2017年河南省商丘市高考数学二模试卷(理科)含答案
河南省八市重点高中2017-2018学年高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
2017-2018 学年河南省八市要点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．若会合A={x|＞﹣1}，会合B={x|1＜3x＜9}，则（?R A）∩ B=（A．（ 0，1]B．=0 恒成立，则方程 f （ x）﹣ f ′（ x）=x 的解所在的区间是（A．（﹣ 1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）））二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．若函数 f （ x） =奇函数，则 a 的值为 ______．14．若 x， y 知足拘束条件，则的最小值为______．15． 4 个半径为 1 的球两两相切，该几何体的外切正四周体的高是______．n} 的通项公式n2n n n16．已知数列 {a a =n 2，则数列 {a } 的前 n 项和S =______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ ABC的内角 A， B， C 的对边分别为a，b，c，且知足sinA+sinB= （ cosA+cosB）sinC ．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ ABC面积的最大值．18．如图， PA⊥平面 ADE，B， C 分别是 AE， DE的中点， AE⊥ AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣ PE﹣ D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段 BP 上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某农庄抓鸡竞赛，笼中有16 只公鸡和8 只母鸡，每只鸡被抓到的时机相等，抓到鸡而后放回，若累计 3 次抓到母鸡则停止，不然持续抓鸡直到第 5 次后结束．（Ⅰ）求抓鸡 3 次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ ，求随机变量ξ 的散布列及其均值．20．如图， F1， F2是椭圆 C：的左、右两个焦点，|F 1F2|=4 ，长轴长为6，又 A， B 分别是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且知足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；AA1B1B 的面积．（Ⅲ）求平行四边形21．已知函数 f （x） =1﹣x+lnx（Ⅰ）求 f （ x）的最大值；（Ⅱ）对随意的x1，x2∈（ 0，+∞）且 x2＜ x1能否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞ 0 恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明原因：（Ⅲ）若正数数列{a n} 知足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与 2n+1 的大小并加以证明．22．如图，已知AB 是⊙ O的弦， P 是 AB 上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙ O的半径；（Ⅱ）若C是圆 O上一点，且CA=CB，线段 CE交 AB 于 D．求证：△ CAD～△ CEA．23．在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），以原点O为起点，x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρ cos （+θ） =6．（Ⅰ）求点P 到直线 l 的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线 C 上，求点Q到直线 l 的距离的最大值．24．设函数 f （ x） =|x+a| ﹣ |x+1| ．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式： f （ x）≤ 2a；（Ⅱ）若对随意实数x， f （ x）≤ 2a 都成立，务实数 a 的最小值．2016 年河南省八市要点高中高考数学二模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．若会合 A={x|x＜ 9}R）＞﹣ 1} ，会合 B={x|1 ＜ 3，则（ ? A）∩ B=（A．（ 0，1]B．∪ =0 恒成立，则方程 f （ x）﹣ f ′（ x） =x的解所在的区间是（）A．（﹣ 1，﹣） B ．（0，） C．（﹣， 0）D．（）【考点】利用导数研究函数的单一性；函数恒成立问题．【剖析】由题意，可知 f （x）﹣ xe X是定值，令 t=f（ x）﹣ xe X，得出 f （ x） =xe X+t ，再由 f （ t ） =te t +t=0求出 t的值，即可得出 f （ x）的表达式，求出函数的导数，即可求出 f （ x）﹣f ′（ x） =x 的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知 f （ x）﹣ xe X是定值，不如令t=f（ x）﹣ xe X，则 f （ x） =xe X+t ，又 f （ t ） =te t +t=0 ，解得 t=0 ，所以有 f （ x） =xe X，所以 f ′（ x） =（x+1） e X，令 F（ x） =f （ x）﹣ f ′（ x）﹣ x=xe x﹣（ x+1） e x﹣ x=﹣ e x﹣ x，可得 F（﹣ 1）=1﹣＞0，F（﹣）= ﹣＜ 0即 F（ x）的零点在区间（﹣ 1，﹣）内∴方程 f （ x）﹣ f ′（ x）=x 的解所在的区间是（﹣1，﹣），应选： A．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．若函数 f （ x） =奇函数，则 a 的值为﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【剖析】可解1﹣ x2＞ 0 获得﹣ 1＜x＜ 1，进而有 |x ﹣ 2|=2 ﹣ x，这便获得，而由 f （x）为奇函数便有 f （﹣ x） =﹣ f （ x），这样即可获得2+x+a=﹣（ 2﹣ x+a），进而可求出 a 的值．【解答】解：解1﹣ x2＞ 0 得，﹣ 1＜ x＜ 1；∴|x ﹣2|=2 ﹣ x；∴；∵f （ x）为奇函数；∴f （﹣ x） =﹣ f （ x）；即；∴2+x+a=﹣（ 2﹣x+a）；∴2+a=﹣ 2﹣ a；∴a=﹣2．故答案为：﹣ 2．14．若 x， y 知足拘束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【剖析】做出不等式表示的平面地区，将化成 1+，即求过点（1，﹣ 1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面地区如图：有图可知当过点（1，﹣ 1）的直线经过点C（4， 0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+ =．故答案为．15． 4 个半径为 1 的球两两相切，该几何体的外切正四周体的高是4+．【考点】球的体积和表面积．【剖析】把球的球心连结，则又可获得一个棱长为 2 的小正四周体，正四周体的中心究竟面的距离是高的，且小正四周体的中心和正四周体容器的中心应当是重合的，先求出小正四周体的中心究竟面的距离，再求出正四周体的中心究竟面的距离，把此距离乘以 4 可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连结，则又可获得一个棱长为 2 的小正四周体，则不难求出这个小正四周体的高为，且由正四周体的性质可知：正四周体的中心究竟面的距离是高的，且小正四周体的中心和正四周体容器的中心应当是重合的，∴小正四周体的中心究竟面的距离是×= ，正四周体的中心究竟面的距离是+1，所以可知正四周体的高的最小值为（+1）× 4=4+，故答案为： 4+．16．已知数列 {a n} 的通公式a n=n22n，数列 {a n} 的前 n 和 S n=（n22n+3）?2n+16．【考点】数列的乞降．【剖析】两次利用“ 位相减法”与等比数列的前n 和公式即可得出．【解答】解：∵a n =n22n，数列 {a n} 的前 n 和 S n=2+22×22+32× 23+⋯ +n2?2n，∴2S n=22+22×23+⋯ +（ n 1）2?2n+n2?2n+1，∴ S n=2+3× 22+5× 23+⋯ +（ 2n 1）?2n n2?2n+1，数列 { （ 2n 1）?2n} 的前 n 和 T n，T n=2+3×22+5× 23+⋯+（ 2n 1）× 2n，2T n=22+3× 23+⋯ +（ 2n 3）× 2n+（2n 1）× 2n+1，∴ T n=2+2×（22+23+⋯ +2n）（ 2n 1）× 2n+1=2（ 2n 1）× 2n+1=（32n）?2n+16，∴T n=（ 2n 3）?2 n+1+6，∴ S n=（2n 3）?2n+1+6 n2?2n+1=（ 2n 3 n2）?2n+1+6，∴S n=（ n2 2n+3）?2n+1 6．故答案：（ n2 2n+3）?2 n+1 6．三、解答：解答写出文字明，明程或演算步．17．△ ABC的内角 A， B， C 的分a，b，c，且足sinA+sinB= （ cosA+cosB）sinC ．（Ⅰ）求：△ABC直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ ABC面的最大．【考点】解三角形．【剖析】（Ⅰ）由sinA+sinB= （ cosA+cosB）sinC ，利用正、余弦定理，得a+b=c，化整理，即可明：△ABC直角三角形；（Ⅱ）利用 a+b+c=1+，a2+b2=c2，依据基本不等式可得1+=a+b+≥ 2+=（2+ ）?，即可求出△ ABC面的最大．【解答】（Ⅰ）明：在△ ABC中，因 sinA+sinB= （cosA+cosB） sinC ，所以由正、余弦定理，得a+b= c ⋯化整理得（ a+b）（ a2+b2） =（a+b） c2因 a+b＞ 0，所以 a2+b2=c2⋯故△ ABC直角三角形，且∠ C=90°⋯（Ⅱ）解：因 a+b+c=1+， a2+b2=c2，所以 1+=a+b+≥2+=（ 2+）?当且当a=b ，上式等号成立，所以≤．⋯故 S△ABC=ab≤ ×⋯即△ ABC面的最大⋯18．如， PA⊥平面 ADE，B， C 分是 AE， DE的中点， AE⊥ AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角 A PE D的余弦；（Ⅱ）点Q是段 BP 上的点，当直CQ与 DP所成的角最小，求段BQ的．【考点】用空向量求平面的角；二面角的平面角及求法．【剖析】以 { ，， } 正交基底成立空直角坐系 Axyz，由意可得 B（ 1，0，0），C（ 1，1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P （ 0，0， 2）（Ⅰ）易得=（ 0，2，0）是平面 PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量坐，由向量的角公式可得；（Ⅱ）=λ=（λ， 0， 2λ）（ 0≤ λ≤ 1），由角公式和二次函数的域以及余弦函数的性可得．【解答】解：以{，，} 正交基底成立空直角坐系Axyz，各点的坐B（ 1， 0，0）， C（ 1， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（0， 0， 2）（Ⅰ）∵ AD⊥平面 PAB，∴是平面 PAB的一个法向量，= （0，2， 0）．∵=（ 1， 1，﹣ 2），=（0， 2，﹣ 2）．设平面 PED的法向量为 =（ x，y， z），则 ?=0，?=0，即，令 y=1，解得 z=1， x=1．∴ =（ 1， 1， 1）是平面 PCD的一个法向量，计算可得 cos ＜，＞ ==，∴二面角 A﹣ PE﹣D 的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣ 1， 0， 2），设=λ=（﹣λ， 0， 2λ）（ 0≤ λ≤ 1），又=（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣λ，﹣ 1， 2λ），又=（ 0，﹣ 2， 2），∴ cos ＜，＞ ==，设 1+2λ=t ， t ∈，则 cos 2＜，＞ ==≤，当且仅当 t=，即λ =时， |cos＜，＞ | 的最大值为．由于 y=cosx 在（ 0，）上是减函数，此时直线CQ与 DP所成角获得最小值，又∵ BP== ，∴ BQ= BP=19．某农庄抓鸡竞赛，笼中有16 只公鸡和8 只母鸡，每只鸡被抓到的时机相等，抓到鸡而后放回，若累计 3 次抓到母鸡则停止，不然持续抓鸡直到第 5 次后结束．（Ⅰ）求抓鸡 3 次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ ，求随机变量ξ 的散布列及其均值．【考点】失散型随机变量的希望与方差．【剖析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡 3 次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡 3 次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的全部可能取值为0，1，2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ 的散布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由意，抓到母的概率，抓 3 次就停止，明前三次都抓到了母，抓 3 次就停止的事件生的概率P==⋯（Ⅱ）依意，随机量ξ 的全部可能取0， 1， 2， 3，P（ξ =0）?=，P（ξ =1） =? ?=，P（ξ =2） =??=，P（ξ =3） = ?+ ??? + ??? =⋯随机量ξ 的散布列ξ0123P⋯．随机量ξ的均 E（ξ ） =× 0+× 1+×2+ ×3=⋯20．如， F1， F2是 C：的左、右两个焦点，|F 1F2|=4 ，6，又 A， B 分是 C 上位于 x 上方的两点，且足=2．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求直AF1的方程；（Ⅲ）求平行四形AA1B1B 的面．【考点】直与曲的合．【剖析】（Ⅰ）由F1， F2是 C：的左、右两个焦点，|F 1F2|=4 ，6，列出方程求出a，b，由此能求出方程．（Ⅱ）直1，得，由AF 的方程 y=k（ x+2），由此利用根的判式、达定理、向量知，合已知条件能求出直AF1的方程．（Ⅲ）由，利用弦公式能求出四形AA1B1B的面．【解答】解：（Ⅰ）∵ F1， F2是 C：的左、右两个焦点，|F 1 F2|=4 ， 6，∴由意知 2a=6， 2c=4 ，∴ a=3， c=2，∵，∴ b2=5⋯∴ 方程⋯（Ⅱ）直AF1的方程 y=k（ x+2），且交于A（ x1，y1）， A1（ x2， y2）两点．由意知，即，△＞ 0，，①，，②⋯∵，∴ y1= 2y2③立①②③消去y1y2，得．∴直 AF1的方程⋯（Ⅲ）∵ AA1B1B 是平行四形，∴⋯=∴四形AA1B1B 的面．⋯21．已知函数 f （x） =1x+lnx（Ⅰ）求 f （ x）的最大；（Ⅱ）随意的x1，x2∈（ 0，+∞）且 x2＜ x1能否存在数m，使得x1lnx 1+x2lnx 2＞ 0 恒成立；若存在，求出m的取范；若不存在，明原因：（Ⅲ）若正数数列{a n} 足=，且a1=，数列{a n}的前n和S n，比2与 2n+1 的大小并加以明．【考点】数列与函数的合．【剖析】（Ⅰ）求得 f （ x）的数，区，可得 f （x）的最大 f （1）；（Ⅱ）由意可得恒成立，φ （x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜ x1，只要?（ x）在（ 0，+∞）上减，求得数，令数小于等于0 恒成立，运用参数分别和结构函数法，求出数和区，可得最，即可获得所求m的范；（Ⅲ）：＞ 2n+1．运用结构数列法和等比数列的通公式，可得a n=．