关于拓扑空间点集的聚点1
拓扑空间理论
拓扑空间理论拓扑空间理论是数学中的一个分支，研究的是集合上定义的一种结构，即拓扑结构。
通过引入拓扑结构，我们可以描述集合中的点之间的接近和连续性关系。
本文将介绍拓扑空间的定义、基本概念和性质，并探讨一些常见的拓扑空间。
一、拓扑空间的定义拓扑空间可以用一对有序集合（X，T）来表示，其中X是任意非空集合，T是X的子集族，满足以下条件：1. 空集和整个集合X都属于T。
2. 任意多个元素的并集和有限个元素的交集都属于T。
3. T中的元素称为开集，满足开集的性质。
二、基本概念在拓扑空间中，我们可以引入一些基本概念来描述点之间的关系。
1. 开集和闭集根据拓扑结构，拓扑空间中的开集满足定义中的性质，而闭集则是其补集的开集。
开集和闭集是拓扑空间中的基本概念，用于描述点的邻域和极限。
2. 连通性连通性描述了拓扑空间中的点之间是否可以通过一条连续的曲线相互连接。
如果一个拓扑空间中没有非空的开集既不是整个空间也不是空集，则称该空间是连通的。
3. 紧致性紧致性是拓扑空间中的一个重要概念，用来描述一个拓扑空间中是否可以从任意的开覆盖中选出有限个开集，使得它们仍然覆盖整个空间。
如果一个空间中存在有限子覆盖，那么称该空间是紧致的。
4. Hausdorff性Hausdorff性是拓扑空间中的一个重要性质，它要求集合中的任意两个不同点都有不相交的邻域。
Hausdorff空间保证了点的唯一性和极限的一致性。
三、常见的拓扑空间在拓扑空间理论中，有许多常见的拓扑空间。
1.度量空间度量空间是拓扑空间的一种特殊情况，它引入了度量函数来度量点之间的距离。
度量空间中的拓扑结构是由度量函数生成的，通过度量函数我们可以定义开球和闭球等概念。
2.欧几里得空间欧几里得空间是我们熟知的三维空间，其中的点坐标可以用实数表示。
在欧几里得空间中，我们可以定义点之间的距离，并且满足距离公理。
3.离散空间离散空间是一种特殊的拓扑空间，其中每个点都是一个单独的开集，没有其他点与之接近。
《点集拓扑》课件
点集拓扑的基本性质
01
02
03
04
性质1
任意两个不同的点不能是等价 的。
性质2
有限多个开集的并集仍然是开 集。
性质3
闭集的补集是开集。
性质4
连续映射下的开集和闭集保持 不变。
点集拓扑的重要性
应用广泛
点集拓扑在数学、物理学、工程 学等领域都有广泛应用，如微分 几何、代数几何、微分方程等领
域。
基础学科
点集拓扑是数学的一门基础学科， 为其他学科提供了数学工具和语言 ，促进了数学的发展。
理论意义
点集拓扑的研究有助于深入探讨数 学中的一些基本问题，如连续性、 连通性、紧致性等，推动了数学理 论的发展。
02
拓扑空间与基
拓扑空间的定义
总结词
抽象的空间
详细描述
拓扑空间是一个由点集构成的空间，这些点集通过集合的并、交、补等运算形 成。它是一个抽象的概念，不依赖于度量或连续性的具体性质。
连通性与道路连通性
连通性的定义与分类
总结词
连通性是描述点集拓扑空间中点之间的相互关系的重要概念，它分为三种类型：强连通 、弱连通和道路连通。
详细描述
连通性定义为一个点集拓扑空间中任意两点可以通过一系列连续变换（如移动、旋转、 缩放等）相互到达。根据连通性的不同性质，可以分为强连通、弱连通和道路连通三种 类型。强连通是指任意两点都相互可达；弱连通是指任意两点至少有一个可达；道路连
基的定义与性质
总结词
定义与性质
详细描述
基是拓扑空间中一个特殊的子集系统，它具有一些重要的性质，如基的任意并仍 属于基，基的有限交仍属于基等。基是定义拓扑空间的重要工具。
基在拓扑空间中的应用
点集拓扑学(第一章1.1)
1736年欧拉 解决七桥问题
哥尼斯堡 七桥问题 四色问题 Euler示性数
1976年9月四
Mö bius带
色问题得到解决
Department of Mathematics
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。 十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河
岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步
一天有人提出：能不能每座桥 都只走一遍，最后又回到原来的
位置。
这个问题看起来很简单, 有很有趣的问题吸引了大家. 很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看
来要得到一个明确理想的答案还不那么容易
Department of Mathematics
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家 欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出
了解答。
他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点， 而把七座桥看 作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一 笔就把这个图形画出来。 经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一 遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的 图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。
Department of Mathematics
和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、
提炼和解决，提高他们的数学素养。
Department of Mathematics
教学目标
掌握拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、
性质。掌握连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。 掌握几个重要的拓扑性质的可积性、可商性和遗传性。
教学要点
拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性 质。连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。几个重
组合拓扑知识点梳理总结
组合拓扑知识点梳理总结在拓扑学中，有很多重要的知识点，包括拓扑空间、极限点、连通性、紧性、同胚等等。
本文将对拓扑学中的一些重要知识点进行总结梳理，以便读者更好地理解和掌握这一学科。
一、拓扑空间拓扑空间是拓扑学中的一个核心概念，它是一种数学结构，用来描述空间中的点之间的关系。
具体来说，一个拓扑空间是一个集合X以及X的一个子集族T的组合，满足以下几个条件：1. X和空集∅都属于T；2. T中的任意两个元素的交集都属于T；3. T中的任意有限个元素的并集都属于T。
这个子集族T被称为拓扑结构，它确定了集合X中哪些子集被认为是开集，进而定义了拓扑空间的性质。
通过定义这样的结构，可以得到一些重要的概念和结论，比如邻域、闭集、拓扑基等。
二、极限点在拓扑空间中，极限点是一个很重要的概念，它可以帮助我们理解集合的性质和结构。
给定一个集合A和其中的一个点x，如果对于x的任意邻域U，都存在A中的点y（y不等于x），使得y属于U，那么称x是集合A的极限点。
极限点的概念在分析、代数、几何等领域都有重要的应用。
它能够帮助我们理解集合的稠密性、连通性以及收敛性等性质。
通过研究极限点，可以得到一些重要的结论，比如闭集的定义、稠密集的性质等。
三、连通性在拓扑学中，连通性是另一个重要的概念。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能被分解成两个非空的不相交的开子集。
换句话说，一个拓扑空间是连通的，如果它是一个整体，没有被分割成多个部分。
连通性通常与拓扑空间的几何性质有关，比如曲线的连通性、流形的连通性等。
它也是分析学中的一个重要概念，可以帮助我们理解函数的连续性和可微性等性质。
四、紧性紧性是拓扑学中另一个重要的性质，它描述了一个拓扑空间在一定意义下的“有限性”。
一个拓扑空间被称为紧的，如果它的任意开覆盖都有有限子覆盖。
换句话说，紧空间是一种“有限的”空间，它不会无限地扩展。
紧性是分析学和代数学中的一个重要概念，它在实分析、复分析、拓扑群等领域有广泛的应用。
《点集拓扑》课件
《点集拓扑》课件一、教学内容本节课的教学内容来自于教材《数学分析》的第十章第二节，主要内容包括点集拓扑的基本概念、拓扑空间的定义及其性质、以及一些常见的拓扑空间。
