课题：与圆有关的轨迹方程
与圆有关的轨迹方程的求法
与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ②代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即又因202y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(169)43(22>=+-y y x .例3、已知圆,422=+yx过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ） A ．4)1(22=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(22=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x变式练习1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x .3：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(yx ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x Ｃ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 97：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ， 则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．9. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(by a x M ++． 由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+． 这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ， 由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ①βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar br a r b r ββαα ③联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+． 说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x aa c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆； 当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.11、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.。
与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
与圆有关的轨迹方程(终审稿)
与圆有关的轨迹方程公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]求与圆有关的轨迹方程[概念与规律]求轨迹方程的基本方法。
（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y），求出用x，y表示x0，y的关系式，将（x0，y）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
[讲解设计]重点和难点例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P 的轨迹方程。
例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。
方法一：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC，当x≠0时，k OP·k AP＝－1，即即x2＋y2－4x＝0. ①当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)．方法二：(定义法)由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内的部分)．例3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|}∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，设点M的坐标为（x，y），则√(x2+x2−1)=√(x−2)2+x2整理得（x-4）2+y 2=7．∴动点M 的轨迹方程是（x-4）2+y 2=7．它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为√7例4 如图，已知两条直线l 1：2x-3y+2=0，l 2：3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l 1，l 2都相交，并且l 1与l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M 的轨迹方程。
圆的一般方程2(求轨迹方程)
推导圆的标准方程 问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由 题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r．
高一数学必修二与圆有关的轨迹问题
高一数学必修二与圆有关的轨迹问题高一数学4.1.2 与圆有关的轨迹问题课时 1【学习目标】1.初步理解用代数方法处理几何问题的思想，坐标法3. 初步学习用代入法，定义法求点的轨迹方程，了解求点的轨迹方程的方法，步骤。
【学习重点】求点的轨迹方程的方法，步骤。
【学习难点】求点轨迹的过程中寻找动点满足的几何关系复习案1、复习P92直线的点斜式方程的推导过程初步体会求点的轨迹的过程，方法2、复习P118圆的标准方程方程的推导过程初步体会求点的轨迹的过程，方法。
学习案动点M的坐标(x，y)满足的关系式称为点M的轨迹方程例1、已知线段AB的端点B的坐标是（4,3）,端点A在圆22(1)4x y++=上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
（试着作图，当点A在圆上运动时，追踪中点M的轨迹）小结当动点M的变化是由点P的变化引起的，并且已知点P在某一曲线C上运动时，常用代入法(也称相关点法)求动点M的轨迹方程，其步骤是：(1)设动点M的坐标为(x，y)；(2)用点M的坐标表示点P的坐标；(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程变式训练、1、过原点O做圆2280x y x+-=的弦OA求弦OA的中点M的轨迹方程例2若Rt ABC的斜边的两端点A、B的坐标分别为（-3,0）（7,0）求直角顶点C 的轨迹方程例3、已知点A(-3,0),B(3，0),动点P满足2PA PB=，求点P 的轨迹方程分析：找出动点满足的关系式，代入动点的坐标，可得轨迹方程，由轨迹方程确定曲线的形状．课堂小结总结：求曲线的轨迹方程的步骤（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标（x,y）（2）列出点M满足条件的集合（3）用坐标表示上述条件，列出方程（4）将上述方程化简。
（5）证明化简后的以方程的解为坐标的解都是轨迹上的点。
练习1、一动点到A(－4,0)的距离是到B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程2、已知两定点A(-2，0)，B（1,0），若动点P满足2PA PB=,则点P的轨迹方程3、已知圆的方程为：2266140x y x y+--+=,求过点()3,5A--的直线交圆得到的弦PQ 的中点M的轨迹方程4、等腰三角形的顶点A的坐标是（4,2），底边一个端点B的坐标是（3,5），求另一个端点C的轨迹方程。
圆的一般方程(轨迹问题)
(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
比是 1 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M
|
|
OM|
1 }
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
直译法
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.
(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互 垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?
x2 y2 a2
轨迹的常用求法:
1.直译法; 2.定义法;
y
B
M
Ｏ
A
x
【课堂练习】
1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),
复习引入
【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的
点M的轨迹是什么？
M r
|MA|=r
A
【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。
【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点
M的轨迹是什么？
M
|MA|= |MB|
【答】线段AB的垂直平分线。 A
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）; ②列式代入； ③化简检验.
