高斯积分法讲义
04-04 高斯积分法及其应用
§4-4 高斯积分法及其应用● 由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。
因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。
● 数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
● 数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。
一、高斯积分法 1．一维积分的高斯公式● 一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi )是被积函数在积分点ξi 处的数值，H i 为加数系数，n 为积分点数目。
● 可以证明， ✧对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。
✧由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。
● 例如， ✧n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a)不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。
因为ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c)✧当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e)数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C 0～C 3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H✧同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H即可保证得到精确的积分值。
高斯的积分
高斯的积分引言高斯的积分，也称为高斯积分或者高斯函数，是数学中一种重要的积分形式。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在18世纪末提出，并广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和统计学等。
高斯的积分在数学和科学研究中具有重要的地位，它不仅有着深厚的理论基础，还具有广泛的应用价值。
高斯函数及其性质高斯函数是指形如 e −x 2的函数形式。
它在数学中具有许多重要的性质，下面我们将介绍其中几个常见的性质。
对称性首先，高斯函数具有轴对称性。
即 e −x 2 关于原点对称，即 e −x 2=e −(−x )2。
这一性质使得高斯函数在实际问题中具有很大的优势。
归一化其次，高斯函数可以进行归一化处理。
归一化是指将一个函数调整为满足某些条件下总积分为1的过程。
对于高斯函数来说，它的归一化形式是 √π−x 2。
这个归一化的过程在概率论和统计学中有着重要的应用。
积分高斯函数的积分也是高斯的积分的核心内容。
高斯函数的积分形式为 ∫e −x 2∞−∞dx 。
这个积分在数学中被称为高斯积分，它是一个无穷区间上的定积分。
高斯积分的计算方法高斯积分由于其特殊性质，在数学中具有很大的难度。
然而，幸运的是，高斯本人提出了一种巧妙而有效的计算方法，即高斯消元法。
高斯消元法高斯消元法是通过变换和逐步简化来计算高斯积分。
具体步骤如下：1. 将被积函数 e −x 2进行变量替换，令 t =x 2。
2. 将原始积分转化为新变量 t 的定积分形式：12∫e −t ∞−∞dt 。
3. 利用定积分性质和指数函数关系进行计算，得到最终结果为 √π。
高斯消元法的关键在于变量替换和积分性质的灵活运用。
通过这种方法，我们可以简洁地计算出高斯积分的结果。
高斯积分的应用高斯积分作为一种重要的数学工具，在科学研究中有着广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的应用领域。
概率论与统计学在概率论与统计学中，高斯积分被广泛应用于概率密度函数和正态分布的计算中。
数值分析-高斯求积分
有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1