具体内容包括：1. 点集拓扑的基本概念：邻域、开集、闭集、连通性等。
2. 拓扑空间的定义及其性质：拓扑空间是一个集合及其上的一组开放集的系统。
3. 常见的拓扑空间：欧几里得空间、度量空间、范数空间等。
二、教学目标1. 理解点集拓扑的基本概念，能够熟练运用拓扑空间的概念描述集合的性质。
2. 掌握拓扑空间的定义及其性质，能够判断给定的集合是否构成拓扑空间。
3. 熟悉常见的拓扑空间，能够理解不同拓扑空间之间的联系和区别。
三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间的定义及其性质，特别是连通性的理解。
2. 教学重点：点集拓扑的基本概念，以及常见拓扑空间的理解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材《数学分析》、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如房间内的家具布局，引出点集拓扑的基本概念。
2. 点集拓扑的基本概念：介绍邻域、开集、闭集、连通性等概念，并通过图形和实例进行解释。
3. 拓扑空间的定义及其性质：引导学生理解拓扑空间的定义，并通过实例说明拓扑空间的特点。
4. 常见的拓扑空间：介绍欧几里得空间、度量空间、范数空间等常见的拓扑空间，并通过图形和实例进行解释。
5. 课堂练习：给出一些具体的例子，让学生判断是否构成拓扑空间，以及识别给定的集合的拓扑性质。
六、板书设计1. 点集拓扑的基本概念：邻域、开集、闭集、连通性。
2. 拓扑空间的定义及其性质：拓扑空间是一个集合及其上的一组开放集的系统。
3. 常见的拓扑空间：欧几里得空间、度量空间、范数空间。
七、作业设计（1）集合R上的二元组（x,y）构成的集合。
（2）集合N上的自然数构成的集合。
答案：（1）构成拓扑空间，拓扑由所有形如（∞，a）∪（a，+∞）的开集构成。
拓扑学的基础原理
拓扑学的基础原理拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间中点、线、面等基本要素的性质以及它们之间的关系。
在现代数学中，拓扑学已经成为一个独立且重要的学科，应用于各个领域，如物理学、化学、计算机科学等。
本文将介绍拓扑学的基础原理，涵盖了点集、邻域、开集、闭包、连通性等概念。
一、点集与邻域拓扑学研究的基本单位是点与集合。
在拓扑学中，我们将点集视为一个整体，而不关心点之间的距离或顺序。
任何集合中的元素都被称为点。
一个点集的邻域是指包含该点并且可以通过某种方式完全包含该点的开集。
二、开集与闭包在拓扑学中，开集是一个重要的概念。
一个集合中的每个点都有一个邻域，那么我们可以将所有点的邻域的并集称为该集合的开集。
开集具有如下性质：空集和全集都是开集，开集的有限交集仍然是开集，任意多个开集的并集仍然是开集。
与开集相对应的是闭集。
闭集是指其补集为开集的集合。
闭包是一个集合与其相邻的点的闭集的并集。
闭包的性质与开集类似：全集和空集的闭包分别为全集和空集，闭集的有限并集仍然是闭集，闭包的任意多个交集仍然是闭集。
三、连通性在拓扑学中，连通性是一个重要的概念，用于描述一个集合内部的连续性。
一个集合被称为是连通的，当且仅当在该集合中的任意两点之间都存在一条连续的路径。
除了连通性，拓扑学还研究了可分性、紧性、同胚等概念。
可分性指的是一个集合中存在可数的稠密子集，稠密子集的定义为该集合中的点在其邻域内都有该稠密子集的点。
紧性是指一个集合中的任意开覆盖都可以从中选取有限个作为覆盖，而仍然可以覆盖该集合。
同胚是指两个集合通过一种特殊的映射关系相互对应，并且映射关系是双射、连续且具有连续逆映射的。
同胚也可以理解为两个具有相同结构的空间。
结论拓扑学作为数学领域中的一个重要分支，研究了空间中点、线、面等基本要素的性质及其相互关系。
通过引入点集、邻域、开集、闭包、连通性等概念，我们能够描述和分析空间的特征及其变化。
拓扑学的基础原理为其他领域的研究提供了重要的工具和方法，对理解和解决实际问题具有重要的理论意义和应用价值。
高等数学中的拓扑学相关知识点详解
高等数学中的拓扑学相关知识点详解拓扑学是数学中的一个分支，它研究集合和函数的连续性、相似性、形状等性质，是一种抽象的数学分析工具。
拓扑学在物理学、工程学、经济学等领域里也有广泛应用。
在高等数学中，拓扑学是一个重要的知识点，本文将详细介绍高等数学中的拓扑学相关知识点。
一、拓扑空间拓扑学的研究对象是拓扑空间，它是一个集合和该集合上定义的一个拓扑结构的组合。
一般来说，给定一个集合，我们可以通过定义其子集的集合方式来定义一个拓扑结构，满足四个公理：1. 集合本身和空集都是开集；2. 有限个开集的交集还是开集；3. 任意个开集的并集还是开集；4. 集合上的任意一个点都有一个开集包含它。
这个集合和所定义的拓扑结构的组合就构成了一个拓扑空间。
拓扑空间还满足一些基本性质：·距离空间是一种特殊的拓扑空间，它满足“距离减小原理”；·序列紧致性和基数紧致性是拓扑空间的两种紧致性概念；·同胚是拓扑空间之间的一种等价关系，指两个拓扑空间之间存在一一映射，该映射和其逆映射都是连续映射。
二、关键概念1. 连通性和路径连通性在拓扑空间中，如果任意两个点都可以通过相应的路径连通，那么这个空间就是路径连通的。
特别的，如果这个空间不仅是路径连通的，而且不存在划分成两个非空开集的方法，使得这两个开集的笛卡尔积覆盖整个空间，那么这个空间就连通。
2. 紧致性紧致性是拓扑空间的一个重要性质，指一个拓扑空间中任意开覆盖都存在有限的一个开覆盖，使得其中的任意一个开集都有一个有限的子覆盖。
在欧几里得空间中，紧致性和完备性是等价的。
3. 拓扑维数拓扑维数是用来描述一个拓扑空间的“维度”的参数。
一个n维拓扑空间具有和欧几里得n维空间相同的拓扑性质，也就是说它可以“拉伸”为欧几里得n维空间，但无论如何都不能“塌陷”成欧几里得(n-1)维空间。
三、拓扑学与微积分学的关系拓扑学是一种平缓的、本质性的数学空间的研究方法，微积分学则是一种具有运算特性的多元微积分的研究方法。
集合的拓扑学与拓扑空间
集合的拓扑学与拓扑空间拓扑学是数学的一个分支，它研究空间的性质，而拓扑空间是拓扑学研究的基本对象。
拓扑空间的定义如下：一个拓扑空间是一个集合 X，它与一个集合τ 相关联，其中τ 是 X 的子集的集合，并且满足以下三个性质：1.空集和 X 本身都在τ 中。
2.τ 中的任意两个集合的并集也在τ 中。
3.τ 中的任意个集合的交集也在τ 中。
集合τ 称为 X 的拓扑。
拓扑空间 X 中的子集称为 X 的开集，如果它是拓扑τ 的元素。
闭集是 X 的补集，即 X 中所有不是开集的子集。
拓扑空间可以用来表示和研究各种各样的空间，包括几何空间、函数空间和概率空间等。
在几何空间中，拓扑可以用来定义距离、连续性和极限等概念。
在函数空间中，拓扑可以用来定义函数的收敛性、连续性和可微性等概念。
在概率空间中，拓扑可以用来定义随机变量的分布、期望值和方差等概念。
拓扑空间的拓扑可以有很多种不同的表示方法。
最常见的一种表示方法是邻域表示法。
在邻域表示法中，每个点 x 的邻域都是一个包含 x 的开集。
另一个常见的表示方法是基表示法。
在基表示法中，拓扑的基是一个由开集组成的集合，并且拓扑中的每个开集都可以表示为基中开集的并集。
拓扑空间的性质可以通过拓扑不变量来表示。
拓扑不变量是不受拓扑空间的同胚关系影响的性质。
同胚关系是拓扑空间之间的一种等价关系，如果两个拓扑空间之间存在同胚关系，那么这两个拓扑空间在拓扑性质上是相同的。
拓扑不变量可以用来对拓扑空间进行分类和比较。
拓扑学在数学和应用数学中有着广泛的应用。
它被用于几何学、分析学、代数和微分几何等领域。
在应用数学中，拓扑学被用于数学物理学、计算机科学和数据科学等领域。
拓扑学中的拓扑空间
拓扑学是数学中研究空间性质和形状的学科，而拓扑空间则是拓扑学的基本概念之一。
拓扑空间是为了定义空间中点的邻域情况，以及点与点之间的关系而设立的一种数学结构。
它是在集合论的基础上引入了“邻域”的概念，使得我们可以研究空间中点的相互关系。
首先，我们需要明确什么是拓扑空间。
拓扑空间是一个集合X，以及集合X上的一个子集族T，满足以下三个条件：（1）空集∅和集合X都属于子集族T；（2）子集族T对于有限交和任意并运算封闭；（3）子集族T对于任意的有限并运算封闭。
子集族T中的元素被称为开集，而非空开集的补集则被称为闭集。
拓扑空间的基本性质在于它使用了邻域的概念。
对于一个点x∈X，其邻域N是指一个包含x的开集，且N中还包含其他的点。
换句话说，邻域是一个包含待研究点周围点集的一个范围。
邻域的概念为研究点与点之间的关系提供了基础。
