2014年辽宁高考数学(文、理)16题的几种解法

2014年辽宁高考数学（文、理）16题的几种解法

大连48中学-----何兆强

下面我们给出2014年辽宁高考数学（文、理）16题的几种解法，展现思维的全过程和不同方法技巧。

（理）16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，

345

a b c

-+的最小值为 .

（文）16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22

420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最

大时，

124

+a b c

+的最小值为 . 题目（理）拿到手后，分析已知条件，关键是找到a 、b 之间的关系、a 、c 之间的关系，这样就可以把要求的345a b c -+的最小值问题看成关于1

a

的二次函数，进而利用配方法求解最小值。

方法一：设置a 、b 关系法

解：设b a λ=，带入22

4240a ab b c -+-=，得到22

424

c

a λλ=

-+①，不妨将|2|a b +平方，再讲①带入，可得：

()()

()

2

2

2222

21|2|224

18424

42

2a b a c c λλλλλλ++=+=

=

-+-+++，由二次函数特点，显然

当

13=28λ+时，即2=3λ时|2|a b +有最大值，此时说明2

3b a =②. 将2=3

λ带入①知，2

409c a =③ 再将②、③带入345a b c -+，整理可得，2

234593914=2883a b c a a a ⎛⎫

-+=--- ⎪⎝⎭，从而

345

a b c

-+的最小值为-2. 方法二：方程法

解：22

4240a ab b c -+-=可变形为()()2

2

63220b a b b a b c ⎡⎤-+++-=⎣⎦

，把此式看成

关于b 的一元二次方程，必有解。由根的判别式可得：

()()22

=922420a b a b c ⎡⎤∆+-+-≥⎣

⎦

，解得：()

2

24215a b c +≤，显然2max 24

|2|15a b c +=，讲其写成()2

15224

a b c +=①后带入224240a ab b c -+-=中可得：()2

22469=230a ab b a b -+-=，从而得到说明2

3

b a =

②，将②带入①得2

409

c a =，以下同方法一。 方法三：数形结合法

解：把二元二次方程224240a ab b c -+-=（c

为常数）看成某条曲线，把

|2|a b +=

(),a b 到直线20a b +=

由此问题可转化成曲线上一点到直线的最大距离问题。平移直线20a b +=直至与曲线

224240a ab b c -+-=相切，基于这种想法，我们需要联系方程组，

224240

2a ab b c b a m ⎧-+-=⎨

=-+⎩

，消去变量b ，得到关于a 的一元二次方程，()22241840a m a m c -⋅+-=，令()2232442440m m c ∆=-⨯-=，即285c m =①，而

方程()

22

241840a m a m c -⋅+-=的唯一解是38m a =

②，即8

3

m a =带入2b a m =-+中可得23b a =

，再由①、②可得2

409

c a =③，以下同方法一。 方法四：柯西不等式法

解：22

4240a ab b c -+-=可变形为：2

2154416

c b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

，由柯西不等式知，

2

222

2222152+2+2244164c b b a b a a b

⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛

⎫⋅=-+≥-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝

⎭⎝⎭，即224215a b c +≤

，当且仅当442

b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=时取“=”，即23b a =，带入

224240a ab b c -+-=中，可得2

409

c a =

，以下同方法一。 题目（文）拿到手后，分析已知条件，关键是利用均值不等式找到a 、b 之间的关系、a 、

c 之间的关系，这样就可以把要求的124+a b c +的最小值问题看成关于1

a

的二次函数，进而利用配方法求解最小值。

文科这道题目理科以上四种方法均适用，但不必如此麻烦，我们给出均值不等式方法，或者更加巧妙的轮换式。 解：

22420a ab b c -+-=可写成()2

26a b c ab +=+，利用均值不等式，

2

222a b a b +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()()2232624a b ab c a b c +=+≤++，那么()224a b c +≤，即2

m a x

24a b

c +=，当且仅当2b a =时取“=”，将2b a =带入22

420a ab b c -+-=可得24c a =.2

2124121+=11a b c a a a ⎛⎫

+=++- ⎪⎝⎭

,从而124+a b c +的最小值为-1.