时程分析法 newmark-b

（1 ）
f s / x = k = tgα & f D / x = c = tg β
[ 非线性问题： 非线性问题： C ], [ K ] 为时变矩阵
fs
fD
α
x (t )
β
& x (t )
fD
fs
& x (t )
x(t )
2.增量平衡方程 2.增量平衡方程
{ f I (t )} + { f D (t )} + { f s (t )} = {P(t )}
& { x ( ti + ∆t )} = { x ( ti )} + { x ( ti )}
x {&&( t )} ∆t +
i
2
( ∆t )
2
+
x {∆&&}i 6 ∆t
( ∆t )
+
3
位移增量为：
& {∆x}i = { x ( ti + ∆t )} − { x ( ti )} = { x ( ti )} ∆t +
K* P*
等效刚度→
& {∆x}i =
K * ( t ){∆x} = P* ( t ) ←等效荷载
3 ∆t & x {∆x}i − 3{ x ( ti )} − {&&( ti )} 2 ∆t 6 6 & x x {∆&&}i = {∆x}i − { x ( ti )} − 3{&&( ti )} 2 ∆t ( ∆t )
x {∆&&}i 2∆t x {∆&&}i 2∆t
& & x { x ( t )} − { x ( ti )} = {&&( ti )} ( t − ti ) + & & x { x ( t )} = { x ( ti )} + {&&( ti )} ( t − ti ) +
( t − ti ) ( t − ti )
& [ M ]{∆&&(t )} + [C (t )]{∆x(t )} + [ K (t )]{∆x(t )} = {∆P(t )} x
----增量方程(3) ----增量方程(3) 增量方程
方程左边的力增量表达式是近似的！ 方程左边的力增量表达式是近似的！
非线性地震反应分析的逐步积分法
Newmark－β法 线性加速度法： ∆t时间间隔内加速度线性变化假定 平均加速度法： ∆t时间间隔内加速度为常数假定 Wilson－θ法
2
（5 ）
对(5)式积分求t时刻的位移： x x {&&( ti )} t − t 2 + {∆&&}i t − t 3 （6） & ( ti )} ( t − ti ) + ( i) ( i) { x ( t )} = { x ( ti )} + { x
2 6 ∆t
ti + ∆t 时刻的位移向量为：
从而可以得出 ti + ∆t 时刻的位移，速度和加速度向量
{x ( t
x {&&( t
i
+ ∆t )} = { x ( ti )} + {∆x}i 3 ∆t & & ∆x}i − 2 { x ( ti )} − {&& ( ti )} x { ∆t 2
D
& & & { x ( ti + ∆t )} = { x ( ti )} + {∆x}i =
x {∆&&}i 2
∆t
（8 ）
在分析中，将{∆x}作为基本变量，由式(7)得
( ∆t ) 将(9)式代入(8)得
& {∆x}i =
x {∆&&}i =
6
∆x}i − 2 {
6 & x { x ( ti )} − 3{&&( ti )} ∆t
（9 ）
将(9)和(10)代入增量方程(3)解得位移增量{∆x}i ----增量方程 增量方程(3) & [ M ]{∆&&(t )} + [C (t )]{∆x(t )} + [ K (t )]{∆x(t )} = {∆P(t )} ----增量方程(3) x
& & & x x x {∆&&( t )} = {&&( t + ∆t )} − {&&( t )} {∆x ( t )} = { x ( t + ∆t )} − { x ( t )}
{∆x ( t )} = {x(t + ∆t )} − {x(t )}
∆P(t ) = P(t + ∆t ) − P(t )
x x x {∆f I (t )} = { f I (t + ∆t )} − { f I (t )} = [ M ] ({&&(t + ∆t )} − {&&(t )} ) = [M ]{∆&&(t )}
{∆f D (t )} = { f D (t + ∆t )} − { f D (t )} & ≈ [C (t )]{∆x(t )}
3 ∆t & x {∆x}i − 3{ x ( ti )} − {&&( ti )} ∆t 2
（10） 10）
6 6 ∆t 3 & & [M ] ∆x}i − { x ( ti )} − 3{&& ( ti )} + [C (ti )] {∆x}i − 3{ x ( ti )} − {&&( ti )} + [ K (ti )]{∆x}i = {∆P(ti )} x x { 2 ∆t 2 ∆t ( ∆t ) 6 3 ∆t 6 & & [M ] + [C (ti )] + [ K (ti )] {∆x}i = {∆P(ti )} + [ M ] { x ( ti )} + 3{&&( ti )} + [C (ti )] 3{ x ( ti )} + {&& ( ti )} x x 2 2 ∆t ∆t ( ∆t ) 42444444 14444444444444244444444444443 144444 3
df c (t ) = D & dx
f D (t + ∆ t )
fD
斜 率 c (t )
f D (t )
& ∆x
& x (t )
∆f D
df D & ∆x & dx
& x (t ) & x(t + ∆t )
{∆f I (t )} + {∆f D (t )} + {∆f s (t )} = {∆P(t )}
x {&&( t )}
i
2
( ∆t )
2
x {∆&&}i 6
( ∆t )
2
（7 ）
t时刻的加速度：
x x {&&( t )} = {&&( t )} +
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x {∆&&}i ∆t
( t − ti )
2∆t
（4 ）
t时刻的速度：
