南邮 数理方程2 行波法与傅里叶变换
基本的傅里叶变换
基本的傅里叶变换傅里叶变换是信号处理中常用的一种数学工具，它可以将一个信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶变换可以应用于多个领域，如音频处理、图像处理和通信系统等。
本文将介绍傅里叶变换的基本原理和应用。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换的基本思想是将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，以便更好地理解和处理信号。
在傅里叶变换中，信号可以用一个连续的频谱表示。
频谱表示了信号中各个频率分量的强度和相位信息。
通过对频谱的分析，我们可以获得信号的频率成分和频率分布情况。
二、傅里叶变换的应用1. 音频处理：傅里叶变换在音频处理中有着广泛的应用。
通过对音频信号进行傅里叶变换，我们可以分析音频信号中的频率成分，从而实现音频信号的压缩、降噪、滤波等处理操作。
2. 图像处理：傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用。
通过对图像进行傅里叶变换，我们可以分析图像中的频率分量，实现图像的滤波、增强等操作。
3. 通信系统：傅里叶变换在通信系统中扮演着重要的角色。
在数字通信中，信号需要经过调制、解调等处理，而傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频率特性，从而更好地进行通信系统设计和优化。
三、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质对于理解和应用傅里叶变换非常有帮助。
1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于两个信号的叠加，其傅里叶变换等于两个信号的傅里叶变换之和。
2. 积分性质：傅里叶变换可以表示为积分形式，通过积分计算可以得到信号的频谱。
3. 时移性质：傅里叶变换中的时移性质表示，对于信号的延时操作，其傅里叶变换等于频谱乘以一个相位因子。
4. 频移性质：傅里叶变换中的频移性质表示，对于信号的频率偏移操作，其傅里叶变换等于时域信号乘以一个复指数函数。
四、傅里叶变换的算法傅里叶变换的计算可以通过离散傅里叶变换（DFT）算法来实现。
DFT算法可以将信号从时域转换到频域，并且可以高效地计算出信号的频谱。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换常用公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
在信号处理、图像处理和通信领域广泛应用。
本文将介绍一些傅里叶变换中常用的公式，以帮助读者更好地理解和应用傅里叶变换。
1. 傅里叶变换的定义公式傅里叶变换的定义公式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)]dt其中F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的傅里叶变换。
2. 傅里叶变换的逆变换公式傅里叶变换的逆变换公式如下：f(t) = ∫[F(ω) * e^(jωt)]dω其中f(t)表示频域信号F(ω)的逆变换。
3. 傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开公式将一个周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
公式如下：f(t) = a₀ + Σ[aₙ * cos(nω₀t) + bₙ * sin(nω₀t)]其中a₀, aₙ, bₙ为系数，n为正整数，ω₀为基本角频率。
4. 傅里叶级数系数计算公式傅里叶级数系数的计算公式如下：a₀ = 1/T₀ * ∫[f(t)]dtaₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * cos(nω₀t)]dtbₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * sin(nω₀t)]dt其中T₀为周期。
5. 傅里叶变换的线性性质公式傅里叶变换具有线性性质，公式如下：F(a * f(t) + b * g(t)) = a * F(f(t)) + b * F(g(t))其中a和b为常数。
6. 傅里叶变换的频移性质公式傅里叶变换具有频移性质，公式如下：F(f(t - t₀)) = e^(-jωt₀) * F(f(t))其中t₀为时间偏移量。
7. 傅里叶变换的频率缩放公式傅里叶变换具有频率缩放性质，公式如下：F(f(a * t)) = (1/|a|) * F(f(t/a))其中a为常数。
8. 傅里叶变换的频域微分公式傅里叶变换的频域微分公式如下：F(d/dt[f(t)]) = jωF(f(t))其中d/dt表示对时间t的导数。
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换的原理是将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而可以分析信号的频谱特性。
在本文中，我们将详细介绍傅里叶变换的原理及其在实际应用中的重要性。
首先，让我们来了解一下傅里叶变换的数学表达式。
对于一个连续信号 f(t)，它的傅里叶变换F(ω) 定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt。
