第六讲：二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示
三维空间几何坐标变换矩阵PPT教案
坐标变换的构造方法:
与二维的情况相同，为将物体的坐标描述从一个系统 转换为另一个系统，我们需要构造一个变换矩阵，它 能使两个坐标系统重叠。具体过程分为两步： （1）平移坐标系统oxyz，使它的坐标原点与新坐标系 统的原点重合； （2）进行一些旋转变换，使两坐标系的坐标轴重叠。
有多种计算坐标变换的方法，下面我们介绍一种简单 的方法。
0 0
1 sx x f
sy
0
1 sy y f
0
sz
1 sz z f
0
0 1
第4页/共27页
3. 绕坐标轴的旋转变换
三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变 换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转 轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴， 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变 换矩阵。
x
z 第二步，利用单位坐标向量构造坐标旋转矩阵
ux1 uy1 uz1 0
R ux2 uy2 uz2 0
ux3 uy3 uz3 0
0
0
0 1
第24页/共27页
该矩阵R将单位向量 ux uy uz 分别变换到x,y和z 轴。 综合以上两步，从oxyz到o’x’y’z’的坐标变换的矩阵为
T x0, y0,z0 R ，也即坐标变换公式为：
首先， 平移坐标系xyz，使其原点与新坐标系x’y’z’ 的原点（x0,y0,z0）重第合23；页/共27页
平移矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1
0 0
0 0 1 0
x0 y0 z0 1
y
y’
y
uy
•(x,y,z)
六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示-精品
旋转之前
旋转之后
房子的旋转变 换，旋转的同 时也改变了位 置。
旋转矩阵的推导
小结
2020/7/31
r
正向旋转
r
其中:
齐次坐标系和二维变换的矩阵表示
齐次坐标表示
平移矩阵 平移变换
2020/7/31
P=T+P P=S•P P=R•P
希望能用一种一致的方法来表示这三种变换。
将（x,y)附加第三个坐标，于是每个点的坐标都用 一个三元组(x,y,W)来表示，称为点（x，y)的齐次 坐标。在齐次坐标系中，我们认为两组齐次坐标 (x,y,W)和(x,y,W)代表同一点当且仅当(x,y,W)与 (x,y,W)互为倍数，因此(2,3,6)和(4,6,12)是用不同 的三元组坐标表示的同一点。也就是说每个点齐次
坐标不唯一。要求齐次坐标中至少有一个不为零， 即(0,0,0)是不允许的。如果坐标W不为零，那么我 们可以用它作为除数：由(x,y,W)得到(x/W,y/W,1)， 它们代表同一点。一般来说，当W不为零时，我们 采用W为1的坐标，并将x/W和y/W称为齐次点 (x,y,W)的笛卡儿坐标。而W=0的点被称为无穷远点 ，在这里我们不讨论此类点。
SHx[x y 1]T=[x+ay y 1] T，表示在 x方向上的比例变化是y的函数。
SHy[x y 1]T=[x bx+y 1] T表示在y 方向上的比例变化是x的函数。
二维变换的复合(例一）
(x1,y1)
(x1,y1)
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
几何变换与变换矩阵
几何变换与变换矩阵几何变换是计算机图形学中常用的一种技术，用于对二维或三维图形进行平移、旋转、缩放和剪切等操作。
这些操作可以通过变换矩阵来描述和计算。
本文将介绍几何变换的基本概念及其与变换矩阵的关系。
一、几何变换的基本概念1. 平移变换平移变换是将图形沿着指定的方向移动一定的距离。
在二维空间中，平移变换可以通过在原始坐标上加上一个向量来实现。
