灵敏度分析与参数规划
运筹学课件 灵敏度分析与参数规划
灵敏度分析的任务
线性规划的灵敏度分析要解决两个问题：
一个或几个系数或要素变化后，当前的
最优解或最优基是否有变。
这些系数在什么范围内变动时，当前的
最优解或最优基不变。 另外，一旦当前解受影响就要运用适当 方法对其进行调整，以便得到新的最优解。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-8
分析结果的处理方法
针对上述五种不同的分析结果，可按下列相 应的调整方法进行处理。 分析结果 处理方法
最优解不变
最优基不变 变为可行解 变为正则解 变为普通解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划
计算 CN - CBB-1N
计算 XB(*) = B-1b 原始解法求最优解 对偶解法求最优解 混合解法求最优解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-3
生产计划问题
cj CB XB
0 0 0 -1 0 0 3 -1 2 0 3 -1 2 0 3 -1
b
2 3 x1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0 0 1 0 -1/2 0 1/4 -3/4 -1/2 [2] 1/4 1/4 0 1 0 0
θ
x3 8 x4 16 x5 12 z 0 x3 2 x4 16 x2 3 z -9 x1 2 x4 8 x2 3 z -13 x1 4 x5 4 x2 2 z -14
5-14
2013-4-7
灵敏度分析与参数规划
2. 基变量系数 cr 的变化分析
当基变量 xr 的系数 cr (CB)变化 cr 时，就会引起 CB 的变化，从而影响到各非基变量 xj 对应的j 。 设 CB=( 0, …, cr , …,0 )，若要求原最优解不变，则 新的检验数必须满足 j' = cj - (CB +CB )B-1Pj = cj - CBB-1Pj - CB B-1Pj =j - [(0, …,cr , …,0)(b1j, …, brj, …, bmj)T] =j - cr brj ≤0 于是得到 cr ≤j／brj , brj < 0 j=1 , 2 , …, n cr ≥j／brj , brj > 0 cr的变化范围为是 max { j /brj | brj > 0 }≤ cr ≤ min { j /brj | brj < 0 }
灵敏度分析与参数规划
表中的解仍为最优解 用单纯形法继续迭代求最 优解 用对偶单纯形法继续迭代 求最优解
引入人工变量，编制新的 单纯形表求最优
非可行解 非可行解
C变 CN
CB b变 A变 N B 变量 约束 增加一列 不等式约束，增加一行一列 等式约束，大M法
XB
2.1 非基变量的价值系数的变化
• 这就是保持原最优解不变时，基变量的 目标系数的变化范围． • 当超出这个范围时，原最优解将不再是 最优解了， • 为了求新的最优解，必须在原最优单纯 形表的基础上，继续往下迭代以求得新 的最优解．
例1
• 为保持现有最优解不变，分别求非基变 量x1,x3的系数c1,c3的变化范围． • 当c1变为5时，求新的最优解．
第四章 灵敏度分析与参数规划
前面的假设
• 前几章讨论线性规划问题时，总是假设 是不变的常数． • 但实际上这些数据往往是根据以往资料， 或估计值、或预测值，不可能很精确， 而且随着情况的变化，这些数据也会经 常发生变化．
实际的情况
面对市场经济： • 价格的波动会引起价值系数的变化； • 工艺的改进引起消耗系数的变化； • 资源储量的变化会引起右端常数的变化； • 增加新产品会引起决策变量的增加； • 增加新的资源限制 CB B N
1
基变量xr的价值系数Cr的变化引起CB的变化， 从而导致所有非基变量的检验数发生变化。
• △的变化超出此范围时，破坏了基B的对 偶可行性，此时可用单纯形法继续迭代
例2
• 为保持现有最优解不变分别求例1中基变 量x2,x4的变化范围，并问当CB由(0,4,5)改 变为(0,6,2)时，原最优解是否仍然保持最 优？如果不是，该怎么办？
4.3 增加新约束条件的灵敏度分析
敏感度与参数分析.ppt
x2
0
1 2
1
