第七讲球面三角形的边角关系
三角形中的边角关系
三角形中的边角关系三角形，作为几何学中最基本且最古老的存在之一，是我们理解空间结构的重要元素。
在众多的几何图形中，三角形以其独特的性质和关系，展示了丰富多样的形态和功能。
其中，边角关系是三角形属性中的核心内容之一。
我们来看三角形中的边与角的关系。
在任意一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是三角形边长关系的基本定理，它告诉我们三角形的三边长度之间是相互制约的。
同时，三角形的三个内角之和等于180度，这是三角形角的关系的基本定理。
我们来看三角形中的特殊边角关系。
等边三角形是三边长度相等的三角形，其三个内角都是60度。
这是三角形中一种简单而特殊的形式，其中所有的边都相等，所有的角也都相等。
等腰三角形是两边长度相等的三角形，其两个内角相等。
这是三角形中另一种常见的形式，其中两边的长度相等，相应的两个角也相等。
在等腰直角三角形中，两边的长度相等，一个角是直角。
这种三角形的特性是，其斜边的长度是直角的边的两倍。
这种关系在解决几何问题时非常重要，例如在勾股定理的应用中。
我们还可以看到，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
这是勾股定理的表现形式，它揭示了直角三角形中边与边之间的深刻关系。
三角形的边角关系是几何学中的基本概念，它反映了三角形的基本属性和结构。
对这些关系的理解和掌握，不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可以帮助我们理解更复杂的几何结构。
这些知识将贯穿我们在数学和其他科学领域的学习和应用中。
一、测试目的本单元测试旨在检验学生对三角形中边角关系的理解与运用。
三角形中的边角关系是几何学中最基本的概念之一，理解并掌握这些关系对于进一步学习和解决几何问题具有重要意义。
二、测试内容本单元测试主要包括以下几个方面的内容：1、三角形内角和定理及其应用2、三角形边角关系的应用3、特殊三角形的性质与判定三、测试形式本单元测试采用闭卷、笔试形式，考试时间为60分钟，满分为100分。
球面三角学
b
c
C
O A
a
B
图4-5
A A c b a C O B O E 图4-3 B c F D C b
a
三 、球面三角形的周长
在球面三角形中，每条边都小于大
圆周长的一半，所以周长不会超过3/2
个大圆周长．
实际上，周长要小于大圆周长． 具体的证明方法是应用球面上边角 对等的关系来验证的． 一个很重要的结论：球面三角形的周 长小于大圆周长．
四、球面三角形的内角和
对于平面三角形，内角和等于180°． 那么球面三角形的内角和是否也是一个定 值呢？
下面引入例题
A
O
如图所示，设A点表示
地球的北极，B、C两点
所在的曲线是赤道LA，
其中，B点所在的经线
C
B
图4-4
是0°，C点所在经线是
90°．AB、AC是两条
经线，而经线与赤道平
面垂直，所以 ∠BAC=π/2．
由极与赤道的概念知道：
ABC ACB , 2 因此三角形的内角和为
3 ABC ACB BAC . 2
说明球面上存在内角和大于180°的 三角形．
通过球面三角形的面积来说明
球面△ ABC的 面积等于1/4上半球面面积 （因为区域扫过了90°），也等于1/8球面
1 2 2 5 2 S 4r r ( )r 2 6 3 3 (ABD ADB DAB )r 2 .
猜想
一般的，球面△ABC的半径为r,则任意球面
三角形的面积=（A+B+C-π）r2，(A、B、C 分别为角A、B、C的弧度数)，特殊的，若半 径为1，则面积=（A+B+C-π）．
三角形的边角关系
三角形的边角关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
边和角之间存在着一系列重要的关系，这些关系对于解决三角形相关问题和证明三角形性质非常重要。
本文将深入探讨三角形的边角关系，包括角度和边长之间的关系以及三角形中的一些特殊边角关系。
一、角度和边长的关系1. 三角形内角和角度和为180度三角形的三个内角之和恒为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这一特性是三角形的重要基本属性，可以通过三角形内角和定理来证明。
2. 同位角和对应角当两条平行线被一条截线所穿过时，截线与平行线所夹的内、外角成对应角关系。
同位角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的对应内角，它们的度数相等。
对应角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的两个内角，它们的度数相等。
3. 三角形的外角和三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
假设三角形的内角为∠A、∠B、∠C，其对应的外角为∠D、∠E、∠F，则有∠D = ∠A +∠B，∠E = ∠B + ∠C，∠F = ∠C + ∠A。
二、三角形的特殊边角关系1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，三个内角也相等，每个角都是60度。
等边三角形具有对称性和稳定性，在建筑、设计和工程等领域有广泛应用。
2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，两个底角也相等。
