一阶隐式微分方程及其参数表示
常微分方程§24 一阶隐式微分方程及其参数表示24 一阶隐式微分方程及其参数表示
其中p是参数,c为任意常数。
，则原方 ，则
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
2 x f ( y, dy ) dx
解法 x f ( y, p)
(2.4.4)
( 2.4.5)
dy p dx
两边对 y 求导 1 f f dp (2.4.6)
dy (t)dx (t)(t)dt
dy (t)(t)dt y (t)(t)dt c
若求得为
p y p dy
p ( y,c)
1 f dp p y
则(2.4.4)的通解为x f ( y, ( y, c)) dy
f
p
若求得为 ( y, p, c) 0
x f (y, p) 则(2.4.4)的通解为 ( y, p, c) 0
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
3 4
p2
y
2c
1
p3
p 2
( p 0)
当 p=0 时, 由y p3 2xp 可知，y=0也是方程的解。
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
解法2：
解出
x，并把
dy dx
p
，x 得y p3 2p
两边对 y 求导 p(1 3 p2 dp ) ( y p3 ) dp
1
dy
dy
p
2p2
( p 0)
pdy ydp 2 p3dp 0
2yp p4 c
y c p4 2p
一阶隐式微分方程与参数表示
F ( x, y ') 0 (4.5) 的方程的解法
F ( x, p) 0 代表xp平面上 记 ，从几何地观点看， 的一条曲线。设把这曲线表为适当的参数形式
dy p y' dx
x (t ), p (t )
(4.6)
这里t为参数。再注意到，沿方程（4.5）的任何一条积 分曲线上，恒满足基本关系 dy pdx
dp 从 1 0 解得 p x c，代入求得原方程的解为： dx
x y cx c 2 2
x 2 p x 0 从 解得 p 2
2
，代入求得原方程的解为：
x2 y 4
注意：此例解中的一个特解，即奇解。
奇解
奇解图
2. 讨论形如
dy x f ( y, ) dx
4.1 可以解出x（或y）的方程 1. 讨论形如
y f ( x, dy ) dx (4.1)
dy ) 有连续的偏导数。 dx
的方程的解法，这里假设函数 f ( x,
p 解：作变换（引入参数）： dy dx
，有
y f ( x, p)
两边求关于x的导数：
f f dp p x p dx
以（4.6）代入上式得
两边积分，得到
dy (t ) '(t )dt
y (t ) '(t )dt c
于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为
于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为
x (t ) y (t ) '(t )dt c
(4.2)
(4.3)
方程(4.3)是关于x,p的一阶微分方程，若它的导数已解出。 则（4.1）的解有如下几种形式：
2.4.1 一阶隐式微分方程与参数表示---可解出变量x或y的一阶隐式微分方程
代入 x y p3 2p
有
x
C
3 p4 4 p2
原方程参数形式的通解为 xyCC42p3pp2p44 ,
p 0 p 是参数， C 是任意常数
此外，原方程还有解 y 0 与之前求解所得的结果完全一样
小结
y f (x, y'(x)) 引入参数 p y'(x)
y f (x, p)
对两边关于 x 求导
xd( p2) p2dx
d (xp2 )
积分得到
3 4
p4
xp2
C
解出 x 有
代入
y p32xp
有
y
p3
2
C
3 4
p4
p
x
C
3 4
p4
p2
原方程参数形式的通解为
x y
C
3 4
p2
4C
2p
p p
4 4
,
p0
其中 p 是参数，C 是任意常数
如果 p 0 由 y p 3 2 xp 得到 y 0 可验证这也是原方程的解
如果 p 0 对称式 3 p 2 2 x dp pdx 0 存在仅与 p
有关的一个积分因子
3 p22 x p
e
x
x dp
p
e
1 p
dp
p
对 3 p 2 2 x dp pdx 0 方程两边乘以 p，得到一个
全微分方程
3p3dp 2xpdp p2dx 0
d
3 4
p4
例1 求解方程 dy 3 2x dy y 0
dx
dx
解： 原方程可以写为 y dy 3 2x dy 引入参数 p dy 有 y p32xp
一阶隐式方程与解的积分表示
y x2 cx c2
又从
2
2 p x =0 解得
p
x 2
以此代入到（3.4.13），得到方程另一个解
x2
y
4
这是一个奇解。
7
（2）形如 x f ( y, dy )
dx
（3.4.14）
的方程的求解方法与方程（3.4.2）的求解 方法完全类似。这里也假定函数 f ( y, dy ) 有连续的偏导数。令 p dy ，则方程变dx成
3.4 一阶隐式方程与解的积分表示
一阶隐式微分方程形式是
F(x, y, y) 0. (3.4.1)
如果能从（3.4.1）中解出 y '，表达式就是
y' f (x, y) ，则可以根据 f (x, y) 的具体形 式，采用本章上面几节介绍的方法求解。
但如果难于从方程中解出 y '，或即使解出 y ' ，但其表达式的形式非常复杂，则需
x2 2
0.
