动态几何问题分类解析
动态几何问题分类解析PPT
• 动态几何问题概述 • 动态几何问题的分类 • 动态几何问题的解析方法 • 动态几何问题的应用实例 • 动态几何问题的挑战与展望
01
动态几何问题概述
定义与特点
定义
动态几何问题是指涉及图形在运动过 程中产生的变化和规律的问题。
特点
动态几何问题具有综合性、探索性和 应用性，需要学生掌握基本的几何知 识和逻辑推理能力，同时还需要具备 一定的数学建模和问题解决能力。
02
动态几何问题的分类
点动问题
点在几何图形中运动，引起图形变化的问题。
点动问题是动态几何问题中最基础的一种，主要研究点在运动过程中，与其相关 的图形性质和数量关系的变化。例如，点在圆上运动时，研究其与圆心、半径等 的关系。
线动问题
线在几何图形中运动，引起图形变化的问题。
线动问题涉及线的移动对图形形状、大小和位置的影响。这类问题通常涉及到线与线、线与点、线与面等之间的关系变化。 例如，研究直线在平面内平移时，与平面内其他线的关系。
动态变化的不确定性
在动态几何问题中，形状、大小和位置可能会随时间发生变化，这 种不确定性增加了解决问题的难度。
计算效率问题
由于动态几何问题的复杂性，使用传统的几何或数值方法可能无法 快速得到精确解，因此需要高效的算法和计算技术。
研究进展与趋势
算法改进
研究者们不断改进算法，以更有 效地解决动态几何问题。例如， 采用更高级的数值计算方法、引 入人工智能和机器学习技术等。
利用几何图形的性质和定理，通过图形 变换和构造来解决问题。
VS
详细描述
几何法是解决动态几何问题的另一种常用 方法。它利用几何图形的性质和定理，通 过图形的平移、旋转、对称等变换以及构 造辅助线等方式来解决问题。这种方法适 用于解决一些涉及图形位置和形状变化的 动态问题。
全等三角形中的动态性问题
全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。
解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。
一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。
1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。
2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。
二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。
例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。
例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。
例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。
三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。
例题3图（a）例题3图（b）证明：略。
例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。
例说立体几何中的动态问题
例说立体几何中的动态问题立体几何中的“动态问题”，是指空间图形中的某些点、线、面的位置关系是不确定的，可变的一类开放问题。
对学生来说，解决这类问题，对其空间想象能力，逻辑推理能力的要求更高，难度一般比较大。
但又因为这类问题是可变的，开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养。
这类问题往往把立体几何知识和其他部分的知识有机地结合起来，解决问题的关键就是转化与化归，把空间问题转化为平面问题来解决。
本文归纳了几类动态问题，希望对大家解决立体几何中的动态问题有所启发。
一、与轨迹有关的动态问题例1：如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（）A ．线段 B．圆 C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分解析：连结，可证，即，即点E是体对角线上的定点，直线AE也是定直线．，∴动点P必定在线段AE的中垂面上，则中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．故选A例2：在正方体中，点是侧面内一个动点，它到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分解析：本题是立体几何与解析几何相结合的一道题目，学生难在空间问题如何转化为平面问题，即解析几何问题。
这里动点到直线的距离易作出，难在到直线的距离的距离是什么。
因垂直平面，所以，即点到点的距离与到直线的距离相等。
所以动点在侧面内的轨迹是一段抛物线。
评注：动点轨迹主要是把空间的关系转化为平面内动点所具有的特性。
这类问题综合了平面几何、立体几何、解析几何等知识，渗透了数形结合思想，转化与化归思想，分类讨论思想，对第一次碰到此类问题的学生有较好的检测功能。
二、与距离有关的动态问题例3：如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界），若平面，则的最小值是（）A．B．C．D．解析如图，在上取中点，在上取中点，连接，且，易知平面平面，则动点的轨迹是（不含两点）又平面，则当时，取得最小值此时，评注：本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.例4：长方体中,且一只小虫子从，点沿长方体的表面爬到点处，则小虫子的最短行程是多少?解析：当小虫子沿侧面与侧面到时，将二侧面展开铺平，在平面内，连即为最短行程，记为。
中考数学压轴题专题十动态几何问题
中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。
数轴上的九类动态模型(学生版)--七年级数学几何模型全归纳
数轴上的九类动态模型数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。
解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。
即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解(要检验解是否符合动点的运动时间范围)。
模型1.动态规律(左右跳跃)模型模型2.单(多)动点匀速模型模型3.单(多)动点变速模型模型4.动点往返运动模型模型5.动态中点与n等分点模型模型6.动态定值(无参型)模型模型7.动态定值(含参型)模型模型8.数轴折叠(翻折)模型模型9.数轴上的线段移动模型【知识储备】①若A、B两点在数轴上对应的数字是a、b，则AB两点间的距离AB=a-b；AB的中点对应的数字是：a+b2。
②数轴动点问题主要步骤：1)画图--在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；2)写点--写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；3)表示距离--右-左，若无法判定两点的左右需加绝对值；4)列式求解--根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：(1)数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
(2)对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。
模型1.动态规律(左右跳跃)模型模型(1)：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可；模型(2)：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。
例1.(23-24七年级上·广西南宁·阶段练习)在数轴上，点O表示原点，现将点A从O点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动2个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动3个单位长度到达点A3，第四次将点A3向右移动4个单位长度到达点A4，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，当n=100时，点A100与原点的距离是个单位．例2.(2023·山东·七年级期中)一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，x n表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3=3；②x5=1；③x108<x104；④x2019>x2020．其中，正确结论的序号是．变式1.(23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习)已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+ 6|+(b+3)2=0，又b，c互为相反数．(1)求a，b，c的值．(2)若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度⋯依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数．变式2.(23-24七年级上·福建泉州·期中)如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，⋯以此类推，移动5次后该点对应的数为．这样移动2023次后该点到原点的距离为．模型2.单(多)动点匀速模型模型(1):动点P从点A(点A在数轴上对应的数是a)出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B 点，B点对应的数是：a+vt。
中考几何-动态试题解法(解析版)
中考几何动态试题解法专题知识点概述一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。
3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。
4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，属于初中数学难点，综合性强，只有完全掌握才能拿高分。
二、动点与函数图象问题常见的四种类型1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
四、动点问题常见的四种类型解题思路1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。
中考动点问题题型方法归纳
图（3）B图（1）B图（2） 动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点，运动停止.点Q 沿线段OA ﻩ运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动. (1)直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标. 提示:第(2）问按点P 到拐点Ｂ所有时间分段分类;第(3)问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类－－---①O Ｐ为边、OQ 为边，②ＯP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。