例如，将原始坐标(x, y)进行平移变换得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，dx和dy分别为在x和y方向上的平移距离。
2. 旋转变换旋转变换是将图形绕指定的点或轴旋转一定的角度。
在二维空间中，旋转变换可以通过将原始坐标(x, y)绕着指定点(xc, yc)逆时针旋转θ角度得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = (x - xc) * cosθ - (y - yc) * sinθ + xcy' = (x - xc) * sinθ + (y - yc) * cosθ + yc其中，(xc, yc)为旋转中心点，θ为旋转角度。
3. 缩放变换缩放变换是将图形沿着指定的方向进行放大或缩小。
在二维空间中，缩放变换可以通过将原始坐标(x, y)分别乘以指定的缩放因子sx和sy得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，sx和sy分别为在x和y方向上的缩放因子。
4. 剪切变换剪切变换是将图形沿着指定的方向进行截取或拉伸。
在二维空间中，剪切变换可以通过将原始坐标(x, y)进行线性变换得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x + kx * yy' = y + ky * x其中，kx和ky分别为在x和y方向上的剪切因子。
二、变换矩阵的基本概念与计算方法变换矩阵是一种矩阵表示方法，用于描述几何变换的转换规则。
线性映射与线性变换
所以(1, 2, 3)= ((1, 2, 3 )P)= (1, 2, 3 )P = (1, 2, 3 )AP
因而，
5 0 5
AP 0 1 1
3 6 9
5 0 5
5 2020
A0
3
1 6
91P17 1( 247 158
2) 24
（2）求在1, 2, 3下的矩阵.
设在1, 2, 3下的矩阵为B，则B=P-1AP
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0
(
1
,
2
,
3
)
( 1
,
2
,
3
)
0 1
1 1
0 0
线性变换在不同基下的矩阵表示
定理2 设T是n维线性空间V的线性变换，1,2, ,n和
1,2,,n 是V的两组基,由 1,2, ,n到 1,2,,n 的过
渡矩阵是P ，T在基 1,2, ,n与基 1,2,,n 下的矩阵
则D在基1，x, … xn-1与1，2x, … (n-1)xn-2下的矩阵为
0 0
100 0 10
0 0
D=
0
0
01
0
(
n1)n
说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同
定理8 设A是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射，
1, 2,… n 和1,2,,n 是 V1 的 两 组 基 , 由 1, 2,… n 到 1,2,,n 的过渡矩阵是Q ，1,2,,m和 1,2,,m 是V2的两组基。由 1,2,,m到1,2,,m 的过渡矩阵是
线性变换的矩阵
设1,2,…,n为数域P上线性空间V的一组基，
T为V上的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
三维空间几何坐标变换矩阵课件
目录
• 三维空间几何坐标变换矩阵概述 • 三维空间几何坐标变换矩阵的构建 • 三维空间几何坐标变换矩阵的实现 • 三维空间几何坐标变换矩阵的优化 • 三维空间几何坐标变换矩阵的案例分析
01
三维空间几何坐标变换 矩阵概述
定义与性质
定义
坐标变换矩阵是用于描述三维空 间中点或向量在不同坐标系之间 转换关系的矩阵。
减少计算量优化
矩阵分解
将复杂的坐标变换矩阵分解为多个简 单的矩阵，降低计算复杂度。
避免重复计算
在坐标变换过程中，避免重复计算相 同的结果，利用存储机制保存中间结采用高精度的算法和数据类型，以减小计算过程中的误差。
迭代优化
通过迭代的方式逐步逼近精确值，提高坐标变换的精度。
减少内存占用优化
压缩存储
