2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
辽宁省辽南协作校2017年高考理数一模试卷及解析
第1页，总12页辽宁省辽南协作校2017年高考理数一模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题2＜4}，则（ ） A.P ⊆Q B.Q ⊆P C.P ⊆∁R Q D.Q ⊆∁R P2.复数 2−mi1+2i =A +Bi ， (m ， A ， B ∈R) ，且A+B=0，则m 的值是（ ） A.√2 B.23 C.﹣ 23D.23.设样本数据x 1 ， x 2 ， …，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i =x i +a （a 为非零常数，i=1，2，…，10），则y 1 ， y 2 ， …，y 10的均值和方差分别为（ ） A.1+a ，4 B.1+a ，4+a C.1，4 D.1，4+a4.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ． 若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，则S 10等于（ ） A.18 B.24 C.60 D.905.圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上的点到直线x+y ﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A.18 B.6√2 C.5√2 D.4√2答案第2页，总12页…………外…………○………………○…………线…………○※※请※※※※题※※…………内…………○………………○…………线…………○6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8π3 B.3π C.10π3 D.6π7.已知椭圆的左焦点为F 1 ， 有一小球A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.13 B.√5−12C.35D.23第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.等比数列{a n }的公比q ＞0．已知a 2=1，a n+2+a n+1=6a n ， 则{a n }的前4项和S 4= ．9.如图所示，输出的x 的值为 ．第3页，总12页………○…………装…………○…………订…学校:___________姓名：___________班级：___________考号………○…………装…………○…………订…三、解答题（题型注释）10.已知函数f （x ）=2cos 2x+2 √3 sinxcosx+a ，且当x∈[0， π2 ]时，f （x ）的最小值为2． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）先将函数y=f （x ） 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 12，再将所得的图象向右平移 π12 个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求方程g （x ）=4在区间[0， π2 ]上所有根之和．11.某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为 12 ，高一胜高三的概率为 23 ，高二胜高三的概率为P ，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜． （Ⅰ）若高三获得冠军概率为 13 ，求P ．（Ⅱ）记高三的得分为X ，求X 的分布列和期望． 12.如图所示，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB⊥侧面BB 1C 1C ，AB=BC=1，BB 1=2，∠BCC 1=60°．（Ⅰ）求证：C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）E 是棱CC 1所在直线上的一点，若二面角A ﹣B 1E ﹣B 的正弦值为 12 ，求CE 的长． 13.已知抛物线C ：y=2x 2 ， 直线l ：y=kx+2交C 于A 、B 两点，M 是AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于N 点．（Ⅰ）证明：抛物线C 在N 点处的切线与AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过N 点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．14.已知函数f （x ）=x 2+ 2x +alnx ．（Ⅰ）若f （x ）在区间[2，3]上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设f （x ）的导函数f′（x ）的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点A （x 1 ， y 1）、B （x 2 ， y 2）所在直线的斜率为k ，求证：当a≤4时，|k|＞1． 15.已知曲线C 1的参数方程是 {x =2cosφy =3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，答案第4页，总12页B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2， π3 ）．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．第5页，总12页…线……线…参数答案1.B【解析】1.解：P={x|x ＜4}，Q={x|x 2＜4}={x|﹣2＜x ＜2}，如图所示，可知Q ⊆P ，所以答案是：B ．【考点精析】利用子集与真子集对题目进行判断即可得到答案，需要熟知任何一个集合是它本身的子集；n 个元素的子集有2n 个,n 个元素的真子集有2n －1个,n 个元素的非空真子集有2n －2个． 2.C【解析】2.解：因为 2−mi1+2i =A +Bi ，所以2﹣mi=（A+Bi ）（1+2i ）， 可得A ﹣2B=2，2A+B=﹣m 解得 5（A+B ）=﹣3m ﹣2=0 所以 m= −23所以答案是：C ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数相等的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 3.A【解析】3.解：方法1：∵y i =x i +a ， ∴E（y i ）=E （x i ）+E （a ）=1+a ， 方差D （y i ）=D （x i ）+E （a ）=4． 方法2：由题意知y i =x i +a ，则 y ¯= 110 （x 1+x 2+…+x 10+10×a）= 110 （x 1+x 2+…+x 10）= x ¯+a=1+a ，方差s 2= 110 [（x 1+a ﹣（ x ¯+a ）2+（x 2+a ﹣（ x ¯+a ）2+…+（x 10+a ﹣（ x ¯+a ）2]= 110 [（x 1﹣ x ¯）2+（x 2﹣ x ¯）2+…+（x 10﹣ x ¯）2]=s 2=4．所以答案是：A ．【考点精析】通过灵活运用平均数、中位数、众数和极差、方差与标准差，掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据；标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差即可以解答此题． 4.C答案第6页，总12页…订…………○…………线…………○※※内※※答※※题※※…订…………○…………线…………○【解析】4.解：∵a 4是a 3与a 7的等比中项， ∴a 42=a 3a 7 ，即（a 1+3d ）2=（a 1+2d ）（a 1+6d ）， 整理得2a 1+3d=0，①又∵ ， 整理得2a 1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a 1=﹣3， ∴，故选：C ．【考点精析】掌握等差数列的通项公式（及其变式）和等差数列的前n 项和公式是解答本题的根本，需要知道通项公式：或；前n 项和公式：．5.C【解析】5.解：∵圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0， ∴（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=18， ∴圆半径r=3 √2 ．圆心（2，2）到直线的距离d=2 √2 ，圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上的点到直线x+y ﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：5 √2 ，0， 故圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上的点到直线x+y ﹣8=0的最大距离与最小距离的差是5 √2 . 所以答案是：C【考点精析】利用直线与圆的三种位置关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点． 6.B【解析】6.解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图第7页，总12页…………线…………○……………线…………○…所求几何体的体积为： 12×π×12×6 =3π．所以答案是：B ．【考点精析】本题主要考查了由三视图求面积、体积的相关知识点，需要掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积才能正确解答此题． 7.C【解析】7.解：假设长轴在x 轴，短轴在y 轴，以下分为三种情况：（1）球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2（a ﹣c ）；（2 ）球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2（a+c ）；（3）球从F 1沿x 轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点A ，反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点B ，经F 1反弹后经过点F 1，此时小球经过的路程是4a ．综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F 1时，小球经过的最大路程是4a 最小路程是2（a ﹣c ）．∴由题意可得4a=10（a ﹣c ），即6a=10c ，得 c a =35 ． ∴椭圆的离心率为 35 ． 所以答案是：C ． 8.152【解析】8.解：∵{a n }是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n 可化为 a 1q n+1+a 1q n =6a 1q n ﹣1 ， ∴q 2+q ﹣6=0． ∵q＞0，∴q=2． a 2=a 1q=1，∴a 1= 12 ． ∴S 4=a (1−q 4)11−q=12(1−24)1−2= 152 ．所以答案是 152答案第8页，总12页…………外…………○…………○※…………内…………○…………○【考点精析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的相关知识点，需要掌握前项和公式：才能正确解答此题．9.17【解析】9.解：模拟程序的运行，可得 a=51，b=221 不满足条件a=b ，满足b ＞a ，b=221﹣51=170， 不满足条件a=b ，满足b ＞a ，b=170﹣51=119， 不满足条件a=b ，满足b ＞a ，b=119﹣51=68， 不满足条件a=b ，满足b ＞a ，b=68﹣51=17， 不满足条件a=b ，满足a ＞b ，a=51﹣17=34， 不满足条件a=b ，满足a ＞b ，a=34﹣17=17， 满足条件a=b ，x=17，输出x 的值为17． 所以答案是：17．【考点精析】认真审题，首先需要了解程序框图(程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明)．10.解：（Ⅰ）f （x ）=2cos 2x+2 √3 sinxcosx+a=cos2x+ √3 sin2x+a+1所以f （x ）=2sin （2x+ π6 ）+a+1，因为x∈[0， π2 ]，所以2x+ π6 ∈[ π6 ， 7π6 ]． f （x ）min =﹣1+a+1=2，所以a=2．…（Ⅱ）依题意得g （x ）=2sin （4x ﹣ π6 ）+3，由g （x ）=4得sin （4x ﹣ π6 ）= 12 4x ﹣ π6 =2kπ+ π6 或4x ﹣ π6 =2kπ+ 5π6 所以x= kπ2+π12或kπ2+π4，所以x =π12或π4所以，所有根的和为 π3 ．…【解析】10.（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简后，再根据三角函数的值域及f （x ）的最小值求得a 的值；（Ⅱ）根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换特点得到函数y=g （x ）的具体方程，再根据三角函数的求值得到方程g （x ）=4在区间[0， π 2 ]上所有根，最后求和即可.【考点精析】关于本题考查的函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，需要了解图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数第9页，总12页………○…………○…的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能得出正确答案．11.解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场． 高三胜两场的概率为 13×(1−p) ，三个队各胜一场的概率为 13×p ×12+23×(1−p)×12 ， ∴ 13(1−p)+13p ×12+23(1−p)×12=13 ． 解得： p =23 ；（Ⅱ）高三的得分X 的所有可能取值有0、1、2， P （X=0）= 2p3 ，P （X=1）= 2−p 3 ，P （X=2）= 1−p3． 故X 的期望E （X ）= 0×2p 3+1×2−p 3+2×1−p 3=4−3p 3．【解析】11.解本题一方面需要识记离散型随机变量的概率，期望与方差的计算方法，另一个重要方面在于分析各种事件及概率出现的情况.【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列． 12.解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊆平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥BC 1， 在△CBC 1中，BC=1，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=60°，由余弦定理得：BC 12=BC 2+CC 12﹣2BC•CC 1•cos∠BCC 1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3， 所以B 1C= √3 ，故BC 2+BC 12=CC 12，所以BC⊥BC 1， 又BC∩AB=B，∴C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．答案第10页，总12页……线…………○……线…………○则，则B （0，0，0），A （0，1，0），C （1，0，0），C1（0，0， √3），B1（﹣1，0， √3 ）CC 1→=(−1，0，√3) ， AB 1→=(−1，−1，√3) ，令 CE →=λC (0≤λ≤1)→ ，∴ AE →=AC →+CE →=(1−λ，−1，√3λ) ， CE →=(−λ，0，√3λ) ，设平面AB 1E 的一个法向量为 n →=(x ，y ，z) ．{n →⋅AE →=(1−λ)X −Y +√3λ=0n →⋅AB 1→=−x −y +√3z =0，令z= √3，则x= 3−3λ2−λ ，y= 32−λ ，∴ n →=(3−3λ2−λ，32−λ，√3) ，．∵AB⊥平面BB 1C 1C ， BA →是平面的一个法向量，|cos ＜ n →，BA →＞|= √32 ，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或 32 ． ∴CE=CC 1=2或CE= 32 CC 1=3．【解析】12.（Ⅰ）证直线垂直于平面，通过证明平面内有两条相交的直线与所给直线垂直；（Ⅱ）利用向量求二面角的平面角思路比较简单清晰，但是计算时需要认真并有良好的运算习惯.【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)互相转化的数学思想．13.