总复习-习题课
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证明： 1 ）封闭性 2）可结合性 (a * b )* c (a b a b )* c a b a b c (a b a b ) c a b c ab ac bc abc a * ( b * c ) a * ( b c b c ) a b c b c a (b c b c ) a b c ab ac bc abc (a * b )* c a * (b * c ) 3)存在么元 a * 0 a 0 * a 0是么元
c）某些教练是年老的，但是健壮的(O( x ),V ( x ));
J ( x ) : x是教练员，O( x ) : x是年老的，V ( x ) : x是健壮的 (x )( J ( x ) O( x ) V ( x ))
10
第二章 谓词逻辑
d）金教练既不年老的但也不是健壮的( j );
O( x ) : x是年老的，V ( x ) : x是健壮的，j : 金教练 （O( j ) V ( j )
6
第一章 命题逻辑
P 39( 4)求下列各式的主析取范式及主合取范式， 并指出下列各式哪些是重言式： b)Q ∧( P ∨ Q ) 解： Q ∧( P ∨ Q ) ⇔ (Q ∧ P ) ∨ (Q ∧ Q ) ⇔ (Q ∧ P ) ∨ F ⇔ P ∧Q ⇔∑3 ⇔ ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ Q ) ⇔ 0， 1， 2
9
第二章 谓词逻辑
P60(2) 找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。
a）所有的教练员是运动员（J ( x ), L( x ));
J ( x ) : x是教练员，L( x ) : x是运动员 (x )( J ( x ) L( x ))
b）某些运动员是大学生（S ( x ));
L( x ) : x是运动员，S ( x ) : x是大学生 (x )( L( x ) S ( x ))
由对称性，可知 y , x R y , x S， y , x R 3）设R和S 在X 上满足传递性，对于 x , y R 可知： x , z R x , z S , x , z R S , R
有 x , y R x , y S y , z R y , z S，由R和S的传递性， S 在X 上是传递的。
11
第二章 谓词逻辑
g）没有一个国家选手不是健壮的;
C ( x ) : x是国家选手，V ( x ) : x是健壮的 (x )(C ( x ) V ( x )) 或 (x )(C ( x ) V ( x ))
h）所有老的国家选手都是运动员； C ( x ) : x是国家选手，L( x ) : x是运动员
l）有些大学生不钦佩运动员；
S ( x ) : x是大学生 (x )( S ( x ) (y )( J ( y ) A( x, y )))
13
第三章 集合与关系
14
第三章 集合与关系
P 95 （8）c）已知A B A C , 是否必须B C ? 答：是。 若A B A C，对x B, (1)若x A，则x A B, x A B, x A C 由x A x A C，可知x A C， x C， B C ( 2)若x A，则x A B, 又 A B A C x A C x A， x C， B C 即B C，同理可证C B， B C。
e）不是所有运动员都是教练; L( x ) : x是运动员，J ( x ) : x是教练员
(x )( L( x ) J ( x )) 或 (x )( L( x ) J ( x ))
f ）某些大学生运动员是国家选手(C ( x ));
S ( x ) : x是大学生，L( x ) : x是运动员，C ( x) : x是国家选手 (x )( L( x ) S ( x ) C ( x ))
第一章 命题逻辑
1
第一章 命题逻辑
P12（5）试把原子命题表示成P、Q、R等，然后用符号译出 下列各句子。
P Q
P Q R
P Q P Q R
2
第一章 命题逻辑
P17(1-a)求下列各复合命题的真值表。
a) P Q R
P T T T T F F F F Q T T F F T T F F
7
第一章 命题逻辑
A B F P 附加前提
P 47 （2）b）仅用规则P 和T 证明：
A B C , C D E , F D E
证法1： 1 A B F
2 3 4 5 6 7
x
子 集 { x2 , x3 , x4 } { x3 , x4 , x5 } { x1 , x2 , x3 }
上界 x1 x1，x3 x1
下界 x4 无 x4
上确界 x1 x3 x1
下确界 x4 无 x4
x x
x x
20
第五章 代数系统
P190(3)设 R,* 是一个代数系统，是 * R上的一个二元运算，使得对于 R中的任何元素a , b都有 a*b a b ab 证明0是么元且 R,* 是独异点。
原式 A (A F )
A A T c) ( A B C ) (A B C )
原式 ( A A) ( B C ) T (B C) B C
5
第一章 命题逻辑
P 39( 4)求下列各式的主析取范式及主合取范式， 并指出下列各式哪些是重言式： a )(P ∨ Q ) → ( P Q ) 解：（P ∨ Q ) → ( P Q ) ⇔ (P ∨ Q ) ∨ ( P Q ) ⇔ （P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ Q ) 1 1 1 0 0 1 ⇔∑1,2 ,3 ⇔ P ∨Q ⇔ 0 0 0
12 15 6 5 2 3 27 9 54
3
1
3
集合{3,9,27,54}是全序关系。
19
