上海市青浦区2017届高三一模数学试卷及答案

上海市青浦区2017届高三一模数学试卷

2016.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知复数2z i =+（i 为虚数单位），则2z =

2. 已知集合1{|216}2

x A x =≤<，22{|log (9)}B x y x ==-，则A

B =

3. 在二项式62()x x

+的展开式中，常数项是

4. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两

点，且

||AB =

则该双曲线的实轴长等于 5. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=

⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a = 6. 执行如图所示的程序框图，若输入1n =， 则输出S =

7. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成 角为4arccos 5

，则该圆锥的体积为

8. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递

增数列，则实数b 的取 值范围是

9. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平

放置的平面上画出为△A B C '''，

则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01） 10. 已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的

一个动点，若满足

||||AO BO AO BO +=-，则AO AB ⋅=

11. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：

对任意x D ∈，点(,())x g x

与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的

“对称函数”，已知

()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，

且()()h x g x ≥

恒成立，则实数b 的取值范围是

12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其

中k 为不等于0与1

的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件

的1a 所有可能值 的和为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知()sin 3

f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，现从集合A 中任取两

个不同元素s 、t ，

则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（ ）

A. 12种

B. 13种

C. 14种

D. 15种

14. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四

个命题：

①m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥；

②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；

③m ∥n ，m ∥α

n ⇒∥α；

④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β⇒⊥； 其中正确的序号是（ ）

A. ①④

B. ②③

C. ①②④

D. ①③④ 15. 如图，有一直角坡角，两边的长度足够长，若P 处有一

棵树与两坡的距离分别是4m 和

am （012a <<），不考虑树的粗细，现用

16m 长的篱笆，借助

坡角围成一个矩形花圃

ABCD ，

设此矩形花圃的最大面积为M ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()M f a =

（单位2m ）的图像大致是（ ）

A. B. C.

D.

16. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，

存在22(,)x y M ∈，

使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列

四个集合：

①2

1

{(,)|}M x y y x ==

； ②2

{(,)|l o g }M x y

y

x ==；

③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)

|s i n M x y y

x ==+；

其中是“垂直对点集”的序号是（ ）

A. ①②③

B. ①②④

C. ①③④

D. ②③④

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周 上不与A 、B 重合的一个点；

（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成

角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；

18. 已知函数

221()cos ()4

2

f x x x π

+=

+--

（x R ∈）； （1）求函数()f x 在区间[0,]2

π上的最大值；

（2）在ABC ∆中，若A B <，且1

()()2f A f B ==

，求BC AB

的值； 19.

如图，1F 、2F 分别是椭圆22

22:1x y C a b

+=（0a b >>）的左、右

焦点，且焦距为

，

动弦AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；

（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、

PB 分别与y 轴交于点M 、

N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；