（Ⅰ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把y=kx+2代入y=2x 2得2x 2﹣kx ﹣2=0 所以x 1+x 2= k 2 ，x N =x M = k4 ，所以N （ k 4 ， k 28 ）．因为（2x 2）'=4x ，所以抛物线在N 点处的切线斜率为k ，故该切线与AB 平行； （Ⅱ）假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过N 点，则|MN|= 12 |AB|第11页，总12页由（Ⅰ）知y M = 12(y 1+y 2)=12(kx 1+kx 2+4)=k 24+2 ，又因为MN 垂直于x 轴，所以|MN|=y M ﹣y N = k 2+168 ，而|AB|=|x 1﹣x 2|• √1+k 2=12√1+k 2⋅√16+k 2，所以 12√1+k 2⋅√16+k 2=k 2+164，解得k=±2所以，存在实数k=±2使以AB 为直径的圆M 经过N 点．【解析】13.（Ⅰ）根据根与系数的关系及中点坐标公式求得点M 的横坐标，进而求得点N 的坐标，再利用导数求得抛物线上的点N 处切线的斜率，与直线AB 的斜率相等则其切线与直线AB 平行；（Ⅱ）先假设存在实数k ，再根据题意得到关系式|MN|= 12 |AB|，再将其化为方程，方程无根则不存在实数k ，求得方程的根则存在实数k ，并可求得实数k 的值. 14.解：（Ⅰ）由 f(x)=x 2+2x +alnx ，得 f′(x)=2x −2x+ax． 因为f （x ）在区间[2，3]上单调递增， 所以 f′(x)=2x −2x2+ax≥0在[2，3]上恒成立， 即 a ≥2x−2x 2 在[2，3]上恒成立，设 g(x)=2x−2x 2 ，则 g′(x)=−2x −4x <0 ，所以g （x ）在[2，3]上单调递减，故g （x ）max =g （2）=﹣7， 所以a≥﹣7；（Ⅱ）对于任意两个不相等的正数x 1、x 2有x 1x 2+2(x 1+x 2)x 1x 2＞ x 1x 2+√x x = x 1x 2+x x +x x ≥3√x 1x 2×2√x 1x 2×2√x 1x 23= 3√43>4.5>a ， ∴ ||>1 ， 而 f′(x)=2x −2x2+ax， ∴ || = || = ||⋅|| ＞ || ，答案第12页，总12页……外…………○………订…………○…………线※※※线※※内※※答※※题※※……内…………○………订…………○…………线故： || ＞ || ，即 || ＞1， ∴当a≤4时， ||>1 ．【解析】14.（Ⅰ）将函数f （x ）在区间[2，3]上单调递增，转化为导数函数f'（x ）≥0在区间[2，3]上恒成立，从而求得a 的取值范围；（Ⅱ）先利用基本不等式求得解题过程中的的关键不等式的取值范围，最后利用斜率公式列出不等式，从而证明当a≤4时，|k|＞1.【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和基本不等式的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）；变形公式： 才能正确解答此题．15.（1）解：点A ，B ，C ，D 的极坐标为 (2，π3)，(2，5π6)，(2，4π3)，(2，11π6)点A ，B ，C ，D 的直角坐标为 (1，√3)，(−√3，1)，(−1，−√3)，(√3，−1)（2）设P （x 0，y 0），则 {x 0=2cosφy 0=3sinφ(φ 为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x 2+4y 2+16=32+20sin 2φ ∵sin 2φ∈[0，1] ∴t∈[32，52]【解析】15.（1）先根据题意确定点A ，B ，C ，D 的极坐标，再转化为对应的直角坐标；（2）先利用参数方程设出点P 的坐标，再利用三角函数求得t 的取值范围. 【考点精析】利用椭圆的参数方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆的参数方程可表示为．。
2017辽宁省高考理科数学试卷及答案 精品
2017辽宁省高考理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ ） A ．M N B ．M NC ．()MM ND ．()MM N2．135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+（ ）A ．14 B ．12 C ．1 D ．2 3．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）A ．(k ∈B ．((2)k ∈-+，∞C ．(k ∈D ．((3)k ∈--+∞，，∞4．复数11212i i +-+-的虚部是（ ） A ．15i B ．15 C ．15i -D ．15-5．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1233OA OB -+6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．348．将函数21xy =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（ ）A ．(11)=--，aB ．(11)=-，aC ．(11)=，aD ．(11)=-，a9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）AB ．3CD ．9211．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条 12．设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数100x x x y e x +<⎧=⎨⎩，，，≥的反函数是__________．14．在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC，A ，C 两点的球面距，则球心到平面ABC 的距离为_________． 15．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______． 16．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD'．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成的角为45，求D E '与平 面PQGH 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |． 21．（本小题满分12分）在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 22．（本小题满分14分） 设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． （Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．A B CDE FP Q H A ' B 'C 'D ' G2008年（辽宁卷）数学理科试题参考答案和评分参考1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C8．A9．B10．A11．D12．C13．11ln 1.x x y x x -<⎧=⎨⎩，，， ≥14．3215．516．143三、解答题17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ························ 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =，3b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 2S ab C == ················· 12分 18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ······················ 3分 （Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．ξ的分布列为··················································································· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ···························· 12分 19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。
2017年全国统一高考数学 理科 新课标1 (解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ） A ．A ∩B={x|x ＜0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x ＞1} D ．A ∩B=?2．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=；p 4：若复数z ∈R ，则∈R ． 其中的真命题为（ ）A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 44．（5分）（2017?新课标Ⅰ）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．85．（5分）（2017?新课标Ⅰ）函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）=﹣1，则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]6．（5分）（2017?新课标Ⅰ）（1+）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（ ）A ．15B ．20C ．30D ．357．（5分）（2017?新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10 B．12 C．14 D．168．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+29．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．1011．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z12．（5分）（2017?新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．15．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）（2017?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）（2017?新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）（2017?新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]（2017?新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，22．（10分）（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=?【考点】1E：交集及其运算．【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】CF ：几何概型．【专题】35 ：转化思想；4O ：定义法；5I ：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=；p 4：若复数z ∈R ，则∈R ． 其中的真命题为（ ）A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4【考点】2K ：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i 、复数；A5：复数的运算． 【专题】2A ：探究型；5L ：简易逻辑；5N ：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题；p 2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z?R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）（2017?新课标Ⅰ）记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）（2017?新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x ﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（2017?新课标Ⅰ）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）（2017?新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S=×2×（2+4）=6，梯形∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；49 ：综合法；5K ：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 +θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l 1⊥l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点， 直线l 2与C 交于D 、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小，则A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1， 又直线l 2过点（1，0）， 则直线l 2的方程为y=x ﹣1， 联立方程组，则y 2﹣4y ﹣4=0，∴y 1+y 2=4，y 1y 2=﹣4，∴|DE|=?|y 1﹣y 2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 +θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin 22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16， 故选：A ．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2017?新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【考点】8E ：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当N 为时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n+1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n+1﹣2﹣n ，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，分别即可求得N 的值． 【解答】解：设该数列为{an }，设b n =+…+=2n+1﹣1，（n ∈N +），则=a i ，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n ﹣2， 可知当N 为时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n+1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14， A 项，由=435，440=435+5，可知S 440=T 29+b 5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意． B 项，仿上可知=325，可知S 330=T 25+b 5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】31 ：数形结合；4O：定义法；5A ：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4?+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则=3，BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABCV==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）（2017?