与圆相关的动点轨迹问题
与圆相关的动点轨迹问题1、 过动点P 向圆222:a y x C =+引两条切线，这两条切线的夹角为定值θ2，求动点P 的轨迹方程。
2、 已知定点()0,4A 和圆4:22=+y x C 上的动点B ，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程。
3、 已知定点()0,3A 和圆1:22=+y x C 上的动点B ，AOB ∠的平分线交AB 于点P ，求点P 的轨迹方程。
4、 已知定点())0,1(,0,1B A -，BC 是圆1:22=+y x C 上的动弦，延长BC 到点D ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程。
5、 已知定点())0,(,0,0a C B ，P 是PBC ∆的顶点，PB 的中线长为m 到点D ，求：点P 的轨迹方程。
6、 动圆被两条直线03,03=-=+y x y x 截得的弦长依次为8和4，求动圆圆心P 的轨迹方程。
7、 动圆与圆100:22=+y x C 内切，且过点)6,0(M ，求动圆圆心P 的轨迹方程。
8、 已知045,04B )0,4(=∠-APB A ），（，,动点P 的轨迹方程。
9、 已知)0,(),0,(a B a A -,以AB 为斜边作直角三角形，求两锐角的外角平分线的交点P 的轨迹方程。
10、对定点)0,1(A 和第一象限的动点B ，若090=∠OBA ，求OAB ∆的内切圆圆心的轨迹方程，并求内切圆面积的最大值。
11、点)0,(a A 是圆222:r y x O =+内一点)00(<<<r a ，C B ,是圆O 上两动点，且090=∠BAC ，求ABC ∆外心P 的轨迹方程。
12、已知)0,2(A 是圆4:22=+y x O 上一点，在圆上另取两点C B ,，使060=∠BAC ，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程。
13、求两条动直线05=+-m y mx 与05=-+my x 的交点P 的轨迹方程。
14、已知)2,0(A ，圆4:22=+y x O ，S 为过点A 的切线上任意一点，SR 为圆的另一条切线，R 为切点，ASR ∆的垂心为H ，当S 在切线上变动时，求点H 的轨迹方程。
圆的轨迹方程
圆的轨迹方程引言圆是数学中一种重要的几何形状，它具有许多特性和性质。
其中之一就是圆的轨迹方程，它描述了圆上所有点的集合。
在本文中，我们将深入探讨圆的轨迹方程，并介绍如何推导和使用它。
圆的定义在开始讲解圆的轨迹方程之前，我们先回顾一下圆的定义。
圆是由平面上离一个给定点距离相等的所有点组成的集合。
这个给定点称为圆心，距离称为半径。
圆通常用大写字母表示，如圆O。
圆的特性在探讨圆的轨迹方程之前，让我们先来了解一些圆的特性。
1.圆上的所有点到圆心的距离都相等。
2.圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的一条线段。
3.圆的半径垂直于它所在的切线。
圆的轨迹方程圆的轨迹方程描述了圆上所有点的集合。
这个方程可以用来表示圆的位置和形状。
标准圆的轨迹方程我们首先介绍标准圆的轨迹方程。
标准圆是以坐标系的原点作为圆心，并且半径为正数的圆。
设一个点P(x, y)在标准圆上，则点P到圆心的距离等于半径r：根据勾股定理，在曲线上任意一点的坐标(x, y)上满足：将圆心坐标代入上式，得到：简化上式，得到标准圆的轨迹方程：其中，(x - h) 和 (y - k) 分别表示点P与圆心的横坐标和纵坐标的差值。
一般圆的轨迹方程除了标准圆，我们还可以推导一般圆的轨迹方程。
一般圆的圆心可以位于任意点，半径也可以为任意值。
设一个点P(x, y)在一般圆上，圆心为C(h, k)，半径为r。
根据圆的定义，我们有：将两边平方，并将圆心坐标代入，得到一般圆的轨迹方程：或者可以简化为：一般圆的轨迹方程由(x - h)²和(y - k)²项以及常数项r²组成。
圆的性质和应用圆的轨迹方程为我们提供了许多求解圆的性质和应用的方法。
1.圆的位置和形状可以通过圆的轨迹方程得到。
2.我们可以使用圆的轨迹方程求解圆与其他几何图形（如直线、抛物线等）的交点。
3.圆的轨迹方程也可以用于绘制圆的图形。
总结本文介绍了圆的轨迹方程及其推导过程。
我们了解了标准圆和一般圆的轨迹方程，并探讨了圆的性质和应用。
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)解析
o
x
典型例题
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。 y
A
OM MP
M
B P
o
x
典型例题
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。 y
• C
B
【作业】
1、（作书上） P123练习：1，2，3. 2、（作业本） P124习题4.1 A组：4. B组：2，3.
10 为半径的圆,
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,
但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.
• 规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是
三角形的一个顶点,故A､B､C不能共线,这一
点容易造成失误,应引起高度重视.