解 令 p dy ，得到
dx
y
p2
xp
x2
0.
（3.4.13）
两边对x求导，得到 2
dp dp
p 2 p x p x 0.
dx dx
6
或
dp dx
1
2
p
x
0
.从
dp 1 =0得到
dx
p xc
将它代入到（3.4.13），得到方程的通解
的方程的y解法f。这x,里ddyx假设函数（3f .4x.,2dd）yx
有连续的偏导数。
2
做变换 p dy
dx
第六讲：一阶隐式微分方程-精选文档
例7
求 方 程 y x y ( y ) 的 通 解 . ( 此 方 程 称 为 克 莱 洛 方 程 )
/ 解令 y p , 原 方 程 写 为
y x p ( p ) .（ 3 ）
2
1
若不能从(1)解出 y 的一阶导数，或者即使能解 出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。
本节主要介绍三种类型隐式微分方程 的求解方法。
（1）不含 y （或 x）的方程 （2）可解出 x 的方程
（3）可解出 y 的方程
2
/ F ( x , y )0 . 1、若方程（1）不含y，即
若 原 方 程 可 表 示 为 参 数 形 式
13
将 p x代 入 方 程y 2 xp 得 到 特 解 1 y - x. 2
x
2
2
2 ( p)
dp 1 由方程 知 dx 2
于是原方程的通解为
1 p x C , 2
1 x2 1 y 2 x ( x C ) ( x C )2 2 2 2 1 2 x C x C 2. 4
第六讲 一阶隐式方程的解法
前面讨论的方程都是可解出一阶导数的
x, y) 微分方程，即显式方程（ y/ f( ）
一阶隐式微分方程是指
F ( x , y , y )0
/
( 1 )
若能从(1)解出 y 的一阶导数，那么会得到一 个或几个显式方程，用前面的办法求解。
例1: 试求解微分方程：
y ' ( 3 x y ) y ' 3 x y 0 .
8
用 分 离 变 量 法 求 解 上 式 得 l n ,
y pp C
则 原 方 程 有 参 数 形 式 的 通 解 1 np x l p . ( p为 参 数 ) y p l n p C
一阶隐式微分方程
隐式微分方程的解法讨论摘要：隐式微分方程是常微分方程中的一个重要课题，但是在大学时期，我们学习讨论的一般是一阶隐式微分方程，而本文主要就是研究讨论关于一阶隐式微分方程的几种比较常见的解法.关键词：参数；微分法；包络；奇解；克莱罗方程.引言：若要讨论一阶隐式微分方程的解法，首先应该了解隐式方程显示方程之间的联系，然后总结好解析一阶隐式微分方程问题的大致思路.下面，我们首先来了解几种常见的一阶隐式微分方程类型.一阶隐式微分方程的概念与求解思路1. 定义没有就'y 解出的形如F （,x y ,'y ）=0的方程我们称为一阶隐式微分方程.2. 求解思路如果能从方程F （,x y ,'y ）=0中解出'y 那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程F （,x y ,'y ）=0的解.例 1 解微分方程 220x x dy x dy y e xye dx y dx ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：将此微分方程的左端分解因式得2x dy dy x y e dx dxy ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0 分别解两个微分方程dy dx =2y x e 和dy dx =xy，得到的解分别是 x e +11C y-0=和2220y x C --= 于是我们得到所求微分方程的通解为11x e C y ⎛⎫+-⎪⎝⎭()2220y x C --=应当说，例1当中的一阶方程的通解只有一个任意常数，但是在这个通解的表达式中有两个常数1C 和2C 。
对于给定两个常数1C ，2C ,要么只有通解表达式两个因子之一为0确定积分曲线，要么两个因子同时为零，这时，两个常数1C 和2C 就不是独立的了.总之，决定积分曲线时，总是只有一个常数起作用.一般来说，很难从方程F （,x y ,'y ）=0中解出'y ，或者即使解出'y ，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出'y ，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：1）y ='(,)f x y 2）x ='(,)f y y 3）'(,)0F x y = 4）'(,)0F y y =二、可解出y 或x 的方程的解法1.可解出y 的隐式方程y ='(,)f x y如果从方程F （,x y ,'y ）=0中可以解出y ，那么就可以得到第一种类型y ='(,)f x y在这里假设函数y ='(,)f x y 有关于x 、'y 有连续的偏导数. 