例如，如果两个点在一个拓扑空间中的邻域中具有非空的交集，则这两个点在空间中是相邻的。
拓扑空间中还有一些重要的概念和性质。
其中之一是连通性。
一个拓扑空间是连通的，当且仅当它不能分解为两个非空不相交的开子集的并。
连通性刻画了空间中的“连续性”，即无法通过分割空间使得两个部分独立。
另一个重要的概念是紧致性。
一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
紧致性可以视为拓扑空间的“有界性”，即无论如何划分空间，都能找到有限个开覆盖。
拓扑空间还有一些常见的例子。
最简单的例子是离散拓扑空间，即集合中的每个点都是一个开集。
该拓扑空间中任意两个点的邻域都不相交，因此在该空间中点与点之间是相互独立的。
另一个例子是度量空间，其中的拓扑是由一个度量给出的。
在度量空间中，邻域的定义由度量确定，即x的邻域是所有与x距离小于某个正数的点的集合。
度量空间是拓扑空间的一个重要子类。
总之，拓扑空间是拓扑学中的基本概念，它通过引入邻域的概念，使我们能够研究空间中点的相互关系。
拓扑空间具有一些重要的性质和概念，如连通性和紧致性。
点集拓扑小结
点集拓扑小结点集拓扑学是数学中一个重要的分支，主要研究的是集合上的开集、闭集等概念，以及集合与其子集之间的关系。
本文将对点集拓扑学的相关概念进行概括和归纳。
点集拓扑学的起点是集合的拓扑结构及其性质的研究。
在点集拓扑学中，首先要讨论的是拓扑空间的定义。
拓扑空间是在给定一个非空集合X的基础上，对集合X的所有子集进行了一个选择性的分类，即选取了有某些性质的子集来进行研究。
拓扑空间的定义包括两个方面：一是确定了哪些是开集，二是确定了那些开集构成的集合再称为拓扑。
在拓扑空间中，开集有一系列重要性质，如开集的并、交仍然是开集等。
拓扑结构是拓扑空间中的基础概念，包括开集的概念和集合之间的关系。
在拓扑结构中，有开集、闭集、邻域等一系列概念。
开集是指集合X的一个子集有X的某函数的和它的所有单个值的和为一个不大于X的点之交。
闭集是补集开集的集合，即集合X的一个子集是指X的一个函数的和它的某些单个值的和为一个不大于X的点之交。
邻域是指集合X中某个元素a附近的一个子集，该子集包含了a自身。
点集拓扑学除了研究拓扑结构之外，还研究了集合与其子集之间的关系。
包括子集的封闭性、紧致性、完备性等。
子集的封闭性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它的闭包等于它本身，则称该子集是闭的。
紧致性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它的任意开覆盖都有一个有限子覆盖，则称该子集是紧致的。
完备性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它是完备的，则对于X中的任意柯西列，该列的极限点也在该子集内。
点集拓扑学的研究内容非常广泛，涉及到很多重要的概念和定理。
例如，拓扑空间的连续性、同胚性、分离性等定理都是起到了重要的作用。
拓扑的连续性是指对于两个拓扑空间，如果它们之间存在一个连续的映射，则称这两个拓扑空间是连续的。
同胚性是指对于两个拓扑空间，如果它们之间存在一个双射映射，且该映射和其逆映射都是连续的，则称这两个拓扑空间是同胚的。
分离性是指对于一个拓扑空间X，如果它满足某种分离性质，则称X是满足该分离性的。
点集拓扑讲义
连通性和道路连通性
连通性的定义：如果点集中的任意两点都可以通过点集中的一条路径相连则称该点集是连通的。
道路连通性的定义：如果存在一条路径使得点集中任意两点都可以通过这条路径相连则称该点集是道路连通的。
连通性与道路连通性的关系：如果一个点集是连通的那么它一定是道路连通的；反之则不一定成立。
连通性和道路连通性的应用：在几何学、图论等领域中连通性和道路连通性是重要的概念对于研究点集的拓扑性 质和结构具有重要意义。
定理和性质的应用
定理和性质在数学领域中 的应用
在物理问题中的具体应用
在计算机科学中的实际应 用
在其他领域中的应用和推 广
在几何学中的应用
拓扑不变性：点集拓扑学中的概念指在拓扑变换下保持不变的性质。 几何结构：研究几何对象的拓扑性质如连通性、紧致性等。 流形：在点集拓扑学中流形是一类特殊的拓扑空间可以用来研究几何对象的形状和结构。 组合几何：利用点集拓扑学中的方法研究几何形状的组合和构造。
添加标题
同胚：在点集拓扑中如果存在一个从拓扑空间到拓扑空间B的连续映射并且这个映射可以逆向地由一个 从拓扑空间B到拓扑空间的连续映射构成则称拓扑空间与拓扑空间B同胚。
分离公理和紧致性
分离公理：点集拓扑中的基本性质指对于任意两个 不同的点存在一个开邻域不包含另一个点。
紧致性：点集拓扑中的基本性质指一个点集是紧致 的当且仅当它的闭包等于自身。
基的概念：拓扑空间中一个重要的概念是用来定义空间的拓扑结构的。基由若干个开集组成 满足一定的性质。
基的分类：根据基的性质可以将基分为第一类基和第二类基。第一类基是可数的第二类基是 不可数的。
基的性质：基具有连通性、可数性、分离性等性质这些性质对于研究拓扑空间的性质和结构 非常重要。
点集拓扑知识归纳总结
第二章 拓扑空间2.1拓扑空间的概念2.1.1拓扑定义2.1.1设X 是一集合，T 是X 的一子集族。
如果T 满足：（1）,X T ∅∈；（2）有限交封闭；（3）任意并封闭。
则称T 为X 上的一拓扑，而T 的成员叫X 的开集。
例：{},T X =∅叫X 上的平庸拓扑；{}A |A T X =⊆叫X 上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 Y 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上Y 即可。
定义2.1.3 设(X,T )是拓扑空间，∼是X 上的等价关系，等价类的集合为[]{}/|X x x X =∈∼，自然投影:/p X X →∼定义为()[]p x x =。
令(){}1//|T U X p U T −=⊆∈∼∼叫/X ∼上的商拓扑，()/,/T X ∼∼叫商空间。
下面证明/T ∼是/X ∼上拓扑。
(1)由于()1p T −∅=∅∈，()1/p X X T −=∈∼，即,//X T ∅∈∼∼；(2)设/A T ⊆∼为有限集，由于()11U U U A Ap p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∩，且满足()1p U T −∈，由拓扑T 对有限交封闭有，()1U A p U T −∈∈∩，从而U U /AT ∈∈∼∩；(3) /A T ∀⊆∼，由于()11U U A Ap U p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪，类似地，由拓扑T 对任意并封闭有，()1U A p U T −∈∈∪，从而U /AU T ∈∈∼∪。
综上所述，/T ∼是/X ∼上拓扑。
定理2.1.1设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，则（1）,X F ∅∈；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理2.1.2设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，Y ⊆ X，则Y |F 是Y 作为子 空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5设X 是拓扑空间，包含x 的开集叫x 的开领域。
定义2.1.6设X 是拓扑空间，如果A 内存在x 的开领域，则称A 是x 的领域。
关于拓扑空间点集的聚点
,
( 2 ) (x )
.
一妻
.
》
( 3 )
首 先证 明
,
,
设B
,
(
) x
是 的局部 基
x
,
v y 〔X
,
y 手
x
,
则 只V
任B
y
二V
, ,
事实 上
只V
’ . y
由y
沪
x
及 X 满足 T 公 理
U
.
x
有开 邻 域 U 使 y 百 U
,
’
:
B
(幻 是
x
的局 部基
,
电 ( ) 卫 x t V
。
使VC
丫 X 满 足第 一 可
U
x
:
C 〔X
,
,
A
为不 可数集
x
,
有d (A
,
)
=
=
X
。
V
x
设 U 是 的开邻 域 })
二
则U
一C
,
C 为 可 数集
=
,
于是
二
门 (A~
.
{
x
(A~
王
x
} ) 门 (一 C)
V
x
A~
(C U {
})
子 必
故 〔d (A )
(
3
) 设 A CX
.
