1.2.2组合与组合数公式(二)
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1 10 2 18
引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。 问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？ 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根 据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时， 根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接 法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法, 采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采 用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。 解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
（三）排列组合混合问题：
例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2 名女同学分别承担A，B，C，D，E 5项工作。一共有 多少种分配方案。
解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选 2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
3 (3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C10 种 1 取法,3双鞋中取出1双有 C3 种方法,另2双鞋中各取1只 1 1 3 1 1 1 C 有 2C2种方法故共有 C10 C3 C2C2 1440 种取法.
C C C C 1440
1 10 2 9 1 2 1 2
C (C 9) 1440
优先法
解： ② 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.
间接法： A55- 4A44+2A33（种）排法。
（二）有条件限制的组合问题：
例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双； （2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。
分析:
2 C (1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 10 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C 种 10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 4 1 1 1 1 1 有 C2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 3360 种取法.
求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个 数。
解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数，3个奇数；②3个偶数，2个奇数；③4个偶数， 1个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105
解法2：从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件 的有两类： ①5 个都是奇数；②4个奇数，1个偶数。所以 共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
例4.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A2 + C 8 2 C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有 C7 A 7 种方法，
1 2 2 1 1 1 2(A + C C C ) 根据分类计数原理，一共有 8 2 7 7 + C7 A 7 ＝602 种方法
例1：12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。 ①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； ②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； ③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
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④分为甲、乙、丙三组，每组4人；
⑤分为三组，每组4人。 ⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
答案 ①C125.C74.C33 ④C124.C84.C44 ② C125.C74.C33 ⑤ C124.C84.C44 A33 ③ C125.C74.C33.A33
⑥C12
2. C10
5.C 5 5 A22
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
显然： ①与③； ②与④在 搭配上是一样的。所以只有2 种方法，所以总的搭配方法 有2 C82.C72种。
练习：
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，
出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？
A C A A A A (种）
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8
练 习
3. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。
5 5 5 3 C C C / A (1)分为三组，每组5人,共有______________ 15 10 5 3
种不同的分法。 （2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各 7 4 4 3 2 4人，共有___________________ C15C8 C4 A3 / A2 种不同的分法。 （3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组 6 5 4 3 4人，共有___________________ C15C9 C4 A3 种不同的分法。 4. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都 4 4 1 3 1 3 2 2 2 C A C C A A C 不站中间两位的排法有______________________ 6 4 2 7 2 3 6 A2 A2 种。 5. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成 班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有 4 2 2 1 2 C C C _____________________ 种不同的选法。 27 13 4 C2 A2
排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思 考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为 具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。 “具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗 漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方 法是“ 想透，排够不重不漏” 是很有道理的。
解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的 解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类 与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。
例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。 解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种 工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人 （排列问题）有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给 4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种). 亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配 方案有C52 . A42.A63=14400(种).
例3：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合 双打训练，两边都必须要1男1女，共有多少种不同的搭 配方法。
分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出2男2女，有 C82.C72种；
然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？ 男女----------男女
① Aa-------------Bb ② Ab-------------Ba ③ Bb-------------Aa ④ Ba-------------Ab 先组后排
典型例题
1. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少 得1名，则不同的保送方案总数为（ A ）。 2 3 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 C A
4 3
2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能 出现的错误的种数是（ B ） 3 2 （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 C5 A2 1 3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 有（ B ）个。 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 （A) A4 (B) (C) (D) A4 A8 C4C4 A8 C4C4 C8 C4C8 A4
二.排列组合应用问题
（一）.有条件限制的排列问题 例1：5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 ①a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？ ②a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？ ③ a,e排在一起多少种排法？ ④ a,e不相邻有多少种排法？ ⑤ a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？ 解： ① （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两 端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。 由乘法共有A22. A33=12(种)排法。
引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。 问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？ 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根 据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时， 根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接 法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法, 采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采 用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。 解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
（三）排列组合混合问题：
例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2 名女同学分别承担A，B，C，D，E 5项工作。一共有 多少种分配方案。
解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选 2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
3 (3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C10 种 1 取法,3双鞋中取出1双有 C3 种方法,另2双鞋中各取1只 1 1 3 1 1 1 C 有 2C2种方法故共有 C10 C3 C2C2 1440 种取法.
C C C C 1440
1 10 2 9 1 2 1 2
C (C 9) 1440
优先法
解： ② 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.
间接法： A55- 4A44+2A33（种）排法。
（二）有条件限制的组合问题：
例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双； （2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。
分析:
2 C (1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 10 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C 种 10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 4 1 1 1 1 1 有 C2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 3360 种取法.
求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个 数。
解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数，3个奇数；②3个偶数，2个奇数；③4个偶数， 1个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105
解法2：从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件 的有两类： ①5 个都是奇数；②4个奇数，1个偶数。所以 共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
例4.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2(A2 + C 8 2 C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有 C7 A 7 种方法，
1 2 2 1 1 1 2(A + C C C ) 根据分类计数原理，一共有 8 2 7 7 + C7 A 7 ＝602 种方法
例1：12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。 ①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； ②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； ③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
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④分为甲、乙、丙三组，每组4人；
⑤分为三组，每组4人。 ⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
答案 ①C125.C74.C33 ④C124.C84.C44 ② C125.C74.C33 ⑤ C124.C84.C44 A33 ③ C125.C74.C33.A33
⑥C12
2. C10
5.C 5 5 A22
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
显然： ①与③； ②与④在 搭配上是一样的。所以只有2 种方法，所以总的搭配方法 有2 C82.C72种。
练习：
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，
出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？
A C A A A A (种）
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8
练 习
3. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。
5 5 5 3 C C C / A (1)分为三组，每组5人,共有______________ 15 10 5 3
种不同的分法。 （2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各 7 4 4 3 2 4人，共有___________________ C15C8 C4 A3 / A2 种不同的分法。 （3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组 6 5 4 3 4人，共有___________________ C15C9 C4 A3 种不同的分法。 4. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都 4 4 1 3 1 3 2 2 2 C A C C A A C 不站中间两位的排法有______________________ 6 4 2 7 2 3 6 A2 A2 种。 5. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成 班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有 4 2 2 1 2 C C C _____________________ 种不同的选法。 27 13 4 C2 A2
排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思 考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为 具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。 “具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗 漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方 法是“ 想透，排够不重不漏” 是很有道理的。
解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的 解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类 与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。
例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。 解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种 工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人 （排列问题）有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给 4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种). 亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配 方案有C52 . A42.A63=14400(种).
例3：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合 双打训练，两边都必须要1男1女，共有多少种不同的搭 配方法。
分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出2男2女，有 C82.C72种；
然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？ 男女----------男女
① Aa-------------Bb ② Ab-------------Ba ③ Bb-------------Aa ④ Ba-------------Ab 先组后排
典型例题
1. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少 得1名，则不同的保送方案总数为（ A ）。 2 3 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 C A
4 3
2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能 出现的错误的种数是（ B ） 3 2 （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 C5 A2 1 3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 有（ B ）个。 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 （A) A4 (B) (C) (D) A4 A8 C4C4 A8 C4C4 C8 C4C8 A4
二.排列组合应用问题
（一）.有条件限制的排列问题 例1：5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 ①a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？ ②a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？ ③ a,e排在一起多少种排法？ ④ a,e不相邻有多少种排法？ ⑤ a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？ 解： ① （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两 端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。 由乘法共有A22. A33=12(种)排法。