底角是等腰三角形两边的夹角，顶角是等腰三角形的顶点处的角，它恒为60度。
等腰三角形也常见于建筑和工程设计中。
3. 直角三角形直角三角形的一个内角为90度，称为直角，另外两个内角为锐角。
直角三角形是解决三角函数问题的基础，它的边角关系可以通过勾股定理得到。
4. 三角形边长关系在三角形中，两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边。
这一关系称为三角形的两边之和大于第三边定理和两边之差小于第三边定理。
5. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它同时具有等腰和直角的性质。
在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且每个锐角为45度。
球面三角形
球面三角形开放分类：数学数学术语编辑词条分享请用一段简单的话描述该词条，马上添加摘要。
spherical trianglespherical triangle球面上的三个点，每两点之间用大圆劣弧相连接，三弧所围成的球面部分称为球面三角形。
球面三角形的面积公式：S=(A+B+C-π)R^2（A、B、C分别为球面三角形ABC的三内角，单位为弧度，R为球半径）。
平面三角形可视为球面三角形的特殊形式（极限）。
球面三角形的内角和不为180°。
球面三角形余弦定律：在球面三角形中，任意一边所对应球心角的余弦等于其他两边各自对应球心角的余弦乘积加上这两边各自对应球心角的正弦及任意的那条边在球面三角形中对应角的余弦三项乘积。
& nbsp; cosa=cosbcosc+sinbsinccosA球面三角形正弦定律：在球面三角形中，任意一边所对应球心角的正弦与该边所在球面三角形中的对应角的正弦的比值相等。
sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC§3球面三角形的全等在同球面或等球面上，两个球面三角形的对应边和对应角分别相等，则称这两个球面三角形全等。
判断两个平面三角形全等的条件有 SSS,SAS,ASA,AAS 等，在平面几何中，如果两个三角形的三对对应角对应相等，则这两个三角形相似，它们的对应边长度成比例。
类似地判断两个球面三角形全等的条件有 SSS,SAS,ASA,AAA 等（其中 AAA 是平面几何中不具有，而球面几何中特有的全等条件。
球面三角学的基本概念及应用
球面三角学的基本概念及应用球面三角学是研究球面上的角和边的数学学科，它在地理学、航海学、天文学等领域有广泛的应用。
本文将介绍球面三角学的基本概念，包括球面上的角、球面三角函数以及它们在实际问题中的应用。
一、球面上的角球面上的角是指由球面上的两条弧所夹的角，可以用球心为顶点的锐角来表示。
球面上的角与平面上的角存在一些区别，例如球面上的角的度量单位不再是度，而是弧度（radian），弧度是一个角度所对应的弧长与球半径之比。
球面上的角也可以表示为度分秒的形式。
球面上的角的概念为后续的球面三角函数的定义提供了基础。
二、球面三角函数球面三角函数是指在球面上的角所对应的三角函数。
与平面三角函数相似，球面三角函数也包括正弦、余弦和正切等函数。
不同的是，在球面上，这些函数的计算需要考虑到球半径的影响。
1. 球面正弦（sin）函数：在球面三角学中，球面正弦函数是指一个角的正弦值与球半径之比，通常表示为sin。
球面正弦函数的取值范围在-1到1之间。
2. 球面余弦（cos）函数：球面余弦函数是指一个角的余弦值与球半径之比，通常表示为cos。
球面余弦函数的取值范围也在-1到1之间。
3. 球面正切（tan）函数：球面正切函数是指一个角的正切值与球半径之比，通常表示为tan。
球面正切函数的取值范围在负无穷到正无穷之间。
球面三角函数与平面三角函数类似，具有周期性和对称性等特点，可以用来解决球面上的角度和边长的计算问题。
三、球面三角学的应用球面三角学的应用非常广泛，在地理学、航海学、天文学等领域都有重要的作用。
以下是球面三角学在实际问题中的几个应用：1. 地理测量与导航：地图投影是指将球面上的地理位置投影到平面上的过程。
球面三角学在地图投影中起到了重要的作用，通过球面三角计算可以得到不同位置之间的距离、方位角等信息，方便航海、航空和导航等领域的应用。
2. 天体观测：天文学中，球面三角学被广泛运用于天体位置的测量与计算，例如计算恒星的赤经、赤纬，确定天体在观测者视线上的位置等。
球面三角学的基本知识点总结
球面三角学的基本知识点总结球面三角学是研究球面上三角形及其相关概念和性质的数学分支。
在地理、天文、航海、测量等领域中，球面三角学都具有重要的应用价值。
本文将对球面三角学的基本知识点进行总结，包括球面上的角度、三角函数、球面三角形的求解等。
一、球面上的角度在球面三角学中，角度的度量单位不再使用度，而是使用弧度（radian）。
球面上的一个角A，其对应的弧度为A/R，其中R为球面的半径。
弧度可以通过角度与π的关系进行转换。
而球面上的两条弧所对的角度，则等于两条弧的弧度长除以球面半径。
这样，我们可以通过测量弧长来计算球面上的角度。
二、球面三角函数与平面三角学类似，球面三角学也有正弦、余弦、正切等三角函数。
在球面上，这些函数的定义与平面上稍有不同。