(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
【反思】与垂直有关的问题，可考虑勾股定理或 斜率关系，或利用“直角三角形斜边上的中线等 于斜边一半”这个性质（注意讨论特殊情形）。
典型例题
【例2】已知动点M与两定点P (8,0)、 Q(2,0)距 离之比为2，求点M的轨迹方程。
【分析】设M(x,y), 由|MP|=2|MQ|得
x 8
化简得
M
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【分析】设M(x,y), A(x0,y0)
因为M是AB的中点，
x0 4 x x0 2 x 4 2 所以 y 3 解得 y 2 y 3 y 0 0 2
与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程
文章标题：探索与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程在数学领域中，圆是一个非常重要的几何形状，而与圆相关的问题也是数学家们一直在研究和探索的对象之一。
今天，我们将要探讨的主题是“与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程”。
通过对这一问题深入的讨论和分析，我们将为您展示其中的数学美丽和深刻的几何思想。
1. 圆的基本概念让我们来回顾一下圆的基本概念。
圆是平面上所有离圆心的距离都相等的点的集合。
而在笛卡尔坐标系中，圆的方程通常可以表示为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
2. 与圆外切且与y轴相切的动圆接下来，让我们来具体讨论与圆外切且与y轴相切的动圆这一特殊情况。
考虑一个半径为$r$的圆$C$，其圆心坐标为$(a,b)$，现在我们将另一个圆$O$沿着$x$轴平行移动，使其与圆$C$外切，并且与y轴相切。
我们来思考一下这种情况下，动圆$O$的圆心的轨迹方程是什么样子的。
3. 探索动圆圆心的轨迹方程让我们将动圆$O$的圆心坐标设为$(x,0)$，其中$x$为动圆的横坐标。
根据与圆外切的性质，动圆$O$的圆心到圆$C$的圆心的距离等于两个圆的半径之和。
而根据与y轴相切的性质，动圆$O$的圆心到y轴的距离等于动圆的半径。
通过对上述两个条件的分析，我们可以得到以下方程：$\sqrt{(x-a)^2+b^2}+r = r+x$4. 推导轨迹方程接下来，我们将对上述方程进行进一步的推导和变换，以得到动圆圆心的轨迹方程。
将上述方程进行平方处理，得到$(x-a)^2+b^2 = x^2-2rx+r^2$将上述方程进行化简和整理，得到$x^2-2ax+a^2+b^2 = x^2-2rx+r^2$化简后可得$x(a-r) = r^2-a^2-b^2$我们得到了动圆圆心的轨迹方程：$x = \frac{r^2-a^2-b^2}{a-r}$通过上述推导和分析，我们成功地得到了与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程，这一方程描述了动圆圆心的横坐标和圆的半径之间的关系，展现了数学中的美丽和深刻的几何思想。
高中数学与圆有关的轨迹问题与最值问题
b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ， （8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ， （10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，
圆中的轨迹方程问题
圆中的轨迹方程问题
圆的轨迹方程是一个常见的数学问题，我们可以从几何和代数两个角度来回答这个问题。
从几何角度来看，圆的轨迹是指平面上和一个定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点就是圆心，定长就是圆的半径。
因此，圆的轨迹方程可以表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
从代数角度来看，我们可以通过圆的定义和方程来推导圆的轨迹方程。
假设圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆上任意一点的坐标为(x, y)。
根据圆的定义，圆上任意一点到圆心的距离等于半径r，即√((x-h)² + (y-k)²) = r。
将这个方程进行平方得到(x-h)² + (y-k)² = r²，这就是圆的轨迹方程。
除了几何和代数角度，我们还可以从应用角度来看待圆的轨迹方程。
在工程、物理、计算机图形学等领域，圆的轨迹方程经常被用来描述和计算圆形物体的运动、位置和属性。
因此，了解圆的轨迹方程对于理解和解决实际问题具有重要意义。
综上所述，圆的轨迹方程涉及到几何、代数和应用等多个角度，通过综合这些角度的理解，我们可以全面地理解和运用圆的轨迹方程。
希望这些信息能够帮助你更好地理解圆的轨迹方程。
圆中的轨迹方程问题
圆中的轨迹方程问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆中的轨迹方程问题一直是数学领域中的经典难题之一，其研究涉及到圆的性质、几何关系等多个方面。
在解决这类问题时，我们常常需要运用代数、几何、解析几何等知识，通过推理和分析来找出问题的解决方案。
让我们来了解一下什么是轨迹方程。
在数学领域中，轨迹方程是描述曲线或者点在运动中的路径的数学方程。
而在圆中的轨迹方程问题中，就是要求找出圆内部或者圆周上点的运动路径的方程。
在圆中的轨迹方程问题中，有一类比较经典的问题就是求解圆的内切方程。
内切方程是指一个点在圆内部的路径方程。
根据圆的性质和几何关系，我们可以通过分析得到内切方程的表达式。