x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则
高斯积分法讲义
多维高斯积分的误差分析
误差来源
误差估计
多维高斯积分的误差主要来源于 数值计算过程中的舍入误差、截 断误差以及算法本身的近似误差。
可以采用误差估计方法对多维高 斯积分的计算结果进行可靠性评 估。常用的误差估计方法包括残 差法、复化法、外推法等。
精度提高
为了提高多维高斯积分的计算精 度，可以采用更高阶的高斯积分 公式、增加随机样本数量、改进 网格划分等方法。同时，针对具 体问题选择合适的算法和参数设 置也是提高精度的关键。
金融学
高斯积分法在金融领域也有 广泛应用，如期权定价、风 险管理、投资组合优化等， 为金融决策提供科学依据。
02
高斯积分法的基本原理
高斯点的选取与性质
高斯点定义
高斯点是在积分区间内选取的一 组离散点，用于近似计算定积分。
高斯点性质
高斯点具有正交性和对称性，使得 在高斯积分法中能够高效地逼近被 积函数。
数值稳定性
在实现过程中，需要注意数值稳定性 问题。由于高斯积分涉及到浮点数运 算，可能会产生舍入误差。因此，在 实现时应选择合适的数值精度，并进 行误差控制。
一维高斯积分的误差分析
误差来源
一维高斯积分的误差主要来源于两个方面：一是由于数值计算引入的舍入误差；二是由于高斯点和权重的选择引 入的截断误差。
权函数的计算通常涉及到正交多项式和递推关系式，需要一定
的数学基础和编程技巧。
高斯积分法的精度与收敛性
01
精度分析
高斯积分法具有高精度逼近被积 函数的能力，其误差随着高斯点 数量的增加而减小。
收敛性分析
02
03
稳定性分析
高斯积分法具有指数级收敛速度， 即当高斯点数量增加时，误差呈 指数级下降。
4.3 高斯积分
节点xk 及求积系数 Ak 的选取方法
由特殊函数理论知，勒让德（Legendre）多项式
1 dn p n ( x) = n ⋅ n [( x 2 − 1) n ] 2 n! dx
在[-1，1]上是正交的，即 1 ∫Байду номын сангаас1 pn ( x) pn+1 ( x)dx = 0
[2(n + 1)]! p n+1 ( x )的首项系数为： n+1 ，故常取 2 [(n + 1)!]2
三点(n=2)高斯法计算子程序 subroutine Gauss(a,b,G) dimension t(3),w(3) data t/0.,0.774597,-0.774597/ data w/0.888889,0.555556,0.555556/ G=0.0 1 1 x = (b + a) + (b − a)t do 10 i=1,3 2 2 x=0.5*[(b+a)+(b-a)*t(i)] n 1 10 G=G+w(i)*f(x) ∫−1 f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 G=0.5*(b-a)*G return b−a f ( x)dx = ∫ ∫ ϕ (t )dt end 2
以上讨论中，积分区间为[-1,1]。 当实际计算区间为 [a, b] ,可采用如下变量替换：
1 1 x = (b + a) + (b − a)t 2 2
则积分区间 [a, b] 变为[-1,1]，且积分变为：
∫
b
a
b−a 1 f ( x)dx = ∫−1ϕ (t )dt 2
a+b b−a + t) 其中 ϕ (t ) = f ( 2 2
高斯积分定理
高斯积分定理是微积分中的一个重要定理，它描述了一个曲面的内部和外部之间的关系。
该定理在物理学和工程学中有广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学中。
具体来说，高斯积分定理表述了一个曲面的外部和内部的通量与曲面所包围的体积之间的关系。
对于一个闭合曲面S，其内部和外部的通量可以用曲面元素的面积元素dS来表示，而曲面所包围的体积则可以用积分来表示。
高斯积分定理可以用公式∮S F·dS = ∫∫∫V ∇·F dV来表示，其中S是一个闭合曲面，F 是一个矢量场，dS是曲面元素的面积，V是曲面所包围的体积，∇·F是矢量场的散度。
这个定理的意义在于，它提供了一种通过测量通量来确定被包围的体积的方法，而不需要直接计算体积。
在实际应用中，高斯积分定理可以用来计算电荷或磁荷的分布情况，或者用来解决流体力学中的问题。
高斯积分定理的应用需要满足一定的条件，例如矢量场必须是单连通的，曲面必须是封闭的等。