以球面三角形ABC为例，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则球面三角函数的定义如下：1. 正弦函数（sin）：sin(A) = sin(a) / sin(c)sin(B) = sin(b) / sin(c)sin(C) = sin(c) / sin(c) = 12. 余弦函数（cos）：cos(A) = cos(a)cos(B) = cos(b)cos(C) = -cos(c)3. 正切函数（tan）：tan(A) = tan(a) / sin(b)tan(B) = tan(b) / sin(a)tan(C) 不存在三、球面三角形的解法球面三角形的解法有两种，分别是已知三边求角和已知两边及其夹角求第三边和其余两个角。
1. 已知三边求角若已知球面三角形的三条边a、b、c，我们可以利用球面余弦定理和球面正弦定理来求解出角A、B、C的大小。
- 球面余弦定理：cos(a) = cos(b) * cos(c) + sin(b) * sin(c) * cos(A)cos(b) = cos(a) * cos(c) + sin(a) * sin(c) * cos(B)cos(c) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b) * cos(C)- 球面正弦定理：sin(A) / sin(a) = sin(B) / sin(b) = sin(C) / sin(c)2. 已知两边及其夹角求第三边和其余两个角若已知球面三角形的两条边a、b及其夹角A，我们可以利用球面正弦定理和球面余弦定理来求解第三边c和另外两个角B、C的大小。
初中数学三角形边角关系的公式
初中数学三角形边角关系的公式初中数学三角形边角关系的公式大全数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是小编整理的初中数学三角形边角关系的公式大全，欢迎阅览。
初中数学三角形边角关系的公式1三角形边角关系(1)三角形三内角和等于180°，这个定理的证明方法有很多种(即辅助线的做法)，体现了几何中的一题多解的思维方法，这也是几何与众不同的地方。
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(5)在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
(6)三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。
(注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠;②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半)(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.(8)三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部。
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
(三条高的延长线交于一点，在三角形的外部)③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
(直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。
)④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形有三条边，同时又三个内角，和三个外角，这样的说法就是正确的。
关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
球面三角定理
§2.球面三角基本定理和公式（以下各定理或公式，只列出其中之一，其它公式可利用指标循环规则，自行推出。
球面三角形三边为α，β，γ，三个角为A,B,C）1.正弦定理2.余弦定理*边：*角：3.余切定理*边：*角：4.正切定理5.五元素公式*边：*角：6.半角公式7.半边公式8.德兰布——高斯公式9.耐普尔公式球面三角图F3.1经过球面上任意两点A、B可做一大圆研究球面三角形的边、角关系的一门学科。
从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科。
球面三角基本公式一、球面三角的基础知识天文学，特别是球面天文学需要球面三角学的知识。
球面三角中，常要用到角度和圆弧的度量关系：从平面三角学我们知道，一圆周的1/360 ，叫做1度的弧。
1度弧的1/60 叫做1角分的弧。
1角分弧的1/60 叫做1角秒的弧。
根据弧和所对圆心角的关系，可以得出角的量度。
一圆周所对的圆心角为360°。
因此，1度的弧所对的圆心角，叫做1°的角；1角分的弧相对的圆心角，叫做1′；1角秒的弧所对的圆心角，叫做1〃。
1° = 60′1′= 60〃角和弧的量度单位，常用的有两种：弧度：长度和半径相等的圆弧所对的圆心角，叫做1弧度(rad)。
由于一圆周的长度等于2π个圆半径的弧长，根据以上弧度的定义，得到弧度和度的关系如下：2πrad=360°1rad= 360/2π =57.3°= 3438′= 206265〃；或者1°=1/57.3 rad1′=(1/60 )°=1/3438 rad1〃=(1/60 )′=1/206265 rad如果一个角的值以弧度表示时为θ，那么以度表示时其值为57.3°×θ；以角分表示时为3438′×θ；以角秒表示时为206265〃×θ。
为了方便起见，我们用符号θ°，θ′，θ〃表示一个角的度数、角分数、角秒数。
球面上的几何
