+=AT T AT 12121),(),(-==ααεε,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12341AT T B . 由引例有结论：同一线性变换σ在V 的两个不同基下的矩阵B A ,是不同的,有关系AT T B 1-=（T 为过渡矩阵）.一般地：定理7.3.5设,dim n V ={}n αα,1 ,{}n ββ,,1 为V 的两个基, ()V L ∈σ,σ关于这两个基的矩阵分别为A 和B,且T n n ),,(),,(11ααββ =；则AT T B 1-=. 反过来,设)(,F M B A n ∈,且存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,则A 和B 是V 的同一线性变换在不同基下的矩阵.定义２ 设)(,F M B A n ∈,若存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,则称矩阵B 与A 相似,记作A B . 性质：“相似”是方阵之间的一个“等价关系”：（1）自反性：)(F M A n ∈∀,有A 与A 相似；（2）对称性：若B 与A 相似,则A 与B 相似；（3）传递性：若B 与A 相似,C 与B 相似,则C 与A 相似.（易证,且容易看到所存在的可逆矩阵的关系）另外：由矩阵的运算性质易得：T A T AT T TA T T A T T A A T n n n n 1111111)()(-----=++=++ .7.4 不变子空间一 ．教学思考上节的结论：线性变换关于不同基的矩阵是相似的,矩阵相似是方阵的一个等价关系,所以方阵可以按等价分类,彼此相似的矩阵可作为同一线性变换在不同基下的矩阵.自然的问题是：能否适当的选择V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵有较简单的形式？具体地下面将研究：在什么条件下可适当选择V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵为对角阵？用矩阵的语言即是在什么条件下A 相似与一个对角阵？这个问题的解决同所谓的不变子空间的概念关系密切.作为本节内容较简单,即“不变子空间的定义及性质”,有了这个概念后,引导学生看一看不变子空间在简化线性变换的矩阵中的作用.二 ．内容及要求内容：不变子空间的定义、性质.要求：掌握不变子空间的定义、性质,了解不变子空间在简化线性变换的矩阵中的作用.三 ．教学过程1．概念及性质令V 是数域F 上的一个向量空间,()V L ∈σ.定义1 W 是V 的一个子空间,若()W W ⊆σ（即∀ξW ∈,σ（ξ）W ∈）,则称W 在线性变换σ下不变（或稳定）,此时W 称为σ的一个不变子空间（或σ一子空间）.例 平凡子空间、)Im(),(σσKer 、位似变换下的子空间等（略）.定义2 设W 是线性变换σ的一个不变子空间,只考虑σ在W 上的作用,就得到子空间W 本身的一个线性变换,称为σ在W 上的限制,记为W |σ.性质 （不变子空间的）1）σ的有限（无限）个不变子空间的交仍是σ的不变子空间.2）σ的有限个不变子空间的和仍是σ的一个不变子空间.3）设W 是V 的一个子空间,),,(1n L W αα =,()V L ∈σ；则W 是σ的一个不变子空间W n ∈⇔)(,),(1ασασ .2．不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系设,dim n V =()V L ∈σ,W 是σ的一个)0(n r r <<维不变子空间,可令},,{1r αα 为W 的一个基,于是),,(1r L W αα =；将},,{1r αα 扩充为V 的一个基},,,,,{11n r r αααα +,则可设：nnn r rn n n nnr r rr r r r rr r r rr a a a a a a a a a a αααασαααασααασααασ++++=++++=++=++=++++111111*********)()()()( 于是σ关于基},,,,,{11n r r αααα +的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21A O A A r r n ,即当σ有一个非平凡子空间时,可适当选择V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵具有较多个0元素.特别地：当2121,(,W W W W V ⊕=在σ之下不变）时,那么选取1W 的一个基和2W 的一个基凑成V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A ,更进一步,若V 可以分解为σ的s 个不变子空间的直和时,可适当选择V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵为准对角形.结论：给了n 维向量V 的一个线性变换,只要能将V 分解成一些在σ之下不变的子空间直和,那么就可以适当的选取V 的基,使得σ关于这个基的矩阵具有比较简单的形状.显然,这些不变子空间的维数越小,相应的矩阵的形状就越简单.特别当V 能分解为n 个σ之下不变的一维子空间的直和,那么与σ相应的矩阵就有对角形式.下两节将讨论这个问题.7.5 本征值和本征向量一．教学思考：1．本征值和本征向量的概念是解决线性变换及矩阵可对角化的重要概念,是下节问题及结论的基础. 2．线性变换的本征值与本征向量是用一个条件等式联系着的两个概念,注意它们的依存关系.在分析σ的本征值、本征向量的求法中引入了矩阵的特征根特征向量的概念,注意它们的关系和区别.3．相似矩阵的特征多项式相同,从而特征根同（反之不然）,进而下述具体求σ的本征值、本征向量时转化为σ关于某个基的矩阵的有关问题,而与基的选择无关.4．本节求线性变换与矩阵的特征根、特征向量的方法具体,技能要熟练准确.注意利用数域F 上的多项式求根及n 个方程、n 个未知数的齐次线性方程组求非零解的知识.二 ．内容及要求：1．内容：特征根和特征向量的概念、性质、求法、特征多项式.2．要求：①掌握线性变换的本征值、本征向量、特征多项式的概念性质.②掌握特征根、特征向量的求法.