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值；58 ：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S=acsinB=，△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=?===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017?新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直．【专题】15 ：综合题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5G ：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B （），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB 的一个法向量，．∴cos ＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）（2017?新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)i用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． （ⅱ）由=9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02， 因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008， 因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 20．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．【考点】KI ：圆锥曲线的综合；K3：椭圆的标准方程．【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）三点在椭圆C 上．把P 2（0，1），P 3（﹣1，）代入椭圆C ，求出a 2=4，b 2=1，由此能求出椭圆C 的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l ：y=kx+t ，（t ≠1），联立，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点（2，﹣1）． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P 3（﹣1，），P 4（1，）两点必在椭圆C上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1（1，1）， ∴P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）三点在椭圆C 上．把P 2（0，1），P 3（﹣1，）代入椭圆C ，得：，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l ：x=m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1， ∴===﹣1，解得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l ：y=kx+t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，，x 1x 2=，则==。
大连市2017届高三第一次模拟考试文数试题 含解析
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试文数试题 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数12z i =+，则z =（ ）A ． 12i -B ．54i +C ． 1D ．2 【答案】A 【解析】，选A.2。
已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+<，{|1}B x x =>，则A B =（）A ．{|3}x x >B ．{|1}x x >C ．{|13}x x -<<D ．{|13}x x <<【答案】D3。
设,a b 均为实数，则“a b >”是“33ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，所以，即“"是“”的充要条件，选C 。
4。
直线430x y -=与圆22(1)(3)10x y -+-=相交所得弦长为( ）A ． 6B ． 3C 。
62D ．32【答案】A【解析】圆心到直线距离为，所以弦长为 ，选A 。
5.下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α外的直线不平行于平面α内不存在与a 平行的直线B ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么直线l ⊥平面γC.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D ．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交【答案】C【解析】由平面外的直线平面内一直线，则平面，所以A 正确；在平面内作两条相交直线分别垂直平面与平面交线及平面与平面交线,则由平面平面，平面平面，得分别垂直平面及平面,即都垂直于直线，因此直线平面，即B 正确；C 错误，显然平面与平面的交线不垂直于平面;当一条直线与两个平行平面中的一个平面相交时,若此直线在另一个平面内，则与原平面无交点，矛盾；此直线与另一个平面平行,则可得此直线与原平面平行或在原平面内，矛盾，因此此直线必与另一个平面相交;综上选C. 6。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
2017届高三模拟考试(数学理)(含答案)word版
大连市第二十四中学 2017年高三模拟考试卷数 学 试 题（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．3B ．1C ．-3D ．1或-32．已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +的值为（ ）A ．12-B．C ．12D3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．41π+ B ．413π+C ．483π+D ．48π+4．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方 程为y x =-，则双曲线的方程为 （ ）A ．22160y x -=B ．2296x y -=C ．2280x y -=D ．2224y x -=5．已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，若l 上一点C 满足2c o s c o s O C O A O B θθ=+ ，则246sin sin sin sin θθθθ+++的最大值是（ ）ABCD6．设O 为坐标原点，点A （1，1），若点(,)B x y 满足222210,12,12,x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则OA OB⋅ 取得最小值时，点B 的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数7．我校某班有3男2女五位同学均获2011年交大、同济、复旦三校的保送资格，那么恰有2男1女三位同学保送交大的概率是 （ ）A ．881B ．281C ．24125D ．61258．已知函数2()f x x bx =+图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2011S 的值为（ ）A ．20122013B ．20112012C ．20092010D ．201020119．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2,(2011)f f =则=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-310．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得1144,a m n=+则的最小值为（ ）A ．32 B ．53C ．94D ．不存在11．有下列结论：（1）命题2:,0p x R x ∀∈>总成立，则命题2:,0p x R x ⌝∀∈≤总成立。
【辽宁省大连】2017届高三第一次模拟考试理科数学年试题
17．解：（1）∵(3,1)OP=，(3cos ,1sin )QP x x =-， ∴π()31sin 42sin()f x x x x =+-=-+，（2）∵()=4f A ，∴3A =， 又∵3BC =，∴2222π2cos3a b c bc =+-，∴29()b c bc =+-． 2()4b c bc +≤，∴23()94b c +≤， ∴b c +=，当且仅当=b c 取等号，18．（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1，2，3，1242361(1)5C C P X C ===；2142363(2)5C C P X C ===；3242361(3)5C C P X C ===．所以X 的分布列为()326E X =⨯=或()2555E X =++=． 19．解：（1）证明：∵PA ABCD ⊥底面，AB ABCD ⊂底面，∴PA AB ⊥， 又∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥，PA AD A =，PA PAD ⊂平面，AD PAD ⊂平面， ∴AB PAD ⊥平面，又PD PAD ⊂平面，∴AB PD ⊥，AD AP =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，AE AB A =，AE ABE ⊂平面，AB ABE ⊂平面，∴PD ABE ⊥平面．（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PC =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ-设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⎪⎨⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- 设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⎪⎨⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- |cos ,|||||||||6m n m n m n <>===，解得12λ=． 20．解：（1）∵椭圆Q 的长轴长为a =设00(,)P x y ，∵直线P A 与OM 的斜率之积恒为12-00122y =-， ∴22001x y +=，∴1b =，（2）设直线l 方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)N x y ， ∴21224()12k x x k +=-+，21222212k x x k-=+． ∴2012212()212k x x x k =+=-+，002(1)12k y k x k =+=+ ∴CD 的垂直平分线方程为001()y y x x k -=--， 令0y =，得00211242G x x ky k =+=-++ ∵1[,0)4G x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2102k <≤． 421164(2|||k CD x x -=-=2112[+]22(21)2k =≥+，21．解：（1）()e (2)e 24x x f x x ax a '=+-++∵函数()f x 在区间(0)+∞，上单调递增， ∴()f x '在(0)+∞，上恒成立． ∴e (2)e 240x xx ax a +-++≥，∴(1)e 24xx a x -≥+， 令(1)e ()24x x g x x -=+，222[(1)e e ](24)2(1)e e (222)()0(24)(24)x x x x x x x x x g x x x --+-----'==<++， ∴1()(0)4g x g <=，∴14a ≥． （2）[()]e 20x f x x a ''=+>∴=()y f x '在(0)+∞，上单调递增 又(0)=410f a '-<，(1)=60f a '>∴存在(,1)t ∈0使()=0f t '∴(0,)x t ∈时，()0f x '<，(0,)x t ∈时，()0f x '>当=x t 时，2min ()=()=(2)e +(2)t f x f t t a t -+且有()=e (1)+2(2)0tf t t a t '-+=，∴e (1)=2(2)t t a t -+．由（1）知e (1)=()=2(2)t t a g t t -+在(0,)t ∈+∞上单调递减， 1(0)=4g ，(1)=0g ，且104a <<，∴(0,1)t ∈． ∴22min e (1)(2)()=()=(2)e +(2)e 2(2)2t tt t t t f x f t t t t --+--+=+， 2e ()=(1)02tf t t t '---<， ∴(1)()(0)f f t f <<，e ()1f t -<<-，∴()f x 的最小值的取值范围是(e,1)--．22．解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=．（2）π)4P ，直角坐标为(2,2)， (2cos ,sin α)Q α，1(1cos ,1sin )2M αα++，l ：230x y +-=．∵|||||()()|222x a x x a x a ++-≥+--=+且||02x -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2b a +， ∴12b a +=，22a b +=． 法二：∵2b a -<，∴3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， 显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b +∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()22bb f a =+， ∴12b a +=，22a b +=． （2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab+≥恒成立， 21212112219()(2)(14)(14)2222a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++≥++= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92．。
2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)
（2）若 PA=PD=AB=DC， ∠APD = 90o，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
( ) 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N µ,σ 2 ．
x − y ≤ 0
15．已知双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的右顶点为
A ，以
A 为圆心， b
为半径作
圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线于交 M 、 N 两点，若 ∠MAN = 60o，则 C 的离心
率为__________．
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的 等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB， 使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为______．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
2017年辽宁省高考数学试卷与解析word(理科)(全国新课标Ⅱ)
2017年辽宁省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年辽宁省数学试题(理科数学)Word版高考真题试卷含答案
2017年辽宁省数学试题(理科数学)Word版高考真题试卷含答案2017年普通高等学校招生全国统一考试，辽宁省理科数学考试注意事项如下：1.在答题前，考生必须填写自己的姓名和准考证号，并将条形码粘贴在指定区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹清晰。