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面三角形 球面上最常用的基本图形， 构成球面三角形的大圆弧称 为三角形的边，三条边的交 点称为三角形的顶点，过球 面三角形顶点分别作大圆弧 的切线，两条切线所成的角 称为球面三角形的角。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面多边形 球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面 多边形。球面多边形的边,必须是大圆的圆弧。 任意两个不同大圆的两个交点是球面上的一 对对径点，即球的同一条直径的两个端点称 为一对对径点。
球面上的几何
目录
1 第一讲 从欧氏几何看球面
2
第二讲 球面上的距离和角
3
第三讲 球面上的基本图形
4
第四讲 球面三角形
目录
1 第五讲 球面三角形的全等
2
第六讲 球面多边形的欧拉公式
3
第七讲 球面三角形的边角关系
4
第八讲 欧氏几何与非欧式几何
主要内容： 1.通过丰富的实际问题 （如测量、航空、卫星定 位），体会引入球面几何 知识的必要性。 2.通过球面图形与平面图 形的比较，感受球面几何 与欧氏平面几何的异同。 例如，球面上的大圆相当 于平面上的直线，球面上 两点之间的最短距离是大 圆弧的劣弧部分，类圆幂 定理。 3.通过对实例的分析，体 会球面具有类似平面的对 称性质。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
球面三角形的性质
球面三角形的内角和
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
推论2 球面三角形ABC的面积为：
S A BBiblioteka C R球面三角形的周长 定理 球面三角形的周长小于大圆周长
2
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
球面三角学
For personal use only in study and research; not for commercial use球面三角学球面三角学是球面几何学的一部分，主要处理、发现和解释多边形 (特别是三角形) 在球面上的角与边的联系和关联。
在天文学上的重要性是用於计算天体轨道和地球表面与太空航行时的天文导航。
通俗地讲，“球面三角”即研究球面三角形的边、角关系的一门学科。
它大约从十六世纪起，逐渐发展为一门独立的学科。
球面上的线及多边形（三角形）在球壳的表面，最短的距离是大圆上接近直线的弧线，也就是圆弧的圆心与球壳的球心是同一点。
例如：地球上的子午线和赤道都是大圆。
所谓行星表面的直线，就是球面上两点之间最近距离的大圆弧线(如果你把自己拘束在球面上的直线上)。
(参看：大地测量学)在球面上，由大圆的弧所包围的区域称为球面多边形，但要注意，不同於平面上的情形，在球面上’双角’是可能存在的。
(两个弧夹出两个角的三角形类似物)(可由剥橘子时剥下来的橘子皮想像)（一）球面多边形的边长这些多边形的边长(弧长)，可以利用球心角很方便的来测定，将弧的两端所对应的球心角乘上半径便是边长。
要注意的是，这些角都必须用径度量来量度（苏注：“π”在数学中有两个含义：一表示圆周率3.14。
二表示角度中的180度。
这两个π之间是可以进行换算的，当将圆心角从“第二意义”的数值换算成“第一意义”的数值时，那么用“球心角乘上半径”就得边长了。
而这种算法，其实就是由我们昨天讲的球面上两点间距离的算法，进一步推导来的。
）.因此，对一个球面三角形而言，是由他的弧长与球心角来具体描述的，只是弧的长度是用径度量来标示。
（二）球面三角形的面积值得注意的是，球面三角形的三个内角的和总是大於180°，但在平面上只有180°。
超过180°的数值称为球面剩馀 E：E = α + β + γ - 180°，这些结馀给出了球面三角形的面积。
三角形边角关系-lec7已经校核
三⾓形边⾓关系-lec7已经校核第七讲三⾓形⼀、与三⾓形有关的线段三⾓形及其相关元素的概念、性质和⽐较．三⾓形是⽐较简单，也是⽐较基本的平⾯⼏何图形，我们后⾯要学习到的多边形，均可分解为若⼲三⾓形拼接⽽成，因此，从三⾓形⼊⼿，研究好三⾓形的各种性质，是继续学习多边形知识的必要前提．【例１】判断：由三条线段⾸尾顺次相接所组成的图形叫做三⾓形．思路与技巧判断概念性的问题时，关键是要弄清语句中涉及到的数学名词的定义和性质．解答错误评注例１中涉及了三⾓形的定义．由不在同⼀直线上的三条线段⾸尾顺次相接所组成的图形叫做三⾓形．在三⾓形的定义中，特别要注意＂不在同⼀直线上＂、“三条线段”和“⾸尾顺次相接”这三个条件，缺⼀不可．我们可以有这样的反例：如图７－１－１所⽰，在线段AB 上取⼀点（除了端点）C ，那么三条线段AC ，CB 和BA 是⾸尾顺次相接的，但它们却没有构成三⾓形．【例２】判断：⑴等腰三⾓形不可能是直⾓三⾓形．⑵等边三⾓形是锐⾓三⾓形．思路与技巧掌握三⾓形的两种分类，即可判断．锐⾓三⾓形斜三⾓形三⾓形（按⾓分类｝钝⾓三⾓形直三⾓形不等边三⾓形三⾓形（按边分类）底腰不等的等腰三⾓形等腰三⾓形等边三⾓形锐⾓三⾓形：三⾓形的三个内⾓都是锐⾓；钝⾓三⾓形：三⾓形中有⼀个内⾓是钝⾓；直⾓三⾓形：三⾓形中有⼀个内⾓是直⾓；不等边三⾓形：三条边都不相等的三⾓形；等腰三⾓形：有两边相等的三⾓形；等边三⾓形：有三边相等的三⾓形．把三⾓形按⾓分类时，关键是根据⾓是否有⼤于90°，等于90°或都⼩于90°的⾓来确定，换句话说，三⾓形的三个内⾓中，最⼤的⼀个内⾓是锐⾓（直⾓或钝⾓）时，该三⾓形即为锐⾓三⾓形（直⾓三⾓形或钝⾓三⾓形）．