江苏省2019年中考数学复习微专题五以特殊三角形为背景的计算与证明训练

微专题五 以特殊三角形为背景的计算与证明

姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟

1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE，连结AD ，CD.

(1)求证：△ADE≌△CDB；

(2)若BC ＝3，在AC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值．

2．如图，在等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别同时从点A ，B ，C 出发，以相同的速度在AB ，BC ，CA 上运动，连结DE ，EF ，DF.

(1)证明：△DEF 是等边三角形；

(2)在运动过程中，当△CEF 是直角三角形时，试求S △DEF

S △ABC

的值．

3．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；

(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；

(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

(1)求证：BD＝CE；

(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．

5．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8.点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：

(1)求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；

(2)求△PQR面积的最小值；

(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间，是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

6．问题：(1)如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为________；

探索：(2)如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

参考答案

1．(1)证明：在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，E 为AB 边的中点， ∴BC＝EA ，∠ABC＝60°. ∵△DEB 为等边三角形，

∴DB＝DE ，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°， ∴∠DEA＝∠DBC， ∴△ADE≌△CDB.

(2)解：如图，作点E 关于直线AC 对称点E′，连结BE′交AC 于点H ，连结EH ，AE′， 则点H 即为符合条件的点．

由作图可知，EH ＝HE′，AE′＝AE ，∠E′AC＝∠BAC＝30°， ∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形， ∴EE′＝EA ＝1

2AB ，∴∠AE′B＝90°.

在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC ＝3， ∴AB＝23，AE′＝AE ＝3，

∴BE′＝AB 2

－AE′2

＝（23）2

－（3）2

＝3， ∴BH＋EH 的最小值为3.

2．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB ＝BC ＝CA. ∵AD＝BE ＝CF ，∴BD＝CE ＝AF. 在△ADF，△BED 和△CFE 中， ∵⎩⎪⎨⎪

⎧AD ＝BE ＝CF ，∠A＝∠B＝∠C，AF ＝BD ＝CE ， ∴△ADF≌△BED≌△CFE，

∴FD＝DE ＝EF ， ∴△DEF 是等边三角形．

(2)解：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形， ∴△DEF∽△ABC.

当DE⊥BC 时(EF⊥BC 时，同理)，∠BDE＝30°， ∴BE＝12BD ，即BE ＝1

3BC ，

CE ＝2

3

BC.

∵EF＝EC·sin 60°＝23BC·32＝3

3BC ，

∴

S △DEF S △ABC ＝(EF BC )2＝(33)2＝1

3

. 3．(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝1

2∠ACB＝40°，

∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD 为等腰三角形．

∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC，

∴CD 是△ABC 的完美分割线． (2)解：①当AD ＝CD 时，如图，

则∠ACD＝∠A＝48°.

∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°. ②当AD ＝AC 时，如图，

则∠ACD＝∠ADC＝180°－48°

2＝66°.

∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，