运用数的运算性和放法，合裂相消乞降，即可得．【解答】解：（Ⅰ）由意得：．当 x∈（ 0， 1）， f' （ x）＞ 0，当 x∈（ 1，+∞）， f' （ x）＜ 0，所以， f （ x）在（ 0，1）上增，在（ 1， +∝）上减．所以 f （x）max=f （ 1）=0，即函数 f （ x）的最大 0；（Ⅱ）若恒成立，恒成立，φ（x） =mx2+xlnx ，又 0＜ x2＜ x1，只要 ?（ x）在（ 0， +∞）上减，故 ?′（ x） =2mx+1+lnx ≤ 0 在（ 0， +∞）上成立，得：2m≤，t （ x） =，，于是可知t （ x）在（ 0， 1）上减，在（1， +∞）上增，故 min=t（1）=1，所以存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由== ?+得：=，又，知，=，即有a n=．：＞2n+1．明以下：因 a n∈（ 0， 1），由（ 1）知 x＞ 0x 1＞ lnx ， x＞ 1x＞ ln （ x+1）．n n n） ln （ 2n﹣ 1所以 a ＞ ln （ a +1） ==ln （ 2 +1+1）故 S n=a1+a2+⋯+a n＞+⋯=ln （ 2n +1） ln （20+1） =，即＞ 2n+1．22．如，已知AB 是⊙ O的弦， P 是 AB 上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙ O的半径；（Ⅱ）若C是 O上一点，且CA=CB，段 CE交 AB 于 D．求：△ CAD～△ CEA．【剖析】（Ⅰ）接OA， OA=r，取 AB 中点 F，接 OF， OF⊥ AB，利用勾股定理求出⊙O 的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠ CAD=∠ B，利用三角形相像的判断定理明：△CAD～△ CEA．【解答】解：（Ⅰ）接OA， OA=r取 AB 中点 F，接 OF， OF⊥ AB，∵，∴，∴．⋯22又 OP=3， Rt △ OFP中， OF=OP2FP=92=7，⋯Rt △ OAF中，，⋯∴ r=5明：（Ⅱ）∵ CA=CB，∴∠ CAD=∠ B又∵∠ B=∠ E，∴∠ CAD=∠E⋯∵∠ ACE公共角，∴△ CAD∽△ CEA⋯23．在直角坐系xOy 中，曲 C 的参数方程（θ 参数），以原点O起点，x 的正半极，成立极坐系，已知点P的极坐（2，），直l的极坐方程ρ cos （+θ） =6．（Ⅰ）求点P 到直 l 的距离；（Ⅱ）点Q在曲 C 上，求点Q到直 l 的距离的最大．【剖析】（Ⅰ）把点P 与直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）能够判断，直线l 与曲线 C 无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单一性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线 l，得．则 l 的直角坐标方程为：，点 P 到 l 的距离．（Ⅱ）能够判断，直线l 与曲线 C 无公共点，设，则点 Q到直线的距离为，∴当max 时， d =9．24．设函数 f （ x） =|x+a| ﹣ |x+1| ．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式： f （ x）≤ 2a；（Ⅱ）若对随意实数x， f （ x）≤ 2a 都成立，务实数 a 的最小值．【考点】带绝对值的函数．【剖析】（Ⅰ）对x 议论，分x≤﹣ 1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可获得所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得 f （ x）的最大值，即有|a ﹣ 1| ≤ 2a，解出 a 的范围，可得 a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当 x≤﹣ 1 时，，得，所以 x∈Φ ．⋯当，，得，所以成立．⋯当，，得≤ 0，所以成立．上，原不等式的解集⋯（Ⅱ）∵ |x+a||x+1| ≤ | （ x+a）（ x+1）|=|a1| ，∴f （ x） =|x+a||x+1| 的最大 |a 1| ⋯由意知： |a 1| ≤ 2a，即 2a≤ a 1≤ 2a，解得： a≥，所以数 a 的最小⋯2016年 10月 4 日。
2017届高考模拟系列(二)数学(理)试题word版含解析
2017届高考模拟系列试卷（二） 数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y x x ==-+≤≤，则()R M N ⋂ð等于 （ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内，复数2013ii 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41a a 等于（ ） A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+=D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭6、命题“存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（ ）A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<-C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<-D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <，函数()()2y x a x b =--的图象可能是（ ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ ）A．3πB．23π C．3π D．43π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋(y －1)2＝1上，那么|PQ |的最小值为（ ）A1BC1- D．31 12、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．3B C D 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。
2017年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科) 有答案
2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（ ）A．（1，3）B．（1，3]C．上，则输入的实数x的取值范围是（ ）A．C．D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10lnx 0.90 0.010.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A．钱B．钱C．钱D．钱11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M ，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n 项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为 ．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（ ）A．（1，3）B．（1，3]C．，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=上，则输入的实数x的取值范围是（ ）A．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是．故选：D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10lnx 0.90 0.010.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为=．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为（e﹣1）．故选：A10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】用a，b，c表示出MF1，MF2，NF1，NF2，利用余弦定理计算cos∠F1F2M和cos∠F1F2N，由∠F1F2M+∠F1F2N=0计算出离心率e1，得出a和b的关系即可得出答案．【解答】解：∵cos∠F1MN=cos∠F1F2M，∴∠F1MN=∠F1F2M，∴|MF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|﹣2a=2c﹣2a，∵椭圆Γ2： +=1的离心率为e==，∴=，∴|NF1|=4c，|NF2|=4c﹣2a，在△MF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2M==，在△NF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2N==，∵∠F1F2M+∠F1F2N=π，∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0，即+=0，整理得2a2+3c2﹣7ac=0，设双曲线的离心率为e1，∴3e12﹣7e1+2=0，解得e1=2或（舍）．∴=4，∴3a2=b2，即=．∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴渐近线的倾斜角为60°和120°．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为 58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为 [，+∞） ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min =．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3PEξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立 …如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为． …20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。
2017届高三二模理科参考答案(1)
2017届高三二模考试试题参考答案及评分标准理科数学一、选择题（题本大题共12道小题,每小题5分,共60分，在每题给出的四答案中，其中只有一项符合题目要求.）1-5： D C C B D 6-10： B C D B D 11-12：D D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分.把答案直接填在题中横线上.） 13． -3 14. 3 15． 0.7 16.己酉年三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
）17.解：（1）∵nn n a a S +=22∴2n 1n 1n 12S a a +++=+……………………………………………………..2分∴ 22n 1n n 1n 1n n 2S 2S (a a )(a a )+++-=+-+…………………………….3分 即n 1n n 1n (a a )(a a 1)0+++--=∵ n a 0>∴n 1n a a 0++>∴n 1n a a 1+-=…………………………………………………………..4分令n 1=，则21112S a a =+ ∴1a 1=或1a 0=∵ n a 0>∴1a 1=…………………………………………………………………………………………5分∴ 数列{}n a 是以1为首项，以为公差1的等差数列∴ n 1a a (n 1)d n =+-=，*n N ∈…………………………………………………………………6分 （2）由（1）知：nnn n 2nn2a 111b (1)(1)()n n 1a a +=-=-+++…………………8分∴数列{}n b 的前2016项的和为n 122016T b b b =+++L111111111(1)()()()()223342015201620162017=-+++-++-+++L 1111111111223342015201620162017=--++--+--++L …………………………………………………………………………10分112017=-+20162017=-……………………………………………………………………12分18.解：（1）证明：法一：取PD 的中点N ，连接MN ，CN.在△PAD 中，N 、M 分别为棱PD 、PA 的中点∴1MN AD 2P1BC AD 2Q P ∴ 四边形BCNM 是平行四边形∴BM CN P∵BM ⊂平面PCD ，CN ⊄平面PCD ∴BM//平面PCD ………………5分（法二：连接EM ，BE.在△PAD 中，E 、M 分别为棱AD 、PA 的中点∴MN PD P ∵AD//BC ，1BC CD AD 12=== ∴ 四边形BCDE 是平行四边形∴BE CD P ∵BE ME E ⋂=，，MN PD P ，BE CD P ∴平面BEM//平面PCD ∵BM ⊂平面BEM ∴BM//平面PCD ）（2）以A 为原点，以，的方向分别为x 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -…………………………6分则)0,0,0(A ，)0,1,2(C ，)0,0,1(E . ∵点P 在底面ABCD 上的射影为A ∴PA ⊥平面ABCD∵︒=∠45ADP ∴ PA AD 2== ∴)2,0,0(P∴)2,0,1(-=，)0,1,1(=，)2,0,0(=……..7分设平面PAC 的一个法向量m (a,b,c)=r， 则c 02a b 2c 0⎧=⎨+-=⎩设a 1=，则m (1,2,0)=-r……………………………………..9分设平面PCE 的一个法向量为),,(z y x n =ρ，则⎩⎨⎧=+=-02y x z x ，设2=x ，则)1,2,2(-=n ………………………………10分∴m n cos m,n 5m n•<>==v vv v v v ……………………..11分由图知：二面角A PC E --是锐二面角，设其平面角为θ，则cos cos m,n θ=<>=u u v v …………………………12分19.解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+． …………………………………………….2分 12W =时，由（1）表示的可行域和目标函数几何意义知当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 15W =时当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 18W =时，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．………………………………….5分 故最大获利Z 的分布列为…………………………………………………………………….7分因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=…………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+= ……………………………………………….10分 所以3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=……………………………………………………12分20.解：（1）设动圆的圆心为E (x,y)则PE =222(x 2)y 4x ++=+∴2y4x =-即：动圆圆心的轨迹E 的方程为2y4x =-…………………………….4分（2）当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x轴，此时，A ((2,---∴AB CD ==12S S ==∴12S S +=………………………….5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，则k 0≠， 直线AB 的方程是y k(x 2)=+，k 0≠. 