其中，e^(-jωt) 是复指数函数，ω 是频率。
这个公式表示了信号 f(t) 在频域上的表示，也就是说，它将信号 f(t) 转换成了频率域上的复数函数F(ω)。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而可以分析信号的频率成分和能量分布。
傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个周期为 T 的正弦信号f(t) = Asin(2πft)，其中 A 是振幅，f 是频率。
对这个信号进行傅里叶变换，我们可以得到频谱F(ω)= A/2 (δ(ω-f) δ(ω+f))，其中δ(ω) 是狄拉克δ函数。
这个频谱表示了信号只包含了频率为 f 的正弦成分，而其他频率成分的能量为零。
这样，我们就可以通过傅里叶变换来分析信号的频率特性。
在实际应用中，傅里叶变换有着广泛的应用。
在信号处理中，我们可以通过傅里叶变换来对信号进行滤波、频谱分析等操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、频谱分析等操作。
在通信系统中，傅里叶变换可以用来对调制信号进行频谱分析、信道估计等操作。
可以说，傅里叶变换已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率特性。
通过傅里叶变换，我们可以对信号进行频谱分析、滤波等操作，从而可以更好地理解和处理信号。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用，它已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
傅里叶变换 原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的原理是通过将一个信号分解成多个不同频率的正弦波的叠加来描述信号。
傅里叶变换的基本思想是将一个信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加。
这些正弦波被称为频谱成分，每个频谱成分都有自己的频率、振幅和相位。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶变换中，信号可以是连续的（连续时间信号）或离散的（离散时间信号）。
对于连续时间信号，傅里叶变换可以表示为积分形式；对于离散时间信号，傅里叶变换可以表示为求和形式。
不同形式的傅里叶变换在数学上有不同的定义，但它们都遵循同样的基本原理。
傅里叶变换的原理可以通过以下步骤来理解和应用：1. 将信号表示为正弦波的叠加。
根据傅里叶变换的原理，任何一个周期信号都可以表示为不同频率和振幅的正弦波的叠加。
这是因为正弦波是唯一具有确定频率和振幅的周期函数。
2. 分解信号的频谱成分。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加。
这些频谱成分描述了信号在频域上的特性，可以帮助我们理解信号的频率分布和能量分布。
3. 变换信号的表示形式。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域。
在频域中，信号的表示形式更加直观和方便，可以帮助我们更好地分析和处理信号。
例如，在频域中可以很容易地找到信号的主要频率成分，并进行滤波或增强处理。
4. 逆变换还原信号。
傅里叶变换不仅可以将信号从时域转换到频域，还可以将信号从频域转换回时域。
这个过程称为傅里叶逆变换，可以通过逆变换将信号从频域表示还原为时域表示。
傅里叶变换在很多领域都有着广泛的应用。
在信号处理中，傅里叶变换可以用于滤波、频谱分析和信号重构等方面。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像压缩、图像增强和图像分析等方面。
在通信中，傅里叶变换可以用于信号调制、信道估计和信号解调等方面。
傅里叶变换是一种重要的数学工具，通过将信号分解成多个不同频率的正弦波的叠加来描述信号。
傅里叶变换和傅里叶级数2pi
傅里叶变换和傅里叶级数2pi介绍傅里叶变换和傅里叶级数是数学中重要的工具和概念，它们在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。
本文将对傅里叶变换和傅里叶级数进行详细的介绍和探讨。
傅里叶级数定义傅里叶级数是将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的形式。
设周期为T的函数f(x)在一个周期T内可表示为：f(x) = a0 + ∑(n=1 to ∞) {an * cos(nω0x) + bn * sin(nω0x)}其中，a0是函数的直流分量，an和bn是函数的各谐波分量，nω0x是函数的各谐波的角频率，n为谐波的次数。
谐波分量傅里叶级数中的每个谐波分量代表了相应谐波的振幅和相位。
通过计算公式中的an和bn，可以确定每个谐波分量的大小。
傅里叶级数的性质傅里叶级数有许多重要的性质，其中一些关键性质如下： 1. 线性性质：傅里叶级数满足线性叠加原理，即两个函数的傅里叶级数的和等于这两个函数分别的傅里叶级数的和。
2. 周期性质：如果一个函数f(x)是周期为T的函数，则其傅里叶级数也是周期为T的函数。
3. 奇偶性质：当一个函数是偶函数时，其傅里叶级数只包含余弦项；当一个函数是奇函数时，其傅里叶级数只包含正弦项。
傅里叶变换定义傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。