引入参数p ='y ，则原方程变为y =(,)f x p 将上式两边对x 求导数，并以p 代替'y ，这样可以得到()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂ 该方程是关于x ，p 的一阶显方程 如果求的该方程的通解为p =ϕ（,x C ）将它代入y =f （,x p ），这样得到原方程的通解为y f =（,x ϕ（,x C ）） （C 为任意常数）如果，方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 p=u （x ）把上式代入到y =f （,x p ），那么就得到原方程的相应解y =f （x ,u （x ）） 如果能求得方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂的通解 F=（x ,p ,C ）=0将它和y =f （,x p ）结合，就能得到原方程参数形式的通解{(,,)0,(,),F x p C y x p ==其中p 是参数，C 是任意常数，如果方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 (,)0G x p =将它和y =f （,x p ）结合，这样得到方程相应的参数形式的解{(,)0,(,),G x p y f x p ==其中p 为参数.根据上面讨论，为了求解方程y ='(,)f x y ,我们引进参数'p y =，通过对x 进行求导数，从而消去y ，把问题简化成求解关于x 与p 的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例2．解方程：1dyx y dx =++ 解：原方程是就dydx 解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就y 解出的方程来求解.原方程就y 解出可得1dyy x dx=-- 令dydx=p ，则可得：1y p x =-- 对上式两边关于x 求导，用dyp dx =代入则可得1dp p dx =- 也就是1dp p dx=+1）当10p +≠时，分离变量，可得1dpdx p =+ 两边同时积分可得ln 1ln p x c +=+ （c 为不等于0的常数）或 ln 1p x c +=+ （c 为任意常数）即1ln 1x p ce x p c =-=+-或将上面两个式子代入到1y p x =--可得(2)x y ce x =-+ （c 为不等于0的任意常数）或ln 11y p p c =-++- （c 为任意实数） 2）当10p +=有：1p =-把它代入到1y p x =--可得：(2)y x =-+ 根据1）、2）即可知，原方程通解为：(2)x y ce x =-+（c 为任意常数）其参数形式的通解可表示为：{ln 1ln 11x p cy p p c =+-=-++- （1p ≠，参数；c 为任意常数）及(2)y x =-+例3. 解方程2'2'()2x y y xy =--+.解：令'y p =，原方程可化为222x y p xp =-+，两边同时对x 求导，可得2,dp dp p pp x x dx dx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭化简整理之后可得(2)(1)0dpp x dx--= 对10dpdx-=积分就可以得到上式的通解 p x C =+ （C 为任意常数）把它代入到222x y p xp =-+，便可以得到原方程通解222x y Cx C =++ （C 为任意常数）又从20p x -=，便可得原方程一个解2x p =，把它代入222x y p xp =-+又可以得到方程一个特解： 24x y =应该注意到方程的通解222x y Cx C =++和这个特解24x y =它们同时经过点2(2,)P C C -，并且在改点斜率为C -.做出特解和通解的图形，从下图我们可以知道，在积分曲线24x y =上每一点处，都有积分曲线族222x y Cx C =++中的某一条积分曲线在该点与之相切.在几何中，我们称24x y =是曲线族222x y Cx C =++的包络.在微分方程中我们称积分曲线24x y =对应的解为原解的奇解，奇解对应的曲线上的每一点，至少有方程的两条积分曲线通过.而作为y ='(,)f x y 的一种重要类型，一般我们把形如：''()y xy y ϕ=+的方程称为克莱罗方程，它是关于y 可以解出的一阶隐式方程，其中()z ϕ二阶连续可微，且"()0z ϕ≠.可以利用微分法求解该方程，令'y p =，并对x 求导数可得'()dp dp p p xp dx dx ϕ=++ 即('())0dp x p dxϕ+= 当0dpdx=时，有p C =，因此通解为 ()y CX C ϕ=+当'()0x p ϕ+=时，可得克莱罗方程一个特解{''()()()x p y p p p ϕϕϕ=-=-+通解()y CX C ϕ=+是一族直线特解{''()()()x p y p p p ϕϕϕ=-=-+是该直线的包络.例 4 求解方程''1y xy y=+解：该方程克莱罗方程，''20p xp p =-，'0p =，21x p=所以该方程有通解：1y Cx C =+ 以及特解：211x p y px p ==+⎧⎪⎨⎪⎩消去参数p ，得到原方程的奇解：24y x = 所以该方程通解是直线族：1y Cx C=+，而奇解是通解的包络：24y x =. 2.可解出x 的隐式方程x =f （',y y ） 对于可解出x 的方程的第二种类型x =f （',y y ）该方程的求解方法和方程y =f （',x y ）的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数'(,)x f y y =有关于y 、'y 的连续偏导数. 引进参数'y p = ，则原式可变为(,)x y p =将上式两边对y 求导数， 并以1dx dy p =代入，可得 1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂ 该方程是联系y p 、，并且可以根据dpdy解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解. 