设1122A (x ,y ),B (x ,y )，联立方程2y k (x 2)y 4x⎧=+⎨=-⎩，消去y ，得：22k (x 2)4x 0(k 0)++=≠，即：2222k x 4(k 1)x 4k 0(k 0)+++=≠ ∴216(2k 1)0∆=+>，21224(k 1)x x k++=-，12x x 4= ………………………………………………………………………………………………………………….7分由1122A (x ,y ),B (x ,y )知，直线AC 的方程为11y y x x =，直线AC 的方程为22y y x x =， ∴ 12122y 2y C (2,),D (2,)x x ∴ 21121212k (x x )y y CD 22x x x x -=-=∴111S (2x )CD 2=-⋅，221S (2x )CD2=-⋅……………………………………..9分∴12121S S [4(x x )]CD 0)2+=-+⋅=≠ 令21t k=，则t 0>，3212S S 4(2t),t 0+=+>由于 函数32y 4(2t)=+在(0,)+∞上是增函数……………………………………………11分∴ y >12S S +>综上所述，12S S +≥∴112S S +的最小值为12分21.解：（1）函数)(x f 的定义域为）（+∞,0 由已知：），（0)12)(1()2(21)(>++-=-+-='x x x ax a ax x x f…………………………………………………………………………………………………….2分当a x 10<<时，0)(>'x f 所以，函数)(x f 在)10a ，（上是增函数； 当a x 1>时，0)(<'x f 所以，函数)(x f 在)1∞+，（a上是减函数，综上所述：函数)(x f 的增区间是)10a ，（，函数)(x f 的减区间是)1∞+，（a.………………………………………………………………………………………………………………3分（2）设)1()1()(x af x a f xg --+=，则ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+= …………………………………………………………………………………………………………………..……….5分∴2223122-1111)(x a x a a ax ax x g -=-++='…………………………………………..6分当ax 10<<时，012)(2223>-='x a x a x g ，又0)0(=g ∴0)(>x g故当a x 10<<时，).1()1(x a f x a f ->+……………………………………………………………8分(3) 由(1)知：函数)(x f 的最大值为)1(a f ，且0)1(>a f ……………………………………9分不妨设21210),0,(B ),0,(A x x x x <<，则2110x ax <<<由(2)知：0)()-11()-2(111=>+=x f x a a f x a f …………………………………….10分从而，12-2x a x >所以，.12210ax x x >+=由(1)知：.0)(0<'x f ………………………………………………………………………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按多做第一题计分。
【全国市级联考】河南省六市2017届高三下学期第二次联考数学(理)(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C2. 设复数（为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：，则的虚部是.本题选择A选项.3. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：易得该函数为奇函数可排除A,当时，故选B．考点：函数的图象．4. 如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为（）① ②③④A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D【解析】解：由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中的GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意。
则表示，是异面直线的图形的序号为：②④.本题选择D选项. 学#科网5. 已知圆.设条件：，条件：圆上至多有2个点到直线的距离为1，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C6. 若，则的展开式中的常数项（）A. B. C. 20 D.【答案】B【解析】解：由题意可得：表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故，则，其通项公式为，令6-2k=0，即k=3，故常数项为.本题选择B选项.7. 若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．8. 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D本题选择D选项.点睛：本题考查的实质问题是分段函数，当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．9. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数和10个区间上的均匀随机数（，），其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A. B. C. D.【答案】A10. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱 【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.11. 已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A ．考点：三角函数图象变换，三角函数的对称轴．12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A.和B.和C.和D.和【答案】C本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若，则__________．【答案】314. 已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列的前10项和为__________．【答案】58【解析】解：∵{a n}是首项为32的等比数列,S n是其前n项和,且，∴，解得：，∴，∴|log2a n|=|7−2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.15. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为__________．【答案】该多面体外接球的表面积为：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16. 若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，，，代入原式，整理为，再公共辅助角公式化简，根据，计算角；（2）因为知道代入余弦定理，，得到，最后代入面积公式，计算面积．试题解析：（1）在△中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，所以，即，又因为，所以．考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．18. 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：、、三级为合格等级，为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中成绩为等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(I)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(II)依据题设对立事件的概率公式求解；（III）依据题设运用随机变量的数学期望公式探求.试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量（Ⅱ）成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为，则；（Ⅲ）由题意知等级的学生人数为人，等级的人数为人，故的取值为0，1，2，3，，所以的分布列为：考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式、数学期望计算公式等有关知识的综合运用．19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，.（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(2)由题意可得，当且仅当时，三棱锥体积最大,建立空间直角坐标系可得二面角（2）因为平面，，所以平面，，在中，，由（1）知，当且仅当时，等号成立.如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，.则，，，.设平面的一个法向量为，则，即，∴，取，则20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆相切于点，且，求点的纵坐标的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由求出的值；（2）先考虑特殊情况:直线的斜率不存在,求出；一般情况,直线:,利用直线与圆相切,向量垂直的条件:数量积为零,求出点的纵坐标的值．试题解析：（1）∴，，∴，∴椭圆方程为．（2）①当轴时，，，由，解得．②当不垂直于轴时，设，方程为，即，∵与圆相切，∴，∴，∴，又，所以由，得，∴，∴．综上：．考点：1.椭圆的简单几何性质；2.向量垂直条件.【思路点晴】本题主要考查直线,圆椭圆之间的位置关系,属于中档题. 在（1）中,利用椭圆的离心率和焦点坐标,求出椭圆的标准方程；在（2）中,分两种情况讨论,直线的斜率是否存在,分别求出点的纵坐标的值,要用到直线和圆相切的条件:,直线垂直得到向量垂直,向量数量积为零,再化简整理,求出的值.21. 已知函数，，（其中是自然对数的底数）.（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围.（2）若，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：，当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值.又，由于，，，所以，故在区间上单调递减，因此时，取得最大值.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为，由于点在圆，所以直线与圆相交或相切.当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为1.故时，；时，.综上所述：时时，成立.22. 在极坐标系中，曲线的方程为，点.（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值，及此时点的直角坐标.【答案】（1）（2）当，，矩形的最小周长为4，点.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，椭圆的参数方程，正弦函数的性质．23. 设函数，.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：.【答案】（1）（2）6【解析】试题分析：(1)将不等式写成分段函数的形式求解不等式的解集为；(2)利用题意可得，利用均值不等式的性质结合题意整理计算即可证得结论. 试题解析：解：（1）不等式即，∴①或②或③，由①，得；由②得，；由③，得.所以原不等式的解集为（2）不等式即，∴，∴且，∴.∴点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【精选高中试题】河南省六市高三下学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
2017年河南省六市高三第二次联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A.()1,3B.(]1,3C.[)1,2-D.()1,2-2.设复数()221iz i +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ）A.1－B.1C.i -D.i3.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）ABCD4.如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为（ ）① ② ③ ④ A .①②B.③④C.①③D.②④5.已知圆()()222:10C x y r r -+=>.设条件p ：03r <<，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线30x -+=的距离为1，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若1a -=⎰，则61ax x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项（ ）A.52B.52-C.20D.15-7.若不等式组20510080.x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点()00,x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a的取值范围是（ ） A.1a ≤-B.1a <-C.1a >D.1a ≥8.阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[]1,8上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A.[)0,2B.[]2,7C.[]2,4D.[]0,79.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线x e =，0y =所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个区间[]0,1上的均匀随机数i y （*i N ∈，110i ≤≤），其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ） A.()315e - B.()215e - C.()315e + D.()215e + 10.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（ ） A.54钱 B.43钱 C.32钱D.53钱 11.已知函数()()sin f x x x x R =∈，先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线34x π=对称，则θ的最小值为（ ） A.6π B.3π C.512πD.23π 12.已知双曲线()22122:10,0x y a b a b Γ-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆222:186x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过2F 与双曲线交于M ，N 两点，若112cos cos FMN F F M ∠=∠，11F M e F N=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） A.30︒和150︒B.45︒和135︒C.60︒和120︒D.15︒和165︒ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量()1,1a =-，()1,0b =，若()()2a b a b λ-⊥+，则λ= ． 