2、如图，AB 是⊙O 的直径,弦B Ｃ＝2cm,∠ABC=60º． （1)求⊙O 的直径；(2）若D 是A Ｂ延长线上一点,连结CD,当B Ｄ长为多少时,ＣＤ与⊙O 相切;（3）若动点E 以2ｃm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动,同时动点F 以1ｃm/s 的速度从B 点出发沿B Ｃ方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF,当t 为何值时,△BEF 为直角三角形．提示:第（3)问按直角位置分类讨论3、如图，已知抛物线33)1(2+-=x a y （0≠a )经过点(2)A -，0,抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． (1）求该抛物线的解析式;(2）若动点P 从点O 出发，以每秒１个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形?（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和２个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长．提示：发现并充分运用特殊角∠DAB ＝6０° 当△ＯP Ｑ面积最大时，四边形B ＣPQ 的面积最小。
初中数学全等三角形中的动态问题(知识点例题解析)
初中数学全等三角形中的动态问题（知识点+例题解析）初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它线段AB上以1/们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的cm s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若运动速度为x/不存在，请说明理由．【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．【习题精练】=，BC6=，线段PQ=AB，1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问>，才能使△ABC≌△QPA全等．P点运动___________秒时(t0)2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB =12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC =4m ，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．3．（2020·常州市月考）如图， ADC 中．∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ⊥AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，△ABC 才能和△APQ 全等．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A （m ，0），B（0，n ），且|m -n -3|=0，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S =△△．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E 分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．＝3S△BQC，则a＝；（1）当t＝2时，S△AQF（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．11.（2019·江苏期末）如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图①图②12.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N 作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1备用图（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S = ：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案及解析初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
高中物理动态问题分类解析
总结：〔1〕电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。〔2〕在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。
6、理想变压器中的动态问题
理想变压器中各物理量的制约关系为：
电压制约：当变压器原、副线圈的匝数比 一定时，输出电压 由输入电压 决定，即 ，可简述为“原制约副〞。
电流制约：当变压器原、副线圈的匝数比 一定时，且输入电压 确定时，原线圈中的电流 由副线圈中的输出电流 决定，即 ，可简述为“副制约原〞。
负载制约： 变压器副线圈中的功率 由用户负载决定， 变压器副线圈中的电流 由用户负载及电压 决定，即 ； 总功率
恒定功率的加速。由公式 和 知〔其中 为阻力〕，由于 恒定，随着 的增大， 必将减小， 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到 ，这时 到达最大值 。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。因为 为变力，这种加速过程发电机做的功只能用 计算，不能用 计算。
恒定牵引力的加速。由公式 和 知，由于 恒定，所以 恒定，汽车做匀加速运动，而随着 的增大， 也将不断增大，直到P到达额定功率 ，功率不能再增大了。这时匀加速运动完毕，其最大速度为 ，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。因为功率P是变化的，这种加速过程发电机做的功只能 用计算，不能 用计算。
动态问题分析的思路程序可表示为：
例6.图9为一理想变压器，S为单刀双掷开关，P为滑动变阻器的滑动触头， 为加在原线圈两端的电压， 为原线圈中的电流强度，那么保持 及P的位置不变，S由a合到b时， 将增大。保持 及P的位置不变，S由b合到a时，R消耗的功率减小。保持 不变，S合在a处，使P上滑， 将增大。保持P的位置不变，S合在a处，假设 增大， 将增大。
怎样运用分类讨论思想解答几何中的动点问题
数学篇几何动点问题一直是初中几何中的一个难点，因为点运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种.同学们在求解此类问题时常常因为考虑不周导致漏解而出错.因此，解答动点问题尤其要注意分类讨论.下面就如何运用分类讨论思想解答两类几何图形中的动点问题进行分析，以供参考.一、运用分类讨论思想解答等腰三角形中的动点问题等腰三角形具有两条边相等、底角相等的特点，在求解涉及等腰三角形的动点问题时，由于边的不确定性或角的不确定，需要运用分类讨论思想，从动态的角度逐一讨论三角形的三边两两相等的三种情况，或三角形的三个角为其顶角的三种可能性，然后综合所有分类的结果确定最终答案.例1如图1，在直角坐标系中，已知点P (-2,-1)，点T （t ,0）是x 轴上的一个动点.（1）求点P 关于原点的对称点P ′的坐标；（2）当[t ]取何值时，△P ′TO是等腰三角形？图1图1-1分析：第（1）问求P 点的对称点P ′比较简单，利用对称性即可解答.第（2）问，T 是x 轴上的动点，它在运动的过程中△P ′TO 可能是等腰三角形但顶点未确定，需要分情况讨论.解：（1）∵P (-2,-1)，∴P 关于原点的对称点P ′坐标为（2，-1），（2）由（1）知P ′（2，-1），作图如图1-1所示，①当△P ′TO 中，点P ′为顶点时，T 点为图1-1中T 4点，此时P ′T =P ′O ，T 坐标为T 4(4,0)，②当△P ′TO 中，点T 为顶点时，T 点为图1-1中T 2点，此时TO =TP ′，又∵T （t ，0）且P ′（2，-1），∴(0-t )2+(0-0)2=(2-t )2+(-1-0)2解得，t =54，此时点T 坐标为T 2（54，0），③当△P ′TO 中，点O 为顶点时，T 点为图1-1中T 1和T 3点，此时TO =P ′O ，∵T （t ，0）且P ′（2，-1），∴(0-t )2+(0-0)2=(0-2)2+[0-(-1)]2，解得，t =±5，此时T 点坐标为T 1(-5，0)和T 3（5，0），综合①②③可知，当t 取-5、54、5、4时，△P ′TO 是等腰三角形.评注：本题看似简单，实则非常复杂.由于题目中没有明确等腰三角形的顶点，且T 为坐标轴上的一个动点，所以点T 、O 、P 均有可能为等腰三角形顶角的顶点，需要对此进怎样运用分类讨论思想解答几何中盐城市新洋初级中学吉华丽解法荟萃32数学篇行分类讨论.二、运用分类讨论思想解答圆中的动点问题圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性.圆的这些特性决定了与圆有关的动点问题可能存在多解.在解题时，我们可以根据题目要求初步绘制“圆”可能存在的位置，然后依据分类标准（比如x 轴、y 轴等）逐一分类讨论，做到不重不漏，最后综合所有情况得到完整答案.例2如图2，直线y =-43x +4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .（1）求M ，N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125为半径的圆与直线y=-43x +4相切，求点P 的坐标.图2图2-1分析：这是一个直线与圆相结合的题目.第（1）问，我们借助直线方程y=-43x +4可以直接求出M 、N 的坐标.第（2）问P 点在坐标轴上，到底在x 轴还是y 轴不确定，所以以P 点为圆心，半径为125的圆也具有不确定性，需要借助分类讨论思想加以讨论.解：（1）∵直线y =-43x +4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，∴令x =0，y =4，即N （0，4）.同理可得M （3，0）.（2）经过分析发现P 点可能在x 轴上或y 轴上，通过作图发现可能有4种情况，如图2-1所示.①当P 在x 轴上时，设P （x 0，0），则圆P可能是图2-1中的两个虚线圆.125=43x ，解得x 0=0或6，此情况下P 点坐标为P 1（0，0）P 2（6，0）；②当P 在y 轴上时，设P （0，y 0），则圆P可能是图2-1中的两个实线圆.125=|-43×0-y 0+4|4，解得y 0=0或8，此情况下P 坐标为P 3（0，0）和P 4（0，8），由此可见P 1和P 3重合，是同一个点.综合①②，符合条件的P 点一共有3个，分表为（0，0）、（6，0）、（0，8）.评注：审题时一定要充分挖掘隐含条件，“点P 在坐标轴上”就是一个不确定的表述，可能存在多种情况.另外作图要准确，可以通过作图的方式大致确定点的位置，预估答案.此外，该题还有一个关键之处，即“点到直线的距离公式”.考试中常用的有两种公式，分别为：①设直线方程为一般式Ax +By +C =0，点P 的坐标为（x 0，y 0），则点P 到直线L 的距离为：d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B2；②当P (x 0,y 0)，直线L 的方程为截距式y =kx +b ，则P 点到直线的距离为d =|kx 0-y 0+b |1+k2.总之，动点问题常常要借助分类讨论思想辅助解题.一般涉及到与“直角三角形”“等腰三角形”“相似三角形”“圆”等相关的动点问题，往往具有不确定性，存在多解的情况.解法荟萃。