给定一个函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫(-∞ to ∞) {f(t) * e^(-jωt)} dt其中，ω是频率，e^(-jωt)是复指数函数。
傅里叶变换的性质傅里叶变换也有一些重要的性质，以下是其中一些常用性质： 1. 线性性质：傅里叶变换满足线性叠加原理，即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于这两个函数的傅里叶变换的线性组合。
2. 时移性质：如果f(t)的傅里叶变换为F(ω)，则f(t - t0)的傅里叶变换为F(ω) * e^(-jωt0)。
即函数在时域上的时移对应于频域上的相位改变。
3. 频移性质：如果f(t)的傅里叶变换为F(ω)，则e^(jω0t) *f(t)的傅里叶变换为F(ω - ω0)。
波函数与傅里叶变换
波矢定义为：k 2 / 所以看出自由粒子的频率和
波矢均为常量。
改写de Broglie关系为
h
p
h
e
k
2 , h / 2
14
三、自由粒子的波函数（3）
函数 描和述k都为Ac常os量(k 的 r 波应t) 该或是平 面Ae波xp[，i(k可 r用以t)下]
在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全 确定的位置、动量、能量等。然而，对于微观粒 子，其波动性远远大于宏观粒子，以致于它的某 些成对的物理量（如位置坐标和动量、时间和能 量等）不可能同时具有确定的量值。这就叫不确 定度关系或测不准原理。
下面以电子 单缝衍射为 例讨论这个 问题
多晶 铝 箔
汤姆逊（1927）：电子圆孔衍射实7 验
对于de Broglie波，有关系： k 2 / 2m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
vg
k / m
dvg dk
m
0
根据波包说：粒子为三维空间中连续分布的一
种物质波包，波包的大小即粒子的大小。由于
dvg / dk 0 ，则波包会随着运动发生扩散，即： 粒子的大小随时间会变大。
难道电子会随着时间 “变胖”？ 22
四、一般粒子的波函数及其物理意义（7）
代入de Broglie关系得到：
k
A exp[ i
(pr
Et)]
即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能
量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。
15
三、自由粒子的波函数（4）
总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据de
Broglie关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量，
数理方程
x
x
x x
时刻的波形。
t5
x
南京邮电大学、数理学院
2、三维波动方程的初值问题（平均值法）
uut|tt
0
a
2
(
2u 0 x,y,z)
ut |t0 (x, y, z)
- x,y,z ,t 0
数理方程
达朗贝尔公式:
u(x,t)
f1(x at)
f2
(x
at)
1 2
[ ( x
at)
(x
数理方程 南京邮电大学、数理学院
数理方程
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics
主讲：王 正 斌
南京邮电大学 、 数理学院、应用物理系
: wangzb@ BBS: 科技教育/物理研究 答疑： 周二中午11：30～1：30，教2＃426
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例、求下列初值问题的解
uutt|t
0
a22u 0
0
ut |t0 2xy
- x, y,z , t 0
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数理方程
3、二维波动方程的初值问题（降维法）
uutt|t
0
a22u
(x,
0 y)
ut |t0 (x, y)
- x, y , t 0
u(x,
y,
z,t)
t
[
t
4a2t 2
SaMt
(
,,
)ds]
t
4a2t
2
(,, )ds
SaMt
d dxdy cos ds
(at)2 ( x)2 ( y)2 cos
at
傅里叶变换详解
若函数
以 为周期，即为
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 函数族
，则可取三角 (7.1.2)
作为基本函数族，将 级数）
展开为傅里叶级数（即下式右端 (7.1.3)
式（7.1.3）称为周期函数
的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简
称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
7.3.3 傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式：
1.第一种定义式
2.第二种定义式
3.第三种定义式 三者之间的关系为 三种定义可统一用下述变换对形式描述
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
这些数值时，相应有不同的频率
和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化 的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图. 称为函数
的振幅频谱（简称频谱）.