14.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且636564S S =，则数列{}2log n a 的前10项和为 ．15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．16.若曲线()21:0C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A +=. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC △的面积.18.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中成绩为C 等级的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.19.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC EB ∥，DC EB =，4AB =，1tan 4EAB ∠=.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ADE -体积最大时，求二面角D AE B --的余弦值.20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点()1,0F .（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 上， 且在第一象限内，直线PQ 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且OP OQ ⊥，求点Q 的纵坐标t 的值.21.已知函数()sin cos x f x e x x =-，()cos x g x x x =，（其中e 是自然对数的底数）. （1）10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()12f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围.（2）若1x >-，求证：()()0f x g x ->.22.在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ=+，点4R π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标. 23.设函数()f x x a =-，a R ∈.（1）当2a =时，解不等式()625f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()4f x ≤的解集为[]1,7-，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：186s t+≥.2017年河南省六市高三第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CABDC 6-10:BADAB 11、12：AC二、填空题13.3 14.58 15.414π16.2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：（1）在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A +=， 即()sin sin cos 0B A A +=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A +=04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为()0,A π∈，所以34A π=.（2）在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭，即2160c +-=，解得c =-c =又1sin 2S bc A =，所以1222S =⨯⨯=.18.解：（1）由题意可知，样本容量6500.01210n ==⨯.20.0045010x ==⨯，10.040.10.120.560.01810y ----==.（2）样本中成绩是合格等级的人数为()10.15045-⨯=人，成绩是合格等级的频率为4595010=，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为910. 设从该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A ，则()3999911101000P A ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（3）样本中C 等级的学生人数为0.18509⨯=人，A 等级的学生人数为3人，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()0P ξ==()3331210220C P C ξ===，()1293312271220C C P C ξ===，()219331210827222055C C P C ξ====，()393128421322055C P C ξ====，所以ξ的分布列为：12757219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）因为AB 是直径，所以BC AC ⊥， 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD BC ⊥， 因为CDAC C =，所以BC ⊥平面ACD ，因为CD BE ∥，CD BE =， 所以四边形BCDE 是平行四边形， 所以BC DE ∥，所以DE ⊥平面ACD ，因为DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD . （2）因为DC ⊥平面ABC ，DC BE ∥， 所以BE ⊥平面ABC ，BE AB ⊥， 在Rt ABE △中，1tan 414EB AB EAB =⨯∠=⨯=， 由（1）知()2221111114332612123C ADEE ACD ACD V V S DE AC CD DE ACBC AC BC AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≤⨯+=⨯=△，当且仅当AB BC ==时，等号成立.如图所示，建立空间直角坐标系，则()0,0,1D ，()E ，()A ，()B .则()AB =-，()0,0,1BE =，()DE =，()1DA =-. 设平面DAE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， ∴10y =，取11x =，则(1n =，设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =， 则2200n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴20z =，取21x =，则()21,1,0n =，∴121212cos ,9n n n nn n ⋅<>===， ∴二面角D AE B --的余弦值为. 20.解：（1）121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1c =，2a =，∴b∴椭圆方程为22143x y +=.（2）①当PM x ⊥轴时，P⎭，)Q t ，由0OP OQ ⋅=，解得t =-②当PM 不垂直于x 轴时，设()00,P x y ，PQ 方程为()00y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=， ∵PQ 与圆O =∴()220033kx y k -=+，∴22220000233kx y k x y k =+--， 又00,t y kx Q t k -+⎛⎫⎪⎝⎭，所以由0OP OQ ⋅=，得()00000x y kx t x ky -=+， ∴()()()()2222220000000222222222222000000000033233x k x y kx x kx y t x k y kx y x k y k x y k x ky +--===+++++--+()()()220222220033123113334x k k x k x k +==⎛⎫+++---⎪⎝⎭∴t =±综上：t =±21.解：（1）因为不等式()()12f x g x m +≥等价于()()12f x m g x ≥-，所以10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得不等式()()12f x g x m +≥成立，等价于()()()12min min f x m g x ≥-，即()()12min max f x m g x ≥-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'sin cos sin 0x x f x e x e x x =++>，故在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0x =时，()y f x =取得最小值1-.又()'cos sin x g x x x x =+-，由于0cos 1x ≤≤，sin 0x x ≥x ≥所以()'0g x <，故()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此0x =时，()g x取得最大值所以(1m -≥-，所以1m ≤.所以实数的取值范围为(,1-∞-. （2）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x >，只要证sin cos cos x x e x x x x ->-，只要证(()sin 1cos x e x x x +>+，由于sin 0x ，10x +>，只要证1x e x +. 下面证明1x >-时，不等式1x e x >+成立， 令()()11xe h x x x =>-+，则()()()()221'11x x x e x e xe h x x x +-==++， 当()1,0x ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增.所以当且仅当0x =时，()h x 取得极小值也就是最小值为1.令k =，其可看作点()sin ,cos A x x与点()B 连线的斜率，所以直线AB的方程为(y k x =，由于点A 在圆221x y +=，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切.当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 的斜率k 取得最大值为1. 故0x =时，()10k h <=；0x ≠时，()1h x k >≥. 综上所述：时1x >-时，()()0f x g x ->成立. 22.解：（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=.点R 的直角坐标为()2,2R . （2）设),sin Pθθ，根据题意可得2PQ θ=，2sin QR θ=-，∴()42sin 60PQ QR θ+=-+︒， 当30θ=︒时，PQ QR +取最小值2， 所以矩形PQRS 周长的最小值为4. 此时点P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭.23.解：（1）不等式即2256x x -+-≥，∴①52256x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+-≥⎩或②5222526x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-≥⎩或③22526x x x <⎧⎨-+-≥⎩， 由①，得133x ≥；由②得，x ϕ∈；由③，得13x ≤. 所以原不等式的解集为113,,33⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）不等式()4f x ≤即44x a -≤-≤，∴44a x a -≤≤+，∴41a -=-且47a +=，∴3a =. ∴()181181161210106333t s s t s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝。
2017届高三第二次模拟考试 数学理 (含答案)word版
2017年高考考前适应性训练数学（理工农医类）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数ii ++113的虚部是A.i -B.1-C.iD.12.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂=A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.83.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.84. 已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是 ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则a//α；③若β⊥b ，则βα// ； ④若βα⊥，则b//β. A. ①③B.②④C.①④D.②③5.已知点P 在圆522=+y x 上，点Q （0，—1），则线段PQ 的中点的轨迹方程是 A.022=-+x y xB.0122=-++y y x C.0222=--+y y xD.022=+-+y x y x6.已知a x x p ≥-+-910:的解集为R ，aq 1:＜1，则⌝p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表： 附：参考公式及数据： （1）卡方统计量()()()()()22122111222112112211222112n n n n n n n n n n n n n x ++++-=(其中)22211211n n n n n +++=；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8.函数()(()⎩⎨⎧≤++-=0142ln 2x x x x x x x f 的零点个数为A.0B.1C.2D.39.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A.π416+ B.π412+ C.π816+ D.π812+10.已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c11.已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则21PF ⋅等于A.24B.48C.50D.5612.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个＞)0第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。
2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。
_河南省商丘市2017-2018高三理数第二次模拟考试试卷_
第1页，总20页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
姓名：____________班级：____________学号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
河南省商丘市2017-2018高三理数第二次模拟考试试卷
考试时间：**分钟 满分：**分
姓名：____________班级：____________学号：___________
题号 一 二 三 总分 核分人 得分
注意
事项
：
1、
填
写
答
题
卡
的
内
容
用
2B
铅
笔
填
写
2、提前 15 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
评卷人 得分
一、单选题（共12题)
1. 复数 ( 是虚数单位）的共辄复数
（ ）
A .
