高斯积分法讲义

(x)d x0.
证明 必要性.
设 P(x)Hn, 则 P (x) n 1(x) H 2n 1,
（5.5）
9
因此，如果 x0,x1,,xn 是高斯点，则求积公式(5.1)对于
f(x)P (x)精确n 1 成(x 立)，
即有
b
n
aP (x )n 1 (x )(x )d x A kP (x k)n 1 (x k) .
有了求积节点 xk(k0 ，,1 再, 利,用n)
n
Akxkm
bxm(x)dx
a
k0
对 m0,1,成 立,n ，
则得到一组关于求积系数 A0,A1,,An
的线性方程. 解此方程则得 A k(k0,1 ,,n).
12
也可直接由 x0,x1的,插,值xn多项式求出求积系数
A k(k0,1 ,,n).
求积公式.
2
为具有一般性，研究带权积分
I b f(x)(x)dx , a
这里 (为x)权函数， 类似(1.3)，求积公式为
b
n
f(x) (x)dx
a
A kf(xk),
k0
（5.1）
A k(k0,1 ,,n)为不依赖于 f (的x)求积系数.
xk(k0,1,,n)为求积节点， 可适当选取 xk及Ak
4.5 高斯求积公式
1
4.5.1 一般理论
求积公式
b
n
f(x)dx
a
Ak f(xk)
k0
含有 2n个2待定参数 xk,A k(k0 ,1 , ,n ).
当 为x 等k 距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少 为 次n .
如果适当选取 xk(k0有,1,可能,n 使)求, 积公式 具有 2n次1代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)
下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项.
利用 f在( x节) 点 即 H 2n1 ,
xk(k 的0 埃,1 ,尔 米,n 特)插值
H 2 n 1 ( x k ) f ( x k ), H 2 n 1 ( x k ) f ( x k ), k 0 , 1 , , n .
于是
f(2n2)( ) f(x)H 2n 1(2n2)!
(k0,1 ,,n),使（5.1）具有 2n1次代数精度. 定义4 如果求积公式(5.1)具有 2n次1代数精度，
则称其节点 xk(k0,1 为, 高,斯n)点，相应公式(5.1)称为高斯求 积公式.
3
根据定义要使(5.1)具有 2次n代1数精度，只要对 f(x ) x m ,(m 0 ,1 , ,2 n 1 ),令(5.1)精确成立， 即
从而由(5.6)有
b
b
n
f(x) (x)d xq(x) (x)dx
a
a
Ak f (xk ).
k0
11
可见求积公式(5.1)对一切次数不超过 2n的1多项式均精 确成立. 因此， xk(k0,为1 , 高斯,n 点).
定理表明在 [ a上, b带] 权 的(x)次正n交多1项式的 零点就是求积公式(5.1)的高斯点.
这样，形如(5.3)的高斯公式是
1
0 xf(x)d x0.389f1 (01 .81 21)162
0.2775 f(5 0.2 689)9.49
由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常 n就很2难求解.
故一般不通过解方程(5.2)求 xk及 A k(k ，0,1 ,,n)
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
k 0
因 n 1 (x k ) 0 ( k 0 ,1 , ,n )故,(5.5)成立.
充分性. 对于 f(x)H2n1, 用 n1(除x) ，f ( x)
记商为 P ( x，) 余式为q( x，) 即 f(x ) P (x )n 1 ,(x ) q (x )
其中 P(x)q ,(x.)Hn 由(5.5)可得
b
b
af(x ) (x )d xaq (x ) (x )d.x
（5.6）
10
由于求积公式(5.1)是插值型的，它对于 q(x)是H精n 确的，
即
bq(x)(x)dx n a
Akq(xk).
k0
再注意到
n 1 (x k) 0(k 0 ,1 , ,n ),
知
q (x k ) f(x k )( k 0 ,1 , ,n ),
3 2
5
x0 )x1 x0 )x1
2; 7 2. 9
进一步整理得
2 52 7
( x0 (x0
x1) x1)
2
3 2
5
x0 x1 x0 x1
2; 7 2. 9
由此解出
从而
5
10
x0x121 , x0x19,
7
x00.8211 , 62x10.2899 ; 49 A00.3891 , 11A10.2775 . 56
8
定理5 插值型求积公式(5.1)的节点
a x 0 x 1 x n b
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
n 1 ( x ) ( x x 0 ) x ( x 1 ) ( x x n )
与任何次数不超过 n的多项式 P (带x)权 正(交x)，
即
b
P (x)
a
n 1(x)
解 令公式(5.3)对于 f(x)1,x 准,x 确2成,x立3 ，
得
A0
A1
2; 3
2
x0A0
x0A0
; 5
x02A0
x12A1
2; 7
x
3 0
A
0
x
3 1
A
1
Hale Waihona Puke Baidu
2. 9
（5.3）
（5.4）
5
由于
x 0 A 0 x 1 A 1 x 0 ( A 0 A 1 ) ( x 1 x 0 ) A 1 ,
n 2 1(x)
13
两端乘 (x，) 并由 到a积分b，则得
I a b f( x )( x ) d x a b H 2 n 1 ( x )( x ) d R x n [ f]. （5.7）
利用(5.4)的第1式，可将第2式化为
3 2x0(x1x0)A 15 2.
同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得
5 2x0(x1x0)x1A 17 2; 7 2x0(x1x0)x1 2A 19 2.
从上面三个式子消去 (x1x0有)A1,
6
2 52 7
x0 x0
(2 5
(2 7
2
nA kx k m a bx m(x )dxm 0 ,1 , ,2 n 1 . （5.2）
k 0
当给定权函数 (x，) 求出右端积分，则可由(5.2)解得 xk及 A k(k0 ,1 ,,n ).
4
例5 试构造下列积分的高斯求积公式：
1
0 xf(x )d x A 0f(x 0 ) A 1f(x 1 ).