以一个简单的例子来说明，给定一个半径为r的圆，圆心坐标为(a, b)，点P(x, y)在圆内部运动。
我们可以通过利用圆的方程和点到圆心的距离等条件来推导出P点的轨迹方程。
我们知道圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²又因为点P在圆内部，所以P点到圆心的距离不能大于半径r。
即有：√[(x-a)² + (y-b)²] < r在解决圆中的轨迹方程问题时，我们还可以运用解析几何的方法来求解。
通过将问题转化为代数方程组，利用代数方法来解决。
举个例子，假设有一个半径为r的圆，圆心在原点O(0, 0)，一个移动点M(x, y)在圆周上运动。
我们需要求出M点的轨迹方程。
根据圆的定义，M点在圆周上，所以有：x² + y² = r²M点的横纵坐标均为x，y，因此M点在第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标可以分别表示为(x, y)，(-x, y)，(-x, -y)，(x, -y)。
M点的轨迹方程为：(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²) = 0两个圆的轨迹交点可以表示为一个方程组，通过求解方程组的解得到轨迹交点的坐标。
解析几何 求圆的轨迹方程(专题一)师用
专题一 求圆的轨迹方程教学目标：1、 掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、 掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
教学重难点：1、 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、 会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程：第一部分 知识点回顾一、圆的方程：1．圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=。
2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --，半径为22142D E F +-的圆 思考：二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ 答案： （0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））； 3．圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。
圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤。
4．()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如 （1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：22(1)1x y ++=）；（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）； （3）已知(1,3)P -是圆{cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（答：224x y +＝；23π；340x y -+=）； （4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是_ （答：[0，2]）； （5）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：21<k ）； （6）若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________（答：(3,32⎤⎦－）二、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b rr +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
圆心的轨迹方程
圆心的轨迹方程
本文将介绍圆心的轨迹方程。
圆心是指一个圆的中心点，它的位置是在该圆的所有点的平均值处。
圆心轨迹是圆上所有圆心点的轨迹，该轨迹有不同的形状，取决于圆的类型和其运动方式。
对于圆的一般方程：(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
我们可以将其展开并整理，得到：x+y-2ax-2by+a+b-r=0。
我们可以将x和y的系数合并，得到：(x-a)+(y-b)=(a+b-r)。
因此，圆心的轨迹方程为：(x-a)+(y-b)=(a+b-r)，这是一个圆
形方程，圆心位于(a,b)，半径为√(a+b-r)。
对于一个不动的圆，其圆心是不会移动的，因此其圆心轨迹方程就是一个点，即(a,b)。
对于一个固定圆在平面内绕着一个点旋转的情况，圆心的轨迹方程是一个半径为该点到圆心的距离的圆。
对于两个圆的情况，它们可能会相交、相离或者相切。
当它们相交时，圆心的轨迹方程是两个圆的交点组成的轨迹；当它们相离时，圆心的轨迹是两个圆的外切点组成的轨迹；当它们相切时，圆心的轨迹是两个圆的切点组成的轨迹。
- 1 -。
圆的轨迹方程直接法
圆的轨迹方程直接法
圆的轨迹方程是描述圆的几何特征的数学表达式。
直接法是一
种确定圆的轨迹方程的方法，通常通过圆的几何特征直接推导得出。
圆的轨迹方程可以用不同的方式表示，最常见的是以圆心和半径来
表示。
下面我将从几何特征和数学推导两个角度来解释直接法。
首先，从几何特征的角度来看，我们知道圆是由平面上到一个