B .
C .
D .
2. 已知集合 ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
3. 已知等差数列
的公差为 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A .
B .
C . 2
D . 4
4. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的
分别为91，39，则输出的
（ ）。
河南省商丘市-高三第二次模拟考试理科数学试卷Word版含答案
河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A2.）A3.）A．44.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程91，39）A．11 B．12 C. 13 D．145.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）ABD6.18为（ ）A ．3B ．5 C. 7 D ．97.）A8.） A ．1 B ．2 C. 3 D ．49.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A10.，得到）A．2 B．4 C. 6 D．811.取值范围为（）A12.）AD 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的距离为 ．14.2,22OB AB -=的值为 ．4，则展开式中的常数项为 ．16.给出以下结论：其中，正确的结论有 ．(写出所有正确结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（22.18.世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；（38名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3.附:(,N μσX σμ<<19.2（1（2.20.（1）求拋物线方程；（2.21.（1围；（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2积.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.精品文档试卷答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10: ADBAC 11、12：DB二、填空题①②④三、解答题17. 解：（Ⅰ）证明：∵（Ⅱ），，18...19.解：(Ⅰ)D3(-(3,12=1，得y 3,0)-20m n m n⋅=⋅20.解：8分21.，22.解：.23.解：83⎛+∞⎝，()fx取最小值。
河南省2017届高三下质量检测理科数学试题含答案
河南省高三质量检测考试数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(5)4},{|}A x x x B x x a =->=≤，若A B B = ，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知复数322a i z i+=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ）A ．13-B ．13C ．23D ．23- 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．96. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．7. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ）A ．()1x y f x e -=-⋅-B ．()1x y f x e -=⋅+C ．()1x y f x e -=⋅-D ．()1xy f x e-=-⋅+8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．1439. 在ABC ∆中，060,5,4,BAC AB AC D ∠===是AB 上一点，且5AB CD ⋅= ，则BD等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．110. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13 B ．25 C．5 D．311. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,AC DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值12.若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2(,)e e B ．2(,)2e e C ．2(1,)e D ．[1,)e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为 ．14.把3男2女工5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分别的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．15.函数()sin()(0,)2f x A wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个 单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[,]()33ππθθ->-上的值域为[]1,2-， 则θ= ．16.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积为22,()tan 8S a b C S +=， 且sin cos 2cos sin A B A B =，则cos A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前()n n N +∈项和为3,3n S a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，13152,1b b a λ==+.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前()n n N +∈项和为n T ，且()12n n S c π+=，求n T .18. （本小题满分12分）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道的回答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，//,,AD BC AB AC AB AC ⊥=，点E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为045？20. （本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）设函数()()2,1()xf x eg x kx k R ==+∈.（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->恒成立， 求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0)a >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=- （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13,()2f x x x g x a x =++-=--.（1）若关于x 的不等式()()g x g x <有解，求实数的取值范围； （2）若关于x 的不等式()()g x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值.试卷答案一、选择题1-5:DCDCB 6-10: ABACD 11、C 12：B二、填空题13. 5 14. 16 15.4π16. 15三、解答题17. 解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且12232()3a a a a a λ+==， ① 所以2123,3a a a a λ=+==， ②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得121,2a a ==，所以,2n a n λ==， 所以134,16b b ==，则12n n b +=. （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+， 所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++ 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++2323232n n n +=-++. 18.解：（1）由题意可知，所求概率12211123242423336622221()(1)(1)(1)333315C C C C P C C C =⨯-+⨯--=,(2)设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P X P X P X C C C =========， 则X 的分布列为：()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1222331212214(0),(1)(),(2)()27339339P Y P Y C P Y C ====⨯⨯===⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===则Y 的分布列为：所以()124801232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(或因为2(3,)3Y B ，所以()2323E Y =⨯=) ()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()()(),E X E Y D X D Y =<可得，甲公司成功的可能性更大. 19.证明：因为,AB AC AB AC ⊥=，所以C ，因为底面ABCD 是直角梯形，090,//ADC AD BC ∠=， 所以045ACD ∠=，即AD CD =，所以2BC AD ==，因为2,2AE ED CF FB ==，所以23AE BF AD ==. 所以四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF , 所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A = ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC .(2)因为,PA AC AC AB ⊥⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为045，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC ==. 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则2(1,1,0),(1,1,0),(0,,0),3B C E P -，所以2(1,1,0),(0,3EB EP =-=- ，设平面PBE 的法向量(,,)n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令3y =，则5,x z =，n = ， 因为(1,1,0)AC =是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,3n AC ==， 即当二面角A PB E --时，直线PC 与平面PAB 所成的角为045.20.解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程2200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以200,14M N M N y y y y y y +==- ，2M N MN y y =-===（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)x my n P x y Q x y =+，则 由24x my ny x=+⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my n --=.12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=- ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =又2024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =.21.（1）设切点的坐标为2(,)tt e ，由()2x f x e =，得()22x f x e '=，所以切线方程为222()t t y e e x t -=-，即222(12)t ty e x t e =+-，由已知222(12)xxy e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，所以222,(12)1tte k k e =-=， 令()(1)xh x x e =-，则()xh x xe '=-，当(,0)x ∈-∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()01h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0,2t k ==.（2）①当2k >时，有（1）结合函数的图象知：存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x <， 则不等式()()2f x g x x ->等价()()2g x f x x ->，即2(2)10x k x e -+->， 设22(2)1,(2)2x x t k x e t k e '=-+-=-- ，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '<得12ln 22k x ->， 若1224,ln 022k k -<≤≤，因为012(0,)(,ln )22k x -⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减，因为()00t =， 所以任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>，与题意不符， 若1212124,ln 0,(0,ln )(,ln )222222k k k k --->>⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增，因为()00t =，所以对任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>符合题意， 此时取120min{0,ln }22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->. ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图象知2(21)0(0)x e x x -+≥>，所以()()221(21)(2)(2)0x x f x g x ekx e x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以()()2f x g x x ->等价于2(2)10x ek x -+->， 设()2(2)1x x e k x ϕ=-+-，则()22(2)x x e k ϕ'=-+，由()0x ϕ'>得()12ln ,022k x x ϕ+'><得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln )22k -上单调递减，注意到()00ϕ=， 所以对任意()12(0,ln ),022k x x ϕ-∈<，不符合题设，总数所述，k 的取值范围为(4,)+∞.22.（1）由cos()4πρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-化成直角坐标方程，得)2x y -=-l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离2cos()4d t π===+， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 1d =. （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>- （其中2an aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故的取值范围为.23.解：（1）当2x =时，()2g x a x =--取得最大值为a ，因为()134f x x x =++-≥，当且仅当()13,x f x -≤≤取最小值4，因为关于x 的不等式()()g x g x <有解，所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞.（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， 所以当2x <时，()922g x =+， 令()942g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-， 所以12b =-，则6a b +=.。
2017年河南省六市联考高三理科二模数学试卷
2017年河南省六市联考高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 设复数（为虚数单位），则的虚部是A. B. C. D.3. 函数的图象大致为A. B.C. D.4. 如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④5. 已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若，则的展开式中的常数项A. B. C. D.7. 若不等式组所表示的平面区域存在点使成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是A. B. C. D.9. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了个在区间上的均匀随机数和个区间上的均匀随机数，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是A. B. C. D.10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何?”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱11. 己知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为A. 或B. 或C. 或D. 或二、填空题（共4小题；共20分）13. 向量，，若，则 ______．14. 已知是首项为的等比数列，是其前项和，且，则数列前项和为______．15. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为______．16. 若曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．18. 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制分及以上分到分分到分分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选人，求至少有人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了名学生进行调研，记表示抽取的名学生中为C等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．21. 已知函数，，（其中是自然对数的底数）．（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围；（2）若，求证：．22. 在极坐标系中，曲线的方程为，点．（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标．23. 设函数．（1）当时，解不等式：；（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：．答案第一部分1. C2. A3. D4. D5. C6. B7. B8. D9. A 10. D11. A 12. C第二部分13.14.15.16. ．第三部分17. （1）在中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，则，即，解得（舍）或，又，所以．18. （1）由题意可知，样本容量，，．（2）不合格的概率为，设至少有人成绩是合格等级为事件，所以，故至少有人成绩是合格等级的概率为．（3） C等级的人数为人，A等级的为人，所以的取值可为，，，；所以，，，，所以的分布列为．19. （1）因为是直径，所以．因为平面，所以．因为，所以平面．因为，，所以是平行四边形，，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）依题意，．由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立．如图所示，建立空间直角坐标系，，，，，所以，，，．设面的法向量为，即所以，设面的法向量为，即所以，所以．因为与二面角的平面角互补，所以二面角的余弦值为．20. （1）由题意可得，，解得，，可得椭圆方程为；（2）当垂直于轴时，可得，，由，即有，解得当不垂直于轴时，设，：，即为，由与圆：相切，可得，平方可得，即，又，由，即有，解得，则解得．综上可得，．21. （1）因为，所以，所以，所以，当时，，函数在上单调递增，所以，因为，所以，因为，所以，，，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以，所以，所以实数的取值范围为；（2），要证：，只要证，只要证，只要证，由于，，只要证，下面证明时，不等式成立，令，，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为，由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为，所以当时，，时，，综上所述，当，．22. （1）由于，，所以曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为．（2）设，据题意可得，，所以，当时，的最小值为，所以矩形周长的最小值为，点的坐标为．23. （1）当时，不等式：，可化为．①时，不等式可化为，所以；②，不等式可化为，所以；③，不等式可化为，所以，综上所述，不等式的解集为；（2）不等式的解集为，所以，所以，当且仅当，时取等号．。