,
A
为不 可 数集
,
〔~ A
,
有
x
〔d
(A )
,
而 A 一 { 二 } 中没有序
x
}手 必
设 X 为不 可 数集
点集拓扑知识点.doc
点集拓扑知识点【篇一：点集拓扑知识点】第二章拓扑空间 2.1 拓扑空间的概念 2.1.1 拓扑定义2.1.1 的一子集族。
如果t 满足：上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上y 即可。
定义2.1.3 ) 是拓扑空间，是x 上的等价关系，等价类的集合为叫商空间。
下面证明上拓扑。
(1)由于拓扑t 对有限交封闭有，，类似地，由拓扑t 对任意并封闭上拓扑。
定理 2.1.1 ；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理 2.1.2 作为子空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5 的开领域。
定义 2.1.6 是拓扑空间，如果 a内存在x 的领域。
注解：由拓扑定义中，有限交封闭和任意闭封闭，有限开领域(或领域)交集仍为开领域(或领域)，任意开领域(或领域)并集仍为开领域(或领域)。
注解：不同的度量可能诱导相同的拓扑；如前面的度量是不同度量，但诱导出相同拓扑。
定义2.1.9 上的拓扑，如果存在x 上的一个度量d，使得 d 的诱导拓扑是可度量化的拓扑。
注解：集合x 上的每个度量可诱导拓扑，但每一拓扑不一定由度量诱导。
例：离散拓扑是可度量化的拓扑，由离散度量诱导，因为单点集是开球；有限拓扑可度量化该拓扑为离散拓扑。
即非离散有限拓扑不可度量化； 2.2 拓扑基和子基 2.2.1 拓扑基在欧式空间中，开球时最简单的开集，而且任何开集可由开球作并运算得到，但在非度量诱导的拓扑空间中没有球的概念，为了弥补这一缺陷，引进拓扑基。
定义2.2.1 的一个拓扑基，而拓扑基的成员叫基开集。
注解：显然t是自己的一个基；如果 b 例：离散拓扑空间，所有单点集构成拓扑基；由度量诱导的拓扑空间，所有开球构成拓扑基，实际上，以有理数为半径的球族也是拓扑基。
给定一集合，下面介绍一种判别它是否是拓扑基的方法：定理2.2.1不是拓扑基。
其实，假设 b 是拓扑不能由 b 中某些成员之并，或者说它不满足上述定理的条件。
点集拓扑学拓扑知识点
点集拓扑学拓扑知识点第4章连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.§ 4. 1连通空间本节重点：掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否？掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子.在实数空间R中的两个区间（0, 1）和［1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1） U ［1, 2）= （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2），它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, 1）有一个凝聚点1在［1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形.定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果（A B）（B A）则称子集A和B是隔离的.明显地，定义中的条件等价于A B 和B A 同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的，而子集（0, 1）和［1 , 2）不是隔离的.又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的.定义4.1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间.定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：（1）X是一个不连通空间；（2） X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= 和A U B = X成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= 和A U B = X成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.证明（1）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A UB = X,显然A n B=,并且这时我们有B B X B （A B）（B A）（B B） B因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求.（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有 A = B，和B= A，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件（3）中的要求.(3) 蕴涵(4).如果X 的子集A 和B 满足条件(3)中的要求，所以 A 、B 是开集，则由A = B 和B= A 易见A 和B 都是X 中的闭集，因此A 、B 是X 中既开又闭的真(： A 、B 丰 ,A U B=X , ? ?? A 、B 丰X)子集，所以条件(4)成立.(4) 蕴涵(1).设X 中有一个既开又闭的非空真子集A .令B= A .则A 和B 都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得 A U B=X .易见两个无交的闭子集必定是隔离的(因为闭集的闭包仍为自己).因此(1)成立.例4. 1 . 1有理数集Q 作为实数空间 R 的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任何一个无理数r C R-Q ，集合(-8, r) n Q= (―oo, r] A Q 是子空间Q 中的一个既开又闭的非空真子集.定理4. 1. 2 实数空间R 是一个连通空间. 证明我们用反证法来证明这个定理.假设实数空间 R 是不连通空间.则根据定理 4. 1. 1,在R 中有两个非空闭集 A 和B, 一一 .、、 ,一、一一一 .—，一…、一 / L使得A n B= 和A U B = R 成立.任意选取a€ A 和b C B ，不失一般性可设 av b.令A =A n [a,b],和B =B n [a,b].于是A 和目是R 中的两个非空闭集分别包含和A U ?=[a, b]成立.集合A 有上界b,故有上确界，设为所以?€ A ，并且因此可见 ?v b ，因为?=b 将导致be AnL=」一 -、.?、_____ ~ 兰、一―—、兰 .、、兰此(b , b] B .由于B 是一个闭集，所以b C B . N 又导致b C A n B ,也与A n B = 矛盾.定义4.1. 3设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称 Y 是X 的一个不连通子集.拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间 Y 的拓扑有关(即Y 的连通与否与X 的连通与否没有关系.) .因此，如果Y Z X ,则Y 是X 的连通子集当且仅当 Y 是Z 的连通子集.这一点后面要经常用到.定理4. 1. 3设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A , B Y .贝U A 和B 是子空间Y 中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集.因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在 Y 中的两个非空隔离子集 A 和B 使得AU B = Y(定义)当且仅当存在 X 中的两个非空隔离子集 A 和B 使得A U B = Y.证明因为(C Y (A) B) (C Y (B) A) ((C X (A) Y) B) ((C X (B) Y) A) (C X (A) (Y B)) (C X (B) (Y A)) (C X (A) B) (C X (B) A)因此根据隔离子集的定义可见定理成立.定理4. 1. 4设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集.如果 X 中有隔离子集 A 和B 使得Y A U B ,则或者 Y A,或者 Y B.证明如果A 和B 是X 中的隔离子集使得 Y AUB ,贝U((A Y) B Y) ((B Y) A Y) (AY B) (B Y A)Y ((AB) (B A)这说明A n Y 和Bn Y 也是隔离子集.然而a 和b,并且使得A n ~ ~ 一 ............b .由于A 是一个闭集,矛盾.因(A n Y) U (Bn Y) = (A U B) n Y = Y 因此根据定理4. 1. 3,集合A n Y和B n Y中必有一个是空集.如果A n Y=,据上式立即可见Y B,如果B n Y = ，同理可见Y A .定理4. 1. 5设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足条件Y Z Y .则Z 也是X的一个连通子集.证明假设Z是X中的一个不连通子集.根据定理 4. 1. 3,在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A U B .因此Y AUB .由于Y是连通的，根据定理4.1 . 4,或者YA, Z Y A Z B A B B Z B或者Y B,同理,A 。
基础拓扑学讲义1.4（聚点和闭包）
