第六章-弯曲应力(2)
第六章__弯曲应力及剪力流的知识点
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：
50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
Page
27
第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
Page 28
第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN
sM
y
sN sM
20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:
10kN m
20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
Page 19
3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
Gg06-弯曲应力
max 1 故 max 2
L
P
分析和讨论
横截面上应力是如何分布的？ 两梁固结 两梁间光滑接触
为什么两梁间无摩擦时， 横截面上的弯矩由两梁均分？
如果梁由 n 层叠合而成，情况又怎样？
例
欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面
梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么 比例？
2. 最大正应力计算 （中性轴是对称轴的情况 ）
max
M max ymax [ ] Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为最大值的截面 ymax： 在弯矩最大的横截面上，选择离中性轴最远的点
M x
max
M max ymax M max M max [ ] Iz I z ymax Wz
W 1 0 b h 6
2b h
2
2
h 2 b
力学家与材料力学史
Galileo（1564-1642）
Galileo 在 1638 年出版的 Two New Sciences 一书中首次 对梁的弯曲进行了研究。
Hale Waihona Puke 力学家与材料力学史在其后的一百多年中，
经 Mariotte, J. Bernoulli 等
3M max b 44.7 mm 2[ ]
故取 b = 45 mm
动脑又动笔
撑杆跳过程中某时刻跳杆最小
曲率半径为 7.5m，增强玻璃钢跳
杆直径为 40 mm，E = 120 GPa， 求此时杆中的最大正应力。 120 240 320 480 (MPa)
M 由弯曲曲率公式 EI
跳杆中最大正应力
矩形横截面上的弯曲切应力是 如何分布的？
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
页 退出
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
页 退出
材料力学
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
第六章 弯曲剪应力
所 以 d m in 1 3 7m m
[例6-7]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图 所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两 个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
L
FQ
P
-PL
M
P
解：叠梁承载时，每
梁都有自己的中性层
§6-3 弯曲剪应力和强度校核
一.具有纵对称轴截面梁的剪应力
对于薄壁、高截面的梁须计算弯曲剪应力
My
Iz
q(x) x dx
P
bh
z
q(x)
M(x)
M (x)dM (x)
y
FQ
FQ dFQ
在hb的情况下
假设 1)的 ：方向F都 Q平与 行
2)沿宽度均布。
y
NI
N II
NI A*ⅠdA
M ydA M
(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平 面内时,梁产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面 内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将 会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大
，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。
二. 开口薄壁截面的弯曲中心
对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性 平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将 发生扭转变形。
b(x)
3P
4[]h
即： b(x)min4[3P]h
P/2
P
A
C
xL
P/2 同理：若b为常量，高度h=h(x)
B W(x)1bh2(x) Px
6
2[]
h(x) 3Px 半抛物线
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
第六章 - 弯曲应力
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
My
max
IZ
24.09MPa
max
My max IZ
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax Iz
M
WZ
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题
长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力
F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
材料力学第六章复习题
第六章 弯曲应力1．图示梁的材料为铸铁，截面形式有四种如图：最佳形式为 。
2．为了提高梁的承载能力，对同一梁、相同的均布载荷q ，下列哪一种支承条件下，梁的强度最好： 正确答案是 。
3．设计钢梁时，宜采用中性轴为（ ）的截面；设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（ ）的截面。
正确答案是 。
(A) 对称轴 (B) 偏于受拉边的非对称轴 （C) 偏于受压边的非对称轴 (D) 对称或非对称轴4．梁在弯曲时，横截面上正应力沿高度是按 分布的；中性轴上的正应力为 ；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按 分布的，中性轴上的剪应力为 。
5．矩形截面梁若max Q 、m ax M 和截面宽度b 不变， 而将高度增加一倍，则最大弯曲正应力为原来的倍，最大弯曲剪应力为原来的 倍。
6．图示正方形截面简支梁，若载荷不变， 而将边长增加一倍，其则最大弯曲正应力为原来的 倍，最大弯曲剪应力为原来的 倍。
(A) (B) (C) (D)(C)(B)(D)7．下图所示的梁跨中截面上A 、B 两点的应力A σ= ；A τ= ；B τ= 。
8．图示T 字形截面梁。
若已知A —A 截面上、下表面处沿x 方向的线应变分别是0004.0-='ε，0002.0=''ε，则此截面中性轴位置=c y h （C 为形心）9．铸铁丁字形截面梁的许用应力分别为：许用拉应力 [t σ] = 50MPa ，许用压应力[c σ] = 200 MPa 。
