数学物理方法

z 2 exp i 4e i 4; 4
1 i 1 以及 4 z 2e 4 2 8 exp i 2k , 4 4 对于 z 1 i , k 0,1, 2,3 ; 对于 z 1 i , k 1, 2,3, 4 。 进 步 我们可以显式表达出这四个根 进一步，我们可以显式表达出这四个根： 1 4
, k 1, n
13
例1.1
用 sin 及 cos 表示 sin 3 , cos 3 .
【解】因为 cos 3 i sin 3 e i 3 ，根据 根据 De D Moivre M i 公式有
e
i 3
cos i sin
3
cos 3 3 cos sin 2 i 3 cos 2 sin sin 3 .
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2
课程内容
第一篇 复变函数理论 (Chp.1-6)
(32学时 50%) (32学时，50%) 第二篇 数学物理方程 (Chp.7 (Chp 7-14) 14) ( 学时， 0 ) (32学时，40%) 第三篇 特殊函数 (Chp.15-17)
z2 0
实数四则运算中的结合律、分配律与交换律仍然成立: 交换律 z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1 ; 交换律： 分配律： z1 z2 z3 z1 z3 z2 z3 . 全体复数在定义了相等和上述运算法则之后，称为复数 域。复数不能比较大小！
(1) z 3. 3 2 z z0 R. 3 z 1 z 1 .
【 解】 (1) 由于 z 表示点 z 到原点的距离，因此满足等 到原点的距离 因此满足等
式的点的集合构成以原点为圆心、以 3 为半径的圆。 (2) z z0 表示点 z 到固定点 z0 的距离，因此该不等式表 示以 z0 为圆心、以 3 为半径的圆的内部。 (3) 满足该等式的点即是复平面上到点 1 和-1 距离相等的 点的集合，即 1 和-1 连线的中垂线—虚轴。 虚轴
因而有：
cos 3 cos 3 3 cos sin 2 4 cos 3 3 cos sin 3 c 3 cos 2 sin sin 3 3 sin 4 sin 3 .
14
例1 2 求1的 n 次方根，并讨论根在复平面单位圆周 例1.2 次方根 并讨论根在复平面单位圆周 上的位置.
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结合律： z1 z2 z3 z1 z2 z3 , z1 z2 z3 z1 z2 z3 ;
复数的几何表示，复平面
z x iy P( x, y ) OP
代数表示（直角坐标表示）
____
x iy z OP
z / z* x iy i (complex ( l conjugated) j t d)
z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 (equality)
z1 z2 x1 x2 i ( y1 y2 ) (addition/subtraction)
解: 1 的 n 次方根有 n 个，设第 个 设第 k 个方根为 wk，则 则
2k pi wk exp n
, , 2, ,, n 1. , k 0,1,
当 n=1 时， ， 有一个根， ， 位于实轴正向和单位圆周的交点。 当 n=2 时，有两个根，位于实轴和单位圆周的交点。 当 n 3 时， n 个根分别对应于单位圆内接正 n 边形的顶 点，且有一个根是 1。
几何表示
（虚轴）

（实轴） 复平面/ z 平面
复数
xy平面上的点
xy平面上的（自由）向量
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复数加减法的几何表示
图 1.1 复数加减法的几何表示
8
复数的 角形式和指数形式 复数的三角形式和指数形式
x2 y2 x cos ( x, y ) ( , ) : y y sin tan x
i z * x iy e 共轭复数：
z x iy e z z* 2 Re z z z* 2 Im z
i
z * z z x2 y2 2
2
10
z3 z1 z2 1e 2e

i1
i 2
e
i
12 22 2 1 2 cos 2 1 ， 1 sin i 1 2 sin i 2 tan . 1 cos 1 2 cos 2
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复数的乘幂与方根
乘幂： z 乘幂
n
e
n in
n
cos i sin
方根： n
1 n
e
in
（De Moivre 公式）
z z e
1 n
1 2 k i n n
, k 0, n 1
或者：
n
z z e
1 2 k i n n
5
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) (multiplication) z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i (division) 2 2 2 2 z2 x2 iy2 x2 y 2 x2 y 2
(8学时，10%)
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第 篇 第一篇
复变函数论
第一章 复数与复变函数
4
复数的定义及基本运算
虚数单位 (unit imaginary number) i ： i 1 复数(complex number) z ： z = x + yi = x + iy，x, y∈R； 实部 Re(z)=x, 虚部Im(z)=y.
数学物理方法
（Methods of Mathematical Physics） 72学时 李清旭 办公室：二教 2521
E-mail: liqx@
1 1
课程概况
周一 、三（双周）、五; 4408教室 教材：高等数学第四册，高等教育出版社 参考书 数学物理方法,姚端正,武汉大学出版社 数学物理方法,梁昆淼,高等教育出版社 数学物理方法,吴崇试,北京大学出版社 最终成绩 = 平时成绩(30%) + 期末考试成绩(70%)
z x iy cos i sin (cos i sin )
ei
（三角形式）
ei cos i sin
Euler 公式
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指数形式： z
ei
2 2
模： z x y ,模为 1 的复数称为单位复数. 辐角： Argz arg z 2k , k 0, 1, 2， 辐角主值 辐角主值： arg z
思考题：复平面上的椭圆、双曲线和抛物线应该 考题 复平面 的椭圆 双曲线和抛物线应该 怎样表示？ 18
作 业 (1)
P16 2 5 2, 5, 7 7, 12 12, 13
19
THE END
20
数形式比较便利。
11
容易证明，复数的模有如下性质：
z x y 0,
2 2
x z, y z, z x y, z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2 , dist z1 , z2 z1 z2 ,
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n = 3, 4 和 6 时根的位置分布情况
w1
y y w1 y
w1
w0 w3 w2
n =3
1
w2
1
w3
x
w3
n =4
w4
w5
n =6
图 1.2
1 的 n 次方根 （ n = 3 ， 4 ， 6 ）
16
例 1.3 设 z 1 i ，计算 z , z .
4 4
【 解】
4
由于 z 2 exp i 4 ，我们有：
i1 i 2
z1 z2 1e 2 e
? e tan ?
i
z1 z2 1ei1 2 ei2 ei 1 2 , 1 2 z1 1 i1 2 e z2 2 计算加减法的时候利用代数形式比较方便，
4
4
1 i 2 e 16 , 2 e
1 8
i

1 8
i
9 16
, 2 e
1 8
1 8
i
17 16
, 2 e
1 8
1 8
i
25 16
.
4
1 i 2 e
1 8
i
7 16
, 2 e
1 8
i
15 16
, 2 e
i
23 16
, 2 e
i
31 16
.
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例1.4 指出满足下列等式或不等式的点的集合分别构 成复 成复平面上的什么图形。 的什