此外，在具体应用中还需要注意一些细节问题，例如如何选择合适的坐标系和积分路径等。
高斯积分定理是微积分中的一个重要定理，它提供了一种通过测量通量来确定被包围的体积的方法，具有广泛的应用价值。
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
关于坐标系
直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ，2维 球坐标系(r,θ, ) 柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
➢选轨迹上任一点O为原点 ➢用轨迹长度S 描写质点位置
m
OS
n
➢质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector)
➢质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
U e 1 (x( )) (x( ))dV 1 x2 Ee (x( )) (x( ))Aedx
2 e
2 x1
U e 1 1 EeB( )qeB( )qe Ae (le / 2)d
2 1
U e
1 qeT [
1
(l e
/
T
2)B
( )Ee AeB( )d ]qe
2
1
U e 1 qeT Keqe 2
x(,) N(,)xe
u(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe
N1
1 4
(1
)(1 )
N2
1 4
(1
)(1 )
N3
1 4
(1
)(1 )
N4
1 4
(1 )(1)
ε(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe B(,)qe
x
B(
, )
0
y
0
x 1 2 3 4 N1x1 N2x2 N3x3 N4x4
y
1
2
3
4
N1 y1
N2
y2
N3
y3
N4
y4
N1
《高斯公式》课件
随着科技的发展和实际问题的多样化，高斯公式的应用前景越来越广阔。例如，在计算机图形学、物理模拟、工 程设计等领域，高斯公式的应用将更加广泛和深入。同时，随着数学与其他学科的交叉融合，高斯公式的应用也 将得到更多的创新和发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数值微分
高斯公式也可以用于数值微分问题的 求解。通过将微分区间划分为足够小 的微元，然后利用高斯公式计算每个 微元的导数值并求和，可以得到整个 区间的导数值。
04 高斯公式的扩展与推广
高斯公式的变种
广义高斯公式
适用于更广泛的积分区域和函数类型，包括非凸区域 和非光滑函数。
离散高斯公式
将高斯公式应用于离散点集，用于数值计算和统计分 析。
高斯公式
目录
• 高斯公式简介 • 高斯公式的推导过程 • 高斯公式的应用实例 • 高斯公式的扩展与推广 • 总结与展望
01 高斯公式简介
高斯公式的定义
01
高斯公式是微积分中的一个基本定理，用于计算多维空间 中封闭曲线的积分。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希· 高斯发现的，因此得名。
02
高斯公式的基本形式是：对于一个封闭的二维曲面或三维 体积，其内部的积分可以通过其表面的积分来表示。具体 来说，对于一个封闭的二维曲面S，其内部任一点P处的值 可以通过S上各点的值来计算。
应用拓展
随着科技的不断进步，高斯公式的应用领域也在不断拓展。未来需要加强高斯公式在各 个领域的应用研究，以促进数学与实际问题的结合。
数值计算
随着数值计算技术的发展，高斯公式的数值计算方法也需要不断改进和完善，以提高计 算精度和效率。
高斯公式在实际应用中的挑战与机遇
挑战
第四节 高斯Gauss求积公式讲解
Ak f ( x k )
k?0
的代数精度最高为 2n+1次。
证明：取特殊情形 ? ( x ) ? 1,
分别取 f(x)=1, x ，x2，...xr 代入公式，并让其成为
等式，得：
A0 + A1 + …… + A n =∫ab1dx.= b-a
x0 A0 + x1 A1+ …… +x n An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
? ? ? 于是
1 f ( x )dx ? 1
1
f
(
1
(1
?
t ))dt
?
?