基础拓扑学讲义1.4（聚点和闭包）聚点和闭包聚点A limit point (or cluster point or accumulation point)wiki:聚点: Let S be a subset of a topological space X. A point x in X is a limit point or cluster point or accumulation point of a set of S if every neighbourhood of x contains at least one point of S different from x itself.书上：A是拓扑空间X的⼦集，x∈X。
如果x的每个邻域都含有A−{x} 中的点，则称x为A的聚点中⽂这教材只说聚点，不查还不知道也叫极限点聚点这定义我越看越眼熟，再加上刚刚看见个回答说 R 包含了它所有的极限点确界原理和开集的关联似乎清楚了⼀点导集Derived setThe collection M′ of all limit points of a set M in a topological space.Addition: A set M that is contained in its derived set is called dense-in-itself; if in addition M is closed, it is termed a perfect set.书上：A的所有聚点的集合称为A的导集，记作A′闭包称集合¯A=A∪A′为A的闭包。
形象地来看，如果A是⼀个封闭图形G的内点，那么G的边上的每个点都是A的聚点，边所有点的集合就是G的导集，G 的内点和边上点的并就是A的闭包。
性质命题 1.1x∈¯A⟺∀U(x),U(x)∩A≠∅证明：左往右若x∈A显然⾮空¯A，x是A的聚点，由聚点定义，也⾮空若x∈右往左x∈A，显然左边成⽴x∉A，则x是A的聚点，所以x∈A′，那么左边成⽴逆否形式：x∈(¯A)c⟺∃U(x),U(x)∩A=∅命题 1.2A是拓扑空间X的⼦集，那么 (¯A)c=(A c)∘拓扑空间的⼦集并不都是开集，拓扑的元素才是开集，闭集也是拓扑空间的⼦集闭集需要⽤补集才能与邻域概念联系起来，所以闭集相关的证明⼏乎都要⽤逆否取补，然后⽤这条命题转换为开集与内部的问题证明：∀x∈(¯A)c→x∉¯A→∃U(x),U(x)∩A=∅→U(x)⊂A c→x∈(A c)∘反过来Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SpacingModLetters.js∀x∈(A c)∘→∃U(x)⊂A c→∀a∈U(x),a∉A(U(x)∩A=∅)→x∉¯A→x∈(¯A)c命题 1.3A⊂B→¯A⊂¯B证明：∀x∈¯A,∀U(x),∃a∈U(x),a∈A→a∈B→x∈¯B命题 1.4¯A是所有包含A的闭集的交集，所以是包含A的最⼩的闭集证明:这个证明的精髓在于内点和邻域的关系⼀个开集就是⾃⾝的内部令E={S is closed|A⊂S}即证⋂S∈E S=¯A=A∪A′左边⊂右边即证⋂S∈E S⊂¯A=A∪A′⟺(¯A)c⊂⋃S∈E S c∀x∈(¯A)c，由命题 1.2 可知，x是A c的内点。
拓扑空间开集闭集闭包聚点邻域
第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分.本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射.然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射.随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等.进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离d(x,y)= .无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：1. d(x,y)≥0 , ∀x,y∈n R;2. d(x,y) = 0 ⇔x = y ;3. d(x,y) = d(y,x) ∀x,y∈n R;4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ∀x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征.将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义. （一）度量空间1.定义定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ⇔x = y ；②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ；③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z)则称ρ是集合X中的一个度量.如果ρ是集合X中的一个度量，则称偶对（X，ρ）是一个度量空间，或径称X 是一个度量空间.而ρ（x,y ）称为从点X 到点Y 的距离.2. 度量空间举例例2.1.1 实数空间R对实数集合，定义ρ：R×R →R 如下：∀x,y ∈R ，令ρ（x,y ）=|x-y| ,易知ρ是R 的一个度量.因此（R,ρ）是一个度量空间.可见，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广.例2.1.1 n 维欧式空间n R对实数集合R 的n 重笛卡尔积n R =R×R×…×R ，定义ρ：n R ×n R →R 如下：对任意两点x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) ∈n R ，令ρ（x,y ）=可以验证ρ是n R 的一个度量，偶对（n R ，ρ）称为n 维欧氏空间.有时径称n R 为n 维欧氏空间.n=2时，2R 常称为欧氏平面或平面.例2.1.2 Hilbert 空间H记H 是平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H={ x=(x 1 ,x 2,…，x n ) | x i ∈R, i ∈Z + , 21i i x∞=<∞∑ },定义ρ：H×H →R 如下：对于任意x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) ∈H ，令ρ（x,y ）=.这个定义的合理性及验证<∞以及验证ρ是H 的一个度量，可见P 49 附录.因此（H, ρ） 是一个度量空间，称为Hilbert 空间.例2.1.3 离散的度量空间设（X, ρ）是一个度量空间，称（X, ρ）是一个离散的度量空间或称ρ是一 个离散的度量，如果对每一个x ∈X,存在一个实数0x δ>使得ρ（x,y ）>x δ ,对任何y ∈X ，y ≠ x 成立.如，设X 是一个集合，定义ρ：X×X →R ,使得对于任何x,y ∈X,有0(,)1x y x y x yρ=⎧=⎨≠⎩若若 , 易知ρ 是X 的一个离散度量，度量空间（X, ρ）是离散的.思考题例2.1.5 令X= C ([a,b]) = {f: [a,b]→R |f在[a,b]上连续}，并且对于任意的f , g ∈C ([a,b]),令d(f,g)=⎰b a|f(x)-g(x)|dx, d是C ([a,b])的度量吗？（答案：d是C ([a,b])的度量，因此（C ([a,b])，d）是一个度量空间）3.邻域、开集⑴度量空间的球形邻域及其基本性质定义2. 设（X, ρ）是一个度量空间，x∈X, 对于任意的ε>0，B（x,ε）={y∈X |ρ（x,y）< ε} 称为以x为中心，ε为半径的球形邻域，也称为x的一个ε邻域，也记作Bε(x) .定理1.0.1 度量空间（X, ρ）的球形邻域具有以下性质：①每一点x∈X至少有一邻域，并且x属于它的每一个邻域；②对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；③如果y∈X属于x的某个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域.证明：……⑵度量空间的开集及其基本性质定义3. 设X是一个度量空间，A⊂X，如果,0都，使B(a,ε)∀∈∃>a Aε⊂X ，则称A是X的一个开集.由定理2.1.1的③知，X的球形邻域都是开集.例2.1.7 实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间、闭区间都不是开集.两个开区间的并也是开集.可见，度量空间的开集是实数空间开区间的推广.定理1.0.2 度量空间X的开集具有以下性质：①集合X本身和空集Ф都是开集；②任何两个开集的交是开集；③任何一个开集族的并是开集.证……推论U是度量空间的开集的充分必要条件是U是这个空间中若干个球形邻域的并.⑶度量空间中点x的邻域---球形邻域的推广定义4. 设X是一个度量空间，x∈X,U⊂X，如果存在开集V使x∈V⊂U，则称U是x的一个邻域.注：有定义可知，开集V是它的每一点的邻域，但邻域却不一定是开集.如[0，2]是1 的邻域，但它不是开集.定理1.0.3 设X是一个度量空间，x∈X,U⊂X，则U是x的一个邻域⇔存在B(x,ε)⊂U.证明：……本定理为邻域提供了一个等价说法.推论X是一个度量空间，U⊂X，则U是X的一个开集⇔U是其内每一点的邻域.证由定义2.1.3和定理2.1.3 .（二）度量空间之间的连续映射定义5 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，以及x0∈X，如果对于f (x0)的任何一个球形邻域B(f(x0),ε)，存在x0的某一个球形邻域B(x0，δ)使得f (B(x0，δ))⊂B(f(x0),ε)，则称映射f在x0处是连续的.如果映射f 在X的每一点连续，则称f 是一个连续函数.显然这个定义是数学分析中连续函数定义纯粹形式上的推广.定理1.0.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，则①f在x0点处连续⇔ f (x0)的每一个邻域的原像是x0的一个邻域；② f 是连续的⇔Y中每个开集的原像是 X中的开集.