对变换矩阵进行压缩存储，减少内存占用。
动态内存分配
根据实际需要动态分配内存，避免不必要的内存浪费。
05
三维空间几何坐标变换 矩阵的案例分析
平移变换矩阵案例分析
平移变换矩阵
将三维空间中的点沿某一方向移动一定距离。
案例
将点A(1,2,3)沿x轴平移2个单位，得到点B的坐标为(3,2,3)。
使用数学软件实现坐标变换矩阵
数学软件如MATLAB、Octave等 提供了强大的矩阵计算功能，可 以进行复杂的数学运算和矩阵操
作。
使用数学软件可以实现复杂的坐 标变换矩阵，并进行精确的计算
和分析。
数学软件还提供了可视化的功能， 可以方便地展示三维坐标变换的
效果。
04
三维空间几何坐标变换 矩阵的优化
02
三维空间几何坐标变换 矩阵的构建
平移变换矩阵
三维变换矩阵
三维变换矩阵
3D变换矩阵，也称作三维变换矩阵，是一种用来描述三维空间中的坐标变换的数学技术。
它允许某一复杂的坐标变换来从一个三维空间位置转换到另一个三维空间位置。
3D变换矩阵可以用于实现平移、旋转和缩放操作。
3D变换矩阵通常由一个4×4的数组表示，其中每个元素是相应的坐标变换的系数。
数组的前三行表示的是旋转、缩放及位移的系数，最后一行是三维空间的常量。
基于此，
可以表示为M=
[r1,r2,r3,t]
其中，
ri=(i,j,k)T ，i=1,2,3
t=(x,y,z,1)T
r1=(cosqx,cosqy,cosqz,0)T
这里， qx, qy, qz 代表旋转轴极坐标系中的三个分量，t(x,y,z) 表示坐标空间中
的三维位置偏移量，1表示三维空间中的常量。
旋转矩阵可以通过类似下面的数学形式来表达：
Rx(qx)=
[1,0,0,
0, cosqx, -sinqx,
其中，Rx表示绕x轴旋转qx弧度，cosqx和sinqx表示其中的余弦和正弦函数的值。
同样的操作行可以用于Ry(qy)和Rz(qz)矩阵，其中qy和qz是绕y轴和z轴旋转的弧度。
可以从上面的是就可以看出，一个3D变换矩阵的形式会由一系列绕着不同轴的旋转
量和一个位移量组成，可以用来将一个任意位置的三维坐标转换到另一个任意位置。
由于
3D变换矩阵是一个4×4的矩阵，它可以用来处理很多类型的变换操作，比如缩放、旋转、平移和投影等。
因此，3D变换矩阵已经成为三维计算机图形学的一个重要组成部分，用于描述任意的三维空间变换。
机器人学变换矩阵-概述说明以及解释
机器人学变换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述机器人学是研究机器人的机械结构、运动规划、感知与控制等方面的学科。
作为人工智能和自动化领域的重要分支，机器人学在工业、医疗、农业、航空航天等领域有着广泛的应用。
本文旨在介绍机器人学中的一个重要概念——变换矩阵。
变换矩阵能够描述机器人在三维空间中的位置和姿态，是机器人学中的核心概念之一。
通过对变换矩阵的研究，可以帮助我们更好地理解机器人的运动规划、姿态表示以及感知与控制等问题。
在本文中，我们将从机器人学基础开始，介绍机器人学的概述和机器人的运动学知识。
然后，我们将详细讨论变换矩阵的应用，包括机器人姿态表示、运动规划以及感知与控制等方面。
最后，我们将介绍变换矩阵的计算方法，包括坐标系变换、旋转矩阵与平移矩阵以及变换矩阵的乘法与逆矩阵等内容。
通过本文的阅读，读者将能够了解机器人学中的变换矩阵的概念、应用和计算方法。
同时，我们也将对变换矩阵的未来发展进行展望，并总结本文的内容。
机器人学的研究对于推动自动化技术的发展具有重要的意义，希望本文能够为读者对机器人学的研究和应用提供一定的帮助和启示。
*（请注意，以上内容仅为示例，具体内容需要根据文章内容和结构进行编写）*文章结构是指文章按照一定的组织方式和逻辑顺序来呈现内容的方式。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 机器人学基础2.1.1 机器人学概述2.1.2 机器人运动学2.1.3 机器人学中的变换矩阵2.2 变换矩阵的应用2.2.1 机器人姿态表示2.2.2 机器人运动规划2.2.3 机器人感知与控制2.3 变换矩阵的计算方法2.3.1 坐标系变换2.3.2 旋转矩阵与平移矩阵2.3.3 变换矩阵的乘法与逆矩阵3. 结论3.1 总结3.2 对变换矩阵的展望3.3 结束语本文的结构按照从前到后的逻辑顺序组织，首先通过引言部分引入了文章的背景和目的，然后在正文部分逐步介绍了机器人学的基础知识、变换矩阵的应用以及计算方法，最后在结论部分进行总结，并对变换矩阵的未来发展进行展望，并以结束语作为文章的结尾。