3.考生必须按照题号顺序在答题卡相应的区域内作答，超出答题区域的答案无效。
草稿纸和试卷上的答案也无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.考生必须保持答题卡的清洁，不要折叠、弄皱或弄破，也不得使用涂改液、修正带或刮纸刀。
1.解题思路：将分数的分子和分母分别进行有理化，然后进行化简即可。
最终结果为2-i，选项D。
2.解题思路：由题意得到方程x^2-4x+m=0，因为1∈B，所以1是x^2-4x+m=0的一个解，带入得到m=3，因此B是集合B的解。
选项B。
3.解题思路：设7层塔顶层有x盏灯，则第6层有2x盏灯，第5层有4x盏灯，以此类推，得到第1层有64x盏灯。
因为共有381盏灯，所以x=3，因此顶层有5盏灯。
选项C。
4.解题思路：该几何体为一个半球和一个高为2的圆柱相交所得，因此体积为(2/3)πr^3+2πr^2=42π，选项C。
5.解题思路：约束条件表示为2x-3y+3≥0，y+3≥0，2x+3y-3≤0，将其转化为标准形式，得到y≤(2/3)x+1，y≥-3，y≤(-2/3)x+1，因此可得到可行域，最小值为-15.选项A。
6.解题思路：将4项工作分配给3名志愿者，每人至少完成1项，因此可以先将1项工作分配给每个人，然后将剩下的1项工作分配给其中两个人，因此共有3×C(3,2)=9种不同的安排方式，但是每种安排方式可以由不同的人完成，因此实际的安排方式为9×4=36种。
选项D。
7.解题思路：假设甲乙丙丁的成绩依次为A、B、C、D，则根据老师的提示，可以得到以下信息：A、B至少有一人优秀，C、D至少有一人良好，B、C至少有一人优秀，A、D至少有一人良好。
2017年大连市高三一模数学(理科)试题(含答案)
1 5
6
2k (k Z ) 时， f ( x) 取得最小值 2． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 ， 3
7分
(2) ∵ f ( A)=4 ，∴ A
2 2 2 又∵ BC 3 ，∴ a b c 2bc cos
m PF =0 设平面 PFM 的法向量 m ( x1, y1, z1 ) ， ， m PM =0
即
x 2 z 0 ， m (2, 1,1) 2 x 2 y 2 z 0
n BF =0 n FM =0
，
设平面 BFM 的法向量 n ( x2 , y2 , z2 ) ，
(18)(本小题满分 12 分) 解： （Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 O
频率 组距
50 60 70 80 90 100
2017年辽宁省大连市高三第一次模拟考试理科数学试题及答案
一模测试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B = （ ） （A ） [1,0]- （B ） [1,0]- （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞ （2）设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+ （3）已知1,a b == ，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ） 3π （D ）23π（4）已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）12（B ）1 （C ）（D ）2(5)已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是（ ） （A ）25（B ）35（C ）12（D ）310（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）（A ）323（B ）64 （C （D ） 643（8）已知直线1)y x =-与抛物线:C xy 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅MB MA ，则=m （ ）（A（B ）2（C ）21 （D ）0（9）对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M函数，① 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）（A ）2()f x x = （B ） ()21x f x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+（10）在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则当xy 取得最大值时，点P 的坐标是（ ）（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6) （D ）5(,5)2（11) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数0)y x =≥的图象交于点P ，若函数y =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）（A ）12（B ）22（C）12（D ）32（12）若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是（ ）（A ）14（B ）1 （C ）2 （D ）12第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） （13）函数1sin 2y x x=([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________．（14）612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．(15) 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 ．（16）同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 ． 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) （17）(本小题满分12分) 已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221nnn S a S =-(2)n ≥.(Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<.（18）(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60 ，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=1，点,E F分别为为AB和PD中点.(Ⅰ)求证：直线AF//平面PEC；(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.（19）(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：明）？(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望.（20） （本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)，且离心率为2，.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n +=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ymn+=； （Ⅲ）以圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.（21）（本小题满分12分）若定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-， 21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+，（Ⅰ）求函数()f x 解析式； （Ⅱ）求函数()g x 单调区间； （Ⅲ）若x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由。
辽宁省大连市高2020届高2017级高三下学期第一次模拟考试理科数学试题及参考答案解析
辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学试题试题第I 卷一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}|23A x x =-<<,{}1,0,1,2,3B =-,则集合A B 为( )A.{}2,1,0,1,2--B.1,0,1,2C.{}1,0,1,2,3-D.{}2,1,0,1,2,3--【参考答案】：B直接判断集合B 有哪些元素在集合A 中即可.【详细解答】因为集合{}|23A x x =-<<,{}1,0,1,2,3B =-,所以集合{}1012A B ⋂=-，，， 故选：B本题考查了集合的交集运算,属于容易题.2.已知复数z 满足()12i z +=,则复数z 的虚部为( ) A.1B.1-C.iD.i -【参考答案】：B 设,,z a bi a b R =+∈（）,由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（） ,2a bi b a i ⇒+=-+-（）,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ,故选B.3.下列函数中是偶函数,且在()0,∞+是增函数的是( )A.ln y x =B.cos y x =C.2y x =-D.3y x =【参考答案】：A对于A 选项：函数ln y x =是偶函数且函数ln y x =为增函数；对于B 选项：函数cos y x=是偶函数但当()0,x ∈+∞时不是增函数；对于C 选项：函数2y x =-是偶函数,但当()0,x ∈+∞时为减函数；对于D 选项：函数3y x =是奇函数.【详细解答】对于A 选项：因为函数ln y x =中自变量x 含有绝对值,所以是偶函数, 当0x >时,函数ln ln y x x ==为增函数,故正确；对于B 选项：根据函数cos y x =的图像可知它是一个偶函数, 但当()0,x ∈+∞时有增有减,故错误；对于C 选项：函数2y x =-是开口向下的二次函数是偶函数, 但当()0,x ∈+∞时为减函数,故错误； 对于D 选项：函数3y x =是奇函数,故错误； 故选：A本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断,属于较易题. 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4512a a +=,则8S 的值为( ) A.14B.28C.36D.48【参考答案】：D利用等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质即可求出. 【详细解答】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 所以()()18818842a a S a a +==+()45448a a =+=故选：D本题考查了等差数列的前n 项和公式的计算以及等差数列性质的应用,属于较易题. 5.PM 2.5是衡量空气质量的重要指标,我国采用世卫组织的最宽值限定值,即PM 2.5日均值在335/g m μ以下空气质量为一级,在33575/g m μ-空气质量为二级,超过375/g m μ为超标,如图是某地1月1日至10日的PM 2.5(单位：3/g m μ)的日均值,则下列说法正确的是( )A.10天中PM 2.5日均值最低的是1月3日B.从1日到6日PM 2.5日均值逐渐升高C.这10天中恰有5天空气质量不超标D.这10天中PM 2.5日均值的中位数是43 【参考答案】：D根据给的图,列出对应的数据,即可得到.【详细解答】对于A 选项：10天中PM 2.5日均值最低的是1月1日,故A 选项不正确； 对于B 选项：前两天的均值到前三天的均值是减少的,故B 选项不正确； 对于C 选项：不超过375/g m μ有8天,故C 选项不正确； 对于D 选项：因为这十天的数据从小到大排列后为：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,可得到它的中位数为43,故D 选项正确 故选：D本题考查了根据折线图像得到数据,解决一些数据有关问题,属于较易题.6.已知抛物线24y x =上点B (在第一象限)到焦点F 距离为5,则点B 坐标为( )A.()1,1B.()2,3C.()4,4D.(【参考答案】：C先根据抛物线定义可得到B 点的横坐标,再代入抛物线方程即可. 【详细解答】设()()000,,0B x y y >, 因为点B 到焦点F 距离为5即5BF =, 根据抛物线定义：00152pBF x x =+=+=, 解得：04x =,代入抛物线方程24y x =, 得04y =即()4,4B 故选：C本题考查了利用抛物线定义求抛物线上点的坐标,属于较易题. 7.设非零向量m ,n 则“m n ⊥”是“22m n m n +=-”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】：C根据m n ⊥可得0m n ⋅=,由22m n m n +=-也可得0m n ⋅=,再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可. 【详细解答】因为m n ⊥, 所以0m n ⋅=,因为22m n m n +=-,两边平方可得：22222424m m n n m m n n ++=-+即0m n ⋅=,由充分条件和必要条件可判断出m n ⊥是22m n m n +=-的充分必要条件 故选：C本题考查了向量垂直的充要条件数量积为零,向量的运算以及充分条件,必要条件的判断,属于一般题.8.如图是函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象,则ω,ϕ的值分别为( )A.1,3πB.1,6π-C.2,6π-D.2,6π 【参考答案】：D根据图像由6π到23π是半个周期即22362T πππ=-=,可得到周期2T ππω==,从而可求出ω的值,再由最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入计算即可. 【详细解答】由题意可得22362T πππ=-=, 即2T ππω==,解得：2ω=,因为函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><图象的最高点为,26π⎛⎫⎪⎝⎭,所以有：sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,即()2,32k k Z ππϕπ+=+∈,解得：()2,6k k Z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以6π=ϕ故选：D本题考查了利用函数的部分图像求函数的解析式,属于较易题.9.设数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =,121n n a S +=+,*n ∈N ,则5S 值为( ) A .363B.121C.80D.40【参考答案】：B根据n a 与n S 的关系可得1121n n n n a S S S ++=+=-,利用构造法可判断出数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,从而可求出数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式,即可求出5S 的值. 【详细解答】因为1121n n n n a S S S ++=+=-, 所以有：111322n n S S +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 即得到数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以公比为3的等比数列,所以有：1111133222n n n S S -⎛⎫+=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭, 即11313222n n n S -=⋅-=,当5n =时有5531243112122S --===故选：B本题考查了n a 与n S 的关系求通项公式,利用构造法求通项公式,属于较难题. 10.已知0a >,0b >,111a b+=,则+a b 的最小值为( ) A.14B.12C.2D.4【参考答案】：D根据已知条件,用+a b 乘以1,可得()11a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭,再展开利用基本不等式即可. 【详细解答】因为111a b+=, 所以()()111a b a b a b ⎛⎫+⋅=+⋅+⎪⎝⎭11224a b a b b a b a =+++=++≥+=, 当且仅当a bb a=即2a b ==时等号成立 故选：D本题考查了利用基本不等式求和的最小值,巧用了“1”的乘积,属于一般题. 