初三中考数学几何初步与图形的变化

(2)解：如图③，在斜边 AC 上截取 AB′＝AB，连结 BB′.
∵AD 平分∠BAC，∴点 B 与点 B′关于直线 AD 对称． 过点 B′作 B′F⊥AB，垂足为 F，交 AD 于点 E，连结 BE，则线段 B′F 的长即为所求． 在 Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，
∴B′F＝AB′·sin 45°＝10× 22＝5 2， ∴BE＋EF 的最小值为 5 2.
规律方法： 根据轴对称求线段和最短，方法是作其中一个定点关 于动点所在直线的对称点，然后连结这个对称点与另一个 定点，即可确定动点的位置，从而求得线段和最短的长度.
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在锐角△ ABC中， AB＝ 4， BC＝ 5，∠ ACB＝ 45°，将△ ABC绕点 B按逆时 针方向旋转，得到△ A1BC1.
答案: B
二、填空题 10．(2015·温州实验中学模拟)如图，在正方形方格中， 阴影部分是涂黑 7 个小正方形所形成的图案，再将方格内 空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对 称图形的涂法有 3 种．
11．(2015·青岛)如图，在一次数学活动课上，张明用 17 个边长为 1 的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王 亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮 所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个无缝 隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状)，那么王亮至 少还需要 个小正方体，王亮所搭几何体的表面积为 .
画出王亮所搭几何体的俯视图，并在每一个小正方形上标 注层数如图，可知该几何体的主视图为 9 个小正方形，左 视图为 7 个小正方形，俯视图为 8 个小正方形，∴王亮所 搭几何体的表面积为(9＋7＋8)×2＝48.
答案: 19 48
12．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)如图，正方形 ABCD 中， AB＝4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PE＋PB 的最小值为 .
【思路点拨】(1)由旋转的性质知 BC1＝BC，∠CC1B ＝∠ ACB＝ 45°，∠ A1C1B＝ ∠ACB＝ 45°，∴∠CC1A1＝ 90°；
(2)先
由△ABC≌△
S△ A1BC1，证△ABA1∽△CBC1，再由S△
ABA1 CBC1
＝ABBC2 求 S△CBC1；(3)过点 B 作 BD⊥AC 于 D，当点 P 在
C．55°
D．70°
2．如图，C，D 是线段 AB 上两点，若 CB＝4 cm， DB＝7 cm，且 D 是 AC 的中点，则 AC 的长为( B )
A．3 cm C．11 cm
B．6 cm D．14 cm
3．(2015·绍兴)有 6 个相同的立方体搭成的几何体如图 所示，则它的主视图是( C )
【自主解答】 【解析】(1)如图②，作点 B 关于直径 CD 的对称点 E， 连结 AE 交 CD 于点 P，此时 PA＋PB 最小，且等于 AE.作 直径 AC′，连结 C′E，OE.
根据垂径定理得 BD ＝ DE . ∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∠DOE＝30°， ∴∠AOE＝90°，∴∠C′AE＝45°， 又∵AC′为⊙O 的直径，∴∠AEC′＝90°， ∴∠C′＝∠C′AE＝45°，∴C′E＝AE＝ 22AC′＝2 2， 即 AP＋BP 的最小值是 2 2.
(2)∵△ABC ≌A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC
＝∠A1BC1，∴BBAC＝BBAC11，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋ ∠ABC1.∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1.
S△ ∴
S△
ACBBAC11＝ABBC
2＝452＝1265.
∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝245.
答案：D 规律方法： 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内 角是正确解题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误 认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁 内角互补，才能推出两条被截直线平行.
如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几 何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数， 则这个几何体的左视图是( )
【解题方法】解决 几何初步与图形的变化问题常用的 数学思想就是转化 思想；常用的数学方法有分类讨论法 ， 实际操作法，逆向 思维法等．
(2015·黄冈)如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°， 则∠4 等于( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠2＝∠4＝∠1， 再由等腰三角形的性质可得∠4 的度数．
【思路点拨】由俯 视图中的数字可得左视图有 3列， 从左到右分别有 2,3,1个正方形．
答案： B 规律方法： 对于由小立方块组 成的几何体，主视图能确定几何体 上下的层数和左右 的列数，左视图能确定几何体上下的 层 数和前后的排数， 俯视图能确定几何体左右的列数和前 后 的排数 .
问题背景： 如图①，点 A，B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一 点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B′，连结 A B′与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求．
AC 上运动至 D 且△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上时，EP1 最小；当点 P 在 AC 上运动至点 C 且 △ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长 线上时，EP1 最大．
【自主解答】 解：(1)由旋转的性质可得∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC ＝ BC1 ， ∴∠CC1B＝ ∠C1CB＝ 45°，∴∠CC1A1 ＝ ∠CC1B ＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°.
【解析】连结 DE 交 AC 于点 P，因为点 B 和点 D 关 于 AC 对称，由对称性可知 PD＝PB，由两点之间线段最短， 可知此时 PE＋PB 的值最小，最小值为 PE＋PB＝PD＋PE ＝DE＝ CD2＋CE2＝ 42＋22＝2 5.
答案: 2 5
13．(2015·福州)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°， AB＝ BC＝ 2.将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°，得到 △MNC，连结 BM，则 BM 的长是 .
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2＋BC2＝ 5 5.∵S△ABC＝12·AB·BC＝12AC·BE，∴BE＝ABA·CBC＝150×55 ＝2 5.∵BB′＝2BE，∴BB′＝4 5.设 AN＝x，则 BN＝10 －x，∵AB′＝AB＝10，由勾股定理，可得 102－x2＝(4 5)2 －(10－x)2，解得 x＝6，∴B′N＝ 102－62＝8.故选 B.