1
1
F (t )dt
0
2 ?1 2
2 ?1
? 由两点Gauss? Legendre求积公式
1
F (t)dt ? F (?0.577)? F(0.577)
?1
得
1
11 1
11
11
? ? f (x)dx ? f ( (1? t))dt ? f ( (1? 0.577))? f ( (1? 0.577))
0
2 ?1 2
22
22
数值分析
数值分析
? 例 对积分 1 f ( x )dx，试利用 n ? 3的四点 Gauss ? Legendre 0 求积公式构造 Gauss型求积公式。即确定 x 0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使 1 ?0 f ( x )dx ? A0 f ( x0 ) ? A1 f ( x1 ) ? A2 f ( x2 ) ? A3 f ( x3 ) 为 Gauss 型求 积公式。
3）对任意一个次数 ≤n-1 的多项式P(x)，有
高斯积分法(Gaussian
附錄
高斯積分法(Gaussian Quadratures)
一般積分最常見的方式是對於一個連續的函數作切割，使連續函數成離散形式作矩型面積積分，大都是取均等區間為切割的依據，而高斯積分能夠在特定的座標軸(abscissas)取值，並且給予一個加權權數(weight)能夠以少數的取點數為基礎，快速的計算出結果。
其準確性必須依積分曲線的平滑程度而定，並非取點越多越精準。
簡式如下：
1()()()b N j j j a W x f x dx w
f x =≈∑∫
j w :座標軸(abscissas)
j x ：權數(weight)
簡單來說高斯積分法是對一個函數做定積分(definite integral)，通常是在積分定義的值域內，以正交的觀念找一些特定的點，代入多項式中，並給予相對應的權重後，相加得到逼近原始函數的積分值，其數學推導則不在本研究中詳敘。
因為依照不同的微分方程可推導出一些不同的高斯積分，其區別可依定積分之上下限區分，factor copula 主要是對常態分配或student’s t 分配做積分值域介於~−∞∞的對稱分配，可採用Gauss-Hermite 其來自於Hermite polynomials。
2
221()()()()()k n x x x k k n k f x dx e e f x dx w x e f x R x ∞∞
−=−∞−∞⎡⎤⎡⎤==+⎣⎦⎣⎦∑∫∫
12212!()[()]
n k n k n w x n H x π−−=
(2)()()2(2)!n n n n R x f x n = ()n H x ：Hermite 多項式。
15 高斯型积分
高斯积分
y
y
x
梯形插值积分选择被 积函数端点构造线性函 数，近似被积函数。
18
x
x1
x2
高斯积分选择积分区 间内的点，构造函数， 近似被积函数。
二点高斯积分
例：计算积分 1.5 exdx 1
解：
方法一、牛顿 -莱布尼兹公式：
1.5 exdx e1.5 - e 1.763407241879019 1
由正交性知ω(x)与1及x带权正交，即得
1
1
0 x( x)dx 0, 0 x x( x)dx 0.
于是得
2 2 b 2 c 0, 2 2 b 2 c 0.
75 3
97 5
16
由此解得 即
10
5
b , c .
9
21
( x) x2 10 x 5 .
b xm ( x)dx
a
m 0,1, ,2n 1.
(6.5)
k0
当给定权函数(x)，求出右端积分，则可由(6.5)式解
得xk及Ak(k=0,1, ,n).
由于(6.5)式是关于xk及Ak(k=0,1, ,n)的非线性方 程组,当n>1时求解是困难的.只有在节点xk(k=0,1, ,n) 确定以后，方可利用(6.5)式求解Ak(k=0,1, ,n)，此时
b
I a f ( x)( x)dx
这里(x)为权函数，类似(1.3)式，它的求积公式为
6
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk ).
(6.4)
k0
在这个求积公式里Ak(k=0,1, ,n)为不依赖于f(x)的求 积系数， xk(k=0,1, ,n)为求积节点，可适当选取xk及 Ak(k=0,1, ,n)使(6.4)式具有2n+1次代数精度.