按边长划分三⾓形时，关键是看三⾓形中有⽆三边或两边相等的情况．注意：等边三⾓形是⼀种特殊的等腰三⾓形．【例３】下列长度的线段能否组成三⾓形？⑴ 3,6,10. ⑵ 3,5,8. ⑶ a 2＋3, a 2＋4, a 2＋7（a≠0）.⑷ 3a,4a,2a ＋1（a ＞15）⑸ 3a,5a,8a （a ＞0）思路与技巧利⽤三⾓形的三边关系定理．三⾓形的三边关系定理：三⾓形的两边之和⼤于第三边．此定理可根据公理“两点之间线段最短”得出．注意三⾓形任何⼀边都⼩于另两边的和，即使是最⼤边也⼩于另两边之和．上述定理推论：三⾓形的两边之差⼩于第三边．注意：三⾓形任何⼀边都⼤于另两边的差，即使是最⼩边也⼤于另两边的差．利⽤三⾓形三边关系定理，可以得到三条线段组成三⾓形的条件：线段a,b,c 组成三⾓形的条件： 0a b a c b b c a +>??+>?? +>?第⼀⾏式⼦应是a+b ＞c上述条件可以简化为：当三条线段中最长的线段⼩于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段⼤于另两条线段之差时，即可组成三⾓形．⑴中３与６的和⼩于10，所以不能组成三⾓形；⑶中a 2＋3, a 2＋4均⼩于a 2＋7，⽽（a 2＋3）＋（a 2＋4）=2 a 2＋7=（a 2＋7）＋a 2,因为a≠0,所以（a 2＋３）＋（a 2＋４）＞a 2＋７，它们可以构成三⾓形；⑷中有3a ＋（2a+1）＞4a,4a+（2a+1）>3a,⽽3a+4a －（2a+1）=5a －1,因为a> 15,所以5a －1>0,即3a ＋4a>2a+1,它们可以组成三⾓形；⑸中8a 最⼤,⽽3a+5a 不⼤于8a,因此不能构成三⾓形.由⑸我们还可以知道,不⽤给出三条线段的具体长度,⽽只根据它们长度的⽐值,即可判断.解答⑴不能；⑵不能；⑶能；⑷能；⑸不能.【例４】已知等腰三⾓形的周长是16cm,⑴若其中⼀边长为6cm,求另外两边长.⑵若其中⼀边长为4cm,求另外两边长.思路与技巧涉及等腰三⾓形的问题,注意讨论.解答⑴若腰长为6cm ，则底边长为16－6－6=4（cm ），若底边长为6cm,则腰长为（16－6）÷2=5（cm ）,因此另两边长分别为6cm,4cm,或5cm,5cm.⑵若腰长为4cm ，则底边长为16－4－4=8（cm ），⽽4cm,4cm 与8cm 不符合三⾓形的三边关系,舍去,若底边长为4cm,则腰长为（16－4）÷2=6（cm ）,因此另两边长分别为6cm,6cm.评注根据三⾓形三边关系,若等腰三⾓形腰长为a,则底边长x 的取值范围是0底边为a,则腰长x 的取值范围是x>2a .【例５】判断:⑴三⾓形的三条⾼在三⾓形内部.⑵以三⾓形的顶点为端点,且平分三⾓形内⾓的射线叫做三⾓形的⾓平分线.⑶三⾓形的中线将三⾓形分为⾯积相等的两个三⾓形.⑷三⾓形的三条⾓平分线和三条中线在三⾓形内部或外部.思路与技巧中线、⾓平分线、⾼是与三⾓形有关的三种重要线段,要弄清它们各⾃的性质以及相互的区别.解答⑴错误.⑵错误.⑶正确.⑷错误.评注名称中线⾓平分线⾼定义三⾓形⼀边上的中点与这边所对的顶点连结所得的线段三⾓形的⼀个⾓的平分线与对边相交,顶点与对边的交点相连构成的线段从三⾓形的顶点向对边或对边延长线作垂线, 垂⾜与顶点之间构成的线段⼏何形状线段线段线段数量3条 3条 3条位置三⾓形内部三⾓形内部锐⾓三⾓形的⾼均在三⾓形内部；直⾓三⾓形有⼀条⾼在三⾓形内部,两条⾼与两条直⾓边重合；钝⾓三⾓形有⼀条⾼在三⾓形内部,两条⾼在三⾓形外部交点情况交于同⼀点位于三⾓形内部交于同⼀点位于三⾓形内部交于同⼀点。
人教版高中选修3-3第七讲球面三角形的边角关系课程设计 (2)
人教版高中选修3-3第七讲球面三角形的边角关系课程设计一、课程背景高中数学选修3-3课程中的第七讲“球面三角形的边角关系”，主要涉及到球面三角形的定义、性质和求解球面三角形的边角关系等内容。
本课程的目的是让学生了解球面三角形的概念和特点，掌握球面三角形的边角关系和求解方法，提高学生的综合运算能力和推理能力。
二、教学目标1.知识目标1.掌握球面三角形的定义和性质；2.掌握球面三角形边角关系的概念和定理；3.学会运用球面三角形的边角关系求解实际问题。
2.能力目标1.培养学生的分析问题和解决问题的能力；2.提高学生的数学思维和逻辑推理能力；3.促进学生发现问题、探究问题和解决问题的能力。
3.情感目标1.激发学生对数学的兴趣和热爱；2.培养学生的团队合作意识和创新精神；3.提高学生对真理、美和善的认知和追求。
三、教学重难点1.教学重点1.球面三角形的定义和性质；2.球面三角形边角关系的概念和定理；3.运用球面三角形的边角关系求解实际问题。
2.教学难点1.球面三角形边角关系定理的证明；2.运用球面三角形边角关系解决复杂实际问题。
四、教学方法1.讲解法：通过简洁明了的语言讲解球面三角形的基本概念和性质，辅以图表进行解释。
2.探究法：安排趣味性的探究实验，让学生通过实践探索球面三角形边角关系的性质和定理。
3.演算法：以典型例题为主，通过演算的方法让学生掌握球面三角形边角关系的计算方法和求解技巧。
4.案例分析法：结合实际应用案例进行分析，引导学生通过解决实际问题来领悟球面三角形边角关系的深刻内涵。
五、教学过程1.引入环节1.通过展示球面等距投影图和有关球面体积的知识，激发学生对球面三角形的兴趣。
2.引导学生思考三维空间和二维平面的区别，并提出球面三角形的定义和性质。
2.基础知识讲解1.讲解球面三角形的基本概念和性质，包括：顶点、边、面、内角和外角等。