2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）含答案解析
2017年河南省商丘市⾼考数学⼆模试卷（理科）含答案解析2017年河南省商丘市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个是符合题⽬要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中⾄少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e42．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣73．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：?x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥04．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．135．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执⾏如图算法的程序框图时，若输⼊的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．1276．⼀块硬质材料的三视图如图所⽰，正视图和俯视图都是边长为10cm的正⽅形，将该⽊料切削、打磨，加⼯成球，则能得到的最⼤球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．若不等式组表⽰的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表⽰的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝⿇，则落在区域Γ中芝⿇数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．若等边△ABC的边长为3，平⾯内⼀点M满⾜=+，则?的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．29．⾼考结束后⾼三的8名同学准备拼车去旅游，其中⼀班、⼆班、三班、四班每班各两名，分乘甲、⼄两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同⼀辆车的4名同学不考虑位置，）其中⼀班两位同学是孪⽣姐妹，需乘同⼀辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来⾃同⼀班的乘坐⽅式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离⼼率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸⽚沿x轴折成直⼆⾯⾓，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1?x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）.．设a=（cosx﹣sinx）dx，则⼆项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若?=0，则k=．=x n 15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满⾜x n+1﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三⾓形是直⾓三⾓形，则m的取值范围是．三、解答题：本⼤题共5⼩题，共70分．解答写出⽂字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的⾯积为4，求c．18．甲、⼄两家外卖公司，其送餐员的⽇⼯资⽅案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；⼄公司⽆底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同⼀公司送餐员⼀天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取⼀名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表⼄公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都⼤于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记⼄公司送餐员⽇⼯资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）⼩明拟到甲、⼄两家公司中的⼀家应聘送餐员，如果仅从⽇⼯资的⾓度考虑，请利⽤所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平⾯A1BC；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A﹣BD﹣B1的平⾯⾓的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离⼼率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且?为定值．（Ⅰ）求椭圆E的⽅程；（Ⅱ）求△OAB⾯积的最⼤值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极⼤值点x1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数⽅程选讲]22．在直⾓坐标系xOy中，直线l的参数⽅程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的⽅程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通⽅程和圆C的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的⽅程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2017年河南省商丘市⾼考数学⼆模试卷（理科）参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个是符合题⽬要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中⾄少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e4【考点】元素与集合关系的判断．【分析】⾸先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中⾄少有3个元素，故选：C．2．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，⼜（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，∴b=3，a=﹣4，则a﹣b=﹣7．故选：D．3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：?x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利⽤特称命题否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣x，x∈（0，），f′（x）=cosx﹣1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：?x∈（0，），f（x）＜0是真命题，4．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．13【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利⽤等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执⾏如图算法的程序框图时，若输⼊的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运⾏过程，可得答案．【解答】解：∵输⼊的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C6．⼀块硬质材料的三视图如图所⽰，正视图和俯视图都是边长为10cm的正⽅形，将该⽊料切削、打磨，加⼯成球，则能得到的最⼤球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由题意，该⼏何体为三棱柱，所以最⼤球的半径为正视图直⾓三⾓形内切圆的半径r．则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．若不等式组表⽰的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表⽰的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝⿇，则落在区域Γ中芝⿇数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】⼏何概型；简单线性规划．【分析】作出两平⾯区域，计算两区域的公共⾯积，得出芝⿇落在区域Γ内的概率．==【解答】解：作出平⾯区域Ω如图：则区域Ω的⾯积为S△ABC区域Γ表⽰以D（）为圆⼼，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共⾯积为S′=+=．∴芝⿇落⼊区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝⿇数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．若等边△ABC的边长为3，平⾯内⼀点M满⾜=+，则?的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】如图所⽰，建⽴直⾓坐标系．利⽤向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所⽰，建⽴直⾓坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（﹣1，），=（，﹣）则?=﹣=﹣2．故选：B．9．⾼考结束后⾼三的8名同学准备拼车去旅游，其中⼀班、⼆班、三班、四班每班各两名，分乘甲、⼄两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同⼀辆车的4名同学不考虑位置，）其中⼀班两位同学是孪⽣姐妹，需乘同⼀辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来⾃同⼀班的乘坐⽅式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】分类讨论，第⼀类，同⼀班的2名同学在甲车上；第⼆类，同⼀班的2名同学不在甲车上，再利⽤组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第⼀类，同⼀班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来⾃不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择⼀个学⽣为C21C21=4，故有3×4=12种．第⼆类，同⼀班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择⼀个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择⼀⼈为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车⽅式，故选：B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离⼼率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式⼦，再结合平⽅关系和离⼼率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离⼼率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB⽅程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸⽚沿x轴折成直⼆⾯⾓，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】点、线、⾯间的距离计算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从⽽求得函数的解析式，从⽽求得f （﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=，故选：D．A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）【考点】分段函数的应⽤．【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导，利⽤导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣=e﹣m﹣1，令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=e t，1﹣=t，x1=2﹣2t，∴x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导g′（t）=﹣2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（﹣∞，），∴x1x2取值范围为（﹣∞，），故选：D．⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则⼆项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为12．【考点】⼆项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理⾸先求出a的值，然后再根据⼆项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=﹣1﹣1=﹣2，=2r C6r?x3﹣r，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若?=0，则k=8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的⽅程，代⼊抛物线⽅程，利⽤韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的⽅程为y=k（x ﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联⽴⽅程组，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵?=0，（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．=x n 15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满⾜x n+1﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣2（n∈N*）．【考点】数列与函数的综合．=，【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得x n+1=ln=2ln=2a n，运⽤等⽐数列的通项公式即可得到所求．求得a n+1【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），f′（x）=a（2x﹣3），=x n﹣=x n﹣=，则x n+1由a1=，x n＞2，=ln=ln=2ln=2a n，则a n+1即有a n=a1q n﹣1=?2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N*）．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三⾓形是直⾓三⾓形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利⽤导数研究函数的单调性；利⽤导数研究函数的极值．【分析】利⽤导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最⼩值、最⼤值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，⼜x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三⾓形是构成直⾓三⾓形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4⼜已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．三、解答题：本⼤题共5⼩题，共70分．解答写出⽂字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的⾯积为4，求c．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三⾓形内⾓和定理，两⾓和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从⽽可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利⽤三⾓形⾯积公式可求ab=16，进⽽利⽤余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的⾯积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．18．甲、⼄两家外卖公司，其送餐员的⽇⼯资⽅案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；⼄公司⽆底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同⼀公司送餐员⼀天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取⼀名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表⼄公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都⼤于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记⼄公司送餐员⽇⼯资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）⼩明拟到甲、⼄两家公司中的⼀家应聘送餐员，如果仅从⽇⼯资的⾓度考虑，请利⽤所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与⽅差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都⼤于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设⼄公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员⽇平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员⽇平均⼯资，与⼄数学期望⽐较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都⼤于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设⼄公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员⽇平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员⽇平均⼯资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得⼄公司送餐员⽇平均⼯资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐⼩明去甲公司应聘．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平⾯A1BC；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A﹣BD﹣B1的平⾯⾓的正弦值．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平⾯A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平⾯A1BD的法向量与平⾯B1BD的法向量的夹⾓的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平⾯A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平⾯A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），设平⾯A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．设平⾯B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．cos＜＞=。