1
1 2
x5 0
1
0
1 2
1 2
作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
x5 RHS r 1 52
1 2
36
1 44
0 56
01
14
p.15/48
3. 改變右手邊常數
作法
重新計算新的RHS。若仍均為非負值，則最佳基底 不變；若有負值，則以對偶單形法繼續求解
最佳基底不變是指構成最佳單形表的BV不會改變， 但BV的值及最佳Z值均允許改變
作法(續)
4. 強迫 xk 進入， xk 離開，並求得下一個單形表 (a) 若同時滿足主要與對偶可行性，則為最佳解 (b) 若僅破壞對偶可行性，則以主要單形法求解 (c) 若僅破壞主要可行性，則以對偶單形法求解 (d) 若均破壞，則須以人工變數 AV 取代 xk 作為基 底，並以大 M 法或雙階法處理 AV，繼續以主 要單形法求解
範例6.6
10
18
解答：
3
B1b
4 1 2
16 12
1 4
1
2
16 12
9 2
作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
p.16/48
3. 改變右手邊常數
解答(續)：
因有負值，故最佳基底改變。新Z值為：
cBB1b
5 2
3 2
16 12
58
作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
範例6.12
(a)新增：2x1 5x2 25
(b)新增：2x1 5x2 20
2(2)灵敏度分析
c j→ CB 0 2 1 0 2 基 x3 x1 x2 cj-zj x3 x1 15 5 b 35/2 11/2 -1/2
2 x1 0 1 0 0 0 1
1 x2 0 0 1 0 5 1
0 x3 1 0 0 0 1 0
0 x4 5/4 1/4 [-1/4] -1/4 0 0
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2 0 1
-7
0 [2] 1 0 0 1 0
-1/2 0
最优生产计划应为每天生产7/2件家电Ⅰ， 51/4件家电Ⅲ。
分析参数aij的变化
灵 敏 度 分 析 举 例
例 在美佳公司的例子中，若家电Ⅱ每件需设备A,B和 调试工时变为8h、4h、1h，该产品的利润变为3元/件， 试重新确定该公司最优生产计划。
设生产工时变化后的新家电Ⅱ的生产量为x2′，其中：
（2）若家电Ⅰ的利润不变，则家电Ⅱ的利润在什 么范围内变化时，该公司的最优生产计划将不发 生变化？ 设家电Ⅱ的利润为（1+λ）元，如下
项目 CB 基 b 2 x1 1+λ x2 0 x3 0 x4 0 x5
0
2 1+λ
x3
x1 x2 cj-zj
15/2
7/2 3/2
0
1 0 0
0
0 1 0
1
0 0 0
15 / 2 1 / 2 3/2 3 7 4 0 2 2
1 P 6 0 0
5/4 1/ 4 1 / 4
cj→ CB 基 b
2 x1
1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
3 x6
灵 敏 度 分 析 举 例
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
灵敏度分析和参数线性规划
3 1,
0,
4
0
1
1
1
6
0．
1 3 0 1 3 3
因此，在表
4-3
中增加一列
A7
7
B1
A7
6
3,
2,
0,
6
，得到新表
4-5，然
后以
x7
作基变量进行迭代，求得新问题的最优解为
xˆ
0,
0,
13 3
,
0,
56 9
,
0,
1 9
．
cj
cB 基
b
1
x1 1 3
0
x5
6
4
x3 13 3
xj 0, j 1, 2, , n, n 1
显然，原问题 LP 的最优基 B 是新问题 LP 的可行基，原有变量的检验数没有
改变，而 n1 cn1 cB B1 An1 ．若
（1） n1 0 ，则新问题的最优性准则仍满足，故 xˆ x1, x2, , xn, 0 是
新问题 LP 的最优解．此时说明新增加的变量 xn1 对最优解没有影响，或说新
j
akj
|
j JN,
akj 0 ．
(4-4)
即，当 cr 没有超出(4.1.4)式的范围，则最优解不变；否则，把最终单纯形表