三． 教学分析、建议、及过程：（一）线性变换的本征值、本征向量的概念重要及关系紧密,分析清其性质及实质含义进而分清其与矩阵的特征根与特征向量的关系,以及由相似阵的特征多项式、特征根相同知σ的本征值的求法时,转化为矩阵的有关问题而与基的选择无关.特别是最终得到特征根、特征向量的求法,真正分析清楚,弄懂弄会.（二）过程：引言：设)(,dim V L n V ∈=σ,在什么条件下可找到V 的一个基{}n αα,,1 ,使得σ关于这个基的矩阵为对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ0000001 ,即：n n n αλασαλασ==)()(111 （*）要做到这一点,从上节最后的分析结果知在于V 能否分解为σ的一维不变子空间的直和.我们将看到这不是总能办到的,只从另外的方面讨论.现在从解决的问题所满足的式子（*）给予我们一个重要启示,即研究线性变换σ,很重要的是去寻找满足条件λαασ=)(的数λ和非零向量α,这就是下面要介绍的线性变换σ本征值和本征向量问题.1．特征根、特征向量：（本征值、本征向量）（１）概念定义１设V 是数域F 上的一向量空间,)(V L ∈σ,如果对F 中的一个数λ,存在中F 非零向量ξ,使得λξξσ=)(.则称λ为线性变换σ的一个本征值,而λ叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量. 例1．设σ是3V 中关于某平面H 的正射影,可知0、1都是σ的本征值（考虑相应的本征向量是什么）. 例2．对)()(:],[x xf x f x F V σ=,可知)(V L ∈σ；对,F ∈∀λ因o x f ≠∀)(,都有)()())((x f x xf x f λσ≠=,因此σ没有本征值.（２） 本征向量的性质１） 同一本征向量不能属于不同的本征值.（证略）２） 令{}λξξσξλ=∈=)(|V V ,则λV 是V 的一个子空间,称为σ的一个本征子空间.（易证）（3）σ的一维不变子空间与σ的本征值和本征向量间的联系一方面：若ξ是σ的一个属于本征值λ的本征向量,则{}F a a L ∈=|)(ξξ是σ的一维不变子空间.另一方面：若U 是σ的一维不变子空间,则U 中每个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量.（事实上容易验证,注意多方解释）（4） 本征值、本征向量的求法设)(,dim V L n V ∈=σ,取定V 的一个基{}n αα,,1 ,令σ关于这个基的矩阵为()n ij a A =,若n n x x ααξ++= 11是σ的一个属于本征值λ的本征向量,有n n x x αλαλλξξσ++== 11)(；由定理7.3.1有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x A x x 11λ,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n x x A I λ （1）.即ξ关于基{}n αα,,1 的坐标是上述（1）以A I -λ为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；而（1）有非零解⇔系数行列式0=-A I λ （2）即F ∈λ是σ的一个本征值时其须满足（2）；反之若F∈λ满足（2）时,则（1）有非零解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1,从而n n x x ααξ++= 11满足λξξσ=)(,即λ为线性变换σ的一个本征值.上述讨论了σ的本征值与本征向量满足的条件,其中在本征值中,行列式A I -λ很重要,为讨论方便引入：定义2 设())(F M a A n ij ∈=,行列式 nnn n n n A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=212222111211)( 叫做矩阵A 的特征多项式（显然n x f x F x f A =∂∈))((],[)(0）.把)(x f A 在复数域C 内的根（即0)(=x f A 在复数域C 内的解）叫做矩阵A 的特征根.若λ为A 的一个特征根,那么相应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n x x A I λ的一个非零解叫做矩阵A 的属于特征根λ的一个特征向量.由此的：求线性变换σ的本征值与相应的本征向量的方法步骤：1） 取定V 的一个基{}n αα,,1 ,求σ关于这个基的矩阵为A .2） 求出A 的特征多项式A xI x f A -=)(在数域F 内的全部根s λλ,,1 ,即是σ的全部本征值.3） 对每个i λ,求出相应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n i x x A I λ的一个基础解系r i ηη,,1 ,于是 σ的属于本征值i λ的全部本征向量在给定的基下的坐标形式为j j i i k F k k k rr ,,11∈++=ηηξ 不全为0.例3．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=320230005A 的特征根和相应的特征向量. 例4．设R 上三维向量空间的线性变换σ关于基{}321,,ααα的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=013211233A ,求σ的本征值和相应的本征向量.2．矩阵的特征多项式的进一步讨论（1）相似矩阵的特征多项式问题：上述讨论知,设V 是数域F 上的一向量空间, )(,dim V L n V ∈=σ,求σ的本征值即求σ关于V 的某基的矩阵A 的在F 内的特征根,由σ关于V 的不同基的矩阵不同（相似）,是否由于基的不同而使得矩阵不同,从而使得特征根不同呢？为此：设A F M B A n ),(,∈与B 相似,即存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,因I IT T =-1,所以T A xI T AT T IT xT B xI )(111-=-=----,从而《高等代数》电子教案)()()(111x f A xI T T T A xI T T A xI T B xI x f A B =-=-=-=-=---.