证明：①“⇒”若f在x0点处连续，设U为f (x0) 的一个邻域，据TH2.1.3，有B(f(x0),ε)⊂U，因为f在x0点处连续，所以存在B(x0，δ)使得f (B(x0，δ))⊂B(f(x0),ε)，然而f-1 [B(f(x0),ε)]⊂f-1(U)，而B(x0，δ)⊂ f-1 [B(f(x0),ε)]，所以B(x 0，δ) ⊂ f -1(U)，这说明f -1(U)是 x 0的一个邻域 .“⇐” 设f (x 0)的每一个邻域的原像是x 0的一个邻域，任给f (x 0) 的一个邻域B(f(x 0),ε)，则f -1 [B(f(x 0),ε)]是x 0的一个邻域，据TH2.1.3，x 0有一个球形邻域B(x 0，δ) ⊂ f -1 [B(f(x 0),ε)]，因此f[ B(x 0，δ)] ⊂ B(f(x 0),ε)，所以f 在x 0 点处连续.② “⇒”设f 连续，令V 为Y 中一开集，U= f -1(V ),对于每一个x ∈U ，则f(x) ∈V ，由于V 是开集，所以V 是f(x)的一个邻域，由于f 在每一点x 连续，故由①知U 是x 的一个邻域，由上面的推论知，U 是开集.“⇐”设Y 中每个开集的原像是 X 中的开集，下证f 在任一点x ∈X 连续.设U 是f(x)的一个邻域，即存在开集V 使f(x) ∈V ⊂U ，从而x ∈f -1(V)⊂ f -1(U),由条件f -1(V) 是 X 中的开集，所以f -1(U) 是x 的一个邻域，于是①中必要条件成立.所以f 在点x ∈X 连续.由于x 的任意性，所以f 是连续映射.二、拓扑空间、开集、闭集参照度量空间中开集的基本性质（TH1.1.2） 建立拓扑空间定义1.1.1 设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件： ① X ,Ф∈T ； ② 若A,B ∈T ，则A ∩B ∈T ；③ 若T 1 ⊂ T ，则1A A ∈∈ T T . 则称T 是X 的一个拓扑.若T 是X 的一个拓扑，则称偶对（X, T ）是一个拓扑空间，或称集合X 是相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或T 不需指出时，径称集合X 是一个拓扑空间.T 中每一个元素叫做拓扑空间（X, T ）或X 中的一个开集；开集的补集称为闭集.说明：⑴ 条件②蕴含着：当n > 1时若A 1 ，A 2 ，… …， A n ∈T ,则A 1∩A 2∩… …∩A n ∈T .（但对无限交不一定成立，见后面的例）⑵ ②、③两条常被称为关于有限交、无限并封闭；⑶ 当T 1 =Ф时，1A A φ∈=∈ T T , 这一点在①中已有规定，因此以后验证③成立只需对T 1 ≠Φ验证即可；⑷ 有拓扑空间的定义和度量空间开集的基本性质知，度量空间都是拓扑空间.关于这一点还有下面的定义：定义1.1.2 设（X, ρ）是度量空间.令T ρ 是由X 中的所有开集构成的集族，据TH1.0.2，T ρ 是X 的一个拓扑.我们称T ρ为X 的由度量ρ诱导出来的拓扑.约定：说度量空间（X, ρ）的拓扑时，如果没有另外说明，就指T ρ ，称其为拓扑空间时就指（X, T ρ） .因此，实数空间R ，n 维欧氏空间R n (特别，欧氏平面R 2),Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，其拓扑就是其各自的通常度量诱导出来的拓扑.在实数空间中，（11,a a n n -+）是开集，但11(,){}n Z a a a n n∈+-+=不是开集.这说明无限个开集的交不一定是开集.定理1.1.1 设X 是一个拓扑空间，记F 为所有闭集构成的集族.则： ① X,Ф∈F ； ② 如果A,B ∈F ，则A,B ∪F ；① 如果Ф≠F 1 ⊂ F ，则1A A ∈∈F F .证明 ① 由于X,Ф∈T ，所以Ф=X ′，X=Ф′∈F .② 当A,B ∈F 时，有 A ′,B ′∈T ，从而A ′∩B ′∈T ，因此A ∪B = A 〞∪B 〞=（A ′∩B ′）′∈F .③ 令T 1 ={A |A ′∈F 1 },于是T 1⊂ T ，因此1U U ∈∈T T ，从而1111''()()A A A U A A A U ∈∈∈∈'''===∈F F F T F .证毕.注：⑴ ②蕴含着，n>1时，A 1，A 2，…，A n 是闭集，则A 1∪A 2∪…∪A n 也是闭集.即闭对有限并封闭； ⑵ ③中要求F 1≠Ф，因为F 1 =Ф时，1A A ∈F 无意义.例1. 平庸空间设X 是一个集合，令T ={X ,Φ}，容易验证T 是X 的一个拓扑，称为X 的平庸拓扑，称 （X ，T ）为平庸空间.在平庸空间中，有且只有两个开集：X ,Φ；有且只有两个开集：X ,Φ.例2.离散空间设X 是一个集合，令T =P (X)，易知T 是X 的一个拓扑，称为X 的离散拓扑，称（X ，T ）为离散空间.在离散空间中，每一个子集都是开集，每一个子集都是开集.离散空间可以记作（X ，P (X)） .例3. 设X={a,b,c},令T ={Φ ,{a} ,{a,b},X },可以验证T 是X 的一个拓扑，因此（X ，T ）为一个拓扑空间.它既不是平庸拓扑，又不是离散拓扑.说明： 对X={a,b,c}，可以为其构造出29个拓扑，其中平庸拓扑最小，离散拓扑最大.可见对同一个集合，它可以有不同的拓扑.例4.有限补拓扑空间设X 是一个集合，令T ={U ⊂ X | U' 是X 的一个有限子集 }∪{Φ}. 易验证T 是X 的一个拓扑，称其为X 的有限补拓扑，（X ，T ）称为有限补拓扑空间.下面验证T 满足拓扑定义中的③成立设T 1 ⊂ T ，若T 1 = Φ，则1A A φ∈=∈ T T ；若存在A 0≠Ф, A 0∈T 1 ,则110)(A A A A A ∈∈'''=⊂ T T 是X 的有限子集，所以1A A ∈∈ T T .所以③成立.问题：当X 是一个有限集合时，X 的有限补拓扑空间又是已知的什么拓扑空间 ？例5. 可数补拓扑空间设X 是一个集合，令T ={U ⊂ X | U' 是X 的一个可数子集 }∪{Φ}. 易验证T 是X 的一个拓扑，称其为X 的可数补拓扑，（X ，T ）称为可数补拓扑空间.（课下验证）问题：当X 是一个可数集合时，X 的可数补拓扑空间又叫做什么拓扑空间 ？（离散拓扑空间） .当X 是有限时，与什么空间是同一个空间？（有限拓扑空间）三、邻域与邻域系、聚点、导集，闭集，闭包1. 邻域邻域系的定义定义1.1.3 设（X ,T ）是一个拓扑空间，x ∈X,U ⊂ X ,如果存在开集V ∈T 使得x ∈V ⊂ U ，则称U 是x 的一个邻域.点x 的所有邻域构成的集族称为点x 的邻域系.由定义，若U 是包含x 的开集，那么它一定是x 的一个邻域，称U 是点x 的一个开邻域.说明：由于X 的子集A 是X 作为度量空间的开集与A 是X 作为拓扑空间的开集是一回事，所以包含x 的集合U 是X 作为度量空间x 的邻域⇔U 是X 作为拓扑空间x 的邻域.定理1.1.2 X 是一个拓扑空间， U ⊂X ， 则U 是X 的一个开集⇔U 是其内每一点的邻域.证明：“⇒”显然.“⇐” 若U =Φ，则结论成立.若U ≠Φ，由条件对每一个x ∈U ，存在开集V x 使x ∈V x ⊂U ，因此{}x x U x U U x V U ∈∈=⊂⊂，所以x x U U V ∈= 为开集.推论 U 是X 的一个开集 ⇔ U 可以表示为开邻域之并.2. 导集，闭集，闭包的概念定义1.1.4 设X 是拓扑空间，A ⊂X ，x ∈X ，如果对x 的每一个邻域U 都有U ∩(A-{x})≠Φ,则称点x 是集合A 的一个聚点.集合A 的所有聚点构成的集合称为A 的导集，记作d(A).如果x ∈A ，并且x 不是A 的凝聚点，既存在x 的一个邻域U 使得U ∩(A-{x})=Φ，则称点x 是集合A 的一个孤立点.集合A 与A 的导集d(A)的并A ∪d(A)称为集合A 的闭包，记作A 或A -.即A = A ∪d(A) .说明 (1)A 的孤立点一定的属于A ，但A 的极限点不一定属于A ；(2)凝聚点、孤立点、导集都是相对于X 的某个拓扑而言的，它与拓扑有关. 因此在谈这些问题时一般都需要明确是相对于那个拓扑来说的.同时也可知：(3) 欧氏空间中有关这几个概念的结论在一般拓扑空间中不见得的成立.(4)若A ⊂d(A)，则称 A 为自密集，若A =d(A)，则称A 为完全集.若d(A)∩A=Φ，则称A 为孤立点集.(5)在离散空间中，由于d(A)=Φ，既没有任何极限点，所以任何子集都是闭集.（我们已知任何子集是开集）.而在平庸空间中，d({x.})=X-{x.}，若A 多于一个点，则d(A)=X，所以在平庸空间中任何真子集都不是闭集3. 导集，闭集，闭包的性质定理1.1.3 设X是一个拓扑空间A⊂X，则①d(Φ)=Φ②若A⊂B，则d(A)⊂d(B)③d(A∪B) =d(A)∪d(B) ④d(d(A))⊂A∪d(A)证明①由于对于每一点x∈X和点x的任何一个邻域U有U∩(Φ-{x})=Φ,所以x∉d(Φ),因此d(Φ)=Φ .②如果x∈d(A),U是x一个邻域,由于U∩(A-{x})≠Φ,所以U∩(B-{x}) ≠Φ，因此x∈d(B).这证明了d(A)⊂ d(B) .③据②及A,B⊂ A∪B得知d(A)，d(B)⊂ d(A∪B)，所以d(A)∪d(B)⊂d(A∪B)，下证d(A∪B)⊂ d(A)∪d(B) .设x∈d(A∪B)，则对x的任何一个邻域U有U∩(A∪B -{x})≠Φ，即U∩[(A-{x})∪(B-{x})]= [U∩(A-{x})]∪[U ∩(B-{x})]≠Φ，所以U∩(A-{x})≠Φ或U∩(B-{x})≠Φ，所以x∈d(A)或x ∈d(B)，所以x∈d(A)∪d(B)，所以d(A∪B) = d(A)∪d(B) .④设x∉ A∪d(A)，则 x∉A 且 x∉d(A) ，所以存在x的一个邻域U 使U ∩(A-{x})=Φ，任意选取x的一个开邻域V，使得V⊂U ，这是我们也有V∩(A-{x})=Φ ,由于x∉A ，所以V∩A =Φ，这也就是说，V中的任何一个点都不是A中的点，因此对于任何y∈V，有V∩(A-{y})=Φ,由于V是y的一个邻域，因此y不是A的凝聚点，即y∉d(A) .这说明V中没有A的任何一个凝聚点.