6．如图，直线 l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1 ＋∠2＝( A )
A．30°
C．36°
B．35°
D．40°
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面 展开图的面积为( C )
A．6 cm2 B．4π cm2 C．6π cm2 D．9π cm2
8．(2015·乌鲁木齐)如图，将斜边长为 4 的直角三角尺 放在直角坐标系 xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合， P 为斜边的中点．现将此三角尺绕点 O 顺时针旋转 120°后 点 P 的对应点的坐标是( )
动点，求 BE＋EF 的最小值，并写出解答过程．
【思路点拨】(1)作出点 A 或点 B 关于直径 CD 的对称 点，再连结其中一点的对称点和另一点，和 CD 的交点为 P， 此时 BP＋AP 的值最小；(2)首先在斜边 AC 上截取 AB′＝ AB，连结 BB′，再过点 B′作 B′F⊥AB，垂足为 F，交 AD 于点 E，连结 BE，则线段 B′F 的长即为所求．
5 2
2－2.②当点 P 在 AC 上运动至点 C，△ABC 绕点 B 旋
转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，EP1 最
大，最大值为 2＋5＝7.
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一、选择题 1．(2015·济南) 如图，OA⊥OB，若∠1＝35°，则∠2 的度数是( C )
A．35°
B．45°
答案: B
9．(2015·绥化)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC ＝5.若点 M，N 分别是线段 AC，AB 上的两个动点，则 BM ＋MN 的最小值为( )
A．10 B．8 C．5 3 D．6
【解析】如图，由题意可得，作点 B 关于 AC 的对称 点 B′，连结 BB′交 AC 于点 E，连结 AB′，过点 B′作 B′N⊥AB 于点 N，交 AC 于点 M，连结 MB，此时 BM＋NM＝B′N 最小．∵AB＝10，BC＝5，
(3)如图 ，过点 B作 BD⊥ AC， D为 垂足，∵△ ABC为 锐角三角形，∴点 D在线段 AC上．在 Rt△ BCD中， BD＝ BC·sin 45°＝52 2.
①当点 P 在 AC 上运动至点 D，△ABC 绕点 B 旋转，
使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上时，EP1 最小，最小值为
(1)实践运用： 如图②，已知⊙O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙O 上，
∠ACD＝30°，B 为 AD 的中点，P 为直径 CD 上一动点，
则 BP＋AP 的最小值为
.
(2)知识拓展：
如图③，在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC
的平分线交 BC 于点 D，E，F 分别是线段 AD 和 AB 上的
4．(2015·山西 )晋商大院的许多窗 格图案蕴含着对称之 美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形 但不是轴对称图形的是( B )
5．(2015·金华五中调 研)小亮为今 年参加中考的好友小 杰制作了一个正方 体礼品盒(如 图)，六个面上 各有一个字， 连 起来 就是 “预 祝中 考成 功”， 其中 “预 ”的 对面是 “中 ”，“成”的 对面是“功” ，则它的平面 展开图可能 是( C )
(1)如图①，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求 ∠CC1A1 的度数；
(2)如图②，连结 AA1，CC1.若△ABA1 的面积为 4，求 △CBC1 的面积；
(3)如图③，点 E 为线段 AB 的中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转的过程中， 点 P 的对应点是 P1，求线段 EP1 长度的最大值和最小值．
专题四 几何初步与图形的变化
【专题分析】几何 初步与图形的变化的常见考点有角 的有关概念，角的 平分线及角的计算，平行线的性质和 判 定；轴对称、中心 对称的识别，图形的变化的性质及应 用，图形的变化与 坐标，图形的变化与作图；简单几何 体 的三视图，平面图 形与空间图形的转化．中考中对几何 初 步与图形的变化的 考查主要以客观题为主，考查题型多 样，以选择题、填 空题为主，作图题目多考查多个图形 的 变化；本专题在中 考中所占的比重约为 10%～ 15% .
【解析】该几何体高有四层，前后有 3 排，左右有 3 列，则拼成的大长方体一共有 3×3×4 ＝36(个)小正方体，那么王亮至少需要 36 －17＝19(个)小正方体．王亮在张明所搭 几何体的基础上，搭建几何体时，第二层 应该是缺少 5 个小正方体，第三层缺少 6 个小正方体，最 上面一层缺少 8 个小正方体．
A．( 3，－1) B．(1，－ 3) C．(2 3，－2) D．(2，－2 3)
【解析】根据题意画出△AOB 绕 点 O 顺时针旋转 120°得到的△COD， 如图，连结 OP，OQ，设 CD 与 y 轴 交于点 M，∴∠POQ＝120°.∵AP＝ OP ， ∴∠BAO ＝ ∠POA ＝ 30°， ∴∠MOQ＝30°.在 Rt△OMQ 中，OQ ＝OP＝2，∴MQ＝1，OM＝ 3，则 P 的对应点 Q 的坐标为(1，－ 3)．故选 B.
【解析】如图，连结 AM，设 BM 与 AC 相交于点 D.∵Rt△ABC 中， ∠ABC＝ 90°， AB＝ BC＝ 2， ∴AC ＝2.∵∠ACM＝60°，AC＝CM＝2，
∴△ACM 是等边三角形．∴MC ＝MA.∵AB＝BC，∴BM 垂直平分 AC.∴DM＝AM·sin 60° ＝ 3.BD＝12AC＝1.∴BM＝BD＋DM＝ 3＋1.