则上下边缘距中性轴的合理比值为 21/y y 为多少？（C 为形心）10．⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。
若材料的拉伸许用应力[]MPa l 40=σ，压缩许用应力[]MPa c 160=σ，截面对形心轴z c的惯性矩410180cm zc=I ，cm h 64.91=，试计算该梁的许可载荷P 。
11．正方形截面简支梁，受有均布载荷作用如图，若[σ] = 6 [τ] ，证明当梁内最大正应力和最大剪应力同时达到许用应力时，l / a = 6xA-ABc12．铸铁制梁的尺寸及所受载荷如图所示。
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第六章 弯曲应力（Ⅱ）
6.2.1 下列各梁中，AB 段为纯弯曲的有（ ）。
2
2
6.2.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（ ）。
（A ）()4
464
P I D d π
=- （B ）()4
432P I D d π
=
- （C ）()4464
z I D d π
=- （D ）()4
432
z I D d π
=
-
（E ）()3
332
z W D
d π
=
- （F ）()
4
432z W D d D
π
=
-
6.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（ ）。
（A ）2266z BH bh W =- （B ）331
()6z W BH bh H
=- （C ）33
1()12z W BH bh H
=- （D ）331212z BH bh W =-
图6.2.2
图6.2.3
6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（ ）。
（A ）3
2326z d bh W π=- （B ）43
6412
z d bh W π=- （C ）431326z d bh W d π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）431326z d bh W h π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
6.2.5用直径为d 的圆形木切割出一根高h ，宽b 的矩形截面梁，若使梁对z 轴
的抗弯截面系数为最大，则h /b 是（ ）。
（A ）2.0 （B
（C ）1.5 （D
图6.2.4
图6.2.5
6.2.6悬臂梁由两根T 形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力）
，受力如图所示。
任一横截面上的正应力分布规律应是（ ）。
( D )
( C )
( B )
( A )图6.2.6
6.2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B 套入实心圆杆A 而成，略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量2B A E E =。
（1）他们最大正应力的比
max
max
A B σσ是（ ）。
（A ）15/2 （
B ）1/2 （
C ）1/4 （
D ）1 （2）任一横截面上正应力的分布规律是（ ）。
( A )( B )( C )
( D )
图6.2.7
6.2.8图示梁由材料相同的上、下两部分叠合而成，不计上、下两部分间的摩擦力，并可认为上、下两部分的曲率
()
1
x ρ相同。
上、下两部分梁所承受的弯矩之比
()()/M x M x =上下 ，上下两部分梁的最大正应力之比
max max /σσ=下上 。
6.2.9受力情况相同的三种等截面梁，分别由整块材料、两块材料并列和两块材料叠合（未粘接，并不计相互之间的摩擦力）组成，如图（a ）、（b ）、（c ）所示。
若用()max a σ、()max b σ、()max c σ本别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，下列结论中正确的为（ ）。
（A ）()max a σ<()max b σ<()max c σ （B ）()max a σ=()max b σ<()max c σ （C ）()max a σ<()max b σ=()max c σ （B ）()max a σ=()max b σ=()max c σ
图6.2.9
( c )
( b )
( a )
6.2.10矩形截面简支梁分别采用图中（a ）、（b ）、（c ）三种截面尺寸，其最大正应力之比为（ ）。
（A ）
a max
,max 4b σσ=， （B ）a max ,max 2b σσ=， （C ）a max ,max 8b σσ=， （D ）
a max
,max 2c σσ=， （E ）a max ,max 8c σσ=， （F ）a max ,max
4c
σσ=，
图6.2.10
( a )
( b )
( c )
q
图6.2.8
b
q
6.2.11两根矩形截面悬臂梁的尺寸、荷载分别相同，材料分别为钢和木材。
设二梁均在线弹性围变形，二梁C 截面处的最大正应力的关系为（ ），上边缘的最大线应变的关系为（ ）。
（A ）a max ,max b σσ=， （B ）a max ,max b σσ>， （C ）a max ,max b σσ<， （D ）a max ,max b εε=， （E ）a max ,max b εε>， （F ）a max ,max b εε<，
图6.2.11
木
钢
( b )
( a )
6.2.12图示正方形截面在xy
平面纯弯曲变形时，采用（a ）、（b ）两种放置方式，其最大正应力分别为a max σ，和,max b σ。
合理的放置方式是（ ）
；若使a max ,max b σσ=，，则/a b m m = 。
图6.2.12
( a )z y
6.2.13纯弯曲的T 形截面铸铁梁，如图所示。
其放
置方式最合理的是（ ）。
( C )
( B )( A )图6.2.13
6.2.14矩形截面梁在弯曲时，图示横截面上的弯矩不为零，z 轴为形心轴，该截面上a 、b 、c 三点正应力的关系为（ ）。
（A ）a b σσ= （B ）a c σσ= （C ）b c σσ=
6.2.15工字形截面简支梁如图所示。
已知截面对中性轴z 的
抗弯截面系数z W 、弹性模量E 以及C 截面下边缘的纵向线应变ε。
设梁的变形在线弹性围，则作用在梁上的荷载P = 。
z
6.2.16一直径为1D 的圆截面梁，另一外直径之比22/0.9d D α==的圆环截面梁，二梁的长度、材料及受力分别相同。
若使二梁的最大正应力相同，则圆截面梁和圆环截面梁的重量之比12/W W = 。
m
6.2.17 T 形截面悬臂梁受力如图所示。
已知截面高度h 、惯性矩z I 和材料的弹性模量E ，并测得D 截面上、下边缘处的线应变ε上和ε下，则外力偶矩
m = 。
图中C 为形心。
6.2.18 T 形截面梁如图所示。
测得D 截面上、下边缘处的纵向线应变分别是
'0.0004ε=-，''0.0002ε=，此截面中性轴位置C y = 。
图中z 为形心
轴。
6.2.19在6.2.14题中，a 、b 、c 三点切应力的关系为（ ）。
（A ）a b c τττ== （B ）a b ττ≠ （C ）a c ττ≠ （D ）b c ττ≠ 6.2.20矩形截面简支木梁受载如图所示。
梁AC 段任一横截面上a 点的切应力是。
图6.2.19
100
z。