大一线性代数知识点概述
大一线性代数知识点概述线性代数是大一学习数学的一个重要领域，它主要研究向量空间、线性映射和矩阵等代数结构及其相互关系。
在大一学习线性代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和概念，本文将对这些知识点进行概述。
一、向量及其运算向量是线性代数中最基本的概念之一。
在大一线性代数中，我们主要学习二维和三维向量。
二维向量通常表示为(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
三维向量通常表示为(a,b,c)，其中a、b和c分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的加法和数乘运算是学习线性代数时必须掌握的基本运算。
二、矩阵及其运算矩阵也是线性代数中的重要概念。
矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，在大一线性代数中，我们主要学习二维矩阵。
矩阵的加法、数乘和乘法是线性代数中常用的运算。
特别地，矩阵乘法是矩阵运算中最重要的一种运算，掌握好矩阵乘法的规则对于理解线性代数的许多概念和理论具有重要意义。
三、行列式行列式是线性代数中一种重要的数学工具，用于求解线性方程组的解以及判断矩阵的可逆性。
在大一线性代数中，我们主要学习二阶和三阶行列式的计算。
行列式的计算方法有多种，例如拉普拉斯展开、三角形形式等，理解和掌握这些计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
四、向量空间向量空间是线性代数中一个基本的概念，它是由若干个向量组成的集合，并满足一定的条件。
在大一线性代数中，我们需要学习如何判断一个向量集合是否构成一个向量空间，以及如何求解向量空间的基、维数等问题。
了解向量空间的概念和性质有助于我们进一步学习线性代数的高级内容。
五、线性变换和特征值线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是一个向量空间到另一个向量空间的映射。
在大一线性代数中，我们主要关注二维和三维空间中的线性变换。
线性变换的矩阵表示和线性变换的性质是学习线性代数中的重要内容。
特征值和特征向量是线性代数中另一个重要的概念，它们在矩阵对角化和求解差分方程等问题中具有重要的应用。
培养空间思维二维和三维形的转换
培养空间思维二维和三维形的转换培养空间思维——二维和三维形的转换空间思维是指人们在感知、理解和操作物体与空间时所使用的心智能力。
其中，二维和三维形的转换是空间思维中的重要环节。
在现实生活中，人们经常需要通过观察和操作物体来进行二维和三维形的转换，并将其应用于各种领域，如建筑设计、机械制图、艺术创作等。
因此，培养空间思维中的二维和三维形的转换能力对个人的发展具有重要意义。
一、理解二维和三维形的概念在进行二维和三维形的转换之前，首先需要明确二维和三维形的概念。
简单来说，二维形是指仅包含长度和宽度两个方向的平面形态，如平面上的几何图形；而三维形则在长度、宽度和高度三个方面具有形态特征，如立体图形和物体。
二、从二维形到三维形的转换将二维形转换为三维形是一项常见的任务。
例如，在建筑设计中，需要将平面图纸上的二维形态转化为实际的建筑物，这就要求设计师具备良好的二维到三维形的转换能力。
在这个过程中，可以通过以下几个步骤来完成：1. 理解平面图形的结构：首先要对平面图形进行仔细观察和分析，理解其结构和特点。
检查图形上的标记和尺寸，明确各个元素之间的关系。
2. 空间想象力的培养：通过模拟和想象将平面图形从纸上拆解，然后组合成立体形状。
这需要发展自己的空间思维能力和想象力，逐渐形成对空间布局的感觉。