上的 N 换成 N ， cr 换成 cr ，继续用单纯形法求解．
例 4-1 已知线性规划问题的标准形式为：
min z x1 2x2 x3 0 x4 0 x5
到最优解的单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最
优解的条件，如果不满足的话，再从这个表开始进行迭代计算，求
得最优解．对标准型线性规划 LP ，本节假定其最终表上已得到最
物理实验中如何进行实验参数灵敏度分析与优化
物理实验中如何进行实验参数灵敏度分析与优化物理实验是科学研究的重要手段之一，通过实验可以验证理论推测，并揭示物质世界的规律。
而实验参数的选择和优化，则直接关系到实验结果的精确度和可靠性。
本文将针对物理实验中的参数灵敏度分析与优化进行探讨。
一、实验参数灵敏度分析在进行物理实验之前，我们需要确定一组合适的实验参数，如测量仪器的种类和精度、实验条件的设置等。
而在实验证明过程中，我们要关注实验参数对测量结果的影响程度，也就是参数的灵敏度。
参数灵敏度是指实验结果随着实验参数变化而产生的相应变化，反映了参数对实验结果的影响程度。
一般来说，参数灵敏度越高，实验结果就越容易受到参数变化的干扰；参数灵敏度越低，实验结果就越稳定可信。
因此，了解参数的灵敏度是优化实验设计和结果解释的基础。
在进行参数灵敏度分析时，我们可以通过对每个参数进行单独变化，观察实验结果的变化情况。
通过演化函数或测量误差引起的参数变化，来评估参数对实验结果的影响程度。
同时，还可以使用不同的实验参数组合，比较实验结果的稳定性和可靠性。
二、实验参数优化在实验参数灵敏度分析的基础上，我们可以进一步进行实验参数优化，以提高实验结果的准确性和可靠性。
1.优化参数选择在实验设计中，我们需要根据实验目的和研究对象的特点来选择合适的实验参数。
一般来说，选择具有较高测量精度的仪器和设备，并对实验条件进行合理排布，以降低参数的灵敏度，提高实验结果的可信度。
2.优化实验配置在物理实验中，还需要考虑所使用的实验条件和测量方法。
通过合理配置实验装置和仪器，可以减小一些不必要的误差来源，提高实验结果的准确性。
同时，还可以通过对实验条件的调整来增加实验结果的灵敏度，确保其在所研究物理量发生变化时能够及时反映出来。
3.优化数据处理实验数据的处理也是重要的一环。
在物理实验中，我们需要选择合适的数据处理方法和技术，避免数据误差的传递和累积，并通过统计分析等手段准确地得出实验结果。
灵敏度分析
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。
2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。
3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。
4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。
5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。
6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。
7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。
9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。
12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。
13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。
大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。
线性规划的灵敏度分析
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2023年2月1日星期三 Page 20 of 34
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
灵敏度分析与
13