即相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征根.定义3 设)(,dim V L n V ∈=σ,σ关于V 的某基的矩阵A 的特征多项式称为σ的本征多项式,记为)(x f σ；即)(x f σ=)(x f A .定理7.5.1设)(,dim V L n V ∈=σ,F ∈λ是σ的本征值的充要条件是,λ是)(x f σ的一个根.（2）矩阵())(F M a A n ij ∈=的特征多项式的展开 nnn n n n A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=212222111211)(将其展开是][x F 中一多项式. 1) 由行列式定义易知)(x f A 的降幂形式的前两项为：++++-=-12211)()(n nn n A x a a a x x f2) 由多项式的性质知)(x f A 的常数项为)0(A f ,而)0(A f =A n )1(-.定义4 矩阵A 的对角线上元素的和成为矩阵A 的迹,记为；即)(A Tr nn a a a +++= 2211. 综上：A x A Tr x x f n n n A )1()()(1-++-=- )1(另外讨论：A 的特征根与)(x f A 的展开式中的系数的关系.设n λλ,,1 是A 的全部特征根,则由根与一次因式的关系有：n n n n n n A x x x x x f λλλλλλ 1111)1()()()()(-++++-=--=- （2）比较（1）（2）得：)(A Tr =n λλ++ 1； =A n λλ 1.（3）*特征多项式的一个重要性质哈密尔顿——凯莱（Hamiltom-Caylay ）定理：设())(F M a A n ij ∈=,A xI x f A -=)(是A 的特征多项式；则 =-=A AI A f A )(O I A A a a a A n n nn n =-++++--)1()(12211 .（θσσ=)(f ）7.6 可以对角化的矩阵一． 教学思考：1、本节是在第四节、第五节的基础上,完全解决第三节引出的问题：在什么条件下存在V 的一个基,使得线性变换σ关于这个基的矩阵为对角阵？平行地,何时方阵A 相似与一个对角形矩阵？2、本节最终结果方法、步骤很具体,注意归纳.3、其中一种思想：线性变换与方阵的相应结论与转化,以及以其中一方面处理另一方面问题的思考与方法须注意.二 ．内容及要求：内容：线性变换和矩阵可以对角化的概念及判定（充分条件及充要条件）.要求：理解掌握线性变换可以对角化的概念,掌握可以对角化的判定、方法步骤（重点）四川民族学院数学系三 ．教学过程：引言：形式最简单的矩阵是对角形矩阵,本节在前述基础上讨论.问题：设dim ,()V n L V σ=∈,在何条件下存在V 的一个基{}1,,n αα 使得σ关于这个基的矩阵为对角形.（平行地：设()n A M F ∈）,在何条件下存在一个可逆矩阵T 使得1T AT -为对角形）.这个问题即是所谓的：1．线性变换、矩阵可对角化的定义定义１设dim ,()V n L V σ=∈,若存在V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵为对角阵,则称σ可对角化.类似地：设()n A M F ∈如果存在可逆矩阵T 使得1T AT -为对角形,则称A 称可对角化.2．线性变换、矩阵可对角化的条件（１）一个充分条件：引理（Th7.6.1）——属于不同特征根的特征向量的性质——线性无关令()L V σ∈,若1,,s ξξ 分别是σ的属于互不相同的特征根1,,s λλ 的特征向量,则1,,s ξξ 线性无关.推论7.6.3设()n A M F ∈,若()A f x 在F 内有n 个单根,则A 可对角化.（２）一个充要条件特征子空间设()L V σ∈,λ是σ的一个特征根,令{}|()V V λξσξλξ=∈=,称之为σ的属于特征根λ的特征子空间,且是σ的一个不变子空间.定理7.6.5设V 是数域F 上n 维向量空间,()n L V σ∈,则σ可对角化的充要条件为：1）σ的特征多项式()f x σ的根1,,t λλ 全在F 内；2）对每个特征根i λ有dim i i V λλ=的重数.（证略）平行地：推论7.6.6设()n A M F ∈,则A 可以对角化的充要条件为：1）A 的特征根都在F 内；2）对A 的每个特征根λ都有秩()I A n s λ-=-.（其中s 为λ的重数）总结：判断σ可对角化的方法步骤：1） 取V 的一个基,求σ关于这个基的矩阵A ；2） 求()f x σ=()A f x 的全部根i λ；（判断i λ是否都在F 内）3） 若每个i λ都在F 内,求1()i n x I A x λο⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭的基础解系1,,s i i ξξ ,若基础解系所含向量的个数等于i λ的重数,则σ可对角化；4） 取3）中每个基础解系为坐标的向量构成V 的基,σ关于V 的这个基的矩阵为对角形. 平行地：()n A M F ∈,判断A 可以对角化的方法步骤：1） 求()A f x 的全部根i λ（判断i λ是否都在F 内）；2） 若每个i λ都在F 内,求秩()i I A λ-；若每个i λ,秩()i I A λ-=i n λ-的重数,则A 可以对角化.。
线性变换的运算解读
一. 线性变换的加法 二. 线性变换的乘法 三. 线性变换数量乘法 四. 可逆的线性变换 五. 线性变换的多项式
L(V) = {A │ A : V→V的线性变换}
A : V→V是线
性空间V上的 一种运动，变 化。本节将研 究这样的运动、 变化之间的运 算，联系及进 一步的特征性 质。
证明： 首先要证明A +B ∈L(V)，即证明A +B 是V上
的变换；且对向量加法和数乘保持不变.
, V, (A ＋B )( ) = A ( )＋B ( ) = A ( )＋
B ( ) = (A ＋B )( ) → A ＋B 是 V 上的变换.