第07讲 高斯积分-11_805707009
则：
I = ∫ f (ξ )d ξ = 2(C0 + C2 / 3)
−1
+1
若选两个高斯积分点 ξ1和ξ2, 相应得权系数为H1 和H2 ，则：
= f (ξ ) H + f (ξ ) H I 1 1 2 2
(6-26)
将f (ξ1) 和f (ξ2) 由(6-24)代入(6-26)：
= H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) + H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) I 1 0 1 1 2 1 3 1 2 0 1 2 2 2 3 2
ξ1 = −ξ 2 = −
(6-29)
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.5 高斯积分法简介
*两点高斯积分 上式表明，对三次多项式的被积函数，采用两点高 斯积分，并满足(6-29)，便可得到精确解。 两点高斯积分的几何定义如下图：
f (ξ )
ξ
-1
ξ1 = −1/ 3
ξ 2 = 1/ 3
+1
H1
H2
n × n − 高斯积分点数 H i H j − 权系数
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.5 高斯积分法简介
6.5.2 二维和三维高斯积分 三维高斯积分
I =∫
1 −1 −1 −1
∫ ∫
j
1
1
= ∑∑∑ H H H f (ξ ,η , ζ ) f (ξ ,η , ζ )dξ dηdζ ≈ I i j k i j k
∫
1
-1
F (ξ )dξ ,
∫ ∫
1
高斯积分法及其应用
§4-4 高斯积分法及其应用由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分： ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。
因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。
数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。
一、高斯积分法1．一维积分的高斯公式一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi 处的数值，Hi 为加数系数，n 为积分点数目。
可以证明，对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。
由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。
例如，n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a) 不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。
因为 ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c) 当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为 332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e) 数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取 2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H 即可保证得到精确的积分值。
高斯积分法及其应用
§4-4 高斯积分法及其应用由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分： ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。
因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。
数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。
一、高斯积分法1．一维积分的高斯公式一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi 处的数值，Hi 为加数系数，n 为积分点数目。
可以证明，对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。
由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。
例如，n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a) 不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。
因为ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c) 当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为 332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e) 数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取 2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H 即可保证得到精确的积分值。
高数高斯公式教学内容.ppt
Q y
R )dv z
1 V
AdS
高斯 ( Gauss ) 公式21
积分中值定理,
( P x
Q y
R ) z
( , ,
)
1 V
AdS
两边取极限,
P Q R lim 1
AdS
x
y
z
V M
divA
P
Q
R
x y z
优学课堂
18
说明: 1、散度是一数值。
高斯
2、梯度：u f ( x, y, z)
dxdy
h
zdz,
x2 y2
(h2 优学课堂
x2
y2
)dxdy
1 2
h4 .
12
Dxy
Dxy
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS z2dS
1
h2dxdy h4 .
Dxy
1 高斯 ( Gauss ) 公式14
z
故所求积分为
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
( Gauss ) 公 式22
gradf ( x, y, z) f
i
f
j
f
k
向量
例5
A
e
xy
i
cos
(
xy)
j
x
s
in(
y
xz
2
)k
z
求divA
解:
divA
P
Q
R
x y z
ye xy x sin( xy) 2xz cos( xz2 )
优学课堂
19
思考与练习
1. 设 为球面 x2 y2 z2 R2 的外侧, 为 所围立
高斯积分法讲义
f ?( ( 2 n ? 2 ) )
当 n ?时1，有
? ? ( ? 1,1).
（5.10）
0 . 4786287
0 . 5688889
由(5.8)式， 公式(5.9)的余项
? R n [ f ] ?
f ?( ( 2 n ? 2 ) )
( 2 n ? 2 )!
1 ?1
P~n2?
1
(
x
)
dx
? ? [ ? 1,1],
这里 P~n ? 1 (是x )最高项系数为1的勒让德多项式. 由第3章(2.6)及(2.7)
b a
l
2 k
(x)?
( x ) dx
?
n
A
i
l
2 k
(
x
i
).
i? 0
注意到 l k ( x i ) ? ? ki , 上式右端实际上即等于 A k , 从而有
15
定理得证.
? A k ?
b a
l
2 k
(
x)?
( x ) dx
?
0.
由本定理及定理2，则得
推论 高斯求积公式(5.1)是稳定的.
定理7 设 f ( x ) ? C [ a , b ], 则高斯求积公式(5.1)收敛，
解 得
令公式(5.3)对于 f ( x ) ? 1, x准, 确x 2成, x立3 ，
2
? A0 ? ?
A1 ?
; 3
? ??
x0 A5
? ?
x
2 0
A
0
?
?
x
2 1
A1
?