11.已知a ,b 是两条直线,α,β,γ是三个平面,则下列命题正确的是( ) A.若a ∥α,b ∥β,a ∥b 则α∥β B.若αβ⊥,a α⊥,则a ∥β C.若αβ⊥,αγ⊥,a βγ=,则a α⊥D.若α∥β,a ∥α,则a ∥β【参考答案】：C对于A 选项：当//,//,//a b a b αβ,则//αβ或αβ⋂；对于B 选项：当,a αβα⊥⊥,则//a β或a β⊂；对于C 选项：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知若αβ⊥,αγ⊥,a βγ=,则a α⊥；对于D 选项：当//,//a αβα,则//a β或a β⊂.【详细解答】对于A 选项：当//,//,//a b a b αβ,则//αβ或αβ⋂,故A 选项不正确； 对于B 选项：当,a αβα⊥⊥,则//a β或a β⊂,故B 选项不正确； 对于C 选项：根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知C 选项正确； 对于D 选项：当//,//a αβα,则//a β或a β⊂,故D 选项不正确； 故选：C本题考查了线面之间的平行与垂直关系,考查了学生的逻辑推理能力,属于一般题. 12.《易经》是中国传统文化中的精髓,下图是易经后天八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦),每一卦由三根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取两卦,记事件A =“两卦的六根线中恰有两根阳线”,B =“有一卦恰有一根阳线”,则()|P A B =( ),A.15B.16C.17D.314【参考答案】：B先根据已知条件分别求出()2328328C P A B C ⋂==和()25289114C P B C =-=,再代入条件概率的公式即可.【详细解答】由八卦图可知,八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个, 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个,而事件A 所包含的情况可分为两种, 即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴,另一个为全阴； 第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件AB 中只包含后者,即：()2328328C P A B C ⋂==,事件B的概率()25289114C P B C =-=,所以()31289614P A B ==故选：B本题考查了条件概率的计算,关键是计算出事件AB 的概率,属于一般题.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答｡二.填空题：(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.已知x ,y 满足约束条件0,0,2x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩则z x y=+最大值为__________.【参考答案】：4；根据已知条件画出约束条件的可行域,再平移目标函数直线即可求出目标函数的最大值.【详细解答】因为x ,y 满足约束条件0,0,2x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,所以得到可行域(如图)当目标直线过()2,2B 时目标函数z x y =+有最大值4 故答案为：4本题考查了线性规划,利用数形结合求目标函数的最值,属于较易题.14.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为y x =±,则双曲线的离心率为_______.【参考答案】2双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±,根据题意知1b a ±=±,所以1ba=. 双曲线的离心率2222222e 12c c a b b a a a a+====+=2点睛：在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中,(1)离心率为c a, (2)焦点为()c,0,其中222a b c +=； (3)渐近线为：b y x a=±. 15.定义在()1,+∞上的函数()f x 满足下列两个条件(1)对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立；(2)当(]1,2x ∈时,()2f x x =-.则()6f 的值是__________.【参考答案】：2根据已知条件把()6f 化成342f ⎛⎫⎪⎝⎭,再根据当(]1,2x ∈时,()2f x x =-代入即可. 【详细解答】因为对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立, 所以有：()()()336232322422f f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又因为当(]1,2x ∈时,()2f x x =-, 所以3312222f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭, 所以()36422f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：2本题考查了求抽象函数的函数值,属于较易题.16.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点O 为线段BD 的中点,设点P 在线段1CC 上二面角1A BD P --的平面角为α,用图中字母表示角α为__________,sin α的最小值是__________.【参考答案】： (1).1A OP ∠ (2).63根据题意：连结1,A O OP和1PA,因为11A B A D=则1AO BD⊥,因为PB PD=则OP BD⊥即可得1A OP∠为二面角1A BD P--的平面角,利用直线与平面的位置关系,从而判断sinα的最小值.【详细解答】连结1,A O OP和1PA,如图因为11A B A D=则1AO BD⊥,因为PB PD=则OP BD⊥,即可得1A OP∠为二面角1A BD P--的平面角,设正方体1111ABCD A B C D-的边长为2,当P点与1C重合时,则1116,22AO OP AC===由余弦定理可得：22211111cos023AO OP ACAO OPα+-==>⋅,则1A OP∠为锐角且2sin3α=,当P点与C重合时,则116,2,23AO OP AC=由余弦定理可得：2221113cos02AO OP ACAO OPα+-==<⋅则1A OP∠为钝角且6sin3α=,由此可判断当P点从1C运动到C时,1A OP∠从锐角到钝角,则sin α先增大后减小,所以sin α故答案为：3本题考查了二面角的平面角定义以及求二面角的三角函数值,考查了学生的推理和计算能力,属于较难题.三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.设函数2()2sin cos 2cos ()4f x x x x π=-+.(Ⅰ)求()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)在ABC 中,角A ,B ,C ,的对边分别为a ,b ,c ,若02B f ⎛⎫=⎪⎝⎭,a =1c =,求b .【参考答案】：(Ⅰ)(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅱ)1(I)利用正弦,余弦的二倍角公式对函数()f x 进行化简得到：()2sin 21f x x =-,再利用整体代入法即可求出函数的单调递增区间；(II)由(I)得到的()2sin 21f x x =-可计算出()02Bf =中角B 的值,结合条件中,a c 的值,利用余弦定理即可求出b . 【详细解答】解：(Ⅰ)由题意可知()22sin cos 2cos 2sin cos cos 2144f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21sin 2sin 212sin212x x x x x π⎛⎫=-+-=+-=- ⎪⎝⎭,由()22222k x k k z ππππ-≤≤+∈,所以()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅱ)由2sin 102B f B ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,可得1sin 2B =, 由题意知()0,B π∈故6B π=,或56B π=由余弦定理22222231b a c accosB a c ac =+-=+-=,1b ∴=或7本题考查了利用二倍角公式对三角函数进行化简,利用余弦定理求三角形边长的大小,属于较易题.18.某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况,从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人,由调查结果得到如下的频率分布直方图：(Ⅰ)写出频率分布直方图(高一)中a 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为21s ,22s ,试比较21s ,22s 的大小(只要求写出结论)；(Ⅱ)估计在高一、高二学生中各随机抽取1人,恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率； (Ⅲ)由频率分布直方图可以认为,高二学生锻炼时间Z 服从正态分布()2,N μσ.其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差,且每名学生锻炼时间相互独立,设X 表示从高二学生中随机抽取10人,其锻炼时间位于()14.55,38.45的人数,求X 的数学期望. 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得2142.7511.95s =≈ ②若()2,Z N μσ~,则()0.6826P Z μσμσ-<<+=,(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=【参考答案】：(Ⅰ)0.015a =,2212s s >；(Ⅱ)0.42(Ⅲ)6.826(I)根据图中的数据即可判断方差的大小,利用频率总和为1即可求出a 的值；(II)先设设事件A ：在高一学生中随机抽取1人,其锻炼时间不大于20分钟,事件B ：在高二学生中随机抽取1人,其锻炼时间不大于20分钟,根据图形数据可得到它们的概率,而恰有一人的锻炼时间大于20分钟分两种情况：一种是这个人在高一；另一种是这个人在高二；再不出它们的概率和即可；(III)利用所给的数据分别求出样本平均数x 和样本方差,代入公式即可求出概率和数学期望.【详细解答】解：(Ⅰ)0.015a =,2212s s >；(Ⅱ)设事件A ：在高一学生中随机抽取1人,其锻炼时间不大于20分钟, 事件B ：在高二学生中随机抽取1人,其锻炼时间不大于20分钟,事件C ：在高一、高二学生中随机抽取1人,恰有一个学生锻炼时间大于20分钟,且另一个不大于20分钟,则()0.200.100.30P A =+=,()0.100.200.30P B =+=,()()()()()0.42P C P A P B P A P B ∴=+=.(Ⅲ)26.5x =,由条件得()26.5,142.75Z N ~, 从而()26.511.9526.511.950.6826P Z -<<+=,∴从高二中随机抽取10人,其锻炼时间值位于()14.55,38.45的概率是0.6826,根据题意得()10,0.6826X B ~,100.6826 6.826EX ∴=⨯=.本题考查了概率的计算及正态分布期望值的计算,考查了学生对数据的处理能力和计算能力,属于一般题.19.如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形,A 在侧面11BB C C 上的投影恰为1B C的中点O ,E 为AB 的中点.(Ⅰ)证明：OE ∥平面11ACC A ； (Ⅱ)若160CBB ∠=︒,12cos ACC ∠=11C A 上是否存在点F (F 不与1C ,1A 重合)使得直线EF 与平面11ACC A 3若存在,求出111C F C A 的值；若不存在,说明理由.【参考答案】：(Ⅰ)见解析(Ⅱ)存在,11112C F C A =(I)根据已知条件先连接1BC ,1AC ,因为O ,E 分别为1BC ,AB 中点,所以根据中位线的性质即可得到1//OE AC ,再利用线面平行的判定定理即可.(II) 因为AO ⊥平面11BB C C ,11BB C C 为菱形,如图建立空间直角坐标系O xyz -,写出相关点的坐标,并设()11101CF C A λλ=<<,求出平面11AA CC 的法向量n ,结合已知条件即可求出111C FC A 的值. 【详细解答】解：(Ⅰ)证明：连接1BC ,1AC , 因为O ,E 分别为1BC ,AB 中点,所以1//OE AC , 因为OE ⊄平面11ACC A ,1AC ⊂平面11ACC A , 所以//OE 平面11ACC A .(Ⅱ)因为AO ⊥平面11BB C C ,11BB C C 为菱形,如图建立空间直角坐标系O xyz -, 设2BC =,因为160CBB ∠=︒,11cos cos cos ACC ACO OCC ∠=∠⋅∠, 所以2cos 2ACO ∠=所以1AO =, 所以)3,0,0B,()0,1,0C -,()13,0,0C -,()0,0,1A ,()13,1,1A -,所以312E ⎫⎪⎪⎝⎭, 设()11101CF C A λλ=<<, 所以()3,,F λλ-,所以331,22EF λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=,设平面11AA CC 的法向量(),,n x y z =, 因为()0,1,1CA =,()13,1,0CC =-,所以030y z x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,所以n 的一组解为(1,3,3n =-, 因为直线EF 与平面11ACC A 3所以2233sin 271742nnEF EF θλλ⋅===⎛⎫++- ⎪⎝⎭, 解得12λ=,0λ=(舍),所以11112C FC A=.本题考查了线面平行的证明方法,考查了利用空间向量方法求线面角的正弦值,属于一般题.20.已知过点31,2P⎛⎫⎪⎝⎭的曲线C2222(1)(1)2x y x y a-+++=.(Ⅰ)求曲线C的标准方程:(Ⅱ)已知点()1,0F,A为直线4x=上任意一点,过F作AF的垂线交曲线C于点B,D. (ⅰ)证明：OA平分线段BD(其中O为坐标原点)；(ⅱ)求||||BDAF最大值.【参考答案】：(Ⅰ)22143x y+=(Ⅱ)(ⅰ)见解析(ⅱ)1(I)由题意把点31,2P⎛⎫⎪⎝⎭代入方程可得a的值,利用椭圆的定义可求出曲线C的标准方程；(II)(i)先设()11,B x y,()22,D x y,BD的中点()00,M x y,和直线BD的方程为1x my=+和直线AF的方程为()1y m x=--,联解椭圆方程可得到M的坐标,证明OA OMk k=即,,O A M三点共线,即证明出OA平分线段BD；(ii)利用两点间距离公式和椭圆弦长公式分别求出,AF BD,利用基本不等式求最值. 【详细解答】解：(Ⅰ)将31,2P⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C()()2222112x y x y a-+++=, ()()222233351111422222a⎛⎫⎛⎫-+++=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2a =；由椭圆定义可知曲线C 的轨迹为以()1,0-,()1,0为焦点的椭圆, 即1c =,2223b a c =-=,所以C 的标准方程为22143x y +=.(Ⅱ)(ⅰ)设()11,B x y ,()22,D x y ,BD 的中点()00,M x y 设BD 的方程为1x my =+, 则AF的方程为()1y m x =--,所以()4,3A m -.将直线BD 与椭圆C 的方程联立22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩, 得()2234690m y my ++-=.则122634m y y m -+=+,122934y y m -⋅=+, ()1212122811234x x my my m y y m +=+++=++=+,2243,3434m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭,34OA OM mk k =-=, OA ∴平分线段BD .(ⅱ)AF =()2212134m BD m +==+BDAF ∴=,令1t =≥,即221m t =-, 2441313BD t AFt t t∴==++令1()3,(1)f t t t t=+≥,则21()30f t t '=+>, 1()3f t t t∴=+在[)1,t ∈+∞上为增函数,即1()3(1)4f t t f t=+≥=,24411313BD t AFt t t∴==≤++(当且仅当“1t =”时取等号) BD AF∴的最大值为1.