如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式： (,)p w y c = （c 为任意常数）则原方程x =f （',y y ）的通解为：(,(,))x f y w y c = （c 为任意常数）如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为：· (,)y v p c =（p 为参数，c 为常数）则原方程x =f （',y y ）的通解为：{((,),)(,)x f v p c p y v p c ==（p 为参数，c 为常数）如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为： (,,)0y p c Φ=则方程(,)x y p =的参数形式的通解为：{(,)(,,)0x f y p y p c =Φ= （p 为参数，c 为任意常数）例5．解方程：2'3'20y y xy y +-=解：在这里我们可以把原方程当作可就x 解出的方程来求解，因此就有.2'2'22y y y x y =-令'y =p ，则可得：2222y y p x p =-对上式两边关于y 求导，用'11dy dx y p==代入整理可得 3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭由0dp pdy y+=，可以求得上式的通解C p y=， 将它代入到方程2222y y p x p =-，整理后可得原方程通解 232y Cx C =+再由312yp +=0可得3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的特解312y p =-原方程的参数表示的特解为433812x p y p =-=-⎧⎪⎨⎪⎩三、不显含x 或y 的方程的解法 1. 不显含y 的隐式方程如果从几何的观点来看，微分方程'(,,)0F x y y =的解是平面xOy 的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示。
2.4一阶隐式微分方程与参数表示
y (t ), p (t )
20 引入参数 t , 将F ( y, p) 0用参数曲线表示出来 ,即
“关键一步也是最困难一步”
dy 3 把y (t ), p (t )代 入dx ,并 两 边 积 分 得 p (t ) x dt C , (t ) (t ) dt C x 0 4 通解为 , (t ) y (t )
即
pdy ydp 2 p 3 dp 0,
c 3 2 x p 2 故方程的通解参数形式为 4 4p 3 ( p 0为参数 , c为任常数 ). c p y 2p 2 此外 , 还有解 y 0. (t 0为参数 , c为任常数 ).
c 3 2 x 2 t 4 4t 习惯通解记成 3 y c t 2t 2
x (t ) dy 则称 , t ( , )为方程 F ( x, y, ) 0的参数形式解 . dx y (t ) dy 同样可定义方程F ( x, y, ) 0的参数形式通解为 dx
x (t , c) , t ( , ). y (t , c)
(3) F ( x, y ) 0,
dy ) 0, 如 果 存 在 定 义 在 ( , )上 的 dx 函 数x (t )与y (t ), 使 当t ( , )时, 有 F ( x, y , 定义 对 于 微 分 方 程
(t ) F ( (t ), (t ), ) 0, (t )
f p dp x 这是关于变量 x, p的一阶微分方程 . f dx p
f f dp p , x p dx
一阶隐式微分方程
03 一阶隐式微分方程的特性
稳定性分析
稳定性定义
对于一阶隐式微分方程，如果其解在某个初始条件下不随时间的推移而发生振荡或发散， 则称该解是稳定的。
线性稳定性分析
一阶隐式微分方程
目录
CONTENTS
• 引言 • 一阶隐式微分方程的解法 • 一阶隐式微分方程的特性 • 一阶隐式微分方程的实例分析 • 一阶隐式微分方程的扩展应用
01 引言
定义与理解
定义
一阶隐式微分方程是包含一个未知函 数及其导数的等式，通常表示为 (f(x, y, y') = 0)。
理解
这类方程在数学、物理、工程等领域 有广泛的应用，其解法通常涉及到数 值方法和解析方法。
VS
详细描述
在物理系统中，许多现象都可以通过一阶 隐式微分方程来描述。例如，弹簧振荡器 模型、阻尼振动模型、电磁场模型等都可 以通过一阶隐式微分方程来模拟。这些模 型可以帮助我们理解系统的动态行为，预 测未来的状态，并优化系统的性能。
经济模型
总结词
经济模型是另一类常见的一阶隐式微分方程 的应用场景，通过建立经济系统的微分方程 模型，可以分析经济现象和预测未来的发展 趋势。
要点二
详细描述
延迟微分方程描述了系统在某一时刻的状态不仅与当前时 间有关，还与其过去时刻的状态有关。解决延迟微分方程 需要使用特定的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，以 处理时间延迟和系统状态的动态变化。
分段连续型微分方程
总结词
分段连续型微分方程是一种特殊类型的一阶隐式微分方 程，它在不同的区间上具有不同的导数或斜率。
第六讲：一阶隐式微分方程
9
3、若可从方程（1）解出 y，即
yf( x,y/) . ( 2)
解法： 引入参数p y/,于是（2）等价于 yy/fp(x,p).
对y f(x,p)关于x求导，得 p fx/(x,p)fp/(x,p)ddxp.