2; 7
? ??
x
3 0
高斯定律大学物理中电场分布的高斯面积分法
高斯定律大学物理中电场分布的高斯面积分法高斯定律是电磁学中的重要定律之一，用于描述电场分布和电荷分布之间的关系。
在大学物理中，我们经常使用高斯面积分法来求解电场分布。
本文将介绍高斯定律的基本原理、高斯面积分法的推导与应用，并通过实例展示如何使用高斯定律解决电场分布问题。
一、高斯定律的基本原理高斯定律是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪提出的，它建立了电场分布和电荷分布之间的定量关系。
根据高斯定律，电通量的总和与所包围的电荷量成正比，比例系数为真空介质电常数ε0。
二、高斯面积分法的推导为了推导高斯面积分法，我们考虑一个闭合曲面S，内部包含一个电荷量Q。
假设曲面上的面元dS与法向量n夹角为θ，则电场强度E在该面元上的投影为E*cosθ。
根据高斯定律可得：∮E*cosθdS = ε0Q由于电场强度E与面元法向量n的夹角是无规律的，因此我们可取曲面为球面，使得E与n垂直。
此时，θ=0，cosθ=1，上式变为：∮EdS = ε0Q由于球面上的电场强度E是常量，可以将积分符号移到外面，得到：E * ∮dS = ε0Q球面的面积为4πR²，其中R为球面半径。
因此，上式可以化简为：E * 4πR² = ε0Q根据电场强度E的定义，我们可以将E表示为Q和R之间的关系，得到：E = (1/4πε0) * (Q/R²)这就是高斯定律的数学表达式，它描述了电场强度E与距离电荷的距离的平方成反比关系。
三、高斯面积分法的应用高斯面积分法适用于具有一定对称性的电场分布问题，通过选取合适的高斯面，可以简化电场的计算。
例如，考虑一个均匀带电球体，半径为R，电荷密度为ρ。
我们选取一个半径为r（r ≤ R）的球面作为高斯面。
由于球体具有球对称性，高斯面上的电场强度E与距离球心的距离r无关，可表示为E。
并且，在高斯面内，电荷量为电荷密度乘以体积，即Q = ρ * (4/3)πr³。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有了求积节点 xk(k0 ，,1 再, 利,用n)
n
Akxkm
bxm(x)dx
a
k0
对 m0,1,成 立,n ，
则得到一组关于求积系数 A0,A1,,An
的线性方程. 解此方程则得 A k(k0,1 ,,n).
12
也可直接由 x0,x1的,插,值xn多项式求出求积系数
A k(k0,1 ,,n).
利用(5.4)的第1式，可将第2式化为
3 2x0(x1x0)A 15 2.
同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得
5 2x0(x1x0)x1A 17 2; 7 2x0(x1x0)x1 2A 19 2.
从上面三个式子消去 (x1x0有)A1,
6
2 52 7
x0 x0
(2 5
(2 7
2
下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项.
利用 f在( x节) 点 即 H 2n1 ,
xk(k 的0 埃,1 ,尔 米,n 特)插值
H 2 n 1 ( x k ) f ( x k ), H 2 n 1 ( x k ) f ( x k ), k 0 , 1 , , n .
于是
f(2n2)( ) f(x)H 2n 1(2n2)!
k 0
因 n 1 (x k ) 0 ( k 0 ,1 , ,n )故,(5.5)成立.
充分性. 对于 f(x)H2n1, 用 n1(除x) ，f ( x)
记商为 P ( x，) 余式为q( x，) 即 f(x ) P (x )n 1 ,(x ) q (x )
其中 P(x)q ,(x.)Hn 由(5.5)可得
这样，形如(5.3)的高斯公式是
1
0 xf(x)d x0.389f1 (01 .81 21)162
0.2775 f(5 0.2 689)9.49
由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常 n就很2难求解.