于是x有一个邻域V与A的导集d(A) 无交，即V∩d(A)=Φ，所以V∩（d(A)-{x}）=Φ，所以 x∉d(d(A)).将以上给出的论证概括起来便是：只要x∉ A∪d(A)，便有x∉d(d(A))，这就是说d(d(A))⊂A∪d(A) .证毕.注：d(d(A))⊄d(A)，d(A)⊄ d(d(A)).定理1.1.4 设X是一个拓扑空间，A⊂X，则A是闭集⇔d(A)⊂A.证明“⇒”设A是闭集，则A'是开集，如果x∉A，则x∈A'，则A'是x的一个邻域，它满足条件：A∩A'=Ф，因此x∉d(A).于是我们有d(A)⊂A.“⇐”设d(A)⊂A.如果x∈A' ，则x∉A，所以x∉d(A)，由聚点的定义x有一个邻域U 使U ∩(A-{x})=Φ，从而U ∩A=Φ，也即U ⊂ A'，这证明，对于任何x ∈A'，A'是x 的一个邻域，因此A'是开集.定理1.1.5 拓扑空间X 的子集A 是闭集 ⇔ A A = .证 A 为闭集⇔ d(A) ⊂A ⇔ A ∪d(A)=A,即A A = .定理1.1.6 X 是拓扑空间，对于任意的集合A,B ⊂X ，有① φφ= ； ② A A ⊂ ； ③ A B A B = ； ④ A A =证明 … …用到 d(A ∪B) =d(A)∪d(B) 和d(d(A))⊂A ∪d(A)定理1.1.7 拓扑空间X 的任何一个子集A 的闭包都是闭集.定理1.1.8 设X 是拓扑空间，F 是由空间X 中所有的闭集构成的族，则对于X 的每个子集A ，有,B B A A B ∈⊃=F .即集合A 的闭包等于包含A 的所有闭集之交.证明 由于A 包含于,B B A B ∈⊃F ，然而后者是一闭集，所以,B B A A B ∈⊃⊂F ；另一方面，因为A 是闭集，并且A A ⊂ ，所以,B B A B A ∈⊃⊂F ，所以,B B A A B ∈⊃=F .说明 因A 是包含A 的闭集，而由定理，又包含于任何一个包含A 的闭集之中.因此我们有结论：一个集合的闭包是包含着这个集的最小闭集.定理1.1.4 设X 是一个拓扑空间，A ⊂X ，则 φ≠U A ；⑵(()())A B A B d A d B ⊂⊂⊂若，则；⑶ A B A B ⊂ ，由⑵可得.一个令人关心的问题是，是否拓扑空间真的要比度量空间的范围更广一点？ 换句话说，是否每一个度量空间都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X ，T ）是拓扑空间.如果存在X 的一个度量ρ使得拓扑T 就是由ρ诱导出来的拓扑T ρ ，则称（X ，T ）是一个可度量化空间.注： ⑴是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？ 回答是否定的.因为由§2.1习题2可知，每一个只含有限点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间.然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量的.例2.2.3给出的拓扑空间含三个点，但不是离散空间，就不是可度量化的；⑵ 由此看来，拓扑空间确实比度量空间范围更广；⑶ 拓扑空间在什么条件下可度量化？后面将由专门讨论.二 拓扑空间之间的连续映射及同胚1. 拓扑空间之间的连续映射及性质定义2.2.4 设X 、Y 是两个拓扑空间，f:X →Y ,如果Y 中每个开集U 的原像f -1(U )是X 中的一个开集，则称f 是从X 到Y 的一个连续映射，或简称映射f 连续.问题：常值映射连续吗？——连续.可见连续映射不一定是一一映射.注 设X 、Y 是两个度量空间，f:X →Y 连续.由于视X,Y 为拓扑空间时，其开集与X,Y 作为度量空间时的开集一样，所以由该定义和Th2.1.4知，X,Y 都作为拓扑空间时，f:X →Y 也连续.可见拓扑空间的连续是度量空间之间连续的推广.定理2.2.1 设X 、Y 、Z 是拓扑空间，则② 恒同映射i X ：X →X 是一个连续映射；③ 如果f:X →Y 连续，g:Y →Z 连续，则g.f ：X →Z 也连续.证明 ①如果U 是X 的一个开集，则1()X i U =U,当然也是X 的开集，所以i X连续.② 设f:X →Y 连续，g:Y →Z 连续，设W 是Z 的开集,由于g 连续，所以g -1(W)是Y 中开集；又因为f 连续，所以f -1[g -1(W)]是X 中的开集.因此（g.f ）-1（W ）=f -1[g -1(W)]是X 中的开集.这证明g.f 连续.2. 拓扑空间之间的同胚及性质在数学的许多学科中都涉及两类基本对象.例如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合与映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等.并且对于后者都要提出一类予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的一一映射，以及初等几何中的刚体运动（即平移加旋转）等等，我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射.下面将从连续映射中挑出一类予以关注.这就是同胚映射.定义2.2.5 设X 和Y 都是拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1 都连续，则称f 是一个同胚映射或同胚.注：⑴ 直观上说，f 连续表示不撕裂， f -1 连续表示不粘连.f:X →Y 是一个同胚，表示X 到Y 不撕裂、不粘连.⑵ 映射f 是一一映射，一定连续吗？不见得连续.如，设f:Q →Z + 是一一映射（因为有从Q →Z +的单射，也有从Z +→Q 的单射，据定理1.7.9有这样的一一映射f ）若取Q 的拓扑为平庸拓扑，Z +的拓扑为离散的拓扑，则f 不连续.⑶ 连续的一一映射一定同胚吗？不一定.如，令X=R n ,取它的拓扑为离散拓扑，Y= R n ,取它的拓扑为通常度量诱导的拓扑.映射:n R i X Y →是连续的、一一的，但1n R i -不连续.11,{})(){}n R a X a i a a --∈=为开集，但(在Y 中是闭集.所以:n R i X Y →不是同胚. 定理2.2.2 设X 、Y 、Z 是拓扑空间，则① 恒同映射i X ：X →X 是一个同胚；② 如果f:X →Y 是一个同胚，则f -1： Y →X 也是一个同胚；④ 如果f:X →Y 和g:Y →Z 都是同胚，则g.f ：X →Z 也是一个同胚.证明：（以下证明中的根据，可见定理2.2.1，定理1.5.3，定理1.5.4） ① 恒同映射i X 是一个一一映射，并且i X =i X -1 都是连续的，从而i X 是一个同胚.② 设f:X →Y 是同胚，因此f 是一个一一映射，并且f 和f -1都是连续的. 于是f -1也是一个一一映射并且f -1和(f -1)-1=f 也都连续，所以f -1： Y →X 也是一个同胚.③ 如果f:X →Y 和g:Y →Z 都是同胚，因此f 和g 是一个一一映射,并且f和f -1,，g 和g -1 都是连续的，因此g.f 也是一一映射，并且g.f 和（g.f ）-1 = f -1 .g -1都是连续的，所以g.f ：X →Z 也是一个同胚.定义2.2.6 设X 、Y 是拓扑空间，如果存在一个同胚f:X →Y ，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚与Y .定理2.2.3设X、Y、Z是拓扑空间，则①X与X同胚；②若X与Y同胚,则Y与X也同胚；③若X与Y同胚,则Y与Z同胚,则X与Z也同胚.证明：从定理2.2.2直接可得.说明：⑴在拓扑空间组成的族中，同胚关系是一个等价关系.因此同胚关系将拓扑空间族分成互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚.⑵拓扑空间的某种性质P，如果为某一拓扑空间所具有，则与其同胚的拓扑空间也具有，则称性质P是一个拓扑不变性质或拓扑不变量.简言之，拓扑不变性是同胚的拓扑空间都具有的性质.例如后面将要讨论的集合为开集、闭集、点集的闭包与导集、点的邻域、序列的收敛性以及拓扑空间的连通性、紧致性等都是拓扑不变性质.拓扑不变性质简称拓扑性质.⑶拓扑学的中心任务就是研究拓扑空间的拓扑不变性质.研究拓扑空间的拓扑性质很有意义.如果我们研究某一问题时，研究的是这一空间的拓扑性质，我们可以转化为对其同胚空间的研究，这样就有可能使某些难处理的问题变得简单.当然，证明两个空间的同胚有时是非常困难的事情.实际上我们常常利用拓扑性质来区分空间，说明它们不同胚.一个空间有拓扑性质P，而另一个空间没有性质P，则这两个空间就一定不是同胚的.至此我们已经做完了将数学分析中的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学史上经过了很长时间才完成的工作.在数学的发展过程中，对所研究的问题不断地加以抽象这种做法屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某个方面）的精髓而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程.也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容.拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有了更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量处理的映射空间）.这一些我们在学习过程中必然会不断地加深体会.为了对新旧概念的区别有更加深刻的印象，在这两节中给出了一些例子.客观地讲这些例子除去欧氏空间（包括实数空间和Hilbert空间）其他都显得有点怪，明显的是为澄清概念而构造出来的.这些例子只是帮助我们更好地掌握拓扑学的工具.不要误认为拓扑学就是数学分析中的连续函数再加上某些不常见的例子.补充命题，见余玄冰编译《点集拓扑》P50-52.命题1 设X,Y都是拓扑空间，f：X→Y和g：Y→X都连续，且g◦f = i X , f◦g = i Y ，则f是同胚，而且实际上g=f-1 .命题2 映射f：X→R连续⇔∀b∈R，{ x | f(x) <b },{ x | f(x) >b }都是开集.命题3 令f , g：X→R连续. 则①|f|α(α>0)是连续的.（|f|α= |f(x)|α）② a f + b g 连续，其中a,b∈R；③ f ·g是连续的；④若在X上，f(x)≠0，则1f是连续的.注：后面证明定理4.2.5 [ Borsuk—Ulam定理]时用到命题3 .。