从 上 式 解 出 d p ,若 能 求 得 解 dx
p p (x ,C ),
程的p积分曲线。而x /(p)0可直接
由（3）两端关于p求导得到。 17
例8 求 解 方 程 yxy1y'2.
思考：
求解方程x y y'
(y1')2
.
18
习题选讲
Ex1： yxy'lnx(xy')2. Ex2： yln(1y'2). Ex3： y'22yy'cotxy2 Ex4： y'3 x3(1y') Ex5： y'3y'2y'10. Ex6： x2(yxy')y(y')2.
解
由原方程解出x得：x
1
y/
ln y/.
令ddyx
p,即有x
1
p
ln p.
两端关于y 求导得
1
p
1
p2
dp dy
1
p
dp dy
,
整理得
dp dy
pp1.
8
yp pC 用 分 离 变 量 法 求 解 上 式 得 l n ,
则原方程有参数形式的通解
x
1
p
ln p
. (p为参数)
y p ln p C
则（2）有通解
y f (x ,p (x ,C )).
这 里 p=p(x,C)只 能 代 入 y=f(x,p),不 能 代 入 y/ =p.
隐式微分方程
有参数形式通解
(x, p, c) 0 y f (x, p)
其中p是参数,c为任意常数。
2 x f ( y, dy )
(10)
dx
解法 x f ( y, p)
(11)
dy p dx
两边对 y 求导 1 f f dp (12)
p y p dy
若求得为 p ( y, c) 则(10)的通解为 x f ( y, ( y, c))
解: 设所求的曲线为 y y(x), 则过曲线上任一点 (x, y)的切线方程为
Y y y'(X x)
其中(X ,Y )为切线上的动点 ,
因此,切线在坐标轴上的
横载距a为: a
x
y y'
,
纵载距b为: b y xy',
因所求曲线在第一象限,由题意得
1 2
(x
y y'
)( y
xy' )
2
(7)
dx
这里假设函数 f (x, dy ) 有连续的偏导数。 dx
解法：引进参数 dy P ，则方程变为
dx
y f (x, p)
(8)
dy
两边关于 x 求导，并把 p
dx
p f f dp
(9)
x p dx
代入，得
dp
p f x
dx
f
关于 x 和 p 显式方程
p
(i) 若已得出(9)的通解形式为, p (x, c) 代入(8)得
当 dp 0时, 有p c,
p dx
dx
故得通解为: y cx 2 c , 它是直线族.
当x
1 0时, p
得另一特解为:
x
一阶隐式微分方程及其参数表示
p3
c 3p4 4p2
x
c 4p2
3 4
p2
y
c 2p
p3 2
p0
第8页
例2
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
求解方程 y ( dy )2 x dy x 2 dx dx 2
解
令 dy p dx
得 y p 2 xp x 2 2
第14页
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
4 F ( y, y) 0
特殊情形
令
y ( p)
y dy p dx
(2.4.8)
dx 1 dy 1 ( p)dp
pp
x
1 p
(
p)dp
c
通解为
x
( p)dp
p
c
则，方程旳参数形式通解为
x (t)
y(t ) '源自(t)dtc第12页
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
3 F (x, y) 0
特殊情形
令 y dy p dx
x ( p)
dy pdx p( p)dp
y p( p)dp c
(2.4.2)
代入，得
dp
p f x
dx
f
有关 x 和 p 显式方程
p
第3页
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
(i) 若已得出(2.4.3)旳通解形式为, p (x, c) 代入(2.4.2)得
第六讲：一阶隐式微分方程
13
x2
将p x 代入方程 y 2 x p 得到特解 1 y - x. 2
x
2
2
(p )2
dp 1 由方程 知 dx 2
于是原方程的通解为
1 p x C , 2
1 x2 1 y 2 x ( x C ) ( x C )2 2 2 2 1 2 2 x C x C . 4
x f (y ,y / ).
解法：
(4)
引入参数 p y / , 于是（4）等价于
x f (y ,p ) . / y p 对x f (y ,p )关于y 求导，得 1 dp / / fy (y ,p ) fp (y ,p ) .
p
dy
这个方程可化为显式形式，用前面类 似的方法能求出（1）的解。
那么 dx (t )dt ,
/
dy (t )dx (t ) (t )dt ,
/
从而
y (t) / (t)d t C .
3
故得原方程参数形式的解 x (t) . / (t)d t C y (t) (t为参数)
பைடு நூலகம்
2 2 2 求方程 ( y ) ( x 1) x 0的通解. 例1
15
dp 由 0 得到p C ,从而有通解 dx y C x (C ).
取x / (p ) 0 与（3）联立有 x / (p ) 0 . y x p (p )
由于 // (p ) 0,则x / (p ) 0 存在隐 函数p p (x ),代入（3）即得到特解 y xp (x ) (p (x )).