故一般不通过解方程(5.2)求 xk及 A k(k ，0,1 ,,n)
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
8
定理5 插值型求积公式(5.1)的节点
a x 0 x 1 x n b
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
n 1 ( x ) ( x x 0 ) x ( x 1 ) ( x x n )
与任何次数不超过 n的多项式 P (带x)权 正(交x)，
即
b
P (x)
a
n 1(x)
解 令公式(5.3)对于 f(x)1,x 准,x 确2成,x立3 ，
得
A0
A1
2; 3
2
x0A0
x0A0
; 5
x02A0
x12A1
2; 7
x
3 0
A
0
x
3 1
A
1
2. 9
（5.3）
（5.4）
5
由于
x 0 A 0 x 1 A 1 x 0 ( A 0 A 1 ) ( x 1 x 0 ) A 1 ,
b
b
af(x ) (x )d xaq (x ) (x )d.x
（5.6）
10
由于求积公式(5.1)是插值型的，它对于 q(x)是H精n 确的，
即
bq(x)(x)dx n a
Akq(xk).
k0
再注意到Biblioteka n 1 (x k) 0(k 0 ,1 , ,n ),
知
q (x k ) f(x k )( k 0 ,1 , ,n ),
4.5 高斯求积公式
1
4.5.1 一般理论
求积公式
b
n
f(x)dx
a
Ak f(xk)
k0
含有 2n个2待定参数 xk,A k(k0 ,1 , ,n ).
当 为x 等k 距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少 为 次n .
如果适当选取 xk(k0有,1,可能,n 使)求, 积公式 具有 2n次1代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)
从而由(5.6)有
b
b
n
f(x) (x)d xq(x) (x)dx
a
a
Ak f (xk ).
k0
11
可见求积公式(5.1)对一切次数不超过 2n的1多项式均精 确成立. 因此， xk(k0,为1 , 高斯,n 点).
定理表明在 [ a上, b带] 权 的(x)次正n交多1项式的 零点就是求积公式(5.1)的高斯点.
nA kx k m a bx m(x )dxm 0 ,1 , ,2 n 1 . （5.2）
k 0
当给定权函数 (x，) 求出右端积分，则可由(5.2)解得 xk及 A k(k0 ,1 ,,n ).
4
例5 试构造下列积分的高斯求积公式：
1
0 xf(x )d x A 0f(x 0 ) A 1f(x 1 ).
求积公式.
2
为具有一般性，研究带权积分
I b f(x)(x)dx , a
这里 (为x)权函数， 类似(1.3)，求积公式为
b
n
f(x) (x)dx
a
A kf(xk),
k0
（5.1）
A k(k0,1 ,,n)为不依赖于 f (的x)求积系数.
xk(k0,1,,n)为求积节点， 可适当选取 xk及Ak
(x)d x0.
证明 必要性.
设 P(x)Hn, 则 P (x) n 1(x) H 2n 1,
（5.5）
9
因此，如果 x0,x1,,xn 是高斯点，则求积公式(5.1)对于
f(x)P (x)精确n 1 成(x 立)，
即有
b
n
aP (x )n 1 (x )(x )d x A kP (x k)n 1 (x k) .
n 2 1(x)
13
两端乘 (x，) 并由 到a积分b，则得
I a b f( x )( x ) d x a b H 2 n 1 ( x )( x ) d R x n [ f]. （5.7）
(k0,1 ,,n),使（5.1）具有 2n1次代数精度. 定义4 如果求积公式(5.1)具有 2n次1代数精度，
则称其节点 xk(k0,1 为, 高,斯n)点，相应公式(5.1)称为高斯求 积公式.
3
根据定义要使(5.1)具有 2次n代1数精度，只要对 f(x ) x m ,(m 0 ,1 , ,2 n 1 ),令(5.1)精确成立， 即
3 2
5
x0 )x1 x0 )x1
2; 7 2. 9
进一步整理得
2 52 7
( x0 (x0
x1) x1)
2
3 2
5
x0 x1 x0 x1
2; 7 2. 9
由此解出
从而
5
10
x0x121 , x0x19,
7
x00.8211 , 62x10.2899 ; 49 A00.3891 , 11A10.2775 . 56