泛函中三大定理的认识

泛函中三大定理及其应用
泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。

其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。

另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。

1、Hahn-Banach 延拓定理
定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：
(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) X
G
F f
=；
其中X
F
表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；G
f 表示G 上的线性泛函的范数．
延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．
2、逆算子定理
在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．
定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．
定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：
()G X Y ⊂→满足
(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)．
注： ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？
性质1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 ：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：
1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--
1212()y y y y αβαβ=+--0=
由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□
定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．
例 1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach 空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)
证明：设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有
112
Ix x M x
=≤
于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1
I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有
1212
I x x M'x -=≤．
故范数1⋅和2⋅等价。

3、一致有界原理
定义1一致有界：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，()F B X Y ⊂→，如果
{ }T T F ∈是有界集，则称算子族F
为一致有界．
定理1 共鸣定理：设X 是Banach 空间，Y 是线性赋范空间，算子族()F B X Y ⊂→，
那么：
{ }T T F ∈是有界集(F 一致有界)⇔x X ∀∈，{ }Tx T F ∈为有界集．
证明：(1) 必要性⇒ 因为{ }T T F ∈是有界集，所以存在0M >，T F ∀∈，有T M ≤，于是x X ∀∈，不妨设x a =，那么
Tx T x M x M a ≤≤≤⋅
因此{ }Tx T F ∈为有界集．
(2) 充分性⇐x X ∀∈，定义sup F
T F
x
x Tx ∈+，显然F ⋅是X 上的范数且比⋅强，
下面证明(,)F X ⋅完备．
如果sup ()0m n
m n m n F
T F
x x x x T x x ∈-=-+-→(,)m n →∞，由X 是Banach 空间知存在
x X ∈，使得
0n x x -→()n →∞．
又因为0ε∀>，N ∃∈N ，使得只要,m n N ≥，便有
sup m n T F
Tx Tx ε∈-<．
从而T F ∀∈有
n n m m Tx Tx Tx Tx Tx Tx -=-+-n m m Tx Tx T x x ≤-+-0→()n →∞．
因此得sup ()0n n T F
x x T x x ∈-+-→()n →∞，即0n F
x x
-→，可见(,)F X ⋅完备．
根据等价范数定理知范数F ⋅和⋅等价，从而存在0M >，使得x X ∀∈有
sup sup F
T F
T F
Tx x Tx x
M x ∈∈≤+=≤
于是可得T F ∀∈有T M ≤．□
注： 共鸣定理也称为一致有界定理(或原理)，由共鸣定理知，当F 不一致有
界时，即sup{ }T T F ∈=∞，则存在0x X ∈，使得0sup{ }Tx T F ∈=∞，称0x 为算子族F 的共鸣点。

例2 设无穷矩阵
111212122212
j j i i ij
a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
满足2
1
ij i a ∞
=<∞∑，1,2,3,
j =，并对任何212(,,,,)i x x x x l =∈有
Tx xA =1112121
2221212
(,,
,,)j j i i i ij
a a a a a a x x x a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
12(,,,,)i y y y =2y l =∈
其中1
j i ij i y x a ∞
==∑，1,2,
j =，证明算子T 是线性连续算子．
例3 (Fourier 级数的发散问题) 存在一个周期为2π的实值连续函数，它的Fourier 级数在0t =点发散.
证明 ： 记周期是2π的实值连续函数全体为2C π，对于2f C π∈，f 导出的Fourier 级数
为：01
1
(cos sin )2n n n a a nt b nt ∞=++∑，其中
1
()cos d n a f t nt t π
π
π
-
=
⎰ (0,1,2,
n =)；1
()sin d n b f t nt t π
ππ
-
=
⎰ (1,2,3,
n =).
当0t =时，级数为01
1
2n n a a ∞
=+∑，前1n +项部分和为
01
1
11
()()[12cos ]d 22n
n
n n n n S f a a f t nt t π
ππ-
===+=
+∑∑⎰
记1
()12cos n
n n K t nt ==+∑，计算可得1
sin()2()1sin 2
n n t
K t t +=
，于是 1()()()d 2n n
S f f t K t t π
ππ
-
=
⎰．
下面证明存在2f C π∈，使得{()}n S f 发散．显然2:n S C π→R 是线性泛函．又因为
[,]
1()max {()}()d 2n n
t S f f t K t t π
ππππ
-
∈-≤⋅
⎰n
M
f ≤⋅
其中1()d 2n n
M K
t t π
ππ-
=⎰，所以n S 是2C π上的线性连续泛函．可证明n S 的范数为
1()d 2n n n
S M K t t π
ππ
-
==
⎰。

由于2C π是Banach 空间，为了证明存在2f C π∈，使得{()}n S f 无界，根据共鸣定理，只需证{}n S 无界．因为
1
sin()12d 12sin 2
n n t S t t π
π
π
-+=
⎰202sin(21)d sin n s s s π
π+=⎰ (2t s =) (1)22(21)0
2(21)
sin(21)2
d k n
n k k n n s
s s
πππ++=++≥
∑⎰
(1)2202
sin 2
d k n
k k u u u
π
ππ+==
∑⎰
((21)u n s =+)
(1)2202
2
2
sin d (1)k n
k k u u k ππππ
+=≥+∑
⎰
(1)22202
4
1sin d 1k n
k k u u k π
π
π+==+∑⎰ 22
2004
1sin d 1n
k u u k ππ==+∑⎰22
41
1n
k k π==+∑→∞
所以{}n S 无界。