第三章初等积分法-34一阶隐式方程与解的积分表示
当的参数形式
x t, p t （3.4.22）
12
这里t是参数。另一方面注意到沿方程 （3.4.20）的任何一条积分曲线，恒有关系
dy pdx 以（3.4.22）代入到上式得
dy t' tdt
两边积分，得到
y t' t dt c
于是得到方程参数形式的通解
x t ,
y
t
'
t
dt
17
于是求得方程参数形式的通解为
x 1 c, y 1 t.
消去t, 得 t
t
y x 1 c
xc
另外，当 y' 0 时原方程变成
y2 4,于是y 2
也是原方程的解。
18
要采用引进参数的方法将方程变成导数
可以解出的类型。
1
本节介绍的方程包括以下几种类型
1 y f x, y' , 2 x f y, y' ,
3 F x, y' 0, 4 F y, y' 0.
*** 可以解出y或x的方程 （1）首先讨论形如
的方程的解y 法f。这x,里ddyx假设函数（3f .4x.,2dd）yx
1
8 y 2 4cx c3 0.
11
*** 不显含y（或x）的方程 （3）现在讨论不显含y的、形如
F x, y' 0
（3.4.20）
的方程的解法。记 p y' dy ，则方程变成
dx
F x, p 0
（3.4.21）
从几何上看，方程（3.4.21）代表xop平面 上的一条曲线，可以把这条曲线表示为适
上的一条曲线，可以把这条曲线表示为适
当的参数形式
y t, p t （3.4.26）
第六讲：一阶隐式微分方程
12
例6 求方程y 2 xy
x2
2
(y )2 的通解.
解
令y / p ,原方程写为
y 2 xp (p )2 . 2 两端关于x 求导得 dp dp p 2 p x 2x 2p , dx dx dp 化简得 （p x ） (1 2 ) 0, dx
17
例8
求解方程y xy 1 y '2 .
y 1 . 思考： 求解方程x 2 y ' ( y ')
18
习题选讲
Ex1： y xy 'ln x ( xy ') .
2
Ex2：
y ln(1 y '2 ).
2 2
Ex3： y ' 2 yy 'cot x y Ex4：
微分方程，即显式方程（ y / f (x ,y )）
一阶隐式微分方程是指
F (x ,y ,y / ) 0
(1)
若能从(1)解出 y 的一阶导数，那么会得到一 个或几个显式方程，用前面的办法求解。
例1: 试求解微分方程：
y '2 (3x y) y ' 3xy 0.
1
若不能从(1)解出 y 的一阶导数，或者即使能解 出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。
x f (y ,y / ).
解法：
(4)
引入参数 p y / , 于是（4）等价于
x f (y ,p ) . / y p 对x f (y ,p )关于y 求导，得 1 dp / / fy (y ,p ) fp (y ,p ) .
一阶隐式微分方程与参数表示
积分并注意到 2 xpdp
xdp
2
于是求得x:
3 p4 2 xp c 得到: 4 3 4 c p 4 x p2
故原方程的参数形式的通解为：
3 4 c p 4 x 2 ,p0 p 2c 1 3 y p 2 p
当 p 0 时，y=0也是原方程的解。
例3 求解方程：
分析 于是
3 3
其中c为任意常数
x y ' 3xy ' 0
y ' p tx
3t x 3 1 t
3t x 3 1 t 3 3 1 4 t y c 3 2 2 (1 t )
因此，方程的参数形式的通解为
形如 F ( y, y ') 0
再注意到沿方程45的任何一条积分曲线上恒满足基本关系dypdx于是得到方程45的参数形式的通解为4242不显含不显含的方程的方程因此方程的参数形式的通解为分析于是形如形如的方程的解法的方程的解法的方程其求解方法通方程45的求解方法类似
第四节 一阶隐含方程与参数表示
1、一阶显式微分方程可解类型： (1)可分离变量型：y f ( x) ( y)
x 1 t c y 1 t t
作业：p69： 1(单）， p72-74 1(1,4,14,26,27,31),2,4,5(1,7)
x ( p, c) 则方程（4.1）有参数形式的通解为： y f ( ( p, c), p)
•若求得（4.3）的通解的形式为：
( x, p, c) 0
( x, p, c) 0 则方程（4.1）有参数形式的通解为： y f ( x, p)
dy 3 dy 例1 求方程 ( ) 2 x y 0的通解。 dx dx
Chapter2.4一阶隐式微分方程与参数表示
2012-4-2
第二章第1节
21
1 3 4 x= 2 ( − p ) C , p 4 4 =p +2( −3p ) y 3 C , p 4 p≠0
2012-4-2
第二章第1节
6
例2
d 2 y d x2 y y=( ) −x + d x d 2 x
2012-4-2
第二章第1节
7
dy 2 dy x 2 y=( ) −x + dx dx 2
2
这是关于 p 与 x 的一阶非齐次线性微分方程
2012-4-2
第二章第1节
5
通解为
2 2 ∫ pdp ∫ pdp 4 −3 e d +C ⇒ = 1 ( −3p ) x=e p p x 2 C ∫ p 4 此时可直接将此解代入方程 p3 +2xp=y −