证明：首先证明A, B ∈L(V), 即A, B 是上的变换，且保持
向量加法，数乘运算不变. 据映射合成即知确为V上的变换.对任意的α,β ∈V, k ∈P, A, B (α+β ) = A, (B (α+β )) = A, (B (α) +B (β )) = A, (B (α)) +A, (B (β )) = A, B (α) +A, B (β )； A, B (kα) = A, (B (kα)) = A, (kB (α)) = kA, (B (α)) = k A, B (α) . 故 A, B 是V上的线性变换，即A, B ∈L(V). 5. 因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.
4) 据三角形法则, R x ( ) 2 ( ) E( ) → (R x 2 )( ) E( )
( R 3 )→ R x E － 2 . 因 E ， L(R 3 ) ， 故 R x E － 2 L(R3 ) .
线性变换的运算
当k=2时，若 AB BA E,
①
对①两端左乘 A ，得 A2B ABA A,
对①两端右乘 A，得 ABA BA 2 A,
上两式相加，即得 A2B BA2 2A 2A 21.
第22页共24页
假设命题对 k 1时成立，即
Ak1B BAk1 (k 1)Ak2 .
②
对②两端左乘 A ，得
证：" " 设 A 为线性空间V上可逆线性变换.
任取 , V , 若 A( ) A( ), 则有 ( A1A)( ) A1(A( )) A1(A( ))
(A1A)( ) . A 为单射. 其次，对 V , 令 A1( ), 则 V ,且 A( ) A(A1( )) AA1( ) . A 为满射.
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
第4页共24页
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
A( X ) AX , B( X ) XB,
X P nn
故 A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关. " " 若 A(1 ), A( ), , A( n ) 线性无关，则它
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1A(1 ) k2 A( 2 ) kn A( n ),
即有 A(k11 k2 2 kn n ) .
又 A 可逆，于是 A 是一一对应，且 A(0) 0
高等代数§7.2 线性变换的运算
其中 k , l 是 的线性变换。
P
A 中数， ,
B
是V 上
分析
设 L (V ) 是 V 的所有线性变换的集合， 对如上定义的加法与数量乘法满足线性空 间定义中的所有条件, 故 L (V ) 也构成 V 上 的线性空间。
可逆变换
定义4 V 的线性变换 A 称为可逆的，如 果有V 中的变换 B ，使得
(A ) A
其中 m ,
n 是非负整数。
注意
(A B ) A B
n n n
如果 A 是可逆的线性变换，规定
(A )
n
(A
1
)
n
此时，指数法则可以推广到任意整 数的情形 。
线性变换的多项式 定义6 设
f ( x) am x
m
a m 1 x
m 1
a0
是 P [ x ] 中一多项式，A 是 V 的一线性变 换，定义
线性变换的乘积仍为线性变换。
线性变换的乘法的性质： （i）乘法满足结合律：
(A B )C = A (B C )
乘法不满足交换律，如 （ii）
D J= E , JD E
（iii） E A = A = A E
线性变换的加法 定义2 设 A 和 B 是线性空间 V 的两个 线性变换，用A + B 表示 V 的如下变换：
f (A ) a m A
m
a m 1 A
m 1
a0E
则 f (A ) 是一线性变换，称为线性变换 A 的多项式。 同一个线性变换的多项式的乘法是 可交换的。
(A + B )( ) A ( ) B ( ), V
称为线性变换 A 与 B 的和。 线性变换的和仍为线性变换。
线性变换的运算
主要内容
线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的乘积 线性变换的逆变换 线性变换的多项式 举例
二、线性变换的加法
1. 定义 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
换，定义它们的和 A+ B 为 (A + B ) ( ) = A ( ) + B ( ) ( V ) .
可以用公式
x ( ) = - ( )
来表示 (如图 7-7 ).
因此
( )
x( )
x R x ( )
图 7-7
x = E - ,
对于平面 x 的反射
R x也是一个线性变换，且 R x ( ) = - 2 ( )
所以
R x = E - 2 .
2. 运算规律
1) 2) ( kl ) A = k ( l A ) , (k+l)A=kA+lA,
3)
4)
k (A + B ) = k A + k B ,
1A =A.
三、线性变换的乘积
1. 定义
线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
定义2 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
线性变换的多项式有以下性质： 1) f (A ) 是一线性变换. 2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) . 特别地， f ( A ) g(A ) = g( A ) f (A ) .