本题考查了证明三点共线弦长的计算,利用导数求最值,考查了学生的计算能力,属于较难题. 21.已知函数2()2sin 2f x x x x a π=-+-. (Ⅰ)当0a =时,求()f x 零点处的切线方程； (Ⅱ)若()f x 有两个零点1212,()x x x x <,求证：2211(2)x x a πππ---≥.【参考答案】：(Ⅰ)()22y x π=+或()22244y x πππ=--+(Ⅱ)见解析(I)先把0a =代入得到()22sin 2f x x x x π=-+,根据零点存在性原理判断函数的零点坐标原点()0,0O 和()2,0π,代入求出切线斜率即可求出切线方程；(II)先构造一个函数()()2222sin 2F x x x x x ππ=+-+-,利用这个函数可得到()2222sin 2x x x x ππ+≥-+,从而有()()211113222sin 222x x x x a x πππ+≥-+==+,再构造()()()22222sin 2G x x x x x πππ=---+-,得到()()22222sin 2x x x x πππ--≥-+,有()()()()2222242222sin 2222x x x x a x πππππ--≥-+==--,再根据2143x x x x -≤-即可证明.【详细解答】解：(Ⅰ)由题意得：0a =,()22sin 2f x x x x π∴=-+,定义域为x R ∈,()2cos 22f x x x π=-+',()2sin 20f x x ''=--<,()f x ∴'在x R ∈上为减函数.()0220f π=+'>,()20f ππ=-<'∴由零点存在定理可知,()f x '在()0,x π∈上必存在一点0x 使()00f x '= ∴当()0,x x ∈-∞时,()0f x '>,即()f x 在()0,x x ∈-∞上为增函数,当[)0,x x ∈+∞时,()0f x '≤,即()f x 在[)0,x x ∈+∞上为减函数,()f x ∴极大值()0f x =,故()f x 至多有两个零点,又()00f =,()20f π=,故0x =,2x π=是()f x 的两个零点,∴由()022f π'=+,()222f ππ=-', 易得出两切线方程为：()22y x π=+或()22244y x πππ=--+(Ⅱ)由(Ⅰ)易知102x x x <<,设()()2222sin 2F x x x x x ππ=+-+-,()22cos 2F x x x =-+',()2sin 20F x x ='+'≥, ()22cos 2F x x x ∴=-+'在x R ∈上为增函数,()00F '=∴当(),0x ∈-∞时,()0F x '<,即()F x 在(),0x ∈-∞上为减函数,当[)0,x ∈+∞时,()0F x '≥,即()F x 在[)0,x ∈+∞上为增函数,()()00F x F ∴≥=,即()2222sin 2x x x x ππ+≥-+,设()22y x π=+与y a =的交点横坐标为3x ,()()211113222sin 222x x x x a x πππ+≥-+==+,()22y x π=+为增函数,()3122ax x π∴=≤+,同理设()()()22222sin 2G x x x x x πππ=---+-,()242cos 2G x x x π=--+',()2sin 20G x x ='+'≥,()242cos 2G x x x π∴=--+'在x R ∈上为增函数,()20G π'=,∴当[)2,x π∈+∞时,()0G x '≥,即()G x 在[)2,x π∈+∞上为增函数,当(),2x π∈-∞时,()0G x '<,即()G x 在(),2x π∈-∞上为减函数,()()20G x G π∴≥=,即()()22222sin 2x x x x πππ--≥-+,设()()222y x ππ=--与y a =的交点横坐标为4x ,()()()()2222242222sin 2222x x x x a x πππππ--≥-+==--,()()222y x ππ=--为减函数,42222ax x ππ∴=+≥-,故：()()2143242222221a ax x x x πππππππ-≤-=+=+-+-, ()22112x x a πππ-∴--≥得证.本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,利用构造函数以及函数的单调性来证明不等式,属于困难题.请考生在22,23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【参考答案】：(1)22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x ++=；(1)利用代入消元法,可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；(2)利用参数方程表示出C 上点的坐标,根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式,从而根据三角函数的范围可求得最值.【详细解答】(1)由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+,又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈-又cos x ρθ=,sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=(2)设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,d 取最小值则min d =本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题. 选修4—5：不等式选讲23.已知函数()2f x m x =--,m ∈R ,()3g x x =+. (Ⅰ)当x ∈R 时,有()()f x g x ≤,求实数m 的取值范围.(Ⅱ)若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3,正数a ,b 满足231ab a b m --=-,求+a b 的最小值.【参考答案】：(Ⅰ)(],5m ∈-∞(Ⅱ)()min 7a b +=(I)根据不等式恒成立的等价不等式,可转化为求含两个绝对值的最值,利用绝对值的三角不等式求最值即可；(II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值,代入231ab a b m --=-并用a 表示b ,再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.【详细解答】解：(Ⅰ)由题意得：()()f x g x ≤在x R ∈上恒成立,23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立.()min 32m x x ∴≤++-,又()()32235x x x x ++-≥--+=,当且仅当()()230x x -+≤,即[]3,2x ∈-时等号成立. 5m ∴≤,即(],5m ∈-∞.(Ⅱ)令()0f x ≥,2x m ∴-≤, 若0m ≤时,∴解集为∅,不合题意；若0m >时,2m x m ∴-≤-≤,[]2,2x m m ∴∈-+,又[]1,3x ∈,1m ∴=,∴综上所述：1m =, 22ab a b ∴--=,221a b a +∴=- 00a b >⎧⎨>⎩,∴解得1a >,2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--,37a b ∴+≥=,当且仅当411a a -=-,即3a =时等号成立, 此时2241a b a +==-.∴当3a =,4b =时,()min 7a b +=. 本题考查了绝对值的三角不等式,以及利用基本不等式求最值,属于一般题.。
新课标高考理科数学模拟试题含答案
新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1 不能D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A．B．C ．D ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+ D ．2213FPFP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7．12- C ．12D 7 10．曲线12e x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2年B ．4e 2, C ．2e 2 D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
2017届辽宁省大连市高三第一次模拟考试理科数学试题及答案(word版)
2017年大连市高三一模测试数 学（理科）说明：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． 球的表面积公式：24R S π=，其中R 为半径.一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}12≥=x x A ，则∁R A =( )A. (-∞,0]B. (-∞,0)C. [0，+∞)D. (0，+∞)2．复数311iz +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为( ) A.1-i B.1+i C.i 2121+ D. i 2121-3．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生．这里运用的抽样方法是( )A.抽签法B.随机数表法C.系统抽样4．向量a =)1,(m ,b =)1,(n ,则1=nm是a //b 的( )A. 充分而不必要条件B.C. 充分必要条件D.5．若角α的终边过点)2,1(-，则)2cos(απ-的值为( ) A.53 B.53- C.55 D.55- 6．执行如图所示的程序框图,若输入]2,0[π∈x ，则输出y 的取值范围是( ) A.[0,1] B. [-1,1] C. [-22,1] D. [-1,22] 7．4个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置，共有( )种不同的站法．A. 6个B. 9个C.12 个D. 18个 8．在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,，则满足12-≥x y 的概率是( ) A. 92B. 97 C. 61 D.65 9． 函数)40)(3sin()(<<-=ωπωx x f 图象的一条对称轴方程是125π=x ，将函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是( ) A. ()g x =x 2sin B. ()g x =)sin(62π-xC. ()g x =)sin(654π-x D. ()g x =)sin(3054π-x10．已知双曲线:C )(014222>=-b b y x 的一条渐近线方程为x y 26=，21,F F 分别为双曲线C 的左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，1:3:21=PF PF ,+的值是( ) A. 4 B. 26 C. 210 D.5106 11．若x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[ 1.5]2,[5.1]5-=-=）．设{}[]x x x =-，则对函数{}x x f =)(，下列说法中正确的个数是（ ） ①定义域为R ，值域[0,1) ②它是以1为周期的周期函数③若方程k kx x f +=)(有三个不同的根，则实数k 的取值范围是1111(,][,)3443-- ④若121n x x n <+≤≤(n Z)Î,则12f(x )f (x )£A. 1B.2C. 3D. 412．已知212+==x x g e x f x ln )(,)(，对R,(0,)a b ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A. 11ln 22+B. 11ln 22-12 D. 2124e -第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的表面积为 ．14．焦点在x 轴的椭圆()x y a a a +=>+2221041，则它的离心率的取值范围为 ． 15．设ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足,53cos cos a C b B c =- 则=CBtan tan ．16．如图，在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各有一个动点P 、Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的 动点，则111M ABPQABC A B C M ABPQV V V ----的最大值是 ．1APB C AQ1CM1B （第16题图）（第13题图）三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，等比数列{}n b 的公比21，有153=S ,3211=+b a ，6422=+b a ． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n n b a ,； （Ⅱ）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）为了调查某厂数万名工人独立生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天独立生产该产品的数量，产品数量的分组区间为)15,10[，),25,20[),20,15[),30,25[)35,30[，频率分布直方图如图所示，已知独立生产的产品数量在)25,20[之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）工厂规定：若独立生产能力当日不小于25，则该工人当选今日“生产之星”． 若将这天独立生产该产品数量的频率视为概率，随机从全厂工人中抽取3人， 这3人中当日“生产之星”人数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E ．（第18题图）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -,底面ABCD 为直角梯形，AD BC //,CD BC ⊥,AD CD BC 21==,APB ∆是等腰直角三角形，,90o =∠APB H 是AB 中点， PD PC =．（Ⅰ）证明：⊥PH 平面ABCD ;（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知过抛物线2:4C x y =的焦点F 直线与C 交于,A B 两点．HAB CPD（第19题图）（Ⅰ）求线段AB 中点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）动点P 是抛物线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 与抛物线C 的准线l 分别交于点,M N ，求⋅的值．21.（本小题满分12分）. f(x)=2cosx 12x +-（Ⅰ）求证： x 0,f(x)0≥≥;（Ⅱ）若不等式2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，以R t △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心OC 为半径的⊙O 与AC 另一个交点E ，D 为斜边AB 上一点，且OD=OC ，2AD AE AC =⋅.（Ⅰ）证明AB 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若8DE OB ⋅=，求⊙O 的半径．23. 选修4－4：极坐标与参数方程选讲（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为t t y t x (,2,1⎩⎨⎧+=+=为参数），以该直角坐标系的原点（第22题图）DEABOCO 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．24. 选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分） 设不等式)(32*∈<-+-N a a x x 的解集为A ,且32A,A 2蜗.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）求函数()2f x x a x =++-的最小值.2017年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1.B2.D3.C4.A5.A6.C7.B8.D9.A 10.C 11.C 12.A 二．填空题 13.π3314.(,0215.4116.21三．解答题 17． 解：（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+,,,6232511111b d a b a d a解得,,,213211===b d a ………………4分所以.)(,n n n b n a 2113=-= ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知⨯+⨯+⨯=82152122)(n S 321)(+n n n n ))(())((211321431-+-+⋅⋅⋅- ①①21⨯得+⨯+⨯=3221521221)()(n S 121132143+-+-+⋅⋅⋅n n n n ))(())(( ②……8分①-②得1322113212121321221+--+⋅⋅⋅++⨯+⨯=n n n n S ))((])()()[( 1121132112114131+-----+=n n n ))((])([， ………………10分整理得52153++-=n n n S ))((． ………………12分18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在)25,20[之间的频率为0.3， 所以,.306=m即.20=m ………………4分 （Ⅱ）由频率分布直方图可得产品数量不小于25的频率为0.4，所以三人中每人是“生产之星”的概率都是,52 ………………6分X 的取值为0,1,2,3，由题知X~),,(523B()(),()(),()(),()()p X p X C p X C p X =====⨯⨯===⨯====3123223332723540151255512523362823551255125所以X 的分布列为………………10分所以)(X E =56． ………………12分19.证明：（Ⅰ）取CD 中点G ，连接,PG HG 。
