北大精品课件：博弈论及公共政策之完全信息静态博弈

博弈论与公共政策
北大精品课件
完全信息静态博弈
主要内容
一、博弈的标准式表述
二、占优策略均衡
三、重复剔除的占优均衡
四、纳什均衡
五、多重纳什均衡的比较
六、混合策略
七、应用举例
何谓静态博弈？
开始时由参与者同时选择行动，然后根据所有参与者的选择，每个参与者得到各自的结果。

何谓完全信息静态博弈？
每一参与者的收益函数在所有参与者之间是共同知识。

一、博弈的标准式表述
博弈的标准式表述包括三个方面的内容：
（1）博弈的参与者
（2）每个参与者可供选择的策略集
（3）针对所有参与者可能选择的策略组合，每个参与者获得的收益
对于一个 n 人博弈，设各参与者的策略空间依次为 S1,S2, …,Sn ，收益函数分别为u1,u2, …,un ，其中 ui (s1,s2, …,sn) 为参与者选择策略组合(s1,s2, …,sn) 时参与者 i 的收益，则可用标准式将该博弈表示如下：
G = {S1,S2, …,Sn ； u1,u2, …,un }
在双人有限策略的情况下，可以用双变量矩阵更直观地表述博弈。

例1：囚徒困境
但是，如果参与者超过2人，则用双变量矩阵形式来表示博弈就不那么方便了，甚至根本无法采用这种形式。

例2：三人有限策略博弈
二、占优策略均衡
1、占优策略
在博弈中，如果不管其他参与者选择什么策略，某个参与者的特定策略都优于或至少不劣于其他所有策略，那么，我们就说这个特定策略是该参与者的占优策略。

在前面的囚徒困境博弈中，“招认”就是每个囚徒的占优策略。

2、占优策略均衡
如果每个参与者都存在占优策略，那么由这些占优策略构成的组合就称为占优策略均衡。

在前面的囚徒困境中，（招认，招认）就构成一个占优策略均衡。

注意：
占优策略均衡只要求每个参与者是理性的，而并不要求每个参与者知道其他参与者是理性的，也就是说，不要求“理性”是共同知识。

例3：公共产品的供应问题
A、B两人同住一室，现在，他们考虑是否购买一台电视机。

电视机的价格为4000元，每个人从看电视中获得的效用各为3000元。

假定他们根据下列程序决定是否购买电视机：
每人把是否购买电视机的想法写在一张纸条上，如果两人都认为应该购买，则平均分担购买电视机的费用。

如果两人都认为不应该购买，则不购买电视机。

如果只有一人提出购买而另一人不想购买，则由提出购买的人独自购买电视机。

每个人会如何决策？
三、重复剔除的占优均衡
1、重复剔除的占优均衡
首先从某一参与者的策略集里剔除掉一个劣策略，再重新考察各个参与者剩下的策略中哪些是劣策略并剔除其中之一，不断继续这一过程直到每个参与者都仅剩一个策略为止，最后得到的策略组合就称为重复剔除的占优均衡。

例4：俾斯麦海之战
在单人决策中，当所有情况下的收益都增加（至少不减少）时，当事者的境
况不会变得更坏，但在博弈中则未必。

比较下面的两个博弈：
例 5
2、理性共识
重复剔除的占优均衡不仅要求每个参与者是理性的，而且要求“理性”是参与者的共同知识，即参与者具有“理性共识”（Common Knowledge of Rationality，简记为CKR）。

