数值计算方法复习提纲

数值计算方法复习提纲

第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计；

2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；

3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。

1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字

绝对误差 E （x ）=x-x *

绝对误差限ε

εε+≤≤-**x x x

相对误差

***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-=

有效数字

m n a a a x 10.....021*⨯±=

若

n m x x -⨯≤

-102

1

*，称*x 有n 位有效数字。 有效数字与误差关系

（1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小；

（2）

*x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(1

1021

)(--⨯≤

n r a x E 。 选择算法应遵循的原则

1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播；

例

⎰=

10

1dx e x e I x

n n

e

I nI I n n 11101

-

=-=- △!n x n

=△x 0

2、 简化计算步骤，减少运算次数；

3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免

第二章 线性方程组的数值解法

1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法；

4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。

本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨

⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111)

两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；

第二是迭代解法，得到其近似解。

一、 Gauss 消去法 1、 顺序Ｇauss 消去法 记方程组为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++)

1()1(2

)1(21)1(1)1(2

)1(22)1(221)1(21)

1(1)1(12)1(121)1(11......

......n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

消元过程：

经ｎ－１步消元，化为上三角方程组

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+=)()(2)(21)(1)

2(22

)2(221)2(21)1(11)

1(11......n n

n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a b x a

第ｋ步

若0)

(≠k kk

a

n k j i n k b a a b

b

a a a a

a

k k k kk

k ik

k i

k i

k kj k kk

k ik k ij

k ij

,....,1,1,...1)()()()()1()()()

()()1(+=-=-=-=++

回代过程：

⎪⎩

⎪

⎨⎧--=-

==∑+=n

i j i ii

j i ij

i i i

n nn n n n n n i a x a

b x a b x 1

)

()()()

()()

1,...2,1(/)(/

２、Ｇauss —Ｊｏｒｄａｎ消去法

避免回代，消元时上下同时消元 ３、Ｇauss 列主元消去法

例 ：说明直接消元，出现错误

⎩

⎨

⎧=+=+32

200001.02121x x x x 由顺序Ｇauss 消去法，得0,112≈≈x x ；

Ｇauss 列主元消去法原理： 每步消元前，选列主元，交换方程。 算法：

将方程组用增广矩阵

[]()(1)

ij n n A b a +=M 表示。 （1）消元过程： 对k=1,2,n-1,

选主元，找{,1,,}k

i k k n ∈+⋅⋅⋅使得

,max k i k ik

k i n

a a ≤≤=

如果,0k

i

k

a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行3。

如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应的元素位置， ,,, 1.k kj

i j a a j k n ↔=+g g g

消元，对i=k+1,

L

,n,计算

,ik

ik kk

a l a =

对j=L+1, L

,n+1,计算

ij

ij ik kj a a l a =-

（2）回代过程：

1．若0,nn

a =则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行。

2

,1

;1,,2,1,n n n nn

a x i n a +=

=-L 对计算