高等代数--第七章 线性变换_OK
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
20
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
线性变换总结篇高等代数
第 7章 线性变换知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ,都有：()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=; 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换;2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈;性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关;性质3. 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,ααα线性无关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关;注：设V 是数域P 上的线性空间,12,,,m βββ,12,,,s γγγ是V 中的两个向量组,如果：11111221221122221122s s s s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是,若()dim V n =,12,,,n ααα是V 的一组基,σ是V 的线性变换, 12,,,m βββ是V 中任意一组向量,如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组,那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B ;4. 线性变换举例1设V 是数域P 上的任一线性空间;零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈;幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果存在正整数m ,使得σ=m 0,就称σ为幂零变换;幂等变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果2σσ=,就称σ为幂等变换;2nV P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ,令：111222n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 3[]V P x =,()()()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈; 4n nV P⨯=,()ij A a =是V 中一固定矩阵,()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈;二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法1 定义： 设V 是数域P 上的线性空间,,στ是V 的两个线性变换,定义它们的和στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈()()()()στασατα+=+,()()()()σταστα=任取k P ∈,定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈()()()k k σασα=σ的负变换-σ为：对任意的V α∈()()()-=-σασα则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换;2()L V ={σσ为V 的线性变换},按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线性空间;2. 线性变换的矩阵1定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα是V 的一组基,如果：()()()11111221221122221122n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++那么称矩阵112111222212n n nnnn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵;此时：()()()()()()121212,,,,,,,n n n A σααασασασαααα==2线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设12,,,n ααα是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,(),L V στ∀∈,设它们在12,,,n ααα下的矩阵分别为A,B ;1():n n f L V P ⨯→,A σ是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间n n P ⨯的同构映射,因此()n n L V P ⨯≅;2σ可逆⇔A 可逆3①στ+、στ与-σ在基12,,,n ααα下的矩阵分别为A B,AB +与A -； ② 任取k P ∈,k σ在基12,,,n ααα下的矩阵为kA ；③ 若σ为可逆线性变换,则1σ-在基12,,,n ααα下的矩阵为1A -；④ 设()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++为数域P 上的任一多项式,那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++ε为V 的恒等变换在基12,,,n ααα下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++;三．特征值、特征向量与对角矩阵1. 矩阵的特征值与特征向量1矩阵的特征多项式：设A 为n 级复方阵,将多项式()λλ=-A n f E A 称为A 的特征多项式;注： 1若()ijnnA a =,则：()()()()1112211λλλλ-=-=+-+++++-nn n A n nn f E A a a a A()()()11tr 1λλ-=+-++-nn n A A2 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵,0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程;2 定义：n 级方阵A 的特征多项式()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根都叫做其特征值根,设0λ∈C 是A 的特征值,齐次线性方程组()0λ-=n E A X 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0λ的特征向量;3求法：1求()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根12λλλn ,,,重根按重数计算；2对()1λ=k k ,n 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则矩阵A 的属于特征值λk 的全部特征向量为1122,,ηηη+++k k k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为不全为零的任意常数复数;4 重要结论：1设0λ∈C 是A 的特征值,0X 是A 的属于其特征值0λ的特征向量,()g x 为一复系数多项式;① ()0λg 为()g A 的特征值,0X 为()g A 的属于特征值()0λg 的特征向量； ② 如果A 还是可逆矩阵,那么1λ与λA分别为1-A 和*A 的特征值,0X 为1-A 的属于特征值1λ的特征向量,0X 为*A 的属于特征值λA的特征向量,③ 若12λλλn ,,,是矩阵A 的全部特征值,那么()()()12λλλn g ,g ,,g 就是()g A 的全部特征值,如果A 还是可逆矩阵,则12111λλλn,,,为1-A 的全部特征值,12λλλnA A A,,,为*A 的全部特征值；2若12λλλn,,,是矩阵A的全部特征值,那么()12tr λλλ=+++n A ,12λλλ=n A ;2. 线性变换的特征值与特征向量1定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,0λ∈P ,若存在0α≠∈V ,使得()0σαλα=,就称0λ为σ的一个特征值,α为σ的一个属于特征值0λ的特征向量;2线性变换的特征多项式设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,任取V 的一组基12,,,n ααα,设σ在该基下的矩阵为A ,称矩阵为A 的特征多项式λ-n E A 为σ的特征多项式,记为()σλλ=-n f E A ,即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式;3求法：设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换;1取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；2求()σλλ=-n f E A 在P 中的所有根12λλλm ,,,0≤≤m n ,重根按重数计算,且0=m 表示σ无特征值;3若0>m ,对()1λ=k t ,s 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则线性变换σ的属于特征值λk 的全部特征向量为()()121122,,,,,αααηηη+++k k n k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为P 中不全为零的任意常数;3. 