人教版高中数学必修5课件：2.2.1 等差数列

an=an-1+d=a1+(n-1)d
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
二、等差数列的通项公式：
若已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则有：
方法2：∵由等差数列的定义可得
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
…
叠加法
an-an-1=d
上述各式两边同时相加，得
Hale Waihona Puke an-a1=(n-1)d ∴an=a1+(n-1)d
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
一、等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差， 公差 通常用字母 d 表示。 注意： 等差数列的定义可用符号表示为：
an+1-an=d (n∈N*) ，其中d为常数 （或an-an-1=d，n≥2 ）
如果是，是第几项？
解： （1）依题意得，a1=8，d=5-8=-3 ∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49
（2）由题意得，a1=-5，d=-4 设an=-401，则有 -401=-5+(n-1)×(-4) 解得 n=100 ∴-401是这个数列的第100项
二、等差数列的通项公式：
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
为什么？
练习：求出下列数列的公差.
（1）1，6，11，16，……
d=5
（2）-8，-6，-4，-2，……
d=2
（3）10，5，0，-5，……
d=-5
（4）21，19，17，15，…… d=-2
（5）3，3，3，3，……
d=0
思考：上述数列的公差与该数列的类型有关系吗？
已知数列{an}是等差数列，d是公差，则： 当d=0时， {an}为常数列； 当d>0时， {an}为递增数列； 当d<0时， {an}为递减数列；
解：（2）∵a5=a1+4d=a1+4×2=10 ∴a1= 2 ∴ a10=a1+9d = 2+9×2=20
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10；
题结：在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基 本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论之 间的联系不明显，则均可化成有关a1与d的关系列方程 组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减 少计算量。
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
思考:若已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，能 否求出通项公式？
若已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则有：
方法1：∵由等差数列的定义可得
a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…
不完全 归纳法
∴ a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d ……
如果在a与c中间插入一个数b，使a，b，c组成一个
等差数列，则中间的数b叫做a与c的等差中项，且
b a c（或记为2b a c） 2
练习：在下列两个数中间再插入一个数，使这三个数组成 一个等差数列，并思考插入的这个数与原有两数的关系。 （1）-1，5； （2）-12，0.
（1）-1，2，5 （2）-12，-6，0
证明等差数列的方法
一、等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差， 公差 通常用字母 d 表示。
思考1：若一数列的前4项分别是“1，3，5，7”，那么
这个数列是等差数列吗？为什么？
思考2：数列 a,b,a,b,a,b ，是等差数列吗？
作业：
1、课本P40A组第1题 2、已知数列 5, 11, 17, 23, ,则5 5是这个 数列的项吗？若是，是第几项？需说明原因。
二、等差数列的通项公式：
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
an=a1+(n-1)d
练习2：在等差数列{an}中，
（1）已知a1= -1，d = 4，则a8 =__2__7___； （2）已知a1=15，an=3，d= -3，则n=__5___； （3）已知a1=8，a6=23，则d=___3__； （4）已知d=2，a7=9，则a1 =__-_3___ ；
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 思考：第（2）题能不求a1直接求a10吗？
在等差数列{an}中，若知道第k项 ak及公差d，则有
an=ak+(n-k)d
变形：d
an ak nk
练习、a10=a6+ 4 d， a99=a32+ 67 d.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
二、等差数列的通项公式：
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则
an=a1+(n-1)d
练习：求出下列数列的通项公式. （1）10，5，0，-5，…… an=-5n+15 （2）21，19，17，15，…… an=-2n+23
例1. （1）等差数列8，5，2,······的第20项是几？ （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？