6.3 6.3.1 平面向量基本定理

6.3平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1平面向量基本定理

课标要求素养要求

理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用重点提升数学抽象及直观想象素养.

教材知识探究

音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.

在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？

问题1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？

提示能.依据是数乘向量和平行四边形法则.

问题2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？

提示不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.

平面向量基本定理

定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量

条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量

教材拓展补遗

[微判断]

1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(×)

2.零向量可以作为基底.(×)

3.若a ，b 不共线，则a ＋b 与a －b 可以作为基底.(√)

提示 1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底. 2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底. 3.由于a ＋b 和a －b 不共线，故可作基底. [微训练]

1.设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( ) A.e 1，e 2 B.e 1＋e 2，3e 1＋3e 2 C.e 1，5e 2

D.e 1，e 1＋e 2

解析 因为3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两向量共线不可作为基底. 答案 B

2.在△ABC 中，若AD

→＝12(AB →＋AC →)，则下列关系式正确的是( ) A.BD ＝2CD B.BD ＝CD C.BD ＝3CD

D.CD ＝2BD

解析 由AD

→＝12(AB →＋AC →)得2AD →＝AB →＋AC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，即BD →＝DC →，

所以|BD →|＝|DC →

|，故BD ＝CD . 答案 B [微思考]

1.若e 1，e 2是一个平面内的一组基底，则集合{a |a ＝λ1e 1＋λ2e 2，λ1λ2∈R }表示的是什么？

提示 集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a 与e 2共线；当

λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量.

2.若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d是否成立？

提示当e1，e2共线时，a＝c，b＝d不一定成立；当e1，e2不共线时，a＝c，b ＝d一定成立.

题型一平面向量基本定理的理解

【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.

(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；

(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；

(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；

(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.

解(1)正确.若λ≠0，则e1＝－μ

λe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相

矛盾，同理可说明μ＝0.

(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.

(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.

(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.

规律方法(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.

(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.

【训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()

考查两向量是否能构成基底主要看两向量是否不共线

A.e1＋e2和e1－e2

B.3e1－4e2和6e1－8e2

C.e1＋2e2和2e1＋e2

D.e 1和e 1＋e 2

解析 选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底.故选B. 答案 B

题型二 用基底表示向量 零向量与任一向量平行，故不能作为基底

【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底a ，

b 表示AB

→，BC →.

解 法一 由题意知， AO →＝OC →

＝12AC →＝12a ， BO

→＝OD →＝12BD →＝12

b . 所以AB

→＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，

BC

→＝BO →＋OC →＝12a ＋12

b .

法二 设AB

→＝x ，BC →＝y ，则AD →＝BC →＝y ，

又⎩⎪⎨⎪⎧AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，则⎩⎨⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，

所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ， 即AB

→＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b . 规律方法 用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.

【训练2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，