矩阵相似1定义：设A,B 是数域P 上的两个n 级方阵,如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵T ,使得1-=T AT B ,就称矩阵A 相似于矩阵B ,记为A B ;2性质：1矩阵相似是等价关系,即：设A,B,C 都是n 级方阵,那么：①A A ； ② 若A B ,那么B A ；③ 若A B 且B C ,则A C ;2若AB ,那么()()λλλλ=-==-A n B n f E A f E B ,因此矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值,相同的迹()()tr tr =A B ,相同的行列式=A B ;3两个实对称阵相似⇔它们有相同的特征值;3有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似;4若1-=T AT B ,那么1-+=∀∈kkB T A T ,k Z ;4. 线性变换与矩阵可对角化 1矩阵可对角化1设A 是n 级方阵,如果存在n 级可逆矩阵T ,使得1-T AT 为对角阵,则称A 可对角化;2n 级方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关特征向量; 3如果n 级方阵A 有n 个不同的特征值,则A 可对角化; 4设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值,()()()()1212λλλλλλλλ=-=---klll A n k f E A称()12=i l i ,,,k 为λi 的代数重数；称=-i s n 秩()()12λ-=i n E A i ,,,k 为λi 的几何重数；()12≤=i i s l i ,,,k ；n 级方阵A 可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;注：1. 设齐次线性方程组()0λ-=i n E A X 的解空间为i W ,则()dim =i i s W2. 称{}λααλα=∈=i ni V CA 为n 级方阵A 的属于特征值λi 的特征子空间,那么()dim λ=i i s V2线性变换可对角化1 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果存在V 的一组基,使得σ 在该基下的矩阵为对角阵,就称σ可对角化;2数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换σ可对角化⇔σ有n 个线性无关特征向量; 3设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果σ有n 个不同的特征值,则σ可对角化;4设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,σ在V 的一组基下的矩阵为A , 设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值;① 若12λλλ∈k ,,,P ,那么：σ可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;② 若12λλλk ,,,不全在数域P 中,则σ不可对角化;注：λi 的几何重数 =()dim λi V ,其中(){}λασαλα=∈=i iV V 为σ的属于特征值λi 的特征子空间;四．线性变换的值域与核1.定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,将()(){}100V σασα-=∈=,(){}V V σσαα=∈分别称为线性变换σ的核与值域()10σ-与V σ也分别记为ker σ与Im σ;2.线性变换的秩与零度： V σ与()10σ-都是V 的子空间,将()dim V σ 与()()1dim 0σ-分别称为σ的秩和零度;3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα为V 的一组基,σ 在该基下的矩阵为A ,=r 秩()A ,1122n n a a a V αααα=+++∈;1()1210n a a a ασ-⎛⎫ ⎪ ⎪∈⇔ ⎪ ⎪⎝⎭是齐次线性方程组0=AX 的解;2若12,,,ηηη-n r 是0=AX 的一个基础解系,那么12,,,γγγ-n r 其中()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r 就是()10σ-的一组基,于是：()()1dim0n r σ-=-()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈因此σ的秩和零度为n r -; 3()()()()12n V L,,,σσασασα=于是()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组就是V σ的一组基,而()()()12σασασαn ,,,的秩等于秩()A =r ,所以()dim V r σ=,即σ的秩为秩()A =r ; 4()()()1dim dim 0V n σσ-+=;3. 求法：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换; 1()10σ-的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 解齐次线性方程组0=AX ,得其一个基础解系12,,,ηηη-n r =r 秩()A ；③ 令()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r ,得()10σ-的一组基12,,,γγγ-n r ,()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈2V σ的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 设矩阵A 的列向量组为12,,,n ηηη,求出12,,,n ηηη的一个极大线性无关组12,,,r i i i ηηη就得到()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组()()()12σασασαri i i ,,,,()()()12σασασαri i i ,,,就是V σ的一组基;()()()()12ri i i V L ,,,σσασασα=()()(){}112212σασασα=+++∈r r r i i i i i i i i i l l l l ,l ,,l P五．不变子空间1. 定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间,如果对α∀∈W ,都有()σα∈W 即()σ⊆W W ,就称W 是σ的不变子空间,也称σ-子空间; 2. 设V 是数域P 上的线性空间,那么{}0与V 都是V 的任一线性变换的不变子空间; 3. 设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,λ是σ的任意一个特征值,那么σ的特征子空间(){}λασαλα=∈=V V 都是σ的不变子空间;4. 线性变换的循环子空间：设σ是数域P 上的0n >维线性空间V 的线性变换,任取0V α≠∈,必存在正整数m ,使得()()1m ,,,ασασα-线性无关,而()()m ,,,ασασα线性相关,令()()()1m W L ,,,ασασα-=,则W 是σ的不变子空间,称W 为σ的循环子空间;5. 设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,W 是σ的不变子空间,()0<dim =<W m n ,取W 的一组基12,,,αααm ,将其扩充为V 的一组基121,,,,,,ααααα+m m n ,那么σ在该基下的矩阵为1230⎛⎫⎪⎝⎭A A A ,其中1A 为σW在W 的基12,,,αααm 下的矩阵;六．若尔当 Jordan 标准形1.若尔当块与若尔当形矩阵： 1若尔当块：形式为()0000100000100001t tJ ,t λλλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若尔当块,其中λ为复数;2若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如：12s A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中：111i ii ii ii k k A λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,且12s ,,,λλλ中有些可以相等;2. 复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵1设σ是复数域C 上的0n >维线性空间V 的任意一个线性变换,那么必存在V 的一组基,使得σ在该基下的矩阵为若尔当形矩阵;2每个n 级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似;3. 设σ是复数域上的0n >维线性空间V 的线性变换,那么σ幂零⇔σ的特征值都为零;。
高等代数课件 第七章
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
高等代数线性变换的运算
它满足
α, 当 α ∈ U,
PU(α) = 0, 当 α ∈ W.
(1)
满足 (1) 式的 V 上的线性变换是唯一的.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
投影变换
证 由于 V = U ⊕ W，因此 α 表示成 U 的一个向量与 W 的一个 向量之和的方式唯一，从而 PU 是 V 到 V 的一个映射. 任取 V 中两个向量
. .. . . ..
幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
类似地有 P2W = PW.
投影变换
定理 设 V 是数域 P 上的一个线性空间，U, W 是 V 的两个子空间，且
V=U⊕W
任取 α ∈ V，设 α = α1 + α2，其中 α1 ∈ U，α2 ∈ W. 令
PU :V
−→V
α = α1 + α2 −→α1
则 PU 是 V 上的一个线性变换，称 PU 是平行于 W 在 U 上的投影，
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性映射的乘法
命题 设 V, U, W 都是数域 P 上的线性空间，A 是 V 到 U 的一个线 性映射，B 是 U 到 W 的一个线性映射，则 BA 是 V 到 W 的 一个线性映射.