问题Ⅱ：在例1的优化模型中，C不变， 讨论b与A分别变动时的如下问题：
• b1=300310，b2，b3，A不变时，求设备 (台时）的对偶价格Pb1。 • b2=400410，b1，b3，A不变时，求原料 (克）的对偶价格Pb2。
14
解：
• 由图(c)知，当b 。
310，b2，b3，A不变时，最优点由B B ' (60,250 ), 1 或~ (60,250 )T ，从而有z ( ~ ) 50 60 100 250 28000，增加利润 x x z 28000 27500 500 元，b 310 300 10，故Pbi
z 500 50。 b1 10
即每增加一个设备台时，总利润提高50元，此即为设备的对偶价格经济
• 由图(d )知，当b 。
有Pbi
含义。
2
410，b1，b3，A不变时，最优点仍为B, 或~ (50,250 )， x
从而有z ( ~ ) 50 50 100 250 27500 ，与原目标值相等，无变动。从而 x z 0 0，即原料A总供应量由400千克增加到410千克时，总利 b2 10 润无提高。这是由于下述理由：实际上，当~ (50,250 )T 时，原料A的消耗 x 量仅为2 x1 x2 2 50 250 350 千克，故此中生产方案连总供应量的400 千克都用不完（还剩50千克），故若即使再增加供应10千克，显然因无用 而库存。
x1 x2 xk xn C1 C2 Ck Cn P ( l ) P2( l ) 1 z1( l ) Pn( l )
b (i )
A, b不变，而A( l ) Bl1 A， b ( l ) B l1b，故由LP LP '时，
运筹学-扰动、参数规划和灵敏度分析(名校讲义)
§1 扰动及参数规划 （7）
C )T －(Y 0 )T (M )]M －1
T
C ( X ) ( C ) X
T
T
(Y 0 )T b (Y )T b
最后，推导一下M阵扰动 M后，其逆阵M －1=U之扰动 U。 推导可得：
§2 保持最优基时的参数灵敏 度分析 （5）
表1-7 初始单纯形表格
Vi a1 a2 a3 a4 a5 a6 b
基变量
x4 x5 x6
x1
6 10 1
j
x2
5 20 0 4.5
x3
8 10 0 6
x4
1
x5
1
x6
60 150 8 0
1
0 0 0
cj－zj = c
5
§2 保持最优基时的参数灵敏 度分析 （6）
b'i bi ik bk
(i 1,, m)
§2 保持最优基时的参数灵敏 度分析 （15）
这说明，当bk变为bk+bk时，最优表格中，只有右边常数项
元素发生变化 ，为仍保持最优，必须使右边常数列元素全 ≥0。所以得： ik bk b,则得： i
bi bi max ik 0 bk min ik 0 i i ik ik
U M 1 (M )U U (M )U
§2 保持最优基时的参数灵敏 度分析 （1）
为分析方便，举一实例说明。
[例1-29] 某车间生产3种产品，产品型号为I，Ⅱ，Ⅲ，每 件产品消耗机时分别为6，5和8小时，占有存储空间分别 为10，20和10；其利润分别为5，4.5和6。此外，I型产品 限制量为≤8。车间共有机时和存储空间分别为60和150。 问该车间应生产各类产品多少件才能获得最大利润？
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一项重要的决策工具，用于评估一个系统对其输入参数变化的敏感程度。
它在不同领域和行业中都有广泛的应用，包括金融、工程、环境等。
本文将详细介绍灵敏度分析的概念、方法和应用，并探讨其在决策过程中的重要性。
灵敏度分析是指通过改变一个或多个输入变量，观察系统输出变量的变化情况，从而确定输入变量对输出变量的影响程度。
它能够帮助我们了解系统的稳定性和可靠性，并得出相应的决策。
灵敏度分析通常与多元回归分析或其他统计模型一起使用，以揭示模型背后的关键因素。
灵敏度分析的方法有很多种，其中最常见的一种是参数灵敏度分析。
参数灵敏度分析通过改变系统输入参数的值，观察输出结果的变化情况，从而确定每个参数对输出结果的影响程度。
这种方法可以帮助我们识别问题中最重要的参数，并为决策提供基础数据。
除了参数灵敏度分析，还有一些其他的灵敏度分析方法，如局部敏感性分析、全局敏感性分析等。