第三章 集合与关系
P146(6)设集合P { x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 }上的偏序关系如图所示，找出P的 最大元素，最小元素，极小元素，极大元素。找出子集{ x2 , x3 , x4 }、 { x3 , x4 , x5 }和{ x1 , x2 , x3 }的上界，下界，上确界，下确界。 解答：P的最大元素为x1，没有最小元素，极大元素为x1，极小元素为x4 , x5
8
第一章 命题逻辑
P 47 （2）b )用CP 规则证明： A ( B C ),(C D ) E , F ( D E ) A ( B F ) 证法 2： (1) A ( 2) A ( B C ) (3) B C ( 4) B (5)C (6)(C D ) E (7 )C ( D E ) (8) D E (9)D E (10)( D E ) (11)F ( D E ) (12) F (13) B F (14) A ( B F ) P (附加前提 ) P (1)( 2)T , I P (附加前提 ) (3)( 4)T , I P ( 6)T , E (5)( 7 )T , I (8)T , E (9)T , E P (10)(11)T , I (5)(9)T , I CP
16
第三章 集合与关系
17
第三章 集合与关系
P113( 4)如果关系R和S是自反的，对称的和可传递的，证明R 自反、对称和可传递的。 证明： 1）设R和S是X 上的自反关系，则x X，有 x , x R， x , x S， x , x R S， R S 在X 上是自反的。 S，有 x , y R x , y S S， S， 2）设R和S 在X 上满足对称性， x , y R R S也是对称的。 S y , z R S亦是
10 D E 11 D 12 E 13 C D 14 C D E 15 E 16 E E
5 9 T , I 10 T , I 10 T , I 811 T , I
P
1314 T , I 矛盾 12 15
12
第二章 谓词逻辑
j）有些女同志既是教练员又是国家选手；
W ( x ) : x是女同志，J ( x ) : x是教练员， C ( x ) : x是国家选手 (x )(W ( x ) J ( x ) C ( x )) k）所有运动员都钦佩某些教练( A( x, y)); L( x ) : x是运动员，A( x, y ) : x钦佩y (x )( L( x ) (y )( J ( y ) A( x, y )))
R T F T F T F T F
T T T F T T T F
T T T F T T T T
4
第一章 命题逻辑
P19(8)化简以下各式。
a) (( A B)
(B A)) C
( A B)) C
原式 (( A B)
T C C
b) A (A ( B B))
P130(1) 4个元素的集合共有多少个不同的划分？
1 2 2 4 1 C4 C4 C4 / 2 C4 1 4 6 3 1 15
18
第三章 集合与关系
P145 （ 1 ）设集合为 {3,5,15},{1,2,3,6,12},{3,9,27,54} 。其上面的 偏序关系为整除，画出这些集合的偏序关系图，并指出哪些是 全序关系。
(x )(O( x ) C ( x ) L( x )) i）没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女 (W ( x ), H ( x )); W ( x ) : x是女同志，H ( x ) : x是家庭妇女 (x )(W ( x ) C ( x ) H ( x ))
或 (x )(W ( x ) (C ( x ) H ( x )))
8 9 10
A B F B F A B C BC
C F D E D E
1 T , I 1 T , I 3 T , I 3 T , I
P
2 6 T , I
4 7 T , I
P
5 9 T , I
ຫໍສະໝຸດ Baidu
15
第三章 集合与关系
P105(3)证明：d )( A B ) C ( A C ) ( B C ) e )( A B ) C ( A C ) ( B C ) 证：d ) x , y ( A B ) C x ( A B ) y C ( x A x B) y C ( x A y C x B) ( x A y C y C ) (x A yC) (x B yC) ( x A y C ) ( x B x C ) x , y A C x , y B C x , y ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) (B C ) e )( A B ) C [( A B ) ( B A)] C [( A B ) C ] [( B A) C ] [( A C ) ( B C )] [( B C ) ( A C )] ( A C ) (B C )
c）某些教练是年老的，但是健壮的(O( x ),V ( x ));
J ( x ) : x是教练员，O( x ) : x是年老的，V ( x ) : x是健壮的 (x )( J ( x ) O( x ) V ( x ))
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第二章 谓词逻辑
d）金教练既不年老的但也不是健壮的( j );
O( x ) : x是年老的，V ( x ) : x是健壮的，j : 金教练 （O( j ) V ( j )
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第一章 命题逻辑