高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记
第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。
线性变换及其运算
线性变换及其运算概述：线性变换是数学中重要的概念之一。
它是指将一个向量空间中的元素映射为另一个向量空间中的元素，同时保持线性关系的变换。
线性变换可以用矩阵来表示，并且有着丰富的运算规则。
定义：在向量空间V和W之间，如果存在一个映射T，对于任意的向量u和v以及任意的标量k，满足以下两个条件：1.T(u + v) = T(u) + T(v)2.T(ku) = kT(u)这样的映射T被称为线性变换。
线性变换保持向量的线性组合关系，即映射后的向量的线性组合等于原向量线性组合的映射。
线性变换可以将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中。
属性：线性变换有许多重要的属性：1.线性变换保持零向量不变：T(0) = 02.线性变换保持向量的长度和角度：对于向量v和w，如果它们的夹角为θ，则经过线性变换后的向量T(v)和T(w)的夹角也为θ，且长度也相同。
3.线性变换保持向量的共线性：对于向量v和w，如果它们共线，则线性变换后的向量T(v)和T(w)依然共线。
4.线性变换在两个向量的和上的作用等于这个线性变换在每个向量上的作用之和：T(u + v) = T(u) + T(v)5.线性变换在一个向量上的作用乘以一个标量等于这个标量乘以这个线性变换在向量上的作用：T(ku) = kT(u)线性变换的运算：线性变换可以进行加法、数乘和复合运算，具体如下：1.加法运算：对于线性变换T1和T2，它们的加法运算是指将T1作用于一个向量v，然后将T2作用于T1作用后的向量T1(v)。
即 (T1 + T2)(v) = T2(T1(v))，其中v为向量。
2.数乘运算：对于线性变换T和标量k，它们的数乘运算是指将T作用于一个向量v，然后将k乘以T作用后的向量T(v)。
即(kT)(v) = k(T(v))，其中v为向量。
3.复合运算：对于线性变换T1和T2，它们的复合运算是指先将T2作用于向量v，然后再将T1作用于T2作用后的向量T2(v)。
高等代数第七章线性变换复习讲义
⾼等代数第七章线性变换复习讲义第七章线性变换⼀.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的⼀个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的⼀个线性变换。
（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.它们都是V的线性变换。
（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,αs线性⽆关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性⽆关。
3.线性变换的运算4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，如果线性变换A和B在这组基上的作⽤相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，对于V 中任意⼀组向量α1，α2，…,αn,存在唯⼀⼀个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n.⼆．线性变换的矩阵1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的⼀组基，A是V中的⼀个线性变换，基向量的像可以被基线性表出Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn……Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn⽤矩阵表⽰就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中a 11 a 12 …… a 1na 21 a 22 …… a 2nA= ……a n1 a n2 …… a nn称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。
§2线性变换的运算在这一节,我们来介绍线性变换的运算及其简单性质
§2 线性变换的运算 在这一节，我们来介绍线性变换的运算及其简单性质.首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可以定义乘法.设 A ，B 是线性空间V 的两个变换，定义它们的乘积AB 为()()(())AB A B αα= ()V α∈容易证明，线性变换的乘积也是线性变换 .事实上，()()()(())(()())AB A B A B B αβαβαβ+=+=+(())(())()())()())A B A B AB AB αβαβ=+=+()()()(())(())AB k A B k A kB ααα==(())()())kA B k AB αα==这说明AB 是线性的.既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换的乘法当然也适合结合律，即()()AB C A BC =但线性变换的乘法一般是不可变的 . 例如 ，在实数域R 上的线性空间[]R x 中，线性变换(())()D f x f x '=(())()xa J f x f t dt =⎰ 的乘积,DJ E =但一般JD E ≠.对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位 .对于任意线性变换 A 都有EA AE A ==其次，对于线性变换还可以定义 加法 .设 A ，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的和 A+B 为()()()()A B A B ααα+=+ ()V α∈容易证明，线性变换的和还是线性变换 . 事实上，()()()()()()A B A B αβαβαβ++=+++(()())(()())(()())(()())()()()()A AB B A B A B A B A B αβαβααββαβ=+++=+++=+++这就说明是线性变换.不难证明，线性变换的加法适合结合律与交换率，即A +（B +C ）=（A +B ）+ C ，A +B = B +A证明留给读者完成 .对于加法，零变换0有着特殊的地位，它与所有线性变换 A 的和仍等于 A ：A + 0 = A .对于每个线性变换 A ，我们可以定义它的负变换()A -：()()()A A αα-=-容易看出，负变换()A -也是线性的，且0A A -+=线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A （B +C ）= AB + AC ，（B +C ）A = BA + CA .事实上，(())()(()())A B C A B C αα+=+(()())(())(())()()()()()(),A B C A B A C AB AC AB AC ααααααα=+=+=+=+这就证明了右分配律。
高等代数线性变换的运算
线性变换的乘法一般是不适合交换律. 例如，在实数域 R 上的线 性空间 R[x] 中，线性变换
D(f(x)) = f′(x), ∫x
L (f(x)) = f(t)dt
0
的乘积 DL = E ，但一般 L D ̸= E .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
投影变换
定理 设 V 是数域 P 上的一个线性空间，U, W 是 V 的两个子空间，且
V=U⊕W
任取 α ∈ V，设 α = α1 + α2，其中 α1 ∈ U，α2 ∈ W. 令
PU :V
−→V
α = α1 + α2 −→α1
则 PU 是 V 上的一个线性变换，称 PU 是平行于 W 在 U 上的投影，
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性映射的乘法
命题 设 V, U, W 都是数域 P 上的线性空间，A 是 V 到 U 的一个线 性映射，B 是 U 到 W 的一个线性映射，则 BA 是 V 到 W 的 一个线性映射.