2017年河南省商丘市高考数学二模试卷(理科)
2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A.k＞e3B.k≥e3C.k＞e4D.k≥e4【答案】C【解析】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．本题考查了集合的化简与应用，属于基础题．2.i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2-i）2互为共轭复数，则a-b=（）A.1B.-1C.7D.-7【答案】D【解析】解：∵=，（2-i）2=4-4i-1=3-4i，又（a，b∈R）与（2-i）2互为共轭复数，∴b=3，a=-4，则a-b=-7．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．3.已知f（x）=sinx-x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A.p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B.p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C.P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D.p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0【答案】C【解析】解：f（x）=sinx-x，x∈（0，），f′（x）=cosx-1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0，故选：C．直接利用特称命题否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a-a10的值为（）A.6B.8C.12D.13【答案】C【解析】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a-a10=2（a1+8d）-（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．由已知条件利用等差数列的通项公式求解．本题考查数列的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A.15B.31C.63D.127【答案】C【解析】解：∵输入的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=-1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6.一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【答案】A【解析】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10-r+10-r=10cm，∴r=10-5≈3cm．故选：A．由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．7.若不等式组表示的区域Ω，不等式（x-）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A.114B.10C.150D.50【答案】A【解析】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==区域Γ表示以D（，）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．′=．∴芝麻落入区域Γ的概率为∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．本题考查了几何概型的概率计算，不等式与平面区域，作出平面区域计算两区域的公共面积是解题关键．8.若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A.-B.-2C.D.2【答案】B【解析】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（-，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（-1，），=（，-）则•=-=-2．故选：B．如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．本题考查了向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A.18种B.24种C.48种D.36种【答案】B【解析】解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．10.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A.（1，） B.（1，2） C.（，+∞） D.（2，+∞）【答案】B【解析】解：由于双曲线-=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=-c，因此，设A（-c，y0），B（-c，-y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2-a2，并化简整理，得2a2+ac-c2＞0两边都除以a2，整理得e2-e-2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2-e-2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．11.如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（-1）=（）A.-2B.2C.-D.【答案】D【解析】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（-1）=2sin（-+）=，故选：D．根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（-1）的值．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，空间距离公式的应用，属于中档题．12.已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A.[4-2ln2，+∞）B.（，+∞）C.（-∞，4-2ln2]D.（-∞，）【答案】D【解析】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1-＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e-m，f（x）=e-m-1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e-m-1，当x＜1时，1-=e-m-1，令t=e-m-1＞，则lnx2=t，x2=e t，1-=t，x1=2-2t，∴x1x2=e t（2-2t），t＞，设g（t）=e t（2-2t），t＞，求导g′（t）=-2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（-∞，），∴x1x2取值范围为（-∞，），故选：D．由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1-＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t （2-2t），t＞，设g（t）=e t（2-2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．本题考查函数零点的判定，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设a=（cosx-sinx）dx，则二项式（a-）6的展开式中含x2项的系数为______ ．【答案】12【解析】解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）|=-1-1=-2，∴（-2-）6=（2+）6的通项公式为T r+1=2r C6r•x3-r，令3-r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：12根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k= ______ ．【答案】8【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）-2k=，y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-4，∵•=0，（x1，y1-2）（x2，y2-2）=0，即x1x2+y1y2-2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1-2）（x2，y2-2）=0，即可求得k的值．本题考查直线与抛物线位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n+1=x n-，′设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n= ______ ．【答案】2n-2（n∈N*）【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x-1）（x-2），f′（x）=a（2x-3），则x n+1=x n-′=x n-=，由a1=，x n＞2，则a n+1=ln=ln=2ln=2a n，即有a n=a1q n-1=•2n-1=2n-2．故答案为：2n-2（n∈N*）．由题意可得f（x）=a（x-1）（x-2），求出导数，可得x n+1=，求得a n+1=ln=2ln=2a n，运用等比数列的通项公式即可得到所求．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用化简变形，以及等比数列的定义和通项公式，考查二次函数的解析式的求法和零点的定义，考查运算能力，属于中档题．16.已知f（x）=x3-3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是______ ．【答案】0＜m＜3+4【解析】解：f（x）=x3-3x+3+m，求导f′（x）=3x2-3由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2-6m-23＜0，解得3-4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．利用导数求得f（x）=x3-3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性求得最值的知识，考查不等式的构造及其求法，属中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cos C）=c（2-cos B）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cos C）=c（2-cos B），∴由正弦定理可得：sin B+sin B cos C=2sin C-sin C cos B，可得：sin B cos C+sin C cos B+sin B=2sin C，∴sin A+sin B=2sin C，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absin C=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2-3×16，解得：c=4．【解析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sin A+sin B=2sin C，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2-3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【答案】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=202.2．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为202.2元．因为202.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．【解析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X 的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A-BD-B1的平面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是B1C1、证明：BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（-，0，0），A（0，，0），D（0，-，），B1（，-，），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取，，．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取，，．cos＜，＞=又∵该二面角为钝角，∴二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为-．【解析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，椭圆E 的离心率为，过点M（m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）设F1（-c，0），∵抛物线y2=-4x的焦点坐标为（-1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=-4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2-c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，，，，，，==（t2+1）y1y2+（tm-t）（y1+y2）+m2-=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1-y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，【解析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2-c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1-y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式及面积的最值，属于中档题．21.已知函数f（x）=lnx-2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x-y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．【答案】（Ⅰ）解：因为f′（x）=-2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x-y=0垂直的切线，所以f′（x）=-在（0，+∞）上有解，即-2a=-在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx-2ax，因为g′（x）=，①当-1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜-1时，令g′（x）=0，设x2-2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=x12-2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，因为x1lnx1+1-ax12=x1lnx1-+1=--x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=-x3-x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=-x2-+lnx，记P（x）=-x2-+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=-3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=-1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=--x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22.在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．【答案】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y-7=0．又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y-3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=4，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0，所以+=．【解析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．23.已知函数f（x）=|x-2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）解不等式|x-2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x-2+2x+1＞5，解得：x＞2；-＜x＜2时，2-x+2x+1＞5，无解，x≤-时，2-x-2x-1＞5，解得：x＜-，故不等式的解集是（-∞，-）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x-2|+|2x+1|=，，＜＜，，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）-4的取值范围是[-，+∞），进而的取值范围是（-∞，-]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（-，0]．【解析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
高考第二次模拟考试理科数学试卷含答案试卷分析详解
河南省商丘市-高三第二次模拟考试试卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数352z i=+(i 是虚数单位）的共辄复数z =（ ） A ．2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2.已知集合{}{}29,A x y x B x x a ==-=≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞- B ．(],3-∞- C. (],0-∞ D ．[)3,+∞ 3.已知等差数列{}n a 的公差为d ，且891024a a a ++=，则1a d ⋅的最大值为（ ） A ．12 B ．14C. 2 D ．4 4.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为91，39，则输出的a =（ ）A ．11B ．12 C. 13 D ．145.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）A ．2465A A ⨯种 B ．2465A ⨯种 C. 2465C A ⨯种 D ．2465C ⨯种6.设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0z ax y a =+>的最大值为18，则a 的值为（ ）A ．3B ．5 C. 7 D ．97.已知0a >且1a ≠，函数()(log a f x x =+在区间(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log a g x x b =-的图象是（ ）A ．B ．C. D ．8.已知椭圆22162x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，直线:l y kx m =+与椭圆相切，记12F F 、到直线l 的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅的值为（ ） A ．1 B ．2 C. 3 D ．49.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．6πB ．163π6π D 163π10.将函数())cos 2sin 0222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．811.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0a x y C a bb >->=的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线C 的右支上存在点P ，且满足OP =21tan 3PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(]1,2 C. ⎛ ⎝⎦ D ．⎛ ⎝⎦12.记函数()2x f x e x a -=--，若曲线[]()31,1y x x x =+∈-上存在点()00,x y 使得()00f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ．()22,66,e e -⎤⎡-∞-⋃++∞⎦⎣ B ．226,6e e -⎡⎤-+⎣⎦C. ()226,6e e --+D ．