& & x { x ( t )} = { x ( ti )} + {&&( ti )} ( t − ti ) +
df k (t ) = s dx t
& x (t ) & x(t + ∆t )
df s ∆x dx
f s 斜率k (t )
f s (t + ∆t )
f s (t )
∆x
x(t )
∆f s
结构在t 结构在t时刻的刚度矩阵 由t时刻结构各构件的切线刚度确定
x(t + ∆t )
x(t )
两个近似：加速度为线性变化； 阻尼和刚度在时间步长内保持常量 在分析的每一步中都要利用总平衡方程，来避免误差的积累
计算步骤： 1.确定积分步长∆t
逐步积分法的精度依赖于积分步长∆t 影响因素：外荷载的变化速率，非线性的复杂性和结构的振动 周期
& [ M ]{∆&&(t )} + [C (t )]{∆x(t )} + [ K (t )]{∆x(t )} = {∆P(t )} x
（11） 11）
({P ( t + ∆t )} − { f
( ti + ∆t )} − { f s ( ti + ∆t )})
6
不采用
x x x x {&&( ti + ∆t )} = {&&( ti )} + {∆&&}i = {&&( ti )} +
( ∆t )
∆x}i − 2 {
6 & x { x ( ti )} − 3{&&( ti )} ∆t
3.线性加速度法 3.线性加速度法 假定∆t时间间隔内加速度线性变化 在 ti 至 ti + ∆t 间间隔内t时刻的加速度为
x x {&&( t )} = {&&( t )} +
i
x {∆&&}i ∆t
x {∆&&}i ∆t
( t − ti )
&&( t ) x
（4 ）
对(4)式积分求t时刻的速度：
时程分析法
1.运动方程 1.运动方程
& [ M ]{&&(t )} + [C (t )]{ x(t )} + [ K (t )]{ x(t )} = −[ M ]{1} &&g x x
{ f I (t )} + { f D (t )} + { f s (t )} = {P(t )}
[ 线性问题： 线性问题： C ], [ K ] 为常数矩阵
t + ∆t 时刻： 时刻：
（1 ） （2 ）
{ f I (t + ∆t )} + { f D (t + ∆t )} + { f s (t + ∆t )} = {P(t + ∆t )}
{∆f I (t )} + {∆f D (t )} + {∆f s (t )} = {∆P(t )}
将(1),(2)两式相减： (1),(2)两式相减： 两式相减
2
2
（5 ）
t时刻的加速度：
x x {&&( t )} = {&&( t )} +
i
x {∆&&}i ∆t
( t − ti )
2∆t
（4 ）
t时刻的速度：
& & x { x ( t )} = { x ( t )} + {&&( t )} ( t − t ) +
i i i
x {∆&&}i
( t − ti )
x {∆&&}i
( t − ti )
2
（5 ）
对(5)式积分求t时刻的位移： x x {&&( ti )} t − t 2 + {∆&&}i t − t 3 （6） & ( ti )} ( t − ti ) + ( i) ( i) { x ( t )} = { x ( ti )} + { x
2 6 ∆t
i + ∆t )} = [ M ] −1 i
（11） 11）
({P ( t + ∆t )} − { f
( ti + ∆t )} − { f s ( ti + ∆t )})
{ f I (t )} + { f D (t )} + { f s (t )} = {P(t )}
（1 ）
总平衡方程
从而可以得出 ti + ∆t 时刻的位移，速度和加速度向量
{x ( t
& {x ( t x {&&( t
i
+ ∆t )} = { x ( ti )} + {∆x}i 3 ∆t & & x {∆x}i − 2 { x ( ti )} − {&&( ti )} ∆t 2
D
& & i + ∆t )} = { x ( ti )} + {∆x}i =
i + ∆t )} = [ M ] −1 i
令
x x x {∆f I (t )} = { f I (t + ∆t )} − { f I (t )} = [ M ] ({&&(t + ∆t )} − {&&(t )} ) = [M ]{∆&&(t )}
{∆f D (t )} = { f D (t + ∆t )} − { f D (t )} & ≈ [C (t )]{∆x(t )}
ti + ∆t 时刻的速度向量为：
& {x ( t & && i + ∆t )} = { x ( ti )} + { x ( ti )} ∆t + x {∆&&}i 2∆t
( ∆t )
2
速度增量为：
& & & x {∆x}i = { x ( ti + ∆t )} − { x ( ti )} = {&&( ti )} ∆t +
x {∆&&}i 2
∆t
（8 ）
位移增量为：
& {∆x}i = { x ( ti + ∆t )} − { x ( ti )} = { x ( ti )}
x {&&( t )} ∆t +
i
2
( ∆t )
2
+
x {∆&&}i 6
( ∆t )
2
（7 ）
速度增量为：
& & & x {∆x}i = { x ( ti + ∆t )} − { x ( ti )} = {&&( ti )} ∆t +
x x ∫ {&&(τ )} dτ = ∫ {&&( t )} dτ + ∫
t t ti ti i t ti
(τ − ti ) dτ
2 t ti
∆&&i x
ti t t i + ∆ t
& { x (τ )}
t ti
= { && ( ti )} ( t − ti ) + x
x {∆&&}i 2∆t
(τ − ti )
df c (t ) = D & dx t
f D (t + ∆ t )
fD
斜 率 c (t )
f D (t )
& ∆x
& x (t )
∆f D
df D & ∆x & dx
{∆f s (t )} = { f s (t + ∆t )} − { f s (t )} ≈ [ K (t )]{∆x(t )}