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题14( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题14（附答案）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标；（3）若点P在第四象限，连结P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（4）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝1120S△ABC，求m的值；（3）K 是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使B 、C 、K 、H 为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6cm ，动点P 从点C 出发以1cm /s 的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q 从点A 出发以2cm /s 的速度沿AB 匀速运动，当点P 到达点A 时，点P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t （s ）（1）当t ＝3时，线段PQ 的长为 cm ；（2）是否存在某一时刻t ，使点B 在线段PQ 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，以PC 为边，往CB 方向作正方形CPMN ，设四边形CPMN 与Rt △ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC .（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 是直线BC 上方抛物线上的点，若PCB BCO ∠=∠，求出P 点的到y 轴的距离.5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣6（a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，且OB ＝3OA ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ． （1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）如图2，直线y ＝12x -+n 与抛物线交于G ，H 两点，直线AH ，AG 分别交y 轴负半轴于M ，N 两点，求OM+ON 的值；（3）如图1，点P 在线段DE 上，作等腰△BPQ ，使得PB ＝PQ ，且点Q 落在直线CD 上，若满足条件的点Q 有且只有一个，求点P 的坐标．6．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和点C ，抛物线23y ax x c =-+经过,A C 两点，并且与x 轴交于另一点B .点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C 重合)，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE .设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式;(2)当ECD EDC ∠=∠时，求出此时m 的值;(3)点D 在运动的过程中，EBF △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.7．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 ；②若矩形ABCD 是“完美四边形”，且AB ＝4，则BC ＝ ；（2）如图1，“完美四边形”ABCD 内接于⊙O ，AC 与BD 相交于点P ，且对角线AC 为直径，AP ＝1，PC ＝5，求另一条对角线BD 的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD 的四个顶点A （﹣3，0）、C （2，0），B 在第三象限，D 在第一象限，AC 与BD 交于点O ，直线BD 的斜率为3，且四边形ABCD 的面积为153，若二次函数y ＝ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a 的值．8．如图，抛物线与x 轴相交于点 (3, 0)A -、点 (1, 0)B ，与 y 轴交于点(0, 3)C ，点 D 是抛物线上一动点， 联结 O D 交线段 AC 于点 E ．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求 ACB ∠的正切值；（3）当AOE ∆与ABC ∆相似时，求点 D 的坐标．9．如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．10．如图，批物线2y ax bx c =++经过点()2,0A -，B 两点，对称轴为1x =，与y 轴交于点()0,6C ，点P 是抛物线上一个动点，设点P 的横坐标为()14m m <<.连接BC .（1）求抛物线的函数解析式；（2）当BCP ∆的面积等于92时，求点P 的坐标； 11．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）和B 点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△P AB＝8，请求出此时P点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣45x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图a，已知抛物线y=－12x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式.（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC 的形状.并证明你的结论.（3）如图a,在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由.14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣32（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D．（1）求点D的坐标．（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时，求点D的坐标．（3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交，其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝﹣x于点N，且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围．（4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足S△ABQ＝3S△ABC，直接写出a的取值范围．15．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm.点P、Q是BC边上两个动点(点Q在点P右边)，PQ＝2cm，点P从点C出发，沿CB向右运动，运动时间为t秒.5s后点Q到达点B，点P、Q停止运动，过点Q作QD⊥BC交AB于点D，连接AP，设△ACP 与△BQD的面积和为S(cm²)，S与t的函数图像如图2所示.(1)图1中BC＝cm，点P运动的速度为cm/s；(2)t为何值时，面积和S最小，并求出最小值；(3)连接PD，以点P为圆心线段PD的长为半径作⊙P，当⊙P与ABC的边相切时，求t的值.16．已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣5的开口向上．（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；（2）试说明抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；（3）将抛物线C1沿（2）所求的两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，①写出抛物线C2的表达式；②当抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．17．如图1，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，作等腰直角三角形ABC，使∠BAC ＝90°，将△ABC沿着射线AB平移得到△A′B′C′，当点A′与点B重合时停止运动．设平移距离为m，△A′B′C′与△ABO重合部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示．（其中0≤m≤255m2555时，函数的解析式不同）（1）填空：a＝；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t 的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x 轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N 的坐标．（3）过点A 的直线与抛物线交于点F ，当tan ∠FAC ＝12时，求点F 的坐标． （4）过点D 作直线AC 的垂线，交AC 于点H ，交y 轴于点K ，连接CN ，△AHK 沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK 与四边形DGNC 产生重叠，设重叠面积为S ，移动时间为t （0≤t≤5），请直接写出S 与t 的函数关系式． 20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，15AC =，20BC =.动点P 以每秒5个单位长度的速度从点A 出发，沿A C B →→的方向向终点C 运动.点P 关于点C 的对称点为D ，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PD 、PQ 为边作PDEQ ，设点P 的运动时间为()t s .（1）当点P 在AC 上运动时，用含t 的代数式表示PQ 的长.（2）当PDEQ 为菱形时，求t 的值.（3）设PDEQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式.（4）作点E 关于直线PQ 的对称点E '，当点E '落在ABC ∆内部时，直接写出t 的取值范围.21．如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．22．