3. 建立模型：为了更好地理解和操作二维到三维形的转换，可以使用纸张或者其他材料制作模型，直观地展示平面图形在三维空间中的形态。
4. 动手实践：在具备一定空间思维能力和理解的基础上，通过实际操纵物体，将平面图形转换为立体形状。
这个过程需要掌握一些工具和技能，如测量、剪切、粘贴等。
通过反复练习和不断的实践，将能够较快地完成从二维到三维形的转换，提高自己的空间思维能力。
三、从三维形到二维形的转换与从二维到三维形的转换相反，将三维形转换为二维形也是一个常见的任务。
在机械制图、艺术创作等领域中，通过将立体物体映射到平面上来表达其形态和结构。
维空间几何坐标变换矩阵
03
旋转过程
将二维图形的每个顶点坐标与旋转矩阵相乘，得到旋转后的新坐标。
缩放变换
缩放矩阵
用于将二维图形在x轴和y轴方向上进行缩放。
缩放公式
$S = begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 0 & s_y & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$，其中$s_x$和$s_y$分别为沿x轴和y轴的缩放因子。
缩放过程
将二维图形的每个顶点坐标与缩放矩阵相乘，得到缩放后的新坐标。
2023
PART 04
三维空间中的几何坐标变 换
REPORTING
平移变换
01
02
03
平移向量
表示空间中一个点沿着某 个方向移动的距离。
平移矩阵
用于实现三维空间中点的 平移变换，通常是一个 4x4的矩阵。
平移变换公式
通过平移矩阵与点的齐次 坐标相乘，得到平移后的 点坐标。
缩放矩阵
用于实现三维空间中点的缩放变换， 通常是一个3x3的矩阵。
2023
PART 05
几何坐标变换矩阵的应用
REPORTING
计算机图形学中的应用
三维图形变换
01
通过几何坐标变换矩阵，可以实现三维图形的平移、旋转、缩
放等变换，从而生成复杂的动画和视觉效果。
视图变换和投影
02
在计算机图形学中，几何坐标变换矩阵被用于将三维场景投影
旋转变换
旋转轴和旋转角
确定旋转的轴线和旋转的 角度。
旋转矩阵
用于实现三维空间中点绕 某轴的旋转变换，通常是 一个3x3的矩阵。
旋转变换公式
通过旋转矩阵与点的坐标 相乘，得到旋转后的点坐 标。
计算机图形学二维图形变换
变换矩阵为：
sx 0 (1 sx ) xr
T复合
0
sy
(1
s
y
)
xy
0 0
1
绕任意点 (x0 , y0 ) 旋转 角
变换步骤：
将旋转中心平移到坐标原点； 绕坐标原点旋转 ； 将旋转中心移回到 (x0 , y0 ) 。
两矩阵相乘
void matrix3x3PreMultiply(Matrix3x3 a,Matrix3x3 b) {
int i,j,k; Matrix3x3 tmp;
for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) { tmp[i][j]=0; for(k=0;k<3;k++) tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; }
for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) a[i][j]=tmp[i][j];
}
顶点序列变换
void transformPoints() {
int i,j,k;
for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<3;j++) { pt[i][j]=0; for(k=0;k<3;k++) pt[i][j]+=point[i][k]*theMatrix[k][j]; }
0 0 1
关于y轴的对称变换
1 0 0
SYy
三维空间几何坐标变换矩阵
1 0
0 0
x y z1 x y z 10 cos sin 0
0 sin cos 0
0. 0
0 1
(3) 绕y轴正向旋转 角，y坐标值不变，z、x的坐标相当 于在zox平面内作正 角旋转，于是
cos 0 sin 0
z y x1 z y x 1
0
1 0 0
sin 0 cos 0
0
.