点集拓扑学拓扑知识点
( 点集拓扑学拓扑 ) 知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第 4 章连通性重要知识点本章议论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包含连通性，局部连通性和弧连通性，而且波及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够差别一些互不一样胚的空间．§ 4． 1连通空间本节要点 : 掌握连通与不连通的定义.掌握怎样证明一个会合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先经过直观的方式观察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l）和［ 1，2），只管它们互不订交，但它们的并（0，1）U［l ，2）＝（ 0，2）倒是一个“整体” ；而此外两个区间（ 0， 1）和（ 1，2），它们的并（ 0，1） U（ 1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不一样情况的原由在于，对于前一种情况，区间（0，l ）有一个凝集点 1 在［ 1， 2）中；而对于后一种情况，两个区间中的任何一个都没有凝集点在另一此中．我们经过以下的定义，用术语来差别这两种情况．定义 4． 1． 1 设 A 和 B 是拓扑空间X 中的两个子集．假如(A B) (B A)则称子集 A 和 B 是隔绝的．明显地，定义中的条件等价于 A B和B A同时成立，也就是说，A 与 B 无交而且此中的任何一个不包含另一个的任何凝集点．应用这一术语我们就能够说，在实数空间R 中，子集（ 0， 1）和（ 1， 2）是隔绝的，而子集（ 0， l ）和 [1， 2) 不是隔绝的．又比如，易见，平凡空间中任何两个非空子集都不是隔绝的，而在失散空间中任何两个无交的子集都是隔绝的．定义 4．1．2 设 X 是一个拓扑空间．假如 X 中有两个非空的隔绝子集 A 和 B 使得 X=A∪B ，则称 X 是一个不连通空间；不然，则称X 是一个连通空间．明显，包含着多于两个点的失散空间是不连通空间，而任何平凡空间都是连通空间．定理 4． 1． 1 设 X 是一个拓扑空间．则以下条件等价：（ l） X 是一个不连通空间；（ 2）X 中存在着两个非空的闭子集 A 和 B 使得 A ∩ B=和A∪B＝X成立；（ 3） X 中存在着两个非空的开子集 A 和 B 使得 A ∩ B=和A∪B＝X成立；（ 4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明（ l）蕴涵（ 2） : 设（ 1）成立．令 A 和 B 是 X 中的两个非空的隔绝子集使得A ∪B＝ X，明显 A ∩B=，而且这时我们有B B X B( A B) ( B A) ( B B) B所以 B 是 X 中的一个闭子集；同理知足条件（ 2）中的要求．（ 2）蕴涵（ 3）．假如 X 的子集则因为这时有 A ＝B /和 B= A，所以A 也是一个X 中的一个闭子集．这证了然会合 A 和 BA 和B 知足条件（ 2）中的要求，所以 A 、 B 为闭集，A、 B 也是开集，所以 A 和 B 也知足条件（3）中的要求．则由（ 3）蕴涵（ 4）．假如A＝B和B=A易见X 的子集 A 和 B 知足条件（ 3）中的要求，所以 A 、 B 是开集，A 和B 都是 X 中的闭集，所以 A 、 B 是 X 中既开又闭的真（∵A 、 B≠，A∪B=X，∴ A、B≠ X）子集，所以条件（4）成立．（ 4）蕴涵（ l）．设 X 中有一个既开又闭的非空真子集 A ．令 B= A．则 A 和 B 都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的而且使得 A ∪ B=X ．易见两个无交的闭子集必然是隔绝的（因为闭集的闭包仍为自己）．所以（ l ）成立．例 4. 1． 1 有理数集 Q 作为实数空间 R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数 r∈ R-Q，会合（ -∞， r）∩ Q＝（－∞， r] ∩ Q 是子空间 Q 中的一个既开又闭的非空真子集．定理 4． 1． 2实数空间R 是一个连通空间．证明我们用反证法来证明这个定理．假定实数空间R 是不连通空间．则依据定理4．1． 1，在 R 中有两个非空闭集 A 和B使得 A ∩B=和 A ∪ B＝ R 成立．随意选用a∈ A 和 b∈ B，不失一般性可设~ a＜ b．令A =A~~~~∩[a,b] ，和B=B∩ [a,b] ．于是A和B是 R 中的两个非空闭集分别包含 a 和 b，而且使得A∩~~~~~．因为~B =和 A ∪ B =[a，b]成立．会合A有上界 b，故有上确界，设为b A 是一个闭集，~~~~~~~~矛盾．因所以 b∈ A ，而且所以可见 b ＜b，因为 b ＝b将致使b∈ A ∩ B ，而这与 A ∩ B = ~~~~~~~~~~此（ b ，b]B．因为 B 是一个闭集，所以 b∈ B．这又致使 b ∈ A ∩ B ，也与 A ∩ B =矛盾．定义 4．1．3 设 Y 是拓扑空间X 的一个子集．假如 Y 作为 X 的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；不然，称Y 是 X 的一个不连通子集．拓扑空间X 的子集 Y 是不是连通的，依据定义只与子空间Y 的拓扑相关 (即 Y 的连通与否与 X 的连通与否没相关系.)．所以，假如Y Z X ，则Y是X的连通子集当且仅当Y 是 Z 的连通子集．这一点后边要常常用到．定理 4．1． 3 设 Y 是拓扑空间X 的一个子集， A ，B Y．则 A 和 B 是子空间Y 中的隔绝子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔绝子集．所以， Y 是 X 的一个不连通子集当且仅当存在∪B ＝ Y( 定义 )当且仅当存在X 中的两个非空隔绝子集证明因为Y 中的两个非空隔绝子集AA 和B 使得 A∪B＝Y．和 B使得A(C Y(A)B) (C Y( B)A) ((C X( A)Y)B) ((C X( B)Y)A) (C X( A)(Y B))(C X(B)(Y A))(C X( A)B) (C X( B)A)所以依据隔绝子集的定义可见定理成立．得定理 4．1． 4 设Y AUB，则或许Y是拓扑空间X 中的一个连通子集．假如Y A，或许Y B．X 中有隔绝子集 A 和B使证明假如 A 和B 是X 中的隔绝子集使得Y AUB，则((A Y) B Y) ((B Y) A Y) (A Y B) (B Y A)Y (( A B )( B A)这说明 A∩Y所以依据定理立刻可见Y 和 B∩ Y 也是隔绝子集．但是（A∩Y）∪（ B∩Y）＝（ A ∪B）∩ Y＝Y4．1． 3，会合 A ∩ Y 和 B ∩ Y 中必有一个是空集．假如B，假如B∩Y＝，同理可见Y A ．A∩Y=，据上式定理4．1． 5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X 知足条件Y Z Y．则Z 也是X 的一个连通子集．证明假定 Z是X中的一个不连通子集．依据定理4．1．3，在X 中有非空隔绝子集A 和B 使得Z=A ∪ B ．所以Y AUB ．因为Y 是连通的，依据定理4． 1． 4，或许Y A ，Z Y A Z B A B B Z B或许Y B,同理 , A。
点集拓扑学(1)
点集拓扑学~非同凡响畅想系列注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。
本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。
由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。
点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。
其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。
这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。
拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。
第一节：关系与映射集合概念的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。
朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。
集合的定义：① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。
② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。
全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。
集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。
集合的表示方式:1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下:{}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a2文字语言表述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。