2.讲解球面三角形的重要定理和边角关系，包括：球面三角形的内角和定理、外角和定理、余弦定理和正弦定理等。
三角形边角的关系
三角形边角的关系咱先来说说角和角的关系吧。
三角形的三个角加起来啊，永远都是180度，这就像是三个小伙伴凑在一起，不管它们各自的性格（角度大小）是怎样的，总和就是这么固定。
你看，直角三角形里有一个角是90度，那剩下的两个角就只能把剩下的90度分了，就像两个小娃娃分一块固定大小的糖一样，一个角大一点，另一个角就得小一点。
再讲讲边和角的关系。
大角对大边，小角对小边，这可太好玩了。
就好比在一个家庭里，强壮的大哥（大角）肯定占的地方（对应的边）就大些，而弱小一点的小弟（小角）占的地方（对应的边）就小一点。
要是一个角特别小，那它对应的边肯定也是最短的，就像小娃娃只能睡小床一样。
等边三角形就更有趣啦，它的三个角都相等，都是60度呢。
这就像是三个一模一样的小娃娃，长得一样，性格（角度）也一样，而且它们每个人分到的“地盘”（边）也都一样长，特别公平。
等腰三角形呢，有两个角相等，这两个相等的角就像是双胞胎，它们对应的边也是相等的。
这就像双胞胎总是会有一些相同的待遇，比如有一样长的“床铺”（边）。
三角形的边角关系在生活中也有很多体现哦。
比如说盖房子的时候，三角形的屋顶如果边角关系没弄对，那房子可能就不稳当了。
就像你搭积木，如果三角形的形状搭错了，整个建筑就很容易垮掉。
有时候我就觉得三角形的边角关系像一场小闹剧。
角们和边们按照一定的规则在那里玩耍，谁也不能乱了套。
要是哪个调皮的角突然变大或者变小了，那对应的边就得跟着变化，不然整个三角形的和谐就被打破了。
从这些边角关系里，我们能看到数学的奇妙之处。
它不是那种冰冷冷的数字和图形，而是像一个充满故事的小世界。
三角形的边角关系就像是这个小世界里的小规则，虽然简单，但是充满了无限的趣味。
每一次研究它们，就像是在探索一个小小的神秘乐园，总会有新的发现，让人忍不住想要深入了解更多关于三角形的秘密呢。
三角形边角关系公式
三角形边角关系公式
三角定律，简单的说就是五条数学定律。
正弦定理、余弦定理、直角三角形中的射影
定理、大角对大边定理、内角平分线定理。
该定律的作用，是通过对行情前期图形的角度形态来判断未来走势的方向及潜力。
把
人们常说的“盘感”用数学几何图形做出逻辑的诠释。
该定律有利于对大周期，大周期之间的结构关系展开全局性的认知。
对临界点的辨认
出存有极其准确的瞄准。
三角定律就是对趋势结构阐释的最为独到的理论之一。
等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
球面三角形 等边直角三角形
球面三角形等边直角三角形
球面三角形是指在球面上的三角形，它的边是由球面上的圆弧组成的。
球面三角形的性质和平面三角形有些许不同，例如角的和大于180度这个性质在球面三角形中不成立。
球面三角形的研究在航海、天文学和地理学等领域有着重要的应用。
而等边直角三角形是指三条边相等且有一个直角的三角形。
在传统的欧几里德几何中，等边直角三角形是不存在的，因为直角三角形的斜边要大于等于任意一条直角边。
然而在非欧几何中，如双曲几何和椭圆几何中，等边直角三角形是存在的，它们的性质和欧几里德几何中的三角形有所不同。
从数学角度来看，球面三角形和等边直角三角形都是几何学中的重要概念，它们有着复杂而丰富的性质，需要通过数学方法和推导来进行研究和探讨。
从实际应用角度来看，球面三角形的研究对于地图绘制、导航和天文学有着重要意义，而等边直角三角形的存在对于非欧几何的研究和理解具有重要意义。
总的来说，球面三角形和等边直角三角形都是几何学中的重要概念，在不同的数学体系和实际应用中都有着重要的地位和意义。
通过深入研究和探讨这些概念，可以丰富我们对几何学和实际应用的理解，推动数学和科学领域的发展。
第七讲球面三角形的边角关系
33
课堂小结
球面上的正弦定理和余弦定理：
sinA = sinB = sinC sina sinb sinc
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ， cosb=cosccosa+sincsinacosB ， cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
旧知回顾
定性研究和定量研究相结合是问题的 一般方法．前面几讲，我们对球面三角形 的边角关系进行了定性研究，得出了“两 边之和大于第三边”“大边对大角”“等 边对等角”等结论．
1
新课导入
我们知道，平面三角形的边角之 间存在定量的边角关系:正弦定理、余 弦定理．对于球面三角形，其边角之 间是否有类似平面三角形的正弦定理、 余弦定理这种定量关系呢？
cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
14
如果球的半径为r，那么从上图可知
BC=a=r∠BOC, AC=b=r∠AOC,AB=c=r∠AOB，
因此在推导过程中，分别用a／r , b／r ,c／r代替 a , b , c ，就得到半径为r的球面上的正弦定理与 余弦定理．
正弦定理
sinA sin a
DH⊥FG，垂足为H，则 DH∥OB，所以有 ∠DFH=∠BOC=a,且四边形DEGH是矩形．
12
所以 GE=DH=DFsin∠BOC=AFcosCsina
=sinbsinacosC . 因此 , cosc=cosacosb+sinasinbcosC . 同理 cosa=cosbcosc+sinbsinccosA .