3. 绕坐标轴的旋转变换
三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变 换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转 轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴， 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变 换矩阵。
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。
b2 c2
b2 c2
因此，
1
0
Rx
0
0
0 c
b2 c2 b
b2 c2 0
0 0
b
b2 c2 c
0
0
b2 c2
0
1
V VRx a,0, b2 c2
.
类似地，可以求出:
sin
a
, cos b2 c2
a2 b2 c2
a2 b2 c2
b2 c2
0
a2 b2 c2
.
坐标变换的构造方法:
与二维的情况相同，为将物体的坐标描述从一个系统转 换为另一个系统，我们需要构造一个变换矩阵，它能使 两个坐标系统重叠。具体过程分为两步： （1）平移坐标系统oxyz，使它的坐标原点与新坐标系 统的原点重合； （2）进行一些旋转变换，使两坐标系的坐标轴重叠。
二维图形几何变换三维图形几何变换参数图形几何变换
x = x + Ｔx y = y + Ｔy
( x, y)
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 一、基本变换 ⒉ 旋转(Rotation) 点(x, y)围绕原点逆时针转 动一个角度，
y (x’, y’)
( x, y)
x = x cos y sin y = y cos + x sin
newx = xxr newy = yyr
newx = newx cos newy sin newy = newy cos + newx sin x = newx + y = newy +
f
x
x = xr+(xxr)cos (yyr)sin y = yr+(yyr)cos +(xxr)sin
0 0 1
3.1.3 参数图形几何变换 (续) ⒉ 参数曲线、曲面的几何变换
若指定一个平移矢量t，对曲线平移t，即对曲线上的每一点P都 平移t。对平移后的点P*有 P* = P+t 对于参数曲线和曲面的几何系数矩阵B和代数系数矩阵A，可以直 接实现平移变换，即有 B* = B+T，T = ［t t 0 0］T B*是经平移后参数曲线的几何系数矩阵，变换结果如图所示。
Sx 0 0 0 S 0 x y 1 x y 1 y 0 0 1
简记为p=pS(Sx, Sy)，其中(Sx, Sy)表示变化矩阵。
(3.3)
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 三、级联变换(Composite Transformation)
⒉ 旋转的矩阵运算表示为
cos sin 0 sin cos 0 x y 1 x y 1 0 1 0
二维矩阵变换
二维矩阵变换可以理解为对二维空间中的点或形状进行旋转、缩放、平移等操作。
这些变换都可以通过对应的矩阵乘法来实现。
比如，一个2D旋转矩阵可以表示为：
[cos(theta) -sin(theta)
sin(theta) cos(theta)]其中theta是旋转的角度。
平移变换可以通过矩阵相加来实现，比如要把一个点向左移动x 单位，向上移动y单位，可以构造以下矩阵：
[1 0 -x
0 1 -y]
同样，缩放操作可以通过乘以一个特定的比例因子来实现。
比如要将一个点放大2倍，可以乘以以下矩阵：
[2 0 0
0 2 0]
以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍获取更全面和准确的信息。
三维剖切线 二维坐标 变换矩阵
三元段线双元坐标变形矩阵
在计算机图形学和计算机辅助设计领域，三维段线，二维坐标，变换矩阵的概念至关重要。
要在二维空间中操纵和可视化三维物体，理解这些概念是必不可少的。
三维路段线是工程和建筑中用来代表通过3D对象的切口，以可视化其内部结构的概念。
这常用于建筑物的设计和建造，建筑师和工程师需要了解一个结构的内部布局。
通过定义一段线和切换3D模型，它们可以直观地看到内部组件，并计划安装管道和电气系统等公用事业。
另二维坐标被用来代表点在二维空间中的位置。
在计算机图形学中，这些坐标常用于定义像素在显示器或2D形状的顶点上的位置。
坐标一般以（x，y）对表示，其中x代表水平位置，y代表垂直位置。
理解二维坐标对于渲染二维图形和进行翻译，旋转，缩放等几何转换至关重要。
变换矩阵是一种数学工具，用于在2D和3D两个空间的点和形状上进行各种操作。