P 39( 4)求下列各式的主析取范式及主合取范式， 并指出下列各式哪些是重言式： b)Q ∧( P ∨ Q ) 解： Q ∧( P ∨ Q ) ⇔ (Q ∧ P ) ∨ (Q ∧ Q ) ⇔ (Q ∧ P ) ∨ F ⇔ P ∧Q ⇔∑3 ⇔ ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ Q ) ⇔ 0， 1， 2
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第二章 谓词逻辑
P60(2) 找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。
a）所有的教练员是运动员（J ( x ), L( x ));
J ( x ) : x是教练员，L( x ) : x是运动员 (x )( J ( x ) L( x ))
b）某些运动员是大学生（S ( x ));
L( x ) : x是运动员，S ( x ) : x是大学生 (x )( L( x ) S ( x ))
由对称性，可知 y , x R y , x S， y , x R 3）设R和S 在X 上满足传递性，对于 x , y R 可知： x , z R x , z S , x , z R S , R
有 x , y R x , y S y , z R y , z S，由R和S的传递性， S 在X 上是传递的。
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第二章 谓词逻辑
g）没有一个国家选手不是健壮的;
C ( x ) : x是国家选手，V ( x ) : x是健壮的 (x )(C ( x ) V ( x )) 或 (x )(C ( x ) V ( x ))
h）所有老的国家选手都是运动员； C ( x ) : x是国家选手，L( x ) : x是运动员
l）有些大学生不钦佩运动员；
S ( x ) : x是大学生 (x )( S ( x ) (y )( J ( y ) A( x, y )))
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第三章 集合与关系
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第三章 集合与关系
P 95 （8）c）已知A B A C , 是否必须B C ? 答：是。 若A B A C，对x B, (1)若x A，则x A B, x A B, x A C 由x A x A C，可知x A C， x C， B C ( 2)若x A，则x A B, 又 A B A C x A C x A， x C， B C 即B C，同理可证C B， B C。
e）不是所有运动员都是教练; L( x ) : x是运动员，J ( x ) : x是教练员
(x )( L( x ) J ( x )) 或 (x )( L( x ) J ( x ))
f ）某些大学生运动员是国家选手(C ( x ));
S ( x ) : x是大学生，L( x ) : x是运动员，C ( x) : x是国家选手 (x )( L( x ) S ( x ) C ( x ))
第一章 命题逻辑
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第一章 命题逻辑
P12（5）试把原子命题表示成P、Q、R等，然后用符号译出 下列各句子。
P Q
P Q R
P Q P Q R
2
第一章 命题逻辑
P17(1-a)求下列各复合命题的真值表。
a) P Q R
P T T T T F F F F Q T T F F T T F F
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第一章 命题逻辑
A B F P 附加前提
P 47 （2）b）仅用规则P 和T 证明：
A B C , C D E , F D E
证法1： 1 A B F
2 3 4 5 6 7
x
子 集 { x2 , x3 , x4 } { x3 , x4 , x5 } { x1 , x2 , x3 }
上界 x1 x1，x3 x1
下界 x4 无 x4
上确界 x1 x3 x1
下确界 x4 无 x4
x x
x x
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第五章 代数系统
P190(3)设 R,* 是一个代数系统，是 * R上的一个二元运算，使得对于 R中的任何元素a , b都有 a*b a b ab 证明0是么元且 R,* 是独异点。
原式 A (A F )
A A T c) ( A B C ) (A B C )
原式 ( A A) ( B C ) T (B C) B C
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第一章 命题逻辑
P 39( 4)求下列各式的主析取范式及主合取范式， 并指出下列各式哪些是重言式： a )(P ∨ Q ) → ( P Q ) 解：（P ∨ Q ) → ( P Q ) ⇔ (P ∨ Q ) ∨ ( P Q ) ⇔ （P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ Q ) 1 1 1 0 0 1 ⇔∑1,2 ,3 ⇔ P ∨Q ⇔ 0 0 0
12 15 6 5 2 3 27 9 54
3
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集合{3,9,27,54}是全序关系。
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第三章 集合与关系