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)2-4(a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．24．如图，矩形ABCD的两边长AB＝16cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x（秒），设△BPQ的面积为ycm2．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当△BPQ面积有最大值时，求x的值．25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D 在AB 边上，EF 在BC 边上，点G 在AC 边上，设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ．（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x 的取值范围_______；（3）若DG ＝2DE ，则矩形DEFG 的面积为_______．27．如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标． （3）点M 是抛物线在第一象限内图像上的任意一点，求当∆BCM 的面积最大时点M 的坐标.28．已知：如图.在△ABC 中.AB =AC =5cm ，BC =6cm .点P 由B 出发，沿BC 方向匀速运动.速度为1cm /s .同时，点Q 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动.速度为1cm /s ，过点P 作PM ⊥BC 交AB 于点M ，过点Q 作QN ⊥BC ，垂足为点N ，连接MQ ，若设运动时间为t (s )(0<t <3)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 是边AB 中点?（2）设四边形PNQM 的面积为y (cm 2)，求出y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形PNQM :S △ABC =4:9?若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使四边形PNQM 为正方形?若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.29．如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2+2x +c 与x 轴交于A 、B 两点，其中点A （﹣1，0），抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）如图2，直线l 是抛物线的对称轴，点P 是直线l 上一动点，是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（2）如图3，连接BC ，点M 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，当△MBC 的面积最大时，求△MBC 的面积的最大值；点N 是线段BC 上的一点，求MN +22BN 的最小值．30．如图在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y ax bx =+与x 轴交于点()10,0A ，点()1,2B 是抛物线上点，点M 为射线OB 上点(不含,O B 两点)，且MH x ⊥轴于点H .(1)求直线OB 及抛物线解析式;(2)如图,过点M 作//MC x 轴,且与抛物线交于,C D 两点(D 位于C 左边),若MC MH =,点Q 为直线BC 上方的抛物线上点,求OBQC 面积的最大值，并求出此时点Q 的坐标;参考答案1．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（4，5）；（3）当t＝32时，S有最大值278；（4）存在，理由，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）【解析】【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），即可求解；（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝3，故t＝4，则点P（4，5）；（3）△P AE的面积S＝12PH×OE＝32（t﹣3﹣t2+2t+3）＝32（﹣t2+3t），即可求解；（4）分∠PEA＝90°、∠P AE＝90°两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），抛物线表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝4，故t＝4，则点P（4，5）；（3）过点C作y轴的平行线交AE于点H，由点A、E的坐标得直线AE的表达式为：y＝x﹣3，设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），△P AE 的面积S ＝12PH ×OE ＝32（t ﹣3﹣t 2+2t +3）＝32（﹣t 2+3t ）， 当t ＝32时，S 有最大值278； （4）直线AE 表达式中的k 值为1，则与之垂直的直线表达式中的k 为﹣1．①当∠PEA ＝90°时，直线PE 的表达式为：y ＝﹣x +b ，经点E 的坐标代入并解得：直线PE 的表达式为：y ＝﹣x +3…②，联立①②并解得：x ＝﹣2或3（舍去3），故点P （﹣2，5）；②当∠P AE ＝90°时，同理可得：点P （1，﹣4）；综上，点P 的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）y ＝﹣14x 2+32x +4；（2）m 1＝4或m 2＝223；（3）点H 坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．【解析】【分析】（1）结合A （﹣2，0），B （8，0）由两点式可得抛物线解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣8），求出点C 坐标，代入即可求出抛物线解析式；（2）点P 在抛物线上，可设P （m ，﹣14m 2+32m +4），结合C 点坐标可得直线PC 的解析式，已知直线与对称轴交点E 的坐标，DE 长可知，根据S △ABC ＝12×AB ×OC 求出其面积，由题中条件可知△CDP 的面积，由三角形面积公式可得m 的值；（3）分类讨论，①若BC 为边，∠CBK ＝90°时，将BC 绕点B 逆时针旋转90°得到BC '，根据AAS 证明△BCO ≌△BC 'E ，依据全等的性质可得点B 点C 的坐标，求出直线BC 的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点K 横坐标，由矩形的性质可知x C ﹣x B ＝x H ﹣x K ，C B K H y y y y -=-，结合点B 、C 、D 点坐标可得H 点坐标.②若BC 为边，∠BCK ＝90°时，同理可求：直线CK的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，同理可得H 点坐标；③若BC为对角线，由B点C点坐标可得BC的中点坐标及BC的长，点K在抛物线上，设设点K（x，﹣14x2+32x+4），利用勾股定理可求出x的值，选择符合题意的，求出点K坐标后结合KH的中点坐标可知H点坐标，综上所述，点H的坐标有3种情况. 【详解】（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）∴OA＝2，OB＝8，∵OC＝2OA，∴OC＝4，∴点C（0，4）∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C，∴4＝﹣16a，∴a＝﹣14，∴抛物线解析式为：y＝﹣14（x+2）（x﹣8）＝﹣14x2+32x+4；（2）如图1，由题意：点D（3，0），∴OD＝3，设P（m，﹣14m2+32m+4），（m＞0，﹣14m2+32m+4＞0）∵C（0，4），∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣14m+32）x+4，设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣34m+172），∴DE＝﹣34m+172，∵S△ABC＝12×AB×OC，∴S△ABC＝12×10×4＝20，∵S△CDP＝1120S△ABC，∴12×（﹣34m+172）×m＝1120×20，∴m1＝4或m2＝223；（3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，∴△BCO≌△BC'E（AAS）∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，∴点C'（4，﹣8），且B（8，0）∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16，∴2x﹣16＝﹣14x2+32x+4，∴x1＝﹣10，x2＝8，∴点K（﹣10，﹣36），∵x C﹣x B＝x H﹣x K，∴0﹣8＝x H﹣（﹣10），∴x H ＝﹣18，∵C B K H y y y y -=-，∴y H ＝﹣32，∴点H （﹣18，﹣32），若BC 为边，∠BCK ＝90°时，同理可求：直线CK 的解析式为：y ＝2x +4，∴2x +4＝﹣14x 2+32x +4， ∴x 1＝﹣2，x 2＝0，∴点K 坐标（﹣2，0）∵C B K H x x x x -=-，∴0﹣8＝﹣2﹣x H ，∴x H ＝﹣6，∵C B K H y y y y -=-，∴y H ＝﹣4，∴点H （6，﹣4），若BC 为对角线，∵B 、C 、K 、H 为顶点的四边形成为矩形，∴BC ＝KH ，BC 与KH 互相平分，∵B （8，0），C （0，4）∴BC 中点坐标（4，2），BC设点K （x ，﹣14x 2+32x +4）∴（x ﹣4）2+（﹣14x 2+32x +4﹣2）2＝（2， ∴x （x ﹣2）2（x ﹣8）＝0，∴x 1＝0，x 2＝2，x 3＝8，∴K （2，6），且KH 的中点坐标（4，2），∴点H （6，﹣2）综上所述：点H 坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．【点睛】本题考查了抛物线的综合，熟练掌握抛物线解析式的求法及利用矩形的性质求满足条件的抛物线上的点坐标是解题的关键.3．（1）3；（2）存在，理由见解析, t ＝（12﹣s ；（3）S ＝t 2（0＜t ≤3）或S ＝﹣t 2+12t ﹣18（3＜t ≤6）【解析】【分析】（1）由题意得：当t ＝3时，PC ＝3＝12AC ，AQ ＝＝12AB ，即P 、Q 分别为AC 、AB 的中点，得出PQ 为△ABC 的中位线，得出PQ ＝12BC ＝3即可； （2）由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）分两种情况，由正方形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案．【详解】（1）∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，∴AB ＝，当t ＝3时，PC ＝3＝12AC ，AQ ＝＝12AB ， 即P 、Q 分别为AC 、AB 的中点，∴PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ ＝12BC ＝3（cm ）； 故答案为：3；（2）存在．