1.2.2组合与组合数公式(二)

例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。 解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种 工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人 （排列问题）有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给 4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种). 亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配 方案有C52 . A42.A63=14400(种).
典型例题
1. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少 得1名，则不同的保送方案总数为（ A ）。 2 3 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 C A
4 3
2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能 出现的错误的种数是（ B ） 3 2 （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 C5 A2 1 3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 有（ B ）个。 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 （A) A4 (B) (C) (D) A4 A8 C4C4 A8 C4C4 C8 C4C8 A4
显然： ①与③； ②与④在 搭配上是一样的。所以只有2 种方法，所以总的搭配方法 有2 C82.C72种。
练习：
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，
出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？
A C A A A A (种）
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8
例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双； （2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。
分析:
2 C (1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 10 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C 种 10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 4 1 1 1 1 1 有 C2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 3360 种取法.
练 习
3. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。
5 5 5 3 C C C / A (1)分为三组，每组5人,共有______________ 15 10 5 3
种不同的分法。 （2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各 7 4 4 3 2 4人，共有___________________ C15C8 C4 A3 / A2 种不同的分法。 （3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组 6 5 4 3 4人，共有___________________ C15C9 C4 A3 种不同的分法。 4. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都 4 4 1 3 1 3 2 2 2 C A C C A A C 不站中间两位的排法有______________________ 6 4 2 7 2 3 6 A2 A2 种。 5. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成 班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有 4 2 2 1 2 C C C _____________________ 种不同的选法。 27 13 4 C2 A2
例3：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合 双打训练，两边都必须要1男1女，共有多少种不同的搭 配方法。
分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出2男2女，有 C82.C72种；
然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？ 男女----------男女
① Aa-------------Bb ② Ab-------------Ba ③ Bb-------------Aa ④ Ba-------------Ab 先组后排
3 (3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C10 种 1 取法,3双鞋中取出1双有 C3 种方法,另2双鞋中各取1只 1 1 3 1 1 1 C 有 2C2种方法故共有 C10 C3 C2C2 1440 种取法.
C C C C 1440
1 10 2 9 1 2 1 2
C (C 9) 1440
优先法
解： ② 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.
间接法： A55- 4A44+2A33（种）排法。
（二）有条件限制的组合问题：
例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
例1：12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。 ①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； ②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； ③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
④分为甲、乙、丙三组，每组4人；
⑤分为三组，每组4人。 ⑥分成三组，其中一入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。 问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？ 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根 据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时， 根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接 法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法, 采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采 用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。 解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思 考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为 具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。 “具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗 漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方 法是“ 想透，排够不重不漏” 是很有道理的。
解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的 解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类 与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。
（三）排列组合混合问题：
例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2 名女同学分别承担A，B，C，D，E 5项工作。一共有 多少种分配方案。
解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选 2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
二.排列组合应用问题
（一）.有条件限制的排列问题 例1：5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 ①a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？ ②a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？ ③ a,e排在一起多少种排法？ ④ a,e不相邻有多少种排法？ ⑤ a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？ 解： ① （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两 端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。 由乘法共有A22. A33=12(种)排法。
答案 ①C125.C74.C33 ④C124.C84.C44 ② C125.C74.C33 ⑤ C124.C84.C44 A33 ③ C125.C74.C33.A33
⑥C12
2. C10
5.C 5 5 A22
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个 数。
解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数，3个奇数；②3个偶数，2个奇数；③4个偶数， 1个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105
解法2：从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件 的有两类： ①5 个都是奇数；②4个奇数，1个偶数。所以 共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
例4.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A2 + C 8 2 C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有 C7 A 7 种方法，
1 2 2 1 1 1 2(A + C C C ) 根据分类计数原理，一共有 8 2 7 7 + C7 A 7 ＝602 种方法