P146(6)设集合P { x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 }上的偏序关系如图所示，找出P的 最大元素，最小元素，极小元素，极大元素。找出子集{ x2 , x3 , x4 }、 { x3 , x4 , x5 }和{ x1 , x2 , x3 }的上界，下界，上确界，下确界。 解答：P的最大元素为x1，没有最小元素，极大元素为x1，极小元素为x4 , x5
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第一章 命题逻辑
P 47 （2）b )用CP 规则证明： A ( B C ),(C D ) E , F ( D E ) A ( B F ) 证法 2： (1) A ( 2) A ( B C ) (3) B C ( 4) B (5)C (6)(C D ) E (7 )C ( D E ) (8) D E (9)D E (10)( D E ) (11)F ( D E ) (12) F (13) B F (14) A ( B F ) P (附加前提 ) P (1)( 2)T , I P (附加前提 ) (3)( 4)T , I P ( 6)T , E (5)( 7 )T , I (8)T , E (9)T , E P (10)(11)T , I (5)(9)T , I CP
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第三章 集合与关系
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第三章 集合与关系
P113( 4)如果关系R和S是自反的，对称的和可传递的，证明R 自反、对称和可传递的。 证明： 1）设R和S是X 上的自反关系，则x X，有 x , x R， x , x S， x , x R S， R S 在X 上是自反的。 S，有 x , y R x , y S S， S， 2）设R和S 在X 上满足对称性， x , y R R S也是对称的。 S y , z R S亦是
10 D E 11 D 12 E 13 C D 14 C D E 15 E 16 E E
5 9 T , I 10 T , I 10 T , I 811 T , I
P
1314 T , I 矛盾 12 15
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第二章 谓词逻辑
j）有些女同志既是教练员又是国家选手；
W ( x ) : x是女同志，J ( x ) : x是教练员， C ( x ) : x是国家选手 (x )(W ( x ) J ( x ) C ( x )) k）所有运动员都钦佩某些教练( A( x, y)); L( x ) : x是运动员，A( x, y ) : x钦佩y (x )( L( x ) (y )( J ( y ) A( x, y )))
R T F T F T F T F
T T T F T T T F
T T T F T T T T
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第一章 命题逻辑
P19(8)化简以下各式。
a) (( A B)
(B A)) C
( A B)) C
原式 (( A B)
T C C
b) A (A ( B B))
P130(1) 4个元素的集合共有多少个不同的划分？
1 2 2 4 1 C4 C4 C4 / 2 C4 1 4 6 3 1 15
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第三章 集合与关系
P145 （ 1 ）设集合为 {3,5,15},{1,2,3,6,12},{3,9,27,54} 。其上面的 偏序关系为整除，画出这些集合的偏序关系图，并指出哪些是 全序关系。
(x )(O( x ) C ( x ) L( x )) i）没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女 (W ( x ), H ( x )); W ( x ) : x是女同志，H ( x ) : x是家庭妇女 (x )(W ( x ) C ( x ) H ( x ))
或 (x )(W ( x ) (C ( x ) H ( x )))
8 9 10
A B F B F A B C BC
C F D E D E
1 T , I 1 T , I 3 T , I 3 T , I
P
2 6 T , I
4 7 T , I
P
5 9 T , I
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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第三章 集合与关系
P105(3)证明：d )( A B ) C ( A C ) ( B C ) e )( A B ) C ( A C ) ( B C ) 证：d ) x , y ( A B ) C x ( A B ) y C ( x A x B) y C ( x A y C x B) ( x A y C y C ) (x A yC) (x B yC) ( x A y C ) ( x B x C ) x , y A C x , y B C x , y ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) (B C ) e )( A B ) C [( A B ) ( B A)] C [( A B ) C ] [( B A) C ] [( A C ) ( B C )] [( B C ) ( A C )] ( A C ) (B C )