中垂线的画法

中垂线的画法

1．画线段AB 的垂直平分线MN

取MN 上任意一点P ，连结PA 、PB

线段PA 、PB 在数量上有什么关系？你会证明吗？ 证明：∵MN ⊥AB(已知)

∴∠PCA=∠PCB=90°(垂直定义)

在△PCA 和△PCB 中

∵AC=BC(已知)

∠PCA=∠PCB(已证)

PC=PC(公共边)

∴△PCA ≌△PCB(S.A.S)

∴PA=PB(全等三角形对应边相等)

于是，我们得到

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 数学表达式：

∵点P 在线段AB 的垂直平分线MN 上

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等)

A B

N

A B

练习

1． 已知：如图，线段AB 垂直平分线段CD

则AC ＝ 若线段AB,CD 互相垂直平分，则AC=

2．已知：如图，∠O=34°,BD 垂直平分AO ，求∠ABC 的度数

操作

1．画线段AB

2．找五个点使它们到点A 、B 的距离相等

可以发现这些点都在一条线上，这条线就是线段AB 的垂直平分线

证明：在△MAN 和△MBN 中

∵MA=MB （已知）

NA=NB(已知)

MN=MN （公共边）

∴△MAN ≌△MBN(S.S.S) ∴∠AMN=∠BMN （全等三角形对应角相等）

又∵MA=MB

∴AC=BC MC ⊥AB

（等腰三角形顶角平分线垂直平分底边）

∴直线MC 就是线段AB 的垂直平分线 ∴点M 、N 在线段AB 的垂直平分线上

这也就是说：

B C O

A B

和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

数学表达式：

∵PA ＝PB

∴点P 在线段AB 的垂直平分线上

（和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

观察这两个定理的题设和结论，分析它们的特点

会发现前一个定理的题设和结论正好是后一个定理的结论和题设

我们把这两个定理称为线段垂直平分线的性质定理和逆定理

性质定理的条件是已知了线段的垂直平分线

逆定理的条件是有公共端点的两条线段相等

例1 已知：如图，在△ABC 中

AB,AC 的垂直平分线相交于点O

求证：点O 在BC 的垂直平分线上 证明：连结OA 、OB 、OC ∵点O 在AB 的垂直平分线上（已知）

∴OA=OB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）

同理可得 OA=OC

∴OB=OC （等量代换）

∴点O 在BC 的垂直平分线上

（和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

练习

2． 已知：如图，AC=BC,AD=BD ，

求证：AE=BE

小结：本节课学习了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，它们的运用集

中在下面的基本图形中。因此当题目中出现线段的垂直平分线时，

应注意在较复杂的图形中找出基本图形，若基本图形不完整可以添

加辅助线构造出完整的基本图形以便于解决问题。这也是几何中常

用的思想方法。

A B

练习

3．已知：如图，∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AC、AB于点M、N, AM=2CM

求证：∠A=30°

A B