()()22,66,e e --∞-⋃++∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知球的表面积为8π，此球面上有,,A B C 三点，且2AB AC BC ==，则球心到平面ABC 的距离为 ．14.已知,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，52,222OC OA OB AB =-=，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为 ．15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为 ．16.已知曲线2:2C y x a =+在点(()0,n P n a n N >∈处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴、y 轴分别于点()(),00,n n n n A x B y 、，且00x y =.给出以下结论： ①1a =；②当*n N ∈时，n y③当*n N ∈时，n k >④当*n N ∈时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则)1n S <.其中，正确的结论有 ．(写出所有正确结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()()sin 2sin cos A C A A C +=+，且222sin sin sin sin 0A B C A B +-+=.（1）求证：,,2a b a 成等比数列； （2）若ABC ∆的面积是2，求c 边的长.18.世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布()251,15N ，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；（3）已知本数据中旅游费用支出在[]80,100范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附:若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.19.如图所示的几何体是由棱台PMN ABD -和棱锥C BDNM -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面,22ABCD AP PM ==.（1）求证：MN PC ⊥；（2）求平面MNC 与平面APMB 所成锐角二面角的余弦值.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，且124y y =-.（1）求拋物线方程；（2）设点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD ∆面积的最小值及此时直线AD 的方程.21.已知函数()2()()(21ln 21210)()f x x x a x x a =++-+->.（1）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；（2）当1 2a >时，求证：()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有()()121222x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+，直线()1:6l R πθρ=∈，直线()2:3l R πθρ=∈.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O M 两点，直线2l 与曲线C 交于,O N 两点，求OMN ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2274m m f x >-+对于x R ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10: ADBAC 11、12：DB 二、填空题13. 1 14.5 15. 200 16. ①②④ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）证明：∵ A B C π++=，sin +)2sin cos()A C A A B =+（， ∴sin 2sin cos B A C =-，在ABC ∆中，由正弦定理得，2cos b a C =-，∵222sin sin sin sin 0A B C A B +-=，由正弦定理可得：∴2220a b c +-+=，∴222cos 2a b c C ab+-== ∴34C π=，∴b =，则2222b a a a ==⋅，∴,,2a b a 成等比数列；（Ⅱ） 1sin 22S ab C ===，则ab = ，由（Ⅰ）知，b = ，联立两式解得2,a b ==，由余弦定理得，2222cos 4822(20c a b ab C =+-=+-⨯⨯=∴c =18.解：（Ⅰ）设样本的中位数为x ，则2250450(40)0.510001000100020x -++⋅=， 解得51x ≈，所得样本中位数为51（百元）.（Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P x μσ≥+1(22)2P x μσμσ--<<+=10.95440.02282-==，0.022*********⨯=，估计有798位同学旅游费用支出在8100元以上. （Ⅲ）Y 的可能取值为0，1，2，3，35385(0)28C P Y C ===， 12353815(1)28C C P Y C ===， 21353815(2)56C C P Y C ===， 33381(3)56C P Y C ===， ∴Y 的分布列为50123282856568E Y=⨯+⨯+⨯+⨯=（）. 19.解：(Ⅰ)证明：因为底面四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥， 又∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA BD ⊥， ∵ACPA A =， ∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥.又棱台中， ∴(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示， 则(0,1,0)C ，1(,2)22M -， PMN ABD -//BD MN MN PC ⊥D31(,,2)2N --，(0,1,0)A -，(0,1,2)P -，(3,0,0)B ， 所以33(,,2)2CM =-，33(,,2)22CN =--，(0,0,2)AP =，(3,1,0)AB =， 设平面MNC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则CM mCN m ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,∴=0=0CM m CN m ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，1111113320233202x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩.令11z =，得1140,3x y ==， ∴4(0,,1)3m =； 设平面APMB 的法向量为222(,,)n x y z =，则AP nAB n ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,∴=0=0AP n AB n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，2222030z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令2=1x ，得23y =-，2=0z ， ∴(1,3,0)n =-， 设平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角为α，则2222224013233cos 540()11(3)03m n m nα⨯+⨯⨯⋅===⋅++⋅+-+（-）+10，所以平面MNC 与平面APMB 所成锐二面角的余弦值为23.20.解：（Ⅰ）依题意(,0)2p F ，当直线AB 的斜率不存在时，直线:2p AB x =，可得,),,)22p pA pB p -（（，2124,2y y p p =-=-=，分当直线AB 的斜率存在时，设:()2p AB y k x =-由22()2y pxpy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2220p y y p k --= 得212122+,py y y y p k==- 由124y y =-得24p =，2p =，所以抛物线方程24y x =.（Ⅱ）设00(,)D x y ，2(,)4t B t ，则(1,)E t -，又由124y y =-，可得244(,)A t t-因为2EF tk =-，AD EF ⊥，∴2AD k t =，故直线2424:()AD y x t t t+=-， 由2248240y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 化简得2216280y ty t ---=， ∴10102162,8y y t y y t +==--.∴10|||AD y y =-==，……8分设点B 到直线AD 的距离为d ，则22222816|4||8|t t t d ---++==，∴1||162ABD S AD d ∆=⋅=≥，当且仅当416t =，即2t =±，等号成立2:30t AD x y =--=时，； 2:30t AD x y =-+-=时，.21.解：（Ⅰ）函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<． 又直线y x =-恰好通过原点，∴函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+． 令ln(21)()21x h x x +=+，则222ln(21)()(21)x h x x -+'=+． ∴11(,)22e x -∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增； 1(,)2e x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减． ∴max 11()()2e h x h e -==∴a 的取值范围是1a e >． （Ⅱ）∵()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++，设()2ln(21)4(21)1u x x a x =+-++, 则4()821u x a x '=-+， 410,4,,84212x a a x ><>>+时时，∴4()8021u x a x '=-<+， ∴0x >时 ()f x '为单调递减函数，不妨设210x x >>，令（1x x >）， 可得1()0g x =，1()()()2x x g x f x f +'''=-，∵12x x x +>且()f x '单调递减函数， ∴()0g x '<，∴1x x >，()g x 为单调递减函数，∴21()()0g x g x <=， 即1212()()2()2x x f x f x f ++<． 22.解：（Ⅰ）依题意，直线1l的直角坐标方程为y ， 直线的直角坐标方程为y =.因为4cos 2sin ρθθ=+，∴24cos 2sin ρρθρθ=+， ∴2242x y x y +=+，即22(2)(1)5x y -+-=，∴曲线C的参数方程为21x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）. （Ⅱ）联立64cos 2sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，，得到||1OM =，同理||2ON =又6MON π∠=，所以1||||sin 2MON S OM ON MON =⋅∠△. 即OMN ∆23.解：（Ⅰ）依题意，431()|2|2|1|12342x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+-=⎨⎪->⎩，，，≤≤，，， 故不等式()4f x >的解集为8(0)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，. 11()()()2()2x x g x f x f x f +=+-2l（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当1x =时，()f x 取最小值， 2()274f x m m >-+对于x ∈R 恒成立， ∴2min ()274f x m m >-+，即22741m m -+<， ∴22730m m -+<，解之得132m <<， ∴实数的取值范围是1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1m。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）含答案2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e42．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣73．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥04．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．135．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．1276．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．29．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=．15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n=x n﹣，设+1a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e4【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．2．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，又（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，∴b=3，a=﹣4，则a﹣b=﹣7．故选：D．3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣x，x∈（0，），f′（x）=cosx﹣1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0，故选：C．4．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．13【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．==【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（﹣1，），=（，﹣）则•=﹣=﹣2．故选：B．9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分类讨论，第一类，同一班的2名同学在甲车上；第二类，同一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，同一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类，同一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】点、线、面间的距离计算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=，故选：D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣=e﹣m﹣1，令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=e t，1﹣=t，x1=2﹣2t，∴x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导g′（t）=﹣2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（﹣∞，），∴x1x2取值范围为（﹣∞，），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为12．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=﹣1﹣1=﹣2，=2r C6r•x3﹣r，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣1），设A （x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵•=0，（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．=x n﹣，设15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n+1a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣2（n∈N*）．【考点】数列与函数的综合．=，求得【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得x n+1=ln=2ln=2a n，运用等比数列的通项公式即可得到所求．a n+1【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），f′（x）=a（2x﹣3），=x n﹣=x n﹣=，则x n+1由a1=，x n＞2，=ln=ln=2ln=2a n，则a n+1即有a n=a1q n﹣1=•2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N*）．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．cos＜＞=又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解，即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以 g′（x1）=x12﹣2ax1+=0，则 a=，要证明+＞a，只需要证明 x1lnx1+1＞ax12，因为 x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣+1=﹣﹣ x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令 h（x）=﹣ x3﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1）， 所以 h′（x）=﹣ x2﹣ +lnx，记 P（x）=﹣ x2﹣ +lnx，x∈（0，1）， 则 P′（x）=﹣3x+ = 当 0＜x＜ ， ＜x＜1 时，p′（x）＜0， ＜0，所以 h′（x）＜0，时，p′（x）＞0，当 ）=﹣1+ln所以 p（x）max=p（所以 h（x）在（0，1）上单调递减， 所以 h（x）＞h（1）=0，原题得证．[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 ρ=6sinθ． （Ⅰ）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 P（4，3），直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）把直线 l 的参数方程消去参数 t 可得，它的直角坐标方程；把圆 C 的极坐标方程 依据互化公式转化为直角坐标方程． + 的值． （t 为参数），在以原点 O 为极点，x（Ⅱ） 把直线 l 的参数方程（t 为参数） ， 代入圆 C 的直角坐标方程， 得，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直线 l 的参数方程为（t 为参数），得直线 l 的普通方程为 x+y﹣7=0． 又由 ρ=6sinθ 得圆 C 的直角坐标方程为 x2+（y﹣3）2=9； （Ⅱ）把直线 l 的参数方程 （t 为参数），代入圆 C 的直角坐标方程，得，设 t1，t2 是上述方程的两实数根， 所以 t1+t2=4 ，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0， 所以 + = ．[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=|x﹣2|+|2x+1|． （Ⅰ）解不等式 f（x）＞5； （Ⅱ）若关于 x 的方程 =a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集． （Ⅱ） 由分段函数 f （x） 的解析式可得 f （x） 的单调性， 由此求得函数 f （x） 的值域， 求出 的取值范围．再根据关于 x 的方程 =a 的解集为空集，求得实数 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5， x≥2 时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2； ﹣ ＜x＜2 时，2﹣x+2x+1＞5，无解， x≤﹣ 时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣ ， 故不等式的解集是（﹣∞，﹣ ）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，故 f（x）的最小值是 ，所以函数 f（x）的值域为[ ，+∞）， 从而 f（x）﹣4 的取值范围是[﹣ ，+∞）， 进而 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪（0，+∞）． =a 的解集为空集，所以实数 a 的取值范围是（﹣ ，0]．根据已知关于 x 的方程2017 年 4 月 15 日。