从而得到以 p 为参数的参数形式解
12
dp 2 p = p − (2 p + y ) ⇒ pdy + 2 p 3dp + ydp = 0 dy
3
dp 4 ⇒ d( yp) + =0 2
∴ 上述方程通解为：py + p 4 = C 2
从而
C − p4 y − p3 y= (代入方程 : x = , p ≠ 0) 2p 2p
C − p4 − p3 C − 3 p4 2p x= = 2p 4 p2
′ ϕ(t) x d +C t =∫ ψ t) ( 于是得到参数形式的通解为 =ϕt) y (
2012-4-2 第二章第1节 18
例5 求解方程y2(1−y′)=(2−y′)2. 解:
令 p= y′ ; 2−y′=yt 方程化为 y2(yt−1)=y2t2
常微分方程第六讲：一阶隐式微分方程.ppt
13
x2
将p x 代入方程 y 2 x p 得到特解 1 y - x. 2
x
2
2
(p )2
dp 1 由方程 知 dx 2
于是原方程的通解为
西 南 科 技 大 学 理 学 院
1 p x C , 2
1 x2 1 y 2 x ( x C ) ( x C )2 2 2 2 1 2 2 x C x C . 4
11
dp 若只能从关于 的方程求得通积分 dx G (p ,x ,C ) 0, y f (x ,p ) 则可通过联立方程 ， G (p ,x ,C ) 0
再消去p ，得到原方程的通积分。
dp 若只能从关于 的方程求得解 dx x (p ,C ),
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y '2 (3x y) y ' 3xy 0.
1
若不能从(1)解出 y 的一阶导数，或者即使能解 出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。
本节主要介绍三种类型隐式微分方程 的求解方法。
（1）不含 y （或 x）的方程 （2）可解出 x 的方程
（3）可解出 y 的方程
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** 借助于一些变量代换，将隐式形式的 方程化为参数形式方程。
20
作业：P46 T1（2）（4）（6）
(8)
(10)
T2.求一曲线，使它上面的每一点的切线与两坐标 轴所围城的三角形的面积都等于2。
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21
p
p dy
p dy
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此外, y 2 也是方程的解。
练习 解
求解方程
y xy' ( y' )
注意观察方程的解的特点
dy y' p dx
克莱洛方程 Clairant Equation
p p xp ( p) p ( x ( p)) p 0
p 0 pc
x ( p) y cx (c)
2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示
Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
•本节要求
掌握下列四种类型方程的解法（参数表示）：
(1)、y f ( x, y)
(3)、F ( x, y) 0
(2)、x f ( y, y)
dy (t ) 解法： 引入变换 x (t ) 从(2.4.7)得到 y dx (or 引入变换 y (t )从(2.4.7)得到 x (t ) ）
dy (t )dx (t ) (t )dt
dy (t ) (t )dt
y (t ) (t )dt c
x2 cx c 2 中的每一条积分曲线均 此解与通解 y 注意: 2 相切(如图)(P54)这样的解我们称之为奇解,下一章将给
出奇解的确切含义。P103
x y cx c 2 2
y
2
x2 y 4
x o
2 、不显含y( 或x的方程 )
3 F ( x, y) 0
(2.4.7)
' (t ) x dt c (t )
dy (t ) dx (or 引入变换 y (t )从(2.4.7)得到 y (t ) ) 1 1 dx dy (t )dt dy (t )dx (t ) (t )
4
F ( y, y) 0
dy p dx
x2 y p 2 xp 将它代入 2
得方程的通解
x2 2 y cx c 2
dy 2 dy x y( ) x dx dx 2
再由 2 p x 0 得
2
dy p dx
x p 2
2
x2 x 2 ，又得方程的一个解 y 将它代入 y p xp 4 2
当
c 3 2 p 2 4 p 2c 1 3 p p 2
( p 0)
p=0 时, 由 y p 3 2 xp 可知，y=0也是方程的解。
(
dy 3 dy ) 2x y 0 dx dx
dy y p3 解法2： 解出x，并令 dx p ,得 x 2p 两边对y求导 2 dp 3p 2 p2
y f ( x, ( x, c)) 就是(2.4.1)的通解。
(ii) 若得出(2.4.3)通解形式为 x ( p, c) ，则原方程(2.4.1) 有参数形式的通解