（1） ab = -ba(反交换律).
（2） (λa)b = λ(ab) = a(λb) ,(λ R) .
球面三角学基本运算法则
2. 球面三Leabharlann 邊餘弦律（ 球面三角邊餘弦律（Cosine Formula for Side）
3. 球面三角角餘弦律（ 球面三角角餘弦律（Cosine Formula for Angle）
4. 球面三角半角公式（ 球面三角半角公式（Half-Angle Formula）
5. 球面三角半邊公式（ 球面三角半邊公式（Half-Sine Formula）
一、球面三角正弦律
) sin α sin β sin γ 於任意 ∆ ABC 中，恒有 = = 。 sin a sin b sin c
二、球面三角邊餘弦律
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α ) 於任意 ∆ ABC 中，恒有 cos b = cos a cos c + sin a sin c cos β 。 cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
sin( S − b) sin( S − c) sin S sin( S − a )
α
2
tan
α
2
=
其中 S =
α +β +γ
2
證明一：使用球三半邊公式和極對偶引理證之。( sin
α
2
= cos(
π −α
2
) = cos
a' ) 2
證明二：使用球三邊餘弦公式推導。
3
圖 1 球面三角學各公式之關係圖 註：* Polar Duality Theorem
以球三邊餘弦公式和極對偶引理証之。 證明：
四、球面三角半角公式
球面三角學半角公式如下：
sin a = 2 a = 2 a = 2 − cos S cos( S − α ) sin β sin γ cos( S − β ) cos( S − γ ) sin β sin γ − cos S cos( S − α ) cos( S − β ) cos( S − γ )
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所以,可以得到 ：
球面上的正弦定理 设单位球面上球面
△ABC的三个内角分别为∠A , ∠B , ∠C ，三 边长分别为 a , b , c ，则
sinA sinB sinC = = sina sinb sinc
继续考察图7-2，则OF=cosb,OE=cosc . 过点F作FG⊥OB于G点，则OE=OG+GE, OG=OFcosa=cosbcosa.过点D在平面OBC内作 DH⊥FG，垂足为H，则 DH∥OB，所以有
下面，我们首先看一下二面角A-OB-C 和二面角A-OC-B。如图7-2，过点A作 AD⊥平面OBC ，点D为垂足，再过D点分 别作DE⊥OB ，DF⊥OC，E、F为垂足， 连结AE、AF ．
因为DE是AE在平面OBC的射影， 且DE⊥OB ，所以OB⊥AE . 同理，OC⊥AF . 因此，∠DEA和∠DFA分别为二面角 A﹣OB﹣C和A﹣OC﹣B的平面角． 所以， ∠DEA=∠B , ∠DFA=∠C .
余弦定理
a b c b c cos = cos cos + sin sin cosA r r r r r b c a c a cos = cos cos + sin sin cosB r r r r r c a b a b cos = cos cos + sin sin cosC r r r r r
在Rt△ADE和Rt△ADF 中 ,因为
AD=AEsin∠DEA=OAsin∠AOBsinB
=sincsinB ,
AD=AFsin∠DFA=OAsin∠AOCsinC
=sinbsinC .
所以，
sincsinB=sinbsinC
即 同理
sinB sinC = sinb sinc
sinA sinC = sina sinc
在球上是否有类似于平面上的勾股定理？ 答案是肯定的，即存在类似于平面上的 勾股定理 ．
在球面△ABC中，若C=90°，称△ABC 为球面直角三角形．由球面上的余弦定理可 以得到球面直角三角形中三边之间的关 系．称为球面上的“勾股定理”．
球面上的“勾股定理” 设单位球面上球面△ABC的三个内角 分别为 ∠A ，∠B ，∠C ，其中一个内角 ∠C=90°，三边长分别为a, b, c ，则 cosc=cosacosb .