理由如下：连接BP ．如图1，在Rt △ACB 中，∵AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，∴AB ＝，若点B 在线段PQ 的垂直平分线上，则BP ＝BQ ，∵AQ t ，CP ＝t ，∴BQ ＝t ，∵PB 2＝62+t 2，∴（62﹣2t ）2＝62+t 2，整理得：t 2﹣24t +36＝0，解得：t ＝12﹣63或t ＝12+63（舍去），∴t ＝（12﹣63）s 时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上．（3）分两种情况：①当0＜t ≤3时，如图2：S ＝正方形CPMN 的面积＝t 2；②当3＜t ≤6时，如图3：∵PC ＝t ，AC ＝6，∴AP ＝6﹣t∵∠C ＝∠APM ＝∠M ＝90°，∠A ＝∠EFM ＝45°，∴△APE ∽△FME ∽△ACB ，并且都是等腰直角三角形∴PE ＝AP ＝6﹣t ，∴EM ＝FM ＝t ﹣（6﹣t ）＝2t ﹣6，∴S ＝S 正方形CPMN ﹣S Rt △EFM ＝t 2﹣12（2t ﹣6）2＝﹣t 2+12t ﹣18； 综上所述，S 关于t 的函数关系式为：S ＝t 2（0＜t ≤3）或S ＝﹣t 2+12t ﹣18（3＜t ≤6）．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形中的动点问题，根据题意，分类讨论，求出二次函数解析式，是解题的关键.4．（1）224233y x x =-++（2）存在，()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）118【解析】【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）由题得，()3,0B ，()0,2C ，设()1,N n ，(),M x y ，按照分类讨论的方法得到符合条件的值；（3）过点B 作BH 平行于y 轴交PC 的延长线与H 点，过点H 作HN 垂直y 轴于N ，先利用平行线的性质、等量代换等求证HC HB =、HB OB ⊥，Rt HCN ∆利用勾股定理求出H 坐标，写出直线CP 的函数表达式，求出一次函数与二次函数的交点P 的坐标，即可得到答案.【详解】（1）解：（1）将点()1,0A -，()3,0B 代入22y ax bx =++， 可得23a =-，43b =， ∴224233y x x =-++； （2）存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，由题得，()3,0B ，()0,2C ，设()1,N n ，(),M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x +=，∴2x =-， ∴102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x +=，∴2x =， ∴()2,2M ；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x +=，∴4x =， ∴104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）过点B 作BH 平行于y 轴交PC 的延长线与H 点.∵BH OC∴OCB HBC ∠=∠又OCB BCP ∠=∠∴PCB HBC ∠=∠∴HC HB =又OC OB∴HB OB ⊥故可设()3,H m ，即HB HC m ==过点H 作HN 垂直y 轴于N在Rt HCN ∆中，则()22232m m =+-解得134m = ∴133,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CP 的解析式为y kx b =+得21334b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩得512k =，2b = ∴5212y x =+故2245223312x x x -++=+ 解得10x =（舍去），2118x = 即点P 到y 轴的距离是118 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，灵活运用勾股定理求边长，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（1）y ＝12（x ﹣2）2﹣8，D （2，﹣8）（2）9;（3）P （2，8﹣） 【解析】【分析】（1）由OB=3OA 可设A （-t ，0），B （3t ，0），代入抛物线解析式即得到关于a 、t 的二元方程，解方程求出a 即求得抛物线解析式，配方即得到顶点D 的坐标．（2）由（1）求得t=2可知点A （-2，0），设G （x 1，12x 12-2x 1-6），H （x 2，12x 22-2x 2-6），把直线y=−12x+n 与抛物线解析式联立方程组，消去y 后整理得关于x 的一元二次方程，x 1、x 2即为方程的解，根据韦达定理求得x 1+x 2=3．设直线AG 解析式为y=kx+b ，把点A 、G 坐标代入求出b 的值即为点N 纵坐标，进而得到用x 1表示的ON 的值，同理可求得用x 2表示的OM 的值，相加再把x 1+x 2代入即求得OM+ON 的值．（3）以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P ，由于满足PB=PQ （即点Q 在⊙P 上）且点Q 在直线CD 上的点Q 有且只有一个，即⊙P 与直线CD 只有一个公共点，所以直线CD 与⊙P 相切于点Q ．由（1）得点C 、D 坐标可知直线CD 与DE 夹角为45°，△PDQ 为等腰直角三角形，PD=⎷ 2PQ=⎷ 2PB ．设点P 纵坐标为p ，用p 表示PB 和PD 的长并列得方程即可求p 的值．由于点P 在线段DE 上，故p 的值为负数，舍去正数解．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣6与x 轴交于A ，B 两点，OB ＝3OA∴设A （﹣t ，0），B （3t ，0）（t ＞0）∴2246091260at at at at ⎧+-=⎨--=⎩ 解得：122a t ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ﹣6＝12（x ﹣2）2﹣8 ∴顶点D 的坐标为（2，﹣8）（2）∵t ＝2∴A （﹣2，0）设抛物线上的点G （x 1，12x 12﹣2x 1﹣6），H （x 2，12x 22﹣2x 2﹣6） ∵直线y ＝12x -+n 与抛物线交于G ，H 两点 ∴2121262y x n y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ 整理得：x 2﹣3x ﹣12﹣2n ＝0 ∴x 1+x 2＝3设直线AG 解析式为y ＝kx+b ，即N （0，b ）（b ＜0） ∴21112k b 0 1kx b x 2x 6 2-+=⎧⎪⎨+=--⎪⎩①② ①×x 1得：﹣2kx 1+bx 1＝0 ③②×2得：2kx 1+2b ＝x 12﹣4x 1﹣12 ④③+④得：（x 1+2）b ＝（x 1+2）（x 1﹣6）∵点G 与A 不重合，即x 1+2≠0∴b ＝x 1﹣6即ON ＝﹣b ＝6﹣x 1同理可得：OM ＝6﹣x 2∴OM+ON ＝6﹣x 2+6﹣x 1＝12﹣（x 1+x 2）＝12﹣3＝9（3）如图，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，以点P 为圆心、PB 为半径作圆∵PB＝PQ∴点Q在⊙P上∵有且只有一个点Q在⊙P上又在直线CD上∴⊙P与直线CD相切于点Q∴PQ⊥CD由（1）得：B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8）∴CF＝2，DF＝﹣6﹣（﹣8）＝2，即CF＝DF∴∠CDF＝45°∴△DPQ为等腰直角三角形∴PD2PQ∴PD2＝2PQ2＝2PB2设P（2，p）（﹣8≤p≤0）∴PD＝p+8，PB2＝（6﹣2）2+p2＝16+p2∴（p+8）2＝16+p2解得：p1＝8﹣6，p2＝6（舍去）∴点P坐标为（2，8﹣6）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，圆的定义，切线的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理．第（2）题的解题关键是设点G、H的坐标，求直线AG、AH解析式，即得到OM、ON的表示，联立直线GH与抛物线解析式得到点G、H横坐标的关系并代入求OM+ON，计算量较大．第（3）题的解题关键是由PB=PQ联想到圆，再由有且只有一个满足条件的Q 联想到相切，体现数形结合的过程．6．(1) 234y x x =--；(2)当ECD EDC ∠=∠时，4m =-(3)存在. 1.5m =时，BEF 的周长最小.【解析】【分析】(1)易求(),)40 04(A C -，，，根据待定系数法，即可得到答案； (2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H ，易得：点()()2,34, ,4D m m m E m m ---，进而可知：,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，根据ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，列出方程，即可求解；(3)易证：BFE △的周长=BF FE BE BF AF BE AB BE ++=++=+，可知：当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小，进而可求出BEF 的周长最小时，m 的值.【详解】(1)在4y x =-中，当0x =时，4y =-；当0y =时，4x =，40())0,( 4A C ∴-，，.把()()4,0,0,4A C -代入23y ax x c =-+中， 得： 161204a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式是234y x x =--；(2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H .4OA OC ==，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，45HEC HCE ∴∠=∠=︒.点()()2,34, ,4D m m m E m m ---， ,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，∴当ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，2 4m m =-+，解得：10m =(舍去)，242m =-.∴当ECD EDC ∠=∠时，42m =-；(3)存在.在抛物线234y x x =--中，当0y =时，2340x x --=，解得121,4x x =-=， ∴点B 坐标为()1,0-.45FAE FEA ∠=∠=︒，EF AF ∴=.设BFE △的周长为l ，则l BF FE BE BF AF BE AB BE =++=++=+，AB 的值不变，∴当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小.