高等代数-7.2线性变换的运算

1 1
1 k 1 k 1 1 k 1 1 k 1 k 1 k 1
1 是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
(2) 线性变换 可逆 线性变换 是一一对应. 证：" " 设 为线性空间V上可逆线性变换. 任取 , V , 若 ( ) ( ), 则有 ( 1 )( ) 1( ( )) 1( ( ))
的向量组.
证：设 为线性空间V的可逆变换，1,2 , ,r V
线性无关. 若 k1 1 k2 2 kr r 0.
则有， (k11 k22 krr ) 0
又 可逆，于是 是一一对应，且 (0) 0
k11 k22 krr 0
由 1,2 , ,r 线性无关，有 k1 k2
故 (1), (2 ), , (r ) 线性无关.
§7.2 线性变换的运算
kr 0.
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
n ,
n
称之为 的n次幂. 当 n 0 时，规定 0 E（单位变换）.
§7.2 线性变换的运算
注：
① 易证 mn m n , m n mn ,
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1.
2．基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 1 也是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
证：对 , V , k P,
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
X Pnn
则 , 皆为 Pnn 的线性变换，且对 X P nn , 有
( )( X ) ( ( X )) ( XB) A( XB) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX )B AXB.
.
§7.2 线性变换的运算
二、 线性变换的和
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f
t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
§7.2 线性变换的运算
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX , ( X ) XB,
§7.2 线性变换的运算
2．基本性质
（1）满足交换律：
（2）满足结合律：
（3） 0 0 , 0为零变换.
（4）乘法对加法满足左、右分配律：
§7.2 线性变换的运算
3．负变换
设 为线性空间V的线性变换，定义变换 为：
§7.2 线性变换的运算
一、 线性变换的乘积
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的乘积 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ),
m,n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
n 1 n
③ 一般地， n n n.
§7.2 线性变换的运算
2．线性变换的多项式
设 f x am xm a1x a0 P[x],
为V的一个线性变换，则 f ( ) am m a1 a0E
也是V的一个线性变换，称 f ( )为线性变换 的
( )(k ) ( (k )) (k ( )) k ( ( )) k( )( )
§7.2 线性变换的运算
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换
（3）交换律一般不成立，即一般地，
.
§7.2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线性变换的运算
例1. 线性空间 R[x]中，线性变换
假设命题对 k 1时成立，即
k1 k1 (k 1) k2 .
②
对②两端左乘 ，得
k k1 (k 1) k1,
③
对①两端右乘 k1, 得
k1 k k1,
④
③＋④，得 k k k k1.
由归纳原理，命题成立..
§7.2 线性变换的运算
n
n
ai (i ) bi (i ),
i 1
i 1
(1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关
ai bi , i 1, 2, , n, 即 . 从而， 为单射. 故 为一一对应.
由(2)， 为可逆变换.
§7.2 线性变换的运算
(4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关
多项式.
§7.2 线性变换的运算
注： ① 在 P[x] 中，若
h x f x g x, p x f x g x 则有，h f g ,
p f g
② 对 f ( x), g( x) P[x], 有
f g g f f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.
, V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
注： ( ) 0
§7.2 线性变换的运算
三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，k P, 定义 k与 的数量乘积 k 为：
k k , V
则 k 也是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
2．基本性质
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
§7.2 线性变换的运算
练习：设 , 为线性变换，若 E,
证明： k k k k1, k 1.
证：对k作数学归纳法.
当k=2时，若 E,
①
对①两端左乘 ，得 2 ,
对①两端右乘 ，得 2 ,
上两式相加，即得 2 2 2 2 21.
§7.2 线性变换的运算
§7.2 线性变换的运算
(3) 设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基， 为V的
线性变换，则 可逆当且仅当 (1 ), ( 2 ), , ( n )
线性无关.
证：" " 设 k1 (1 ) k2 ( 2 )
于是 (k11 k2 2 kn n ) 0
kn ( n ) 0.
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的和 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )(k ) (k ) (k ) k ( ) k ( ) k( ( ) ( )) k( )( ).
( 1 )( ) . 为单射. 其次，对 V , 令 1( ), 则 V ,且 ( ) ( 1( )) 1( ) . 为满射. 故 为一一对应.
§7.2 线性变换的运算
" " 若 为一一对应，易证 的逆映射 也为V 的线性变换，且 E. 故 可逆， 1 .
(1) (kl) k(l ) (2) (k l) k l (3) k( ) k k (4) 1
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
§7.2 线性变换的运算
四、 线性变换的逆
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使 E
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1 (1 ) k2 ( 2 ) kn ( n ),
即有 (k11 k2 2 kn n ) . 为满射.
§7.2 线性变换的运算
n
n
其次，任取 , V , 设 aii , bii ,
i 1
i 1
若 ( ) ( ), 则有
因为 可逆，由(2)， 为单射，又 (0) 0,
§7.2 线性变换的运算
k11 k2 2 kn n 0 而 1, 2 , , n线性无关，所以 ki 0, i 1, 2, , n.
故 (1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关. " " 若 (1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关，则它