此矩阵可用于进行翻译，旋转，缩放，剪切等转换。
在计算机图形中，变换矩阵对于变换和操纵屏幕上的物体至关重要。
它们在计算机辅助设计（CAD）软件中也被用于操纵3D模型，并从不同角度对其进行可视化。
使用这些概念的一个现实世界实例是电子游戏开发领域。
在设计3D
电子游戏时，开发者需要定义三维对象及其内部结构，以及用于在屏
幕上渲染游戏的2D坐标。
他们还需要使用变换矩阵来操纵这些对象
以应对用户的相互作用，并创造现实的动画和效果。
三维路段线，二维坐标，变换矩阵等概念在工程，架构，计算机图形，电子游戏开发等领域至关重要。
了解和掌握这些概念对这些领域的专
业人员至关重要，以便创造准确和有视觉吸引力的设计和模拟。
二维三维图形的变换原理和算法
Y
Y
错切变换
– 沿 y 向错切变换结果：
x* = x y* = y + a2x
图6-7
– 从以上结果可以看到：
• 当a2 > 0时,沿 y 轴正向
错切。
X
(b)
•
当沿a2x方< 0向时错，切沿
y
轴负向
比例变换
比例变换
– 对 p 点相对 于坐标原点 沿 x 方向放 缩 a1 倍，沿 y 方向放缩 b2 倍。其中 a1 和 b2 称为 缩放因子。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
图6-2 a1比= 2例，b变2 =换3 (Sx=2,Sy=3
比例变换
比例变换
– 因此，比例变换是让点的 x , y 坐标各乘以一 个比例因子，其变换公式为：
既然图形的几何变换仅和点的位置变化有关， 所以，我们首先要讨论一个点在空间的位置及 其变化。
– 在二维空间中，可用一对坐标值（x，y）来表示平面 上的一点，或者说可以用一个向量［x y］来标定一 个点的位置。
– 在三维空间中则用（x，y，z）表示空间一点，也可 以用向量［x y z］来标定一个点的位置。
图形变换的基本原理
从图形上来看，两种表示方法是没有实质性差别 的。但却为后面矩阵运算的实现提供了可行性和 方便。
Z Z=1
Y X
图形变换的基本原理
这种用三维的向量来表示一个二维向量， 进一步推广来说，用一个 n+1维的向量来 表示 n 维向量的方法，叫做齐次坐标表示 法。（注意，增加的一维是常数 １）
图形变换的基本原理 二维图形的变换 三维图形的变换 三维投影变换 任意视点透视变换
二维图形的变换
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齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
的点，但是此处是用来表示二维
空间的点。这两种表示之间具有
以下联系：如果取所有代表同一
点的三元组，即所有形式为
(tx,ty,W)的三元组（其中t≠0），
便可得到三维空间中的一条直线，
因此，每一个齐次点就代表了三
维空间中的一条直线。又由于我
们可以将一点的坐标齐次化（通
本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换，其 中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其 重要。 许多应用程序或图形子程序软件包需要用到各种变换，例如：一个 城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到合适 的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图 符的大小。一般来说，很多应用程序在绘图时都要用到几何变换来 改变物体（也称为图符或模板）的位置、方向和大小。本讲还介绍 如何应用三维变换(旋转变换、平移变换和比例变换)作为创建三维 物体的二维显示过程的一部分。
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
单位正方体
方体在x方向上错切
正方体在y方向上错切
对单位正方体进行简单的错切变换， 每一种变换情况，斜边的长度都超过了1。
二维的错切变换分为两种：沿x轴的错切变换和沿y轴的错切变换。上图 示出了沿两个轴错切一个单位正方体的效果。
沿x轴的错 切变换矩阵
SHx
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沿y轴的 错切矩阵
Shy
其 中 a、b 是 比 例 常 量 。 注 意 ：
3）如果将每个向量所指的方向旋转R(θ)，那么
这些方向量便可位于正x轴、y轴方向上，
即:
前两个特点也适用于该2×2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个
方向量就是沿x轴和y轴正方向的向量(i,j,k)经矩阵R变换后而得到的.