当BE AC ⊥时，45EBA BAE ∠=∠=︒，BE AE ∴=，2.5BF AF ∴==，1.5m ∴=时，BEF 的周长最小.【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点E 的坐标用未知数m 表示出来，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法.7．（1）①菱形、正方形；②43或43；（2）BD＝26；（3）a的值为-6-3或6-3．【解析】【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断．②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．（2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD=2DH．（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=3x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a（x+3）（x-2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到x B+x D和x B•x D进而得到用a表示的（x B-x D）2．又由四边形面积可求得x B-x D=6，即得到关于a的方程并解方程求得a．【详解】（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．故答案为：菱形、正方形．②设矩形ABCD对角线相交于点O∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵矩形ABCD是“美丽四边形”，∴AC、BD夹角为60°，i）如图1，若AB＝4为较短的边，则∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形∴∠OAB＝60°∴Rt △ABC 中，tan ∠OAB ＝3BC AB=， ∴BC ＝3AB ＝43， ii ）如图2，若AB ＝4为较长的边，则∠BOC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OCB ＝60°，∴Rt △ABC 中，tan ∠OCB ＝AB BC ＝3， ∴BC ＝3＝433． （2）过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接OD∴∠OHP ＝∠OHD ＝90°，BH ＝DH ＝12BD ， ∵AP ＝1，PC ＝5∴⊙O 直径AC ＝AP+PC ＝6∴OA ＝OC ＝OD ＝3∴OP ＝OA ﹣AP ＝3﹣1＝2∵四边形ABCD 是“美丽四边形”∴∠OPH ＝60°，∴Rt △OPH 中，sin ∠OPH ＝OH 3OP =，∴OH＝3op ＝3， ∴Rt △ODH 中，DH ＝22OD OH -＝223(3)-＝6，∴BD ＝2DH ＝26．（3）过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N∴∠BMO ＝∠DNO ＝90°∵直线BD 3∴直线BD 解析式为y 3，∵二次函数的图象过点A （﹣3，0）、C （2，0），即与x 轴交点为A 、C∴用交点式设二次函数解析式为y ＝a （x+3）（x ﹣2） ∵(3)(2)3y a x x y x =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， 整理得：ax 2+（a 3x ﹣6a ＝0， ∴x B +x D 3a -x B •x D ＝﹣6 ∴（x B ﹣x D ）2＝（x B +x D ）2﹣4x B •x D 3a -）2+24 ∵S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝12AC•BM+12AC•DN ＝12AC （BM+DN ）＝12AC （y D ﹣y B ）＝12AC 3D 3B ）＝53（x B ﹣x D ）． 53（x B ﹣x D ）＝3∴x B ﹣x D ＝6，∴）2+24＝36，解得：a 1＝611--，a 2＝611-∴a 611 【点睛】本题考查了新定义的理解和性质应用，菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．8．（1）223y x x =--+,(1,4)-；（2）2；（3）点D 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或(【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；（2）如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，构造等腰直角△ABH 和直角△BCH ，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案； （3）如图2，过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，构造直角△DOK ，设D （x ，−x 2−2x ＋3），则K （x ，0）．并由题意知点D 位于第二象限．由于∠BAC 是公共角，所以当△AOE 与△ABC 相似时，有2种情况：①∠AOD ＝∠ABC ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ABC ＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．②∠AOD ＝∠ACB ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ACB ＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠抛物线2y ax bx c =++过点(3,0),(1,0),(0,3)A B C -9303a b ca b cc-+=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴这条抛物线的解析式为223y x x=--+顶点坐标为(1,4)-（2）解：过点B作BH AC⊥，垂足为H90,3AOC OA OC︒∠===45,32OAC OCA AC︒∴∠=∠==90BHA︒∠=90HAB HBA︒∴∠+∠=45HAB HBA︒∴∠=∠=在Rt AHB∆中，222,4AH BH AB AB+==22AH BH∴==32222CH∴==90BHC︒∠=22tan22BHACBCH∴∠===（3）解：过点D作DK x⊥轴，垂足为K设()2,23D x x x --+，则(,0)K x ，并由题意可得点D 在第二象限 223,DK x x OK x ∴=--+=- BAC ∠是公共角∴当AOE ∆与ABC ∆相似时存在以下两种可能①AOD ABC ∠=∠tan tan 3AOD ABC ∴∠=∠=2233x x x--+∴=- 解得1113x -=，2113x += 1133133,22D ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭②AOD ACB ∠=∠tan tan 2AOD ACB ∴∠=∠=2232x x x--+∴=- 解得13x =-23x =（舍去）(3,23)D ∴综上所述：当AOE ∆与ABC ∆相似时，点D 的坐标为1133133,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,23-【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1）或P（-1，）或P（-1，6）或P（-1，5 3）；（3）当a=-32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638，此时，点E坐标为（-32，154）．【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y 轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】。
第6讲-动态问题初步(一)
第6讲 动态问题初步（一）模块1：与数轴有关的动态问题知识解析：点动、线动、面动构成的问题称之为动态几何问题，它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体．期末压轴题一般都会以综合题的形式出现，这就奠定了“动态问题”在压轴题中的重要地位．与数轴相关的动态问题的解题思路一般有两种：1．行程问题：寻找点在运动前后路程的变化，依题意求解.2．动点表示法：表示出任意时刻动点位置，依题意列方程求解．【注意】动点问题大多需要分类讨论，要考虑多解问题以及解的取舍问题． 动点在数轴上的表示方法：（1）如图1所示，数轴上有两点A 、B ，在数轴上表示的数分别为a 、b ，A 向左运动，速度为x 个单位长度/秒，B 向右运动，速度为y 个单位长度/秒．若t 秒过后，A 点运动后所在的位置为A ’，则A ’表示的数为a −xt ；B 点运动后所在的位置为B ’，则B ’表示的数为b +yt ．（2）动点问题中常考察中点问题．如图2所示，已知数轴上有两点A 、B ，在数轴上表示的数分别为a 、b ，设AB 的中点为P ，P 表示的数为p ． 则中点公式为：p =2a b+ ． (和原点所在位置无关)教师备案（1）应用原理：数轴上两点间的距离=右边点表示的数−左边点表示的数．（2）简析： P 为线段AB 中点，则AP =BP ，线段AP 的长度为p −a ， 线段BP 的长度为b −p ，则p −a =b −p ，得到p =2a b+． 例1．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别是6、−8，M 、N 为数轴上两个动点，点M 从A 点出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，与此同时，点N 从B 点出发向右运动，速度为M 点的3倍，经过多长时间，点M 与点N 相距50个单位长度？这时点M 、N 所对应的数分别是多少？例2．如图，点A 、B 都在数轴上，且AB =6， （1）点B 表示的数是 ；（2）若点B 以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后B 点表示的数是 ；（3）若点A 、B 都以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，而点O 不动， t 秒后有一个点是另外两点连线的中点，求t ．例3．如图， A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为−10，B 点对应的数为90．（1）请写出与A 、B 两点距离相等的M 点对应的数．（2）现在有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道C 点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？例4．如图，在数轴上A 点表示数a ， B 点表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，C 是AB 的中点，且a 、b 满足|a +3|+(b +3a )2=0，（1）求点C 表示的数；（2）点P 从A 点以3个单位每秒的速度向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位每秒的速度向左运动，若AP +BQ =2PQ ，求时间t ．