. .. . . ..
投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α. 如果 α ∈ W，则 α = 0 + α，从而 PU(α) = 0.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α. 如果 α ∈ W，则 α = 0 + α，从而 PU(α) = 0. 设 V 上的线性变换 A 也满足 (1)，任取 α ∈ V，设 α = α1+ α2. 其中 α1 ∈ U, α2 ∈ W，则
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§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
1 1
1 k 1 k 1 1 k 1 1 k 1 k 1 k 1
1 是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
(2) 线性变换 可逆 线性变换 是一一对应. 证：" " 设 为线性空间V上可逆线性变换. 任取 , V , 若 ( ) ( ), 则有 ( 1 )( ) 1( ( )) 1( ( ))
X Pnn
则 , 皆为 Pnn 的线性变换，且对 X P nn , 有
( )( X ) ( ( X )) ( XB) A( XB) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX )B AXB.
.
§7.2 线性变换的运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、 线性变换的和
§7.2 线性变换的运算
一、 线性变换的乘积
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的乘积 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ),
( 1 )( ) . 为单射. 其次，对 V , 令 1( ), 则 V ,且 ( ) ( 1( )) 1( ) . 为满射. 故 为一一对应.
§7.2 线性变换的运算
" " 若 为一一对应，易证 的逆映射 也为V 的线性变换，且 E. 故 可逆， 1 .
§7.2 线性变换的运算
(3) 设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基， 为V的
线性变换，则 可逆当且仅当 (1 ), ( 2 ), , ( n )
线性无关.
证：" " 设 k1 (1 ) k2 ( 2 )
于是 (k11 k2 2 kn n ) 0
kn ( n ) 0.
故 (1), (2 ), , (r ) 线性无关.
§7.2 线性变换的运算
kr 0.
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
n ,
n
称之为 的n次幂. 当 n 0 时，规定 0 E（单位变换）.
§7.2 线性变换的运算
注：
① 易证 mn m n , m n mn ,
m,n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
n 1 n
③ 一般地， n n n.
§7.2 线性变换的运算
2．线性变换的多项式
设 f x am xm a1x a0 P[x],
为V的一个线性变换，则 f ( ) am m a1 a0E
也是V的一个线性变换，称 f ( )为线性变换 的
§7.2 线性变换的运算
练习：设 , 为线性变换，若 E,
证明： k k k k1, k 1.
证：对k作数学归纳法.
当k=2时，若 E,
①
对①两端左乘 ，得 2 ,
对①两端右乘 ，得 2 ,
上两式相加，即得 2 2 2 2 21.
§7.2 线性变换的运算
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f
t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
§7.2 线性变换的运算
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX , ( X ) XB,
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1 (1 ) k2 ( 2 ) kn ( n ),
即有 (k11 k2 2 kn n ) . 为满射.
§7.2 线性变换的运算
n
n
其次，任取 , V , 设 aii , bii ,
i 1
i 1
若 ( ) ( ), 则有
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1.
2．基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 1 也是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
证：对 , V , k P,
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的和 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )(k ) (k ) (k ) k ( ) k ( ) k( ( ) ( )) k( )( ).
的向量组.
证：设 为线性空间V的可逆变换，1,2 , ,r V
线性无关. 若 k1 1 k2 2 kr r 0.
则有， (k11 k22 krr ) 0
又 可逆，于是 是一一对应，且 (0) 0
k11 k22 krr 0
由 1,2 , ,r 线性无关，有 k1 k2
n
n
ai (i ) bi (i ),
i 1
i 1
(1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关
ai bi , i 1, 2, , n, 即 . 从而， 为单射. 故 为一一对应.
由(2)， 为可逆变换.
§7.2 线性变换的运算
(4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关
( )(k ) ( (k )) (k ( )) k ( ( )) k( )( )
§7.2 线性变换的运算
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换
（3）交换律一般不成立，即一般地，
.
§7.2 线性变换的运算
例1. 线性空间 R[x]中，线性变换
假设命题对 k 1时成立，即
k1 k1 (k 1) k2 .
②
对②两端左乘 ，得
k k1 (k 1) k1,
③
对①两端右乘 k1, 得
k1 k k1,
④
③＋④，得 k k k k1.
由归纳原理，命题成立..
§7.2 线性变换的运算
, V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
注： ( ) 0
§7.2 线性变换的运算
三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，k P, 定义 k与 的数量乘积 k 为：
k k , V
则 k 也是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
2．基本性质
因为 可逆，由(2)， 为单射，又 (0) 0,
§7.2 线性变换的运算
k11 k2 2 kn n 0 而 1, 2 , , n线性无关，所以 ki 0, i 1, 2, , n.
故 (1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关. " " 若 (1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关，则它
(1) (kl) k(l ) (2) (k l) k l (3) k( ) k k (4) 1
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
§7.2 线性变换的运算
四、 线性变换的逆
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使 E
§7.2 线性变换的运算
2．基本性质
（1）满足交换律：
（2）满足结合律：
（3） 0 0 , 0为零变换.
（4）乘法对加法满足左、右分配律：
§7.2 线性变换的运算
3．负变换
设 为线性空间V的线性变换，定义变换 为：
多项式.
§7.2 线性变换的运算
注： ① 在 P[x] 中，若
h x f x g x, p x f x g x 则有，h f g ,
p f g
② 对 f ( x), g( x) P[x], 有
f g g f f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.