为方便类比，我们首先给出平面上的正弦
定理、余弦定理．
平面 ABC 如下图所示，
C b A c 图7-1 a B
则有
sinA sinB sinC 正弦定理： a = b = c ;
a2 = b2 + c2 - 2bccosA ,
余弦定理：
b2 = a2 + c2 - 2accosB ,
c2 = a2 + b2 - 2abcosC ,
也可以向量的坐标表示向量的向量积运算． 利用向量的向量积和数量积的坐标关系， 可以得到向量积和数量积之间的关系：
(a b) (c d) = (a c)(b d) - (a d)(b c) （*）
z
a×b c×d c×d a
d
c b
y
x
图7-4
给定向量a , b , c , d , 那么 a×b和c×d分别 是向量a , b 和向量c , d 所成平面的法向量 ,这
旧知回顾
定性研究和定量研究相结合是问题的
一般方法．前面几讲，我们对球面三角形
的边角关系进行了定性研究，得出了“两
边之和大于第三边”“大边对大角”“等
边对等角”等结论．
新课导入
我们知道，平面三角形的边角之 间存在定量的边角关系:正弦定理、余 弦定理．对于球面三角形，其边角之 间是否有类似平面三角形的正弦定理、 余弦定理这种定量关系呢？
似为平面上的正弦定理．
四
球面上余弦定理的应用——求地 球上两城市之间的距离
地球表面可以近似看作球面，那么
求地球上两地之间的距离就可以看成是求
球面上两点之间的距离．
1）、B 设单位球面上两点 A（1 ，
2），假设 C为北极，球面 ABC 的边 （ 2 ，
长分别为a, b, c ，由经度的定义可知球面
两个法向量所成的角与向量a , b 和向量 c , d 所成的平面二面角相等或互补，设这两 个平面所成的二面角是 ，则
(a b) (c d) = a b c d cosθ
2. 球面上余弦定理的向量证明法 如图7-5 ，设单位球面上，
C c a
球面 ABC的三边长分别为
a, b, c ，且它们满足： OA = a , OB = b , OC = c ，则
sinA sinB sinC = = ; a b c sinA sinB sinC = = . sina sinb sinc
从形式上看两个分式中，对应项的分
子相同，分母不同，一个是边长，一个是 边长的正弦值．在什么情况下，边长的正 弦值可以近似于边长的值呢？
如果弧度数越小，单位圆中的正弦线 长与相应的弧长就非常接近，即当a, b, c 很小时，有 sin a a ,sin b b ,sin c c . ，这时 球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦 定理． 这说明，当球面三角形的边长相对于 球的半径很小时，球面上的正弦定理就近
于是，得到： 球面上的余弦定理 上球面 ABC 则 设单位球面
的三个内角分别为∠A ,
∠B , ∠C ，三边长分别为 a , b , c ， cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ， cosb=cosccosa+sincsinacosB ， cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
设单位球面上球面△ABC的三个内角
分别为 ∠A ，∠B ，∠C ，其中一个内角
∠C=90°，三边长分别为a, b, c ，则
cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa , cosB = -cosCcosA + sinCsinAcosb , cosC = -cosAcosB + sinAsinBcosc .
如果球的半径为r，那么从上图可知 BC=a=r∠BOC, AC=b=r∠AOC,AB=c=r∠AOB， 因此在推导过程中，分别用a／r , b／r ,c／r代替
a , b , c ，就得到半径为r的球面上的正弦定理与
余弦定理．
sinA sinB sinC = = 正弦定理 a b c； sin sin sin r r r
余弦定理的另一种表达式
二、用向量方法证明球面上的余弦定理
1. 向量的向量积 为了证明球面上的余弦定理，引入 一种新的运算——向量积．
a b ×b 图 7-3
设向量a、b的夹角为 ，把大小为 a b sinθ ，
方向垂直于a和b，且与a和b构成右手系的向量，
叫做a和b的向量积．
记作a×b ，大小表示为 a b
b c
B
图7-5
(a b) (a c) = a b a c cosA = ( a b sinc)( a c sinb)cosA = sinbsinccosA
又因为
(a b) (a c) = (a a)(b c) - (a c)(b a) = cosa - cosbcosc
∠DFH=∠BOC=a,且四边形DEGH是矩形．
所以 GE=DH=DFsin∠BOC=AFcosCsina =sinbsinacosC .
因此 , cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
同理 cosa=cosbcosc+sinbsinccosA .
cosb=cosacosc+sinasinccosB .
所以
cosa = cosbcosc + sinbsinccosA
.
同理
cosb = cosacosc + sinasinccosB .
cosc = cosacosb + sinasinbcosC .
这就得到球面上的余弦定理． 类似的方法可以证明正弦定理．
三 从球面上的正弦定理看球面与平面
观察平面上与球面上的正弦定理
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ， cosb=cosccosa+sincsinacosB ， cosc=cosacosb+sinasinbcosC .
容易验证，向量积满足以下的运算律：
（1） a b = -b a (反交换律).
（2） (λa) b = λ(a b) = a (λb) ,(λ R) . （3） a (b + c) = a b + a c (分配律).
我们知道，在空间直角坐标系中，可以
用向量的坐标表示向量的数量积运算，同样
角
ACB = β1 - β2
，再由球面上的余弦定理得：
距离 c = arccos[sinα1sinα2 + cosα1cosα2cosβ2 - β1 ] . 若半径为R ，则两点之间的距离为Rc .
课堂小结
球面上的正弦定理和余弦定理：
sinA sinB sinC = = sina sinb sinc
如图7-2，单位球面上球面△ABC的边 长分别为a，b，c ，则 a=BC=∠BOC（弧 度）， a=BC=∠BOC（弧度）， a=BC=∠BOC（弧度），球面△ABC的三 个内角分别为∠A，∠B，∠C，根据球面 角的定义可知，∠A，∠B，∠C，分别等 于二面角C-OA-B，A-OB-C，A-OC-B的大 小．