（3）若点P 从点A 向右运动，点M 为AP 中点，在点P 到达点B 之前：① PA PBPC+的值不变；② 2BM −BP 的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．例5．如图，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB =12AC ，点C 对应的数是200， （1）若BC =300，求点A 对应的数；（2）点A 、C 从(1)中的位置同时出发匀速向左运动，速度分别为5单位长度/秒、10单位长度/秒；另有一点E 也同时从A 点的位置出发向C 点匀速运动，当首次遇到C 点后立即返回向点A 运动，遇到点A 后又立即返回向点C 运动．如此往返，直到点C 追上点A 时，点E 立即停止运动．若点E 的速度为15单位长度/秒，求点E 一共运动了多少单位长度．（3）在(1)的条件下，动点P、Q分别从A、C两点出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒、2单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN(不考虑点与点相遇之后的情形)．例6．阅读理解：如图，A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是[A，B]的好点．例如，如图，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的好点；又如，表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A，B]的好点，但点D是[B，A]的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．（1）数所表示的点是[M，N]的好点；（2）现有一只电子蚂蚁P从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的好点？例7．如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为−1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）用含t有的代数式表示AM的长为；（2）当t= 秒时，AM+BN=11；（3）若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位的速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出的值，若不相等，请说明理由．随堂测试1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为−12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为个2单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值(写出解题过程)．2．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (t>0) 秒．（1）数轴上点B表示的数是，点P表示的数是(用含t的代数式表示)．（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点运动多少秒时，点与点相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？3．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的妙点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示1的点C到A点的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的妙点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不【A，B】的妙点，但点D是【B，A】的妙点．（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．数所表示的点是【M，N】的妙点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B 出发向左运动，到达点A停止．点P运动多少个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点？参考答案例1．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6、−8，M、N为数轴上两个动点，点M从A点出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，与此同时，点N从B点出发向右运动，速度为M点的3倍，经过多长时间，点M与点N相距50个单位长度？这时点M、N所对应的数分别是多少？解：设经过t秒后点M与点N相距50个单位长度，点M的速度是2单位长度/秒（方向为向左），点N的速度是6单位长度/秒（方向为向右），取向右为正，则向左为负。
(全国通用)中考数学难点攻克：动态题型分类解析(动点、动线、动面)
中考数学重难考点突破—动态题型分类解析解决动态几何间题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变从结论入手，分析结论要成立需具备的典型特征条件是什么？然后利用函数与方程的思想和方法将这个需具备的典型特征条件(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。
类型一点动型动态题1．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过___3__秒，四边形APQC的面积最小．图1解：设经过x秒四边形APQCD面积最小由题意得：AP=2x，BQ=4x，则PB=12—2x，△PBQ的面积=1/2×BQ×PB=1/2×4x×(12—2x)=—4(x—3)2+36当x=3时，△PBQ的面积的最大值是36mm2，此时四边形APQC的面积最小。
点评：本题中由于四边形APQC在动点运动中，无法确定其形态，也就无法应用面积公式。
而P、B、Q三点，根据题意始终组成一个直角三角形△PBQ，故从求直角三角形面积入手便可解决问题。
2．如图2，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在哪条边上相遇？图2解：(1)①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝3×1＝3(厘米)．∵AB＝10厘米，点D为AB的中点，∴BD＝5厘米．又∵PC＝BC－BP，BC＝8厘米，∴PC＝8－3＝5(厘米)，∴PC＝BD.又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴△BPD ≌△CQP . ②∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ .又∵△BPD 与△CQP 全等，∠B ＝∠C ，则BP ＝PC ＝4，CQ ＝BD ＝5， ∴点P ，点Q 运动的时间t ＝BP 3＝43(秒)， ∴v Q ＝CQ t ＝543＝154(厘米/秒)．(2)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得154x ＝3x ＋2×10，解得x ＝803(秒)． ∴点P 共运动了803×3＝80(厘米)．∵80＝2×28＋24，∴点P 、Q 在AB 边上相遇， ∴经过803 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． 类型二 线动型动态题3．已知二次函数y ＝x 2－(2m ＋2)x ＋(m 2＋4m －3)中，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于点A 和点B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点C 是抛物线与y 轴的交点，已知AD ＝AC (D 在线段AB 上)，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q 从点C 出发，以某一速度沿线段CB 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求t 的值．图3解：(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝[]－2m＋22－4(m2＋4m－3)＝－8m＋16＞0，∴m＜2.∵m为不小于0的整数，∴m取0、1.当m＝1时，y＝x2－4x＋2，图象与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；当m＝0时，y＝x2－2x－3，符合题意．∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.(2)∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD.∵CD垂直平分PQ，∴DP＝DQ，∴∠ADC＝∠CDQ.∴∠ACD＝∠CDQ，∴DQ∥AC，∴△BDQ∽△BAC，∴DQAC＝BDAB.∵AC＝10，BD＝4－10，AB＝4.∴DQ＝10－52，∴PD＝10－52.∴AP＝AD－PD＝52，∴t＝52÷1＝52.类型三面动型动态题4．如图4，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D 与点F重合，点B，D(F)，H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H 重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是( B)图4解析：正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分主要分为3个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案。
2022中考数学压轴题之动态几何专题《动态几何问题探究》PPT讲义 - 副本
从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向
点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，第几秒时
PQ∥AB?
A
（陕西省咸阳市中考试题）
Q
B
P
C
图9—2
分析：如图9—2，假设运动开始后t秒时，PQ∥AB根据这时图形的特殊位置， 利用平行线分线段成比例定理求解．
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明 理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。
中考动态几何问题探索
线动实质就是点动，即点动带动线 动，进而还会产生面动，因而线动型几 何问题可以通过转化成点动型问题来求 解.解决此类题的关键是要把握图形运 动与变化的全过程，抓住其中的等量关 系和变量关系.从运动变化得图形的特 殊位置，进而探索出一般的结论或者从 中获得解题启示，这种由特殊到一般的 思想对我们解决运动变化问题是极为重 要的.