局部敏感性分析通常用于评估系统在输入参数变化的某一特定范围内的敏感性。
全局敏感性分析则可以帮助我们了解整个系统在不同参数组合下的行为。
这些方法的选择取决于具体问题的需求。
灵敏度分析在不同领域和行业中都有广泛的应用。
在金融领域，灵敏度分析可以帮助投资者评估不同投资组合的风险和回报，从而做出更明智的决策。
在工程领域，它可以用于评估系统设计方案的可行性和稳定性。
在环境领域，灵敏度分析可以帮助我们了解环境参数对气候变化或生态系统健康的影响，从而制定相应的保护政策。
灵敏度分析在决策过程中的重要性不言而喻。
通过对系统的关键参数进行分析，我们可以更好地理解系统的行为和性能，从而制定更科学、更有效的决策。
它可以帮助我们识别风险和机遇，并为决策者提供决策依据。
然而，灵敏度分析也存在一些局限性。
首先，它假设系统的行为是线性的，这在实际情况下往往是不成立的。
其次，它无法考虑参数之间的交互作用，这可能导致结果的片面性。
因此，在进行灵敏度分析时，我们应该结合其他分析方法和经验判断，以获得更全面和可靠的结果。
机械设计中的机械设计参数敏感性优化方法
机械设计中的机械设计参数敏感性优化方法在机械设计过程中，机械设计参数的选择对于产品性能和质量至关重要。
合理的设计参数可以提高产品的可靠性和稳定性，降低成本并优化产品性能。
然而，由于机械系统的复杂性和参数之间的相互关联，如何优化机械设计参数成为了一个挑战。
本文将介绍几种机械设计参数敏感性优化方法，帮助工程师们更好地进行机械设计。
一、灵敏度分析法灵敏度分析法是一种常见的机械设计参数敏感性优化方法，通过分析设计参数对于特定性能指标的影响程度，找出对性能影响最为敏感的参数。
在灵敏度分析中，常用的指标包括应力、振动、位移等。
通过改变设计参数的值，观察指标的变化情况，可以得到各个参数对指标的影响程度。
根据这些敏感度分析结果，可以针对性地对设计参数进行优化调整，提高产品的性能表现。
二、响应面法响应面法是一种利用数学模型描述机械系统响应性能的方法。
通过构建数学模型，将设计参数与系统性能之间的关系进行数学建模，并利用响应面分析方法进行优化。
在响应面法中，常用的数学模型包括二次回归模型、多项式回归模型等。
通过对模型的参数进行拟合和优化，可以得到最优的设计参数组合，实现机械设计的优化。
三、遗传算法遗传算法是一种模拟自然界进化过程的优化方法，通过模拟基因遗传和进化过程来搜索最优解。
在机械设计中，可以将设计参数看作是遗传信息的载体，在设计空间中进行搜索和优化。
通过定义适应度函数来衡量设计参数的优劣，不断迭代和演化，最终找到最优的设计参数组合。
遗传算法具有全局搜索的特点，可以找到更优的解决方案。
四、神经网络方法神经网络方法是一种基于人工神经网络的机械设计参数优化方法。
通过搭建神经网络模型，将输入的设计参数映射到输出的性能指标上。
通过训练模型，不断调整神经网络的权重和偏置，使得模型逼近真实的系统性能。
通过优化神经网络模型，可以得到最优的设计参数组合，实现机械设计的优化。
神经网络方法具有学习和适应性强的特点，适用于复杂的机械系统设计。
第4讲 灵敏度分析及整数规划
灵敏度分析所要解决的问题：
系数在什么范围内变化，不会影响已获得
的最优基(即最优解或最优解结构不变)。
如果系数的变化超过以上范围，如何在用
最简便的方法在原来最优解的基础上求得新 的最优解
当线性规划问题增加一个新的变量或新的
约束，如何在原来最优解的基础上获得新的 最优解。
灵敏度分析内容 ※常数项bi的改变
※目标函数系数cj的改变 ※技术系数aij的改变
灵敏度分析步骤
求出LP问题的最终单纯形表 对于变化的系数，经过一定的计算将
结果填入最终单纯形表。
检查与分析最终单纯形表的变化，采 取相应的处理措施。
系数变化后最终表的几种情况 Nhomakorabea在单纯形法迭代时，每次运算都和基
1.6.1 资源系数变化的分析
资源系数发生变化，即
该问题的最优解：
第1章
线性规划
（2学时）
线性规划模型及单纯形法
单纯形法续（2学时）
对偶理论 （2学时）
灵敏度分析及整数规划（2学时）
灵敏度分析及整数规划
灵敏度分析（1.6)
整数规划(1.7)
重 点：灵敏度分析 难 点：系数A的灵敏度分析 基本要求：了解灵敏度分析的内容，掌握灵敏度分析方法， 掌握分枝定界法步骤。
b B 1b 0 最优基不变，最优解为X =B-1b, X =O B N
