第六讲：二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示

齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
的点，但是此处是用来表示二维
空间的点。这两种表示之间具有
以下联系：如果取所有代表同一
点的三元组，即所有形式为
(tx,ty,W)的三元组（其中t≠0），
便可得到三维空间中的一条直线，
因此，每一个齐次点就代表了三
维空间中的一条直线。又由于我
们可以将一点的坐标齐次化（通
本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换，其 中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其 重要。 许多应用程序或图形子程序软件包需要用到各种变换，例如：一个 城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到合适 的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图 符的大小。一般来说，很多应用程序在绘图时都要用到几何变换来 改变物体（也称为图符或模板）的位置、方向和大小。本讲还介绍 如何应用三维变换(旋转变换、平移变换和比例变换)作为创建三维 物体的二维显示过程的一部分。
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
单位正方体
方体在x方向上错切
正方体在y方向上错切
对单位正方体进行简单的错切变换， 每一种变换情况，斜边的长度都超过了1。
二维的错切变换分为两种：沿x轴的错切变换和沿y轴的错切变换。上图 示出了沿两个轴错切一个单位正方体的效果。
沿x轴的错 切变换矩阵
SHx
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沿y轴的 错切矩阵
Shy
其 中 a、b 是 比 例 常 量 。 注 意 ：
3）如果将每个向量所指的方向旋转R(θ)，那么
这些方向量便可位于正x轴、y轴方向上，
即:
前两个特点也适用于该2×2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个
方向量就是沿x轴和y轴正方向的向量(i,j,k)经矩阵R变换后而得到的.
因此，当已知旋转变换的结果时，这些特点便
0
sin
为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。
1
cos
具有这些特性的矩阵称为特殊正交阵。
0
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刚体变换仿射变换
对于形如：
特殊 正交阵
单位正方体
旋转45度
在x轴方向拉伸
的变换矩阵，若其左上角的主子式是 正交的，那么该矩阵变换保角保长。 也就是说，一个单位的正方形经该矩 阵变换后仍然是一个单位的正方形，
上 图 是 单位正方体先旋转45度，再进行不 均匀的比例变换，结果是单位立方体的仿
坐标不唯一。要求齐次坐标中至少有一个不为零， 即(0,0,0)是不允许的。如果坐标W不为零，那么我 们可以用它作为除数：由(x,y,W)得到(x/W,y/W,1)， 它们代表同一点。一般来说，当W不为零时，我们 采用W为1的坐标，并将x/W和y/W称为齐次点 (x,y,W)的笛卡儿坐标。而W=0的点被称为无穷远点 ，在这里我们不讨论此类点。
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二维及三维空间的变换概念、矩阵表示、三维视图
二维、三维空间的变换概念及其矩阵表示
• 几何变换
– 二维变换 – 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 – 二维变换的复合 – 窗口到视口的变换 – 效率问题 – 三维变换的矩阵表示 – 三维变换的复合 – 坐标系的变换
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几何变换
SHx[x y 1]T=[x+ay y 1] T，表示在 x方向上的比例变化是y的函数。
SHy[x y 1]T=[x bx+y 1] T表示在y 方向上的比例变化是x的函数。
二维变换的复合(例一）
(x1,y1)
(x1,y1)
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
旋转变换
比例变换
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两个连续的旋转变换是可叠加的证 明留作习题。
特殊正交阵
（special orthogonal）
左上角有个2×2的子矩阵，我们可以将其中的每
一行看作是一个行向量。这两个行向量有以下几
个特点：
1）每个都是单位向量。
特殊
2）每两个向量之间相互垂直（它们的点积为零
正交阵
）。
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二维变换
平移变换 x=x+dx , dx = x-x y=y+dy , dy= y-y
P=P+T
比例变换矩阵
x=sx x y= sy y
旋转变换矩阵
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P=R•P
变换前
一座房子的平移 变换.
变换后
比例变换前
比例变换后
房子的比例变换。两个 方向上的变换比例不同 ，并且房子改变了位置 。
正方体旋转45度然后进行不均匀的比例变换。很明显，正方体的角度和长度都
发生了变化，但那些原来平行的线仍保持平行，再继续进行旋转、比例和平移变
换也不会改变线的平行性，R(θ)、S(sx,sy)和T(dx,dy)都是仿射变换。 R(θ)、 T(dx,dy)也是刚体变换保长保角。
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错切变换（一种仿射变换）
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
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二维变换的矩阵表示
平移变换
旋转之前
旋转之后
房子的旋转变 换，旋转的同 时也改变了位 置。
旋转矩阵的推导
小结
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r
正向旋转
r
其中:
齐次坐标系和二维变换的矩阵表示
齐次坐标表示
平移矩阵 平移变换
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P=T+P P=S•P P=R•P
希望能用一种一致的方法来表示这三种变换。
将（x,y)附加第三个坐标，于是每个点的坐标都用 一个三元组(x,y,W)来表示，称为点（x，y)的齐次 坐标。在齐次坐标系中，我们认为两组齐次坐标 (x,y,W)和(x,y,W)代表同一点当且仅当(x,y,W)与 (x,y,W)互为倍数，因此(2,3,6)和(4,6,12)是用不同 的三元组坐标表示的同一点。也就是说每个点齐次