2、图形旋转型
例7（临沂）
如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板
DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为
DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一过程中，
B P RC （图2）
D
变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边 A
E
形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相
O
似？
B
C
D
（备用图）
1
中考动态几何问题探索
（眉山）、如图：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个 正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的 任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1。
动态类问题之动点问题
一 定 一 动 求 最 值 模 型
类型特征：与线段和的最小值有关的问题，主要考查轴对称知识，贯穿了“折变 直”的一种思路，利用了两点之间线段最短。就是大家熟悉的“将军饮马问题”
类型示例：
将
军
饮
马
和
最
小
P
模
型
A
B l
A
P A'
B l
一 定
A.3
B.4
C.6
D.8
一
动
y
求
最
值 模
P
M
型
AO
B
x
【解析】 一 定 一 动 求 最 值 模 型
y
PM P'
A O BQ
x
练习2：【 2017鄂尔多斯】如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满 足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，
此时，PA+PB的和最小
此时，PA+PB的和最小
类型特征：与线段和的最小值有关的问题，主要考查轴对称知识，贯穿了“折变 直”的一种思路，利用了两点之间线段最短。就是大家熟悉的“将军饮马问题”
类型示例：
将
A'
军
饮
马
和
B
最
小
模
型O
C
M
A
NO
此时，AB+BC的和最小
A'
M
B
A
C
N
A''
此时，AB+BC+CA的和最小
类型特征：线段的一个端点固定，另一个端点在一个圆上活动，或为一个不确定 的直角三角形的直角顶点.此类问题无论题目中是否出现圆，都要与圆联系起来。
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。
通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1）去伪存真。
刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。
（2）科学选择。
捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
①当0＜t≤2时,即Q在BC上时
②当2＜t≤3时即Q在BA上时
③当3＜t≤4.5时
找 界 点， 分 情 况 计 算
(2).当点P 、 Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与 △ABC围成阴影部分面积为S（cm²），求出S与时间t的函数 关系式，并指出自变量t的取值范围； 解：（2）
①当0＜t≤2时,即Q在BC上时
t y 解：由（3）知，当 S有最大值时， 2，此时 N N 在 BC 的中点处，如下图,设 Q(0，y)
则பைடு நூலகம்AQ 2 OA2 OQ 2 42 y 2
．
C
B(4， 3)
A(4， 0) O M 为等腰三角形， △QAN ①若 AQ AN，则 42 y 2 32 22，此时方程无解． 1 2 2 2 2 ②若 AQ QN ，即 4 y 2 (3 y) ，解得 y ． 2 2 2 2 2 ③若 QN AN，即 2 (3 y) 3 2 ，解得 y1 0，y2 6
(1).当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点的 三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²； (2).当点P 、 Q运动时，阴影部分的形状随之变化， 设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（cm²），求 出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值 范围；
（3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请 说明理由。
Ｏ
Ａ
Ｂ
解（1）当∠POA 90 时，点P运动的路程为⊙O周长的 1 或 3 ．
设点运动的时间为 ．
当点P运动的路程为 ⊙O周长的 1 时， 4 1 2t 2 12
ts
4
4
Ｐ
解得 t
3 3 当点 P运动的路程为⊙O 周长的 时， 4
．
4
Ｏ
Ａ
Ｂ
3 2t 2 12 4
0
AB OA, AP AB
OAP APB B
0 APB B 30 0 OPB OPA APB 90 OP BP
直线BP与圆O相切。
P
思维拓展：
O
A B
4cm P
在运动过程中，什么时间BP和圆也相切？
． ，
综上：2S或者10S相切
2
3 9 s t 2 3t t 2 4
②当2＜t≤3时即P在AC上Q在BA上时
PH AP BC AB
PH x 4 5
PH
4x 5
s S ABC S APQ 6
1 9 2t ( 4 t ) 2 5
4 18 4 9 39 s t2 t 6 t 5 5 5 4 20
2 1 81 直线 AQ 的解析式为 y x 8 2 0) 0) Q 0) 当Q 为(0， 时，A(4， ， (0， 均在 x 轴上， （或直线为 x轴）． 直线AQ 的解析式为y 0
6) Q 当 Q 为 (0， 时， ，N，A在同一直线上，
．
A(4， 代入得 4k 0， k 0)
(1)当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点 的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²； 解：（1）
1 S PCQ PC CQ 2 1 3 t 2t 2
3 t t 2
t1 1, t 2 2 解得
当时间t为 s或2s时，S PCQ 2cm 1
S S△MPA
3 2 3 S t t (0 t 4) 8 2
．
1 3 (4 t ) t 即 2 4
当 （3）
．
t2
3 面积的最大值 ， 2
．
y
C F O
3) N B(4，
P M E A(4， 0) x
（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且△QAN为等腰三角 形时，求直线AQ的解析式．
再体会：
在“动”中求“静”，化“动”为“静”， 抓住它运动中的某一瞬间
二、动点与列函数关系式相结合
例1：已知：如图： △ABC中，∠C=90°， AC=3cm，CB=4cm， 两个动点P、Q 分 别从A 、C两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动，当点Q运动到点A时，P 、Q两点 运动即停止，点 P、Q的运动速度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点P运动时间为t(s)
，
动态几何压轴题往往文字阅读量较大，因此 在平时训练中要求同学们仔细读题、审题，力求 从语法结构、逻辑关系、数学含义等方面真正看 懂题目，弄清条件和结论是什么？它们分别与哪 些知识有联系？仔细思考，找到解题途径。同时 注意推理要严谨、逻辑性强，表达书写整洁规范
．
．
解得
t 9
当POA 90 时，点 P 运动的时间为 3s 或 9s．
（2）如图，当点 P 运动的时间为2s 时，直线BP
P
OP OP OA, OAP是等边三角形 OA AP, OAP 60
． ，
与⊙O相切． A B O 理由如下： 当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4cm ． 连接OP、PA 1 ︵ AP的长为圆O周长的 POA 60 0 圆o的周长为24cm 6
（1）点的坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）． P （2）记 △MPA的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式(0 t 4) 秒时 S有最大值，最大值是 （3）当t y （4）若点Q 在 y 轴上，当S 有最大值且 N B C △QAN 为等腰三角形时，求直线AQ P 的解析式． F
．
1.如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P 从A出发，以 2π cm/ s的速度沿圆周逆时针运动， 当点P回到A地立即停止运动．
POA 90 （1）如果 ，求点P运动的时间；
动点与分类讨论相结合
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB=OA， 那么当P点运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O 的位置关系，并说明理由． Ｐ
2
解：（2） ③当3＜t≤4.5时，P在BC上，Q在AB上
3 27 42 3 9 15 s t2 t t 5 5 5 5 2 4
2
（3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说 明理由。
解：（3）有 ①在0＜t≤2时
图形中的点、线的运动，构成了数 学中的一个新问题——动态几何。它通 常分为三种类型：动点问题、动线问题、 动形问题。这类试题以运动的点、线段、 变化的角、图形的面积为基本的条件， 给出一个或多个变量，要求确定变量与 其它量之间的关系，或变量在一定条件 下为定量时，进行相关的几何计算、证 明或判断。
△ ANQ 不存在，舍去． 1 1 故直线 AQ的解析式为 y 8 x 2
．
，
或y
0
． ． ．
这类试题的分类讨论有固定的模式， 它要求学生通过观察、比较、分析图形 的变化，揭示图形之间的内在联系，要 能够根据条件作出或画出图形，从而进 行分类。
． ，
兴趣拓展
1.如图3， A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O ﹙A与O点重合﹚，假设硬币的直径为1个单位长度，若 将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点 A 重合，则点 A 对应的实数是 ．
， ． ， ． ． .
AN AB BN 3 2
2 2 2 2
QN 2 CN 2 CQ 2 22 (3 y)2
．
2
Q
x
1 0) 6) Q1 (0，- ) Q2 (0， Q3 (0， 2
1 1 当 Q 为(0， ) 时，设直线AQ的解析式为 y kx ，将 2 2 1 1
①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近” 哪个点（数）？ 能否等于这个数？ ② 在变化过程中有无特殊点（数） ③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动态 问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是今后 发展的命题趋势。
三、动点与坐标几何题相结合
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为矩形，点 0) (4 3) A B的坐标分别为 (4，，， ，动点M，N 分别从点 ， O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点 M 沿 OA 向终点 A运动，点 N 沿BC向终点 C 运动， ，连结MP，当两动点 过点 N 作 NP BC ，交AC于点 P 运动了 t 秒时．
，
在解这类题时，要充分发挥空间想象的能 力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求 一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间， 通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它 量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学 思想进行解答。
理解A到A′的距离是圆的周长， 根据周长公式即可求解
基于上述分析，可以发现动态几何问题知识覆盖 面广、形式多样，其中蕴含数学思想丰富，同学们在 考试中较好解决此类问题是有一定难度的。要想有效 地提高数学总复习的质量和效益，使同学们能较好的 应对动态几何型问题，必须做到：
1.重视双基和数学思想方法
， ． ． ．
O
M
E A
x
3 （ 解：（1） 4 t， t） 4
分 析
MA 4 t
PN CN AB CB
PN 4 t 3 4
．
PN 3(4 t ) 1 4
y
C
3) N B(4，
．
PE= 3 t
4
．
F O
P M E A(4， 0) x
解：
3 MA （2）在△MPA 中， 4 t ， 边上的高为 t MA 4 ．