2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．306．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．07．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．C．D．（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数．16．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，={x|x＜0或x＞1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}．故选：D．3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要条件，故选：A．4．若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质直接求解即可．【解答】解：点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为：．故选：D．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得a n，S n，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵a n﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．0【考点】简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y 的最优解，然后求解z最大值即可．【解答】解：根据不等式，画出可行域，由，可得x=3，y=0平移直线2x+y=0，∴当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6．故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．9．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；模拟运行过程，即可得出结果．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；模拟如下；m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×＜0，b=，|a﹣b|=≥d；m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×（﹣）＞0，a=，|a﹣b|=＜d；程序运行终止，输出m=．故选：B．10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．C．D．（1，+∞）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】通过变形可知问题转化为不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）并求导可知g（x）在R上单调递增，利用单调性即得结论．【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，又∵x1+x2=1，∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），∵f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），∴g（x）=e x﹣e1﹣x+m（2x﹣1），则g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x．故答案为：y=x．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数128．【考点】数列的应用．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128故答案为：12816．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，设焦点F（c，0），与y=x垂直的直线为y=﹣（x﹣c），由可得A（，）；由可得B（，﹣），再由，可得0﹣（﹣）=2（﹣0），化为a2=3b2=3（c2﹣a2），即为3c2=4a2，则e==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，，，．所以X的分布列为或．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F （1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为，求出．设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，化简求出b，即可得到椭圆方程．（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出，利用弦长公式化简，推出|CD|的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆Q的长轴长为，∴．设P（x0，y0），∵直线PA与OM的斜率之积恒为，∴，∴，∴b=1，故椭圆的方程为．（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），∴．∴∴CD的垂直平分线方程为，令y=0，得∵，∴，∴．=，．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，通过f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到，构造函数，利用导函数的单调性以及最值求解即可．（2）通过[f'（x）]′=x•e x+2a＞0，数码y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增，利用零点判定定理说明存在t∈（0，1）使f'（t）=0，判断x=t，，推出．即在t ∈（0，+∞）上单调递减，通过求解函数的最值，求解f（x）的最小值的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴e x+（x﹣2）e x+2ax+4a≥0，∴，令，，∴，∴．（2）[f'（x）]′=x•e x+2a＞0，∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，当x=t时，且有f'（t）=e t•（t﹣1）+2a（t+2）=0，∴．由（1）知在t∈（0，+∞）上单调递减，，且，∴t∈（0，1）．∴，，∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．2017年4月15日。
辽宁省锦州市高考数学一模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2017年某某省某某市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅D．M⊈N且N⊈M2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣ i B． i C．﹣ D．3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+π C．4+πD．4+π+π4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．2606．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．1349．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g （α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．10．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B． C． D．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值X围为（）A．[﹣1，1] B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为．14．设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则=．15．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值X围．18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值X围．21．已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C 交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，某某数a的取值X围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．2017年某某省某某市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅D．M⊈N且N⊈M【考点】15：集合的表示法．【分析】利用子集的定义判断两个集合间的包含关系，从而确定集合间的关系．【解答】解：∵1∈M，1∉N；0∈N，0∉M；∴M⊈N且N⊈M．故选：D．2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣ i B． i C．﹣ D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+π C．4+πD．4+π+π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，计算可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S=2××2×2+×π×2×=4+π，故选：C．4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．【解答】解： =（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C5．已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由已知中等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，我们易求出a3=0，结合a1+a13=a3+a11即可得到S13的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．6．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】7D：简单线性规划的应用；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，可知该程序是计算并输出A的值，总结规律即可得出结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，否；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i＞2017，否；i=4，A=1﹣=，…；i=2017=3×672+1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2018=3×672+2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，是，终止循环，输出A=﹣1．故选：C．8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．134【考点】CF：几何概型．【分析】设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．9．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g （α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得g（x）的解析式，再根据题意可得g（x）的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得g（α+）+g（）的值．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣=sin（2x+）﹣，把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]﹣=sin2x﹣的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y=g（x）=sin2x﹣+2=sin2x+的图象．若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=α对称，∴2α=kπ+，求得α=+，k∈z，故可取α=，∴g（α+）+g（）=sin（+）++sin+=4，故选：A．10．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B． C． D．【考点】7F：基本不等式．【分析】=（）（a+b﹣2）=2+1++，根据基本不等式即可求出【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，∴=（）（a+b﹣2）=2+1++≥3+2，当且仅当a=（b﹣2）时取等号，即b=1+，a=2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：D11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的渐近线方程，设P点坐标，根据直线的斜率公式，求得直线PF1的斜率及直线PF2的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y=x，渐近线为l2方程y=﹣x，则设P点坐标（x， x），则直线PF1的斜率k==，直线PF2的斜率k==，由l2⊥PF1，则×（﹣）=﹣1， =1，①l2∥PF2，则=﹣，解得：x=，②由①②整理得： =3，由双曲线的离心率e===2，∴双曲线的离心率2，故选A．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值X围为（）A．[﹣1，1] B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；66：简单复合函数的导数．