其中 p 是参数，c为任意常数。
x ( p, c) y f ( ( p, c), p)
(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 ( x, p, c) 0，则原方程(2.4.1)
1 f dp p y f dy p
即
2
dy x f ( y, ) dx
若求得为 则(2.4.4)的通解为
(2.4.4)
p ( y, c) x f ( y, ( y, c)) ( y, p, c) 0
x f ( y, p ) ( y, p, c) 0
两边关于 x 求导，并把 p
y f ( x, p) (2.4.2)
dy dx
代入，得
f f dp p (2.4.3) x p dx
关于 x 和 p 显式方程
f p dp x f dx p
(i)
若已得出(2.4.3)的通解形式为, p ( x, c) 代入(2.4.2)得
转 化
y f ( x, y) x f ( y, y)
F ( x, y) 0 F ( y, y) 0
作业: P.69 第 1, 3, 4题
1 f dp p y f dy p
若求得为
则(2.4.4)的通解为
例1
求解方程
dy 3 dy ( ) 2x y0 dx dx
得
dy p 解法1： 解出 y 令 dx
两边对
y p 3 2xp
x 求导
dp dp p 3p 2x 2p dx dx
2
3 p 2 dp 2xdp pdx 0
则，方程的参数形式通解为
x (t ) y (t ) ' (t )dt c
3 F ( x, y) 0
特殊情形
令
(2.4.7)
y dy p dx
x ( p)
dy pdx p ( p)dp
y p ( p )dp c
特殊情形 令
(2.4.8)
dy y p dx
y ( p)
1 1 dx dy ( p ) dp p p 1 x ( p)dp c p ( p) dp c x p 通解为 y ( p) 若 F ( y,0) 0 有实根 y k 则 y k 也是方程的解。
通解
x ( p) y ( p) p ( p)
奇解
小结
F ( x, y, y) 0
能解出 y 不能解出 y 或 解出形式复杂
y f ( x, y)
转 化
变量分离、线性、恰当方程等
熟练掌握
引 进 参 数 变 量 变 换
F ( x, y, y) 0
2
令 2 y yt 把 y 2 yt代入原微分方程 得
y 2 ( yt 1) y 2t 2
1 y t t
1 t 2 且 y 由此得 1 1 1 1 dy x c d ( t ) 2 dt dx 2 t t y 1 t t
1 x c t 方程的参数形式的通解为 y 1 t t
当 p 0 时，上式乘以 p，得
3 p 3 dp 2 xpdp p 2 dx 0
积分，得
3p4 2 xp c 4
3 4 c p 解出 x，得 4 x p2 3 将它代入 y p 2 xp
3 4 2( c p ) 4 y p3 p
x 因此，方程参数形式通解 y
(4)、F ( y, y) 0
1、可以解出y (或x )的方程
dy 1. y f ( x, ) (2.4.1) dx
dy 这里假设函数 f ( x, ) 有连续的偏导数. dx
dy y f ( x, ) (2.4.1) dx
dy 解法：引进参数 P ,则 (2.4.1) 变为 dx
例3 解
x y ' 3 xy 0 令 y p tx 3t 2 3t 从而 p 则 由方程，得 x 3 1 t3 1 t 3t 2 9(1 2t 3 )t 2 dx dt 于是 dy 3 3 3 1 t (1 t )
求解方程
3 3
dy 这里 y dx
x ( p) 通解为 y p ( p)dp c
4
F ( y, y ') 0
(2.4.8)
解法： 引入变换 y (t ) 从(2.4.7)得到 y
' (t ) dt c x (t ) 则，方程的参数形式通解为 y (t ) 若 F ( y,0) 0 有实根 y k 则 y k 也是方程的解。
( x, p, c) 0 有参数形式通解 y f ( x, p)
其中p是参数,c为任意常数。
2
解法
两边对y求导
dy x f ( y, ) dx
dy p dx
(2.4.4)
x f ( y, p) (2.4.5)
1 f f dp (2.4.6) p y p dy
( p 0)
pdy ydp 2 p 3 dp 0
2 yp p 4 c
c p4 p3 c p4 c 3p4 2p y x 2p 2p 4 p2 c 3 x p2 所以，方程的通解为: 4 p2 4 p0 3 此外，还有解y=0 y c p 2p 2
例2
dy 2 dy x 2 求解方程 y ( ) x dx dx 2
x2 2 解 令 y p xp 得 2 dp dp x px 两边对 x 求导，得 p 2 p dx dx dp dp p xc ( 1)( 2 p x) 0 1 0 dx dx
9(1 2t 3 )t 2 3 1 4t 3 y dt c 3 3 3 2 (1 t ) 2 (1 t ) 3t x 1 t 3 3(1 4t 3 ) 通解为 y c 3 2 2(1 t )
例4 解
求解方程
) (2 y)2 y (1 y