固定点（圆心）距离相等的所有点构成的集合。
设圆心坐标为(h, k)，半径为r，那么圆的轨迹方程可以表示为(x-h)² + (y-k)² = r²。
这个方程的推导可以从圆的定义出发，根据点到圆心的距离公
式得出。
这就是直接法的几何特征角度的解释。
其次，从数学推导的角度来看，我们可以通过代数方法得出圆
的轨迹方程。
例如，如果我们知道圆上的三个点的坐标，可以通过
代数计算得出圆的轨迹方程。
另外，我们还可以通过圆的标准方程(x-h)² + (y-k)² = r²展开得到圆的轨迹方程。
这些方法都属于
直接法，因为它们直接利用圆的性质和数学原理得出轨迹方程。
综上所述，圆的轨迹方程直接法可以从几何特征和数学推导两
个角度来解释。
无论是从几何特征还是数学推导的角度，直接法都
是一种确定圆的轨迹方程的有效方法。
希望这样的解释能够帮助你理解圆的轨迹方程直接法。
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课题：与圆有关的轨迹方程
北京市第八十中学 王伟
一、教学时间：10.27 二、教学目标：
1、掌握求曲线的方程的一些常见方法；
2、建立数形结合思想，培养学生运用解析几何的基本思想方法；
3、培养学生的创新意识, 提高学生的分析问题、解决问题的能力； 三、教学重难点:
重点：求与圆有关的轨迹方程的方法； 难点：建立动点坐标之间的等量关系；
四、教学用具：计算机、投影仪、圆规、三角板； 五、教学过程：
（一）复习提问导入新课：
1什么叫曲线的方程、方程的曲线？ 2求曲线的方程的步骤是什么？ 学生回答
教师点评：明确解析几何的基本思想方法是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过方程的特征间接地来研究曲线的性质。
其主要问题是1、根据已知条件求曲线的方程，2、通过方程研究平面曲线的性质。
（二）新课：
今天我们一起来研究与圆有关的轨迹方程；
例1已知定点A （6，0），点B 是圆
2
+y x 求点P 的轨迹方程。
解法一：作PQ ∥OB 交x 轴于点Q ，
∵P 为AB 中点，∴PQ 为△OAB 的中位线
∴Q(3，0)，|PQ|=
OB 21 ∴|PQ|=23
，由圆的定义知，P 在以Q （3，0）为圆心，半径r=|PQ|=23的圆上，∴点P 的轨迹方程是：4
9
)3(22=+-y x ；
1、解法一由学生探讨，寻求解答，展示思维过程；
2、教师点评，总结解法一：定义法；
用计算机演示动点P 的轨迹图形，学生观察运动变化规律。
教师提问：例1的解答还有其他方法吗？
学生观察分析：动点P 的轨迹依赖圆上点B 的变化；
解法二：设P ),(),,(11y x B y x ，由中点坐标公式得：
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=20261
1y y x x ∴⎩⎨⎧=-=y y x x 26211∵B ),(11y x 在圆922=+y x 上,∴92121=+y x ∴9)2()62(2
2
=+-y x ∴4
9
)3(22
=
+-y x 教师总结解法二：坐标转移法，并把例1进行的拓展：
变化A 点的位置探求点P 的轨迹方程（1） A 在圆上 （2）A 在圆内
变化P 点位置探求点P 的位置关系（1）P 分AB 的比为2：1 （2）P 在AB 的延长线上，使BP AB =
学生回答在上述四种情况中如何解答？
例2 自圆外一点A （6，0）引圆92
2=+y x 的割线ABC ，求弦BC 的中点P 的轨迹方程。
定义法 解法一：∵OP ⊥AP,取OA 中点M 则M(3，0)，|PM|=3， 由圆的定义得P 点轨迹方程为062
2
=-+x y x
几何法 1 解法二：设P ),(y x ，连OP ，则OP ⊥BC 14
,-=-⋅⊥x y x y k k BC OP 即，即0422=-+x y x ，当0=x 时P 点坐标为（0，0）是
方程的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为042
2
=-+x y x （在圆的内部分）
几何法2 解法三 ：设P ),(y x ，连OP ，
OP =),(y x ,PA =),6(y x --,∵OP ⊥PA ，∴OP ·PA =0,0)()6(=-+-y y x x ，062
2
=-+x y x （在圆的内部分）
几何法2 解法四 ：设P ),(y x ，连OP ，
OP =),(y x ,PA =),6(y x --,∵OP ⊥PA ，∴OP ·PA =0,0)()6(=-+-y y x x ，062
2
=-+x y x （在圆的内部分） 坐标转移法 解法五：设 ),,(),,(2211y x C y x B ),(y x P 则
4212
1=+y x …..①
42
222=+y x ……….②
221x x x +=
，2
2
1y y y +=… ③ ①-②得:
))(())((21212121y y y y x x x x +-++-=0，当21x x ≠时
2
12
12121y y x x x x y y ++-=--将③代入
得4
2121-==-=--=
x y k y x x x y y k AP BC 化简得062
2=-+x y x （在已知圆的内部分）
参数法 解法六：设割线ABC 所在的直线方程为)4(-=x k y ，代入42
2
=+y x 得
04168)1(2222=-+-+k x k x k
设 ),,(),,(2
211y x C y x B ),(y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+=+=22122
21142142k k y y y k k x x x 消去k 得 0622=-+x y x （在已知圆的内部分）。