b B 1b 0
最优基变化，用对偶单纯形法求新的解
最优解X*=（0，0，5，0，0）T，最优值W*=-20
情况1非基变量价值系数发生变化
1.6.2价值系数变化的分析
具体求解见书例25-例28（自学）
运筹学灵敏度分析目标规划
3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变
灵敏度分析和参数线性规划39页PPT
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.4灵敏度分析
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线性规划模型： 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + 2 x1 + x2 ≤ 300 x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
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PagHale Waihona Puke 62009年3月18日星期三
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回答下列问题： 1.最优解及最优目标函数值是多少； 2.资源的对偶价格各为多少，并说明对偶价格的含义； 3.为了使目标函数值增加最多，让你选择一个约束条件， 将它的常数项增加一个单位，你将选择哪一个约束条件？ 这时目标函数值将是多少？ 4.对 x2 的目标函数系数进行灵敏度分析； 5.对第2个约束的约束右端项进行灵敏度分析。
2.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
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• 背景：
a 线性规划问题中， ij , bi , c j都是常数， 但这些系数是估计值和预测值。 市场的变化 ⇒ c j值变化； 工艺的变化 ⇒ a ij值变化； 资源的变化 ⇒ bi值变化。
• 在松弛/剩余变量栏中，约束条件2的值为125，它表示对原 料A的最低需求，即对A的剩余变量值为125；同理可知约 束条件1的剩余变量值为0；约束条件3的松弛变量值为0。 • 在对偶价格栏中，约束条件3的对偶价格为1万元，也就是 说如果把加工时数从600小时增加到601小时，则总成本将 得到改进，由800万减少到799万。也可知约束条件1的对偶 条件为-4万元，也就是说如果把购进原料A的下限从125t增 加到126t，那么总成本将加大，由800万增加到804万。当 然如果减少对原料A的下限，那么总成本将得到改进。 • 在常数项范围一栏中，知道当约束条件1的常数项在300— 475范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对 偶价格不变；当约束条件2的常数项在负无穷到250范围内 变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶 价格不变，仍为0；当约束条件3的常数项在475—700内变 化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件3的对偶价 格不变，仍为1。
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例4
• 在上一节例1中增加一个新的约束条件， 问原最优解是否仍然保持？若不能，则 求出新的最优解．
• 事实上，并不是一张正规单纯形表，因 为将新约束条件的系数填入基变量x8所在 的行以后，破坏了原来的单位矩阵（最 优基).为了恢复原来的单位矩阵，需要用 矩阵的初等行变换将单位列向量中新出 现的非零元素变为零，这样得表
第四章 灵敏度分析与参数规划
前面的假设
• 前几章讨论线性规划问题时，总是假设 是不变的常数． • 但实际上这些数据往往是根据以往资料， 或估计值、或预测值，不可能很精确， 而且随着情况的变化，这些数据也会经 常发生变化．
实际的情况