【分析】利用构造法g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，即可求得实数m的取值X围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）=0，令g（x）=f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则g（2﹣m）+（2﹣m）2+f（﹣m）﹣（﹣m）2﹣m2+2m ﹣2≥0，即g（2﹣m）+g（﹣m）≥0，即g（2﹣m）﹣g（m）≥0，∴2﹣m≤m，解得m≥1故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为﹣12 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意利用乘方的意义，以及排列组合的知识，即可求得（x2﹣x﹣2）3展开式中x 项的系数．【解答】解：（x2﹣x﹣2）3表示3个因式（x2﹣x﹣2）的积，故其中一个因式选﹣x，其余的2个因式都取﹣2，即可得到含x的项，故含x项的系数为C31•（﹣2）×（﹣2）=﹣12．故答案为：﹣12．14．设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则= 7 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标和准线方程，过A、B、P 作准线的垂线段，垂足分别为 M、N、R，利用抛物线的定义得到|AM|+|BN|=2|PR|，求得结果．【解答】解：抛物线 x2=2y的焦点为F（0，0.5），准线方程为y=﹣0，5，过A、B、P 作准线的垂线段，垂足分别为 M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|=2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|3﹣（﹣0.5）|=7，故答案为：715．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=，所以点O到平面ABC的距离d=，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=2，此棱锥的体积为V==，故答案为：．16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为350﹣1 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=﹣=2×，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=﹣=2×，∴S100=2（30+31+…+349）==350﹣1．故答案为：350﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值X围．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦定理化简，求出B，根据三角内角定理可得A的X围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）由图象知A=1，，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，∵，∴故得函数．（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，根据正弦定理，得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA．∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=，即B=∴A+C=，即那么：，故得．18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；B8：频率分布直方图．【分析】（1）利用组中值代替本组数据计算平均值，和168比较得出结论；求出后3组的面积之和，再乘上总人数得出成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）利用正态分布得出全市前130名的成绩，得出50名社区居民中符合条件的人数，使用超几何分布的概率公式得出分布列．【解答】解：（1）该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72，∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4=10．（2）∵P=0.9974，∴P（ξ≥180）=（1﹣0.9974）=0.0013，∵0.0013×100 000=130．∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴E（ξ）=0×+1×+2×=．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O为AD中点．（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB=2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面PAB的法向量为，则，，得，，取x=1，得y=﹣1，z=1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s=0，，取r=1，则t=1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值X围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值X围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}21．已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）m=1时，化简函数f（x）=e x﹣lnx﹣2，求出函数的导数，判断函数的单调性，通过f′（）＜0，f′（1）＞0，利用零点判定定理证明即可；（2）求出函数f（x）的导函数，再求出导函数的导数，判断f′（x）在（0，+∞）上为增函数，结合（1）可求f（x）有最小值f（x0）=e t﹣lnt+lnm﹣2，进一步得到f（x0）=．设h（t）=，利用导数求其在（）上的值域（lnm，lnm+）．由f（x）＞0恒成立可得lnm+＞0成立，从而得到．【解答】证明：（1）当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣2，f′（x）=e x﹣，x＞0．f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（）＜0，f′（1）＞0，故存在唯一实数t∈（，1），使得f′（t）=0；（2）f′（x）=me mx﹣，f″（x）=＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上为增函数，而f′（x）=m（），由（1）得，存在唯一实数mx0=t∈（），使得f（x0）=0．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故f（x）有最小值f（x0）=e t﹣lnt+lnm﹣2．由（1）得，t=﹣lnt，∴f（x0）=．设h（t）=，当t∈（）时，h′（t）=＜0．h（t）在（）上单调递减，∴f（x0）=h（t）∈（lnm，lnm+）．∵f（x）＞0恒成立，∴lnm+＞0成立，故m＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C 交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程．（2）联立方程给求出射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），射线OT与直线l 的交点B的极坐标为（6，），由此能求出|AB|．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2=0，由ρ＞0解得ρ=2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ=6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|=|ρB﹣ρA|=4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，某某数a的取值X围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，求出左边的最小值，即可某某数a的取值X围（Ⅱ）图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，即可求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=﹣5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．。
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2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{an }满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．306．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．07．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x 1+x2=（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．C．D．（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数．16．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆Q的方程；且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的（2）设过左焦点F1垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，={x|x＜0或x＞1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}．故选：D．3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要条件，故选：A．4．若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质直接求解即可．【解答】解：点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为：．故选：D．5．已知数列{an }满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得an ，Sn，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴数列{an}是公差为2的等差数列．∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{an }的前n项和Sn==n2﹣6n．令an=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|an |=﹣an．n≥4时，|an |=an．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．0【考点】简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y 的最优解，然后求解z最大值即可．【解答】解：根据不等式，画出可行域，由，可得x=3，y=0平移直线2x+y=0，∴当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6．故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．9．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；模拟运行过程，即可得出结果．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；模拟如下；m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×＜0，b=，|a﹣b|=≥d；m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×（﹣）＞0，a=，|a﹣b|=＜d；程序运行终止，输出m=．故选：B．10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x 1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．C．D．（1，+∞）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】通过变形可知问题转化为不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）并求导可知g（x）在R上单调递增，利用单调性即得结论．【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，又∵x1+x2=1，∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），∵f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），∴g（x）=e x﹣e1﹣x+m（2x﹣1），则g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48 种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x．故答案为：y=x．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数128 ．【考点】数列的应用．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128故答案为：12816．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，设焦点F（c，0），与y=x垂直的直线为y=﹣（x﹣c），由可得A（，）；由可得B（，﹣），再由，可得0﹣（﹣）=2（﹣0），化为a2=3b2=3（c2﹣a2），即为3c2=4a2，则e==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，，，．所以X的分布列为X123P或．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F （1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为，求出．设P（x0，y），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，化简求出b，即可得到椭圆方程．（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x，y），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出，利用弦长公式化简，推出|CD|的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆Q的长轴长为，∴．设P（x0，y），∵直线PA与OM的斜率之积恒为，∴，∴，∴b=1，故椭圆的方程为．（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x，y），∴．∴∴CD的垂直平分线方程为，令y=0，得∵，∴，∴．=，．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，通过f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到，构造函数，利用导函数的单调性以及最值求解即可．（2）通过[f'（x）]′=x•e x+2a＞0，数码y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增，利用零点判定定理说明存在t∈（0，1）使f'（t）=0，判断x=t，，推出．即在t ∈（0，+∞）上单调递减，通过求解函数的最值，求解f（x）的最小值的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴e x+（x﹣2）e x+2ax+4a≥0，∴，令，，∴，∴．（2）[f'（x）]′=x•e x+2a＞0，∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，当x=t时，且有f'（t）=e t•（t﹣1）+2a（t+2）=0，∴．由（1）知在t∈（0，+∞）上单调递减，，且，∴t∈（0，1）．∴，，∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．2017年4月15日。