因此，当已知旋转变换的结果时，这些特点便
0
sin
为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。
1
cos
具有这些特性的矩阵称为特殊正交阵。
0
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刚体变换仿射变换
对于形如：
特殊 正交阵
单位正方体
旋转45度
在x轴方向拉伸
的变换矩阵，若其左上角的主子式是 正交的，那么该矩阵变换保角保长。 也就是说，一个单位的正方形经该矩 阵变换后仍然是一个单位的正方形，
上 图 是 单位正方体先旋转45度，再进行不 均匀的比例变换，结果是单位立方体的仿
坐标不唯一。要求齐次坐标中至少有一个不为零， 即(0,0,0)是不允许的。如果坐标W不为零，那么我 们可以用它作为除数：由(x,y,W)得到(x/W,y/W,1)， 它们代表同一点。一般来说，当W不为零时，我们 采用W为1的坐标，并将x/W和y/W称为齐次点 (x,y,W)的笛卡儿坐标。而W=0的点被称为无穷远点 ，在这里我们不讨论此类点。
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二维及三维空间的变换概念、矩阵表示、三维视图
二维、三维空间的变换概念及其矩阵表示
• 几何变换
– 二维变换 – 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 – 二维变换的复合 – 窗口到视口的变换 – 效率问题 – 三维变换的矩阵表示 – 三维变换的复合 – 坐标系的变换
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几何变换
SHx[x y 1]T=[x+ay y 1] T，表示在 x方向上的比例变化是y的函数。
SHy[x y 1]T=[x bx+y 1] T表示在y 方向上的比例变化是x的函数。
二维变换的复合(例一）
(x1,y1)
(x1,y1)
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
旋转变换
比例变换
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两个连续的旋转变换是可叠加的证 明留作习题。
特殊正交阵
（special orthogonal）
左上角有个2×2的子矩阵，我们可以将其中的每
一行看作是一个行向量。这两个行向量有以下几
个特点：
1）每个都是单位向量。
特殊
2）每两个向量之间相互垂直（它们的点积为零
正交阵
）。
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二维变换
平移变换 x=x+dx , dx = x-x y=y+dy , dy= y-y
P=P+T
比例变换矩阵
x=sx x y= sy y
旋转变换矩阵
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P=R•P
变换前
一座房子的平移 变换.
变换后
比例变换前
比例变换后
房子的比例变换。两个 方向上的变换比例不同 ，并且房子改变了位置 。
正方体旋转45度然后进行不均匀的比例变换。很明显，正方体的角度和长度都
发生了变化，但那些原来平行的线仍保持平行，再继续进行旋转、比例和平移变
换也不会改变线的平行性，R(θ)、S(sx,sy)和T(dx,dy)都是仿射变换。 R(θ)、 T(dx,dy)也是刚体变换保长保角。
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错切变换（一种仿射变换）
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
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二维变换的矩阵表示
平移变换
旋转之前
旋转之后
房子的旋转变 换，旋转的同 时也改变了位 置。
旋转矩阵的推导
小结
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r
正向旋转
r
其中:
齐次坐标系和二维变换的矩阵表示
齐次坐标表示
平移矩阵 平移变换
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P=T+P P=S•P P=R•P
希望能用一种一致的方法来表示这三种变换。
将（x,y)附加第三个坐标，于是每个点的坐标都用 一个三元组(x,y,W)来表示，称为点（x，y)的齐次 坐标。在齐次坐标系中，我们认为两组齐次坐标 (x,y,W)和(x,y,W)代表同一点当且仅当(x,y,W)与 (x,y,W)互为倍数，因此(2,3,6)和(4,6,12)是用不同 的三元组坐标表示的同一点。也就是说每个点齐次