面对市场经济： • 价格的波动会引起价值系数的变化； • 工艺的改进引起消耗系数的变化； • 资源储量的变化会引起右端常数的变化； • 增加新产品会引起决策变量的增加； • 增加新的资源限制会引起约束条件的增 加等等。
三个问题
• 当这些数据中有一个或几个发生变化时， 已求得的线性规划问题的最优解会有什 么变化？ • 这些数据在什么范围内变化时，已求得 的线性规划问题的最优解或最优基不变？ • 若原最优基不再是最优基，如何在先前 优化的基础上迅速求得新的最优方案？
灵敏度分析
• 以上三个问题正是灵敏度分析所要讨论 的问题． • 灵敏度分析（Sensitivity analysis） • 又称为优化后分析（Post-optimality analysis） • 因为它是在已求得线性规划最优解的基 础上，来讨论这些数据的变化对最优解 的影响．
不换基！
• 若基变量系数的变化导致原始可行性条 件和对偶可行性条件均被破坏，即产生 了对原问题和对偶问题均为非可行解时， 这就需要引入人工变量重新求解，或者 用第三章中介绍的求初始正则解的方法 求解．这里就不详细讨论了．
4.2 增加新变量的灵敏度分析
建模时漏掉了
例3
• 在上一节例1中新增一个决策变量由（相 当于生产计划中增加一种新产品）已知 价值系数c8=7，技术系数P8=(3,2,5)T．问 该产品是否值得投产？如果值得投产， 求新的最优解．
增加等式约束与不等式约束
• 增加等式约束R(A)增大需要增加基 变量没有明显的可增加的基变量引 入人工变量作为基变量再用大M法或 两阶段法 • 增加不等式约束R(A)增大需要增加 基变量引入的松弛变量正好成为基变 量立即得到新问题的一个正则解
例5 综合实例
本章小结
§1 灵敏度分析的基本原理
• 当其中的某些数据发生变化时，就可能 使这个最优解或最优基发生变化．
灵敏度分析的任务
• 研究这些数据的变化对最优解或最优基 的影响．
优化后分析
• 因为它是在已求得最优解的基础上进行 分析
灵敏度分析的理论依据
• 就是看条件是否仍成立．
灵敏度分析所研究的问题
参数规划
• 参数规划问题 • Parametric Programming
• 研究当某些数据是某一个参数的线性函 数时，该参数的连续变化对线性规划问 题最优解的影响．
目录
§1 §2 §3 §4 §5 灵敏度分析的基本原理 目标函数系数的灵敏度分析 右端常数的灵敏度分析 技术系数的灵敏度分析 参数线性规划
发生变化的对象
在实际问题中，下面这些数据或条件是会 经常发生变化的： • 目标函数系数的变化； • 右端常数的变化； • 消耗系数的变化
– 包括增加新的变量 – 增加新的约束条件
§2 目标函数系数的灵敏度分析
• 目标函数系数的变化会引起检验数的变 化，从而影响最优性条件是否成立．
分情况讨论
• 可分为对应的是非基变量的系数或基变 量的系数两种情况来讨论．
• 将最优解代入，判断是起作用约束，还 是不起作用约束
• 增加等式约束条件，一般地将使约束矩 阵A的秩增加，故需增加基变量．显然， 增加一个不等式约束也可以看作是增加 一个等式约束，但是，此时引入的松弛 变量正好成为基变量，故可立即得到新 问题的一个正则解．而增加一个等式约 束时，没有明显的可添加的基变量，故 需引入人工变量xn+1作为基变量，再用大 M法或两阶法将它剔除．
1. 非基变量xj的系数列向量Pj的变化，仅影响基B 地对偶可行性，不影响B的可行性
2基变量xj的系数列向量Pj的变化
例1
上一节例1 • 为保持现有最优解不变，分别求非基变 量x1,x3的系数的变化范围； • 若非基变量x1 的系数由(1,3,5)T变为 (1,4,1)T，考察原最优解是否仍然保持最 优？若不是，该怎么办？
2.1 非基变量的价值系数的变化
• 这就是保持原最优解不变时，基变量的 目标系数的变化范围． • 当超出这个范围时，原最优解将不再是 最优解了， • 为了求新的最优解，必须在原最优单纯 形表的基础上，继续往下迭代以求得新 的最优解．
例1
• 为保持现有最优解不变，分别求非基变 量x1,x3的系数c1,c3的变化范围． • 当c1变为5时，求新的最优解．
• 为了保持现有的最优解或最优基不变， 找出这些数据变化的范围，即所谓数据 的稳定性区间． • 当这些数据的变化超出了范围时，如何 在原有最优解或最优基的基础上，作微 小的调整，尽快求出新的最优解或最优 基．