理性共识可划分为不同的层次：
零阶理性共识：每个人都是理性的，但不知道其他人是否理性。

一阶理性共识：每个人是理性的，并且知道其他人也都是理性的，但并不知道其他人是否知道自己是理性的。

二阶理性共识：每个人是理性的，也知道其他人都是理性的，而且知道其他人知道自己是理性的，但不知道其他人是否知道自己知道他们知道自己是理性的。

依此类推。

例 6
选择越多（行动空间越大），对理性共识的要求越高。

请看下例：
例 7
四、纳什均衡
许多博弈既不存在占优策略均衡，也不存在重复剔除的占优均衡。

例 8
1、纳什均衡的定义
如果存在这样一个策略组合――给定该策略组合中其他参与者的选择，没有人有积极性改变自己的选择，我们就说该策略组合是一个纳什均衡。

交通规则问题就是一个很好的例子：
例9：交通规则问题
纳什均衡是一种一致预期：基于信念的选择是合理的；支持选择的信念是正确的。

这种一致预期能够自我实现，不会出错：如何所有人认为这个结果会出现，
这个结果就会出现。

以交通规则问题为例，如果甲认为乙预期甲将靠右走，甲就确实会选择靠右走。

2、纳什均衡的意义
如果某个策略组合为纳什均衡，那么任何一个参与者都没有激励独自背离他所选定的策略。

这就是说，该策略组合是“策略稳定”或“自动实施”的。

换一种说法，如果参与者事前达成一个协议，在不存在外部强制的情况下，每个人都有积极性遵守这个协议，这个协议就是纳什均衡。

3、严格纳什均衡与弱纳什均衡
4、用划线法求纳什均衡
例 10
5、纳什均衡与重复剔除的占优均衡之间的关系
命题一：
纳什均衡不会被重复剔除严格劣策略过程所剔除。

命题二：
如果重复剔除严格劣策略过程最终只剩下唯一的策略组合，那么这一策略组合为该博弈唯一的纳什均衡。

命题三：
不能被重复剔除严格劣策略过程所剔除的策略组合，不一定是纳什均衡。

例11：约会博弈
命题四：
重复剔除弱劣策略过程有可能剔除弱纳什均衡，但不会剔除严格纳什均衡。

例 12
五、多重纳什均衡的比较
1. 聚点均衡
2. 帕累托效率标准
3. 强均衡
4. 抗联盟（抗共谋）纳什均衡
博弈实验1
分钱财博弈
例2：三人有限策略博弈
六、混合策略
1、混合策略
所谓混合策略，就是参与者以一定的概率从几种纯策略中随机选择。

有些博弈不存在纯策略纳什均衡，但存在混合策略纳什均衡。

例13：监督博弈
监督
不监督
偷懒
不偷懒
1，－1
－1，2
－2，3
2，2
例14：单<a name=baidusnap0></a>相思</B>
例15：划拳博弈
2、说明
（1）一个给定的纯策略可能会严格劣于一个混合策略，即使这个纯策略并不严格劣于其他任何一个纯策略。

例16
（2）一个给定的纯策略可以是针对对手的一个混合策略的最优反应，即使这一纯策略并不是针对对手的任何一个纯策略的最优反应。

例17
（3）给定其他参与者的策略，参与者的一个混合策略要成为其最优反应，混合策略中每一个概率大于0的纯策略本身也必须是其最优反应。

3、混合策略纳什均衡的充要条件
对任一参与者，凡是以正的概率被选择的纯策略应带来相等的期望收益，且不低于以零概率被选择的纯策略带来的期望收益。

4、混合策略纳什均衡的求法
（1）对于每个参与者，选择其纯策略空间的一个子集。

构造一个一般化的混合策略组合。

（2）检查是否存在参数（概率）使得该混合策略组合满足混合策略纳什均衡的充要条件。

若存在，则为混合策略纳什均衡。

（3）不断重复前两步，直到完成对各参与者所有子集组合的分析为止。

例18：求混合策略均衡
5、对混合策略的理解
参与者 i 的混合策略可以解释为其对手对于 i 将会选择哪一个纯策略的不确定性，实际上，在 i 的心中，可能依据自己掌握的一点儿私人信息已经选择了某一纯策略。

不过，由于其他参与者不能观察到 i 的私人信息，他们无法确定 i 的选择，我们就用 i 的混合策略表示其他参与者的这种不确定性。

博弈实验2
公共汽车让座博弈
6、纳什定理（纳什均衡的存在性）
在博弈中，如果 n 是有限的，并且对每个 i ，Si 是有限的，则博弈至少存在一个纳什均衡，均衡可能包含混合策略。

七、应用举例
例19：古诺的双头垄断模型
例20：伯川德的双头垄断模型
例21：最后要价仲裁
例22：公共地的悲剧
三个选民（1、2、3）要就三个备选方案（A、B、C）进行投票。

采用多数票制，但为了避免出现僵局，现在选民1担任主席，主席的权力体现在：如果三个人的投票结果没有哪个方案胜出，那么作为主席的1就拥有最终决定权。

各人的偏好顺序如下表所示。

以上信息为共同知识。

你认为每个人会如何投票，最终哪个方案被选中呢？
博弈实验3。