单纯形法的优点
• 某些数据只和表中的某些块有关，因而 当这些数据发生变化时，只需对上表中 的某些块进行修改，便可得到新问题的 单纯形表，从而能够进行判别和迭代， 而不必从头开始计算线性规划问题
5
3/4
2.2 基变量的价值系数的变化
cr CB
怎么记？
• 首先，要在最优表上查出基变量xr所在行 中的元素a’rj • 然后，只取与非基变量所在列相对应的 元素，将其中的正元素放在不等式左边， 负元素放在不等式右边， • 最后，分别求出△cr的上下界．
然后，只取与非基变量所在列相对应的元素， 将其中的正元素放在不等式左边，负元素放 在不等式右边，
4.3 增加新约束条件的灵敏度分析
• 具体作法是在原最优单纯形表上增加一 行和一列，增加的行中以xn+1（松弛变量） 为基变量，并在变量又下面填入 am+1,j(j=1,2,…,n) ,增加的列Pn+1是一个单 位列向量．它的最下面的一个元素为1， 其余元素均为0（包括σn+1=0)这样增加一 行以后，可能破坏了原最优表上的单位 矩阵（最优基)要用矩阵的初等行变换将 原单位矩阵恢复．然后再继续迭代求 解．
注意！
进基出基法则不能绝对化！
§3 右端常数的灵敏度分析
• 右端常数 bi的变化，和B-1、A、C不相关， σ没有变化， • 会影响到原最优解的可行性与目标函数 值．
怎么记？
• 当br在此范围内变化时，基B的最优性虽 然仍可保持，但最优解中基变量的值和 目标函数值同时改变 • 当br变化超出范围时，必须破坏基B的可 行性，可用对偶单纯形法继续迭代
• 这是因为在B-1中的第l列只有一个非零元 素1，故上界无限制．
§4 技术系数的灵敏度分析
• 4.1 个别技术系数的变化 • 4.2 增加新变量的灵敏度分析
– 新产品
• 4.3 增加新约束条件的灵敏度分析
– 增加一道工序
4.1 个别技术系数的变化
根据变动的系数aij处于矩阵A中的哪一列 又可分为两种情况来考虑：一是aij处于 非基变量列中；二是aij处于基变量列 中． • 非基变量xj的系数列向量Pj的变化 • 基变量xj的系数列向量Pj的变化
• 首先，要在最优表中查出最优基 B的逆 矩阵 （它就在与初始表中单位矩阵—— 初始基相对应的位置． • 其次，将B-1的第r列中的正元素放在不等 式左边，负元素放在不等式右边 • 最后，再按公式求出△br的上下界．
例1
在上一节例l中 • 为保持现有最优解不变，分别求b1,b2,b3 的允许变化范围． • 如果b3减少150，验证原最优解是否可行？ 如果不可行，求出改变后的最优解及最 优值．
Why?
N C N CB B N
1
基变量xr的价值系数Cr的变化引起CB的变化， 从而导致所有非基变量的检验数发生变化。
• △的变化超出此范围时，破坏了基B的对 偶可行性，此时可用单纯形法继续迭代
例2
• 为保持现有最优解不变分别求例1中基变 量x2,x4的变化范围，并问当CB由(0,4,5)改 变为(0,6,2)时，原最优解是否仍然保持最 优？如果不是，该怎么办？
表中的解仍为最优解 用单纯形法继续迭代求最 优解 用对偶单纯形法继续迭代 求最优解
引入人工变量，编制新的 单纯形表求最优
非可行解 非可行解
C变 CN
CB b变 A变 N B 变量 约束 增加一列 不等式约束，增加一行一列 等式约束，大M法
XB
例2
• 在 上一节例 1中，若基变量x2的技术系数 列向量由 P2=(3,4,4)T变为 P’2=(4,5,6)T， 而它在目标函数中的系数由c2=5变为 c’2=6．试求变化后的最优解．
• 并不是一个正规的单纯形表，因为没有单位矩 阵．为了得到一个单位矩阵，注意到x2仍为第3 个基变量，故必须将x2 所在列变成单位列向量， 同时将σ’2=-7/2变为0，即以a’32=9/4为主元进行 矩阵的初等变换（这种变换没有换基， x2 仍为 基变量)．
考察数据变化对现行最优方案的影响，实 际上考查对基B最优性的影响。因此，可 考虑从以下两个方面入手： • 数据的变化是否影响基B的原始可行性
B b0
1
1
• 数据的变化是否影响基B的对偶可行性
C CB B A 0
原问题
对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解
非可行解
可行解 非可行解
可行解