若用横坐标表示频率 ，纵坐标表示振幅 ，把点
用图形表示出来，这样的图
形就是频谱图. 由于
,所以频谱 的图形是
不连续的，称之为离散频谱．
利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为
（7.1.4）
其中
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（ Dirichlet）定理 7.1.1 若函数
满足条件：
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； （2）在每个周期内只有有限个极值点，则级数（7.1.3）收敛，
傅里叶变换及其快速算法
傅里叶变换及其快速算法傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，它在多个领域中被广泛应用，包括图像处理、音频处理、通信系统等等。
本文将介绍傅里叶变换的基本原理，并详细探讨其快速算法。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是将一个信号表示为频域的复振幅和相位的分析工具。
它能够将一个连续时间域信号转换为连续频域信号，通过分析信号的频谱信息来揭示信号的特征和特性。
傅里叶变换的表达式如下：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt \]其中，\(F(\omega)\)表示信号的频谱，\(f(t)\)表示信号在时域的函数。
二、离散傅里叶变换在数字信号处理中，我们通常处理离散时间域的信号。
离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换在离散时间域上的推广。
DFT的表达式如下：\[ F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \]其中，\(F[k]\)表示信号的频谱，\(f[n]\)表示信号在时域的离散序列，\(N\)表示序列的长度，\(k\)表示频率的序号。
三、快速傅里叶变换DFT的计算复杂度为\(O(N^2)\)，当信号长度较大时，计算量将非常巨大。
为了解决这个问题，提出了快速傅里叶变换（FFT）算法，能够将计算复杂度降低到\(O(N\log N)\)。
FFT算法基于分治法，将信号分解为较小的子问题，然后进行逐层合并。
其基本思想是通过迭代和递归的方式将DFT计算变为多个较小规模的DFT计算。
常用的FFT算法有蝶形算法（Butterfly Algorithm）和Cooley-Tukey 算法。
蝶形算法是一种基于时域采样点的折叠和重叠计算的方法；Cooley-Tukey算法则是一种使用递归分治的迭代算法。
FFT算法的快速计算使其得到了广泛的应用，特别是在实时系统和大规模数据处理中。
四、应用领域傅里叶变换及其快速算法在各个领域都有着广泛的应用。
数理方程2 行波法与傅里叶变换
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0 x xy y x y
其特征方程为：
A(dy) 2Bdxdy C(dx) 0
2 2
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数理方程 例 求下面问题的解:
u xx 2u xy 3u yy 0
2u 2u 2u 9 2 6 2
2u u u u u (3 ) (3 ) xy y y
2u 2u 2u 3 2 2 2
x1
x2
x
x2
x x x x x x
根据初始条件，利用达朗贝尔公式直接求出
1 1 u( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 2
该初始位移分为两半，分别向左右两方以速度a
移动，而这两个行波的和就给出如图所示的各个
时刻的波形。
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数理方程
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
x x2 at
x at C
特征线
影响区域
x1
x2
行波法又叫特征线法
x
x at
x at
特征变换
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数理方程 一维波动方程 的两族特征线
utt a uxx
2
x at 常数
2
恰好是常微分方程
dx
a dt 0
2 2
的积分曲线, 这个常微分方程称为一维波动方程的特征方程 . 推广到一般的二阶齐次线性偏微分方程：
傅里叶变换的原理及应用
傅里叶变换的原理及应用1. 引言傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将一个复杂的函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的和。
本文将介绍傅里叶变换的原理及其在各个领域的应用。
2. 傅里叶变换的原理傅里叶变换是以法国数学家傅里叶的名字命名的，它的基本思想是任何周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换可以将一个函数表示为频域的复数函数，其中频域表示了不同频率成分的相对强度。
3. 傅里叶变换的数学表达式傅里叶变换的数学表达式如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-2πikx)] dx其中，F(k) 是频域的复数函数，f(x) 是时域的函数，k 是频域的变量。
4. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
4.1 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用，特别是在频域滤波和频谱分析方面。
它可以将一个时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的频率特性。
4.2 图像处理傅里叶变换在图像处理中也起到重要的作用。
它可以将图像从空域转换到频域，从而进行图像增强、图像滤波等操作。
傅里叶变换在图像压缩、图像分析等领域也有广泛的应用。
4.3 物理学傅里叶变换在物理学中被广泛应用于波动方程的求解、频率分析、光学等领域。
例如，傅里叶光学利用傅里叶变换来解释光的衍射、干涉等现象。
4.4 工程学傅里叶变换在工程学中有许多应用，例如在电力系统的谐波分析中，可以利用傅里叶变换将电压和电流信号转换到频域进行分析和研究。
此外，傅里叶变换还被用于图像和音频的压缩算法中。
5. 傅里叶变换的计算方法傅里叶变换具有两种计算方法，一种是连续傅里叶变换（CTFT），另一种是离散傅里叶变换（DFT）。
CTFT主要用于连续信号，而DFT主要用于离散信号。
6. 结论本文介绍了傅里叶变换的原理及其在各个领域的应用。
傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学和工程学等领域。
数理方程第二章分类行波法线性叠加-1
u x, y
4
3x y
2
3f '1 3x2 f ' 2 2x 0 2
4
x y
双曲型方程
u u 2 2 2 0 (d y ) (d x ) 0 0 4 11 0 2 2 x y
2 2
椭圆型方程
u 2 u a 2 t x
2
(dy) 0 0 4 1 0 0
2
2
抛物型方程
例1、方程
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 x xy y
1 1 u x, t [ x at x at ] 2 2a
x at x at
解得
d
—达朗贝尔(D’Alembert)公式.
考虑 u2 g( x at ) 的物理意义
u2
g( x )
u2 x
a 2
a
a
t=0
u2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两 列波速为a波的叠加，故称为行波法。
2
AC
称其为二阶线性偏微分方程的判别式
它的特征方程为 ( x, y) 0
Auxx 2Buxy Cu yy Dux Euy Fu G, (*)
双曲型方程
A( xdy C dx , y) 0 2 Bdxdy 椭圆型方程
傅里叶变换相关公式
傅⾥叶变换相关公式在学习⾼数的时候，就接触了傅⾥叶变换。
也就记得是将⼀些周期函数表⽰成⼀系列三⾓函数的叠加，不是很理解这个变换的具体意义，就是觉的挺神奇的，可以求⼀些特殊的积分什么之类的。
到了学习信号与系统的时候，离散序列也可以傅⾥叶变换，还有⼀个叫离散傅⾥叶变换，那时学得很草，考完试之后都混在⼀起，不知道谁是谁了。
关于什么是傅⾥叶变化，⽹上有很多⼤佬写的很好。
这⾥我也不打算科普（毕竟墨⽔不多，想吐也吐不出来），主要⽬的还是⽅便⾃⼰⽇后复习，省去翻书查看公式。
粗略地介绍下，傅⾥叶转化具体可以包含3个⼤类：1. CTFS和CTFT 连续（C）时间（T）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）2. DTFS和DTFT 离散（D）时间（T）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）3. DFS和DFT 离散（D）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）这些英⽂缩写值得记忆的，也能够帮助我们好好理解。
⽬录连续时间傅⾥叶系数/变换周期的连续信号的CTFS对象：连续的周期信号\(f(t)\)，同时得满⾜Dirichlet条件表达公式：三⾓形式（⾼数学的）\[\begin{aligned} f(t) &= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_n \cos{k\Omega t}+b_n\sin{k\Omega t})\\ a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)dt\\ a_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos{n\Omega t}dt\\ b_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t)\sin{n\Omega t}}dt\\ \end{aligned} \]复指数形式（更加通⽤形式）\[\begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\\ F_n &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ \end{aligned} \]两种形式可以相互转化，当\(n > 0\)的时候，\(F_n = \frac{1}{2}(a_n - jb_n)\)；当\(-n < 0\)时，\(F_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + jb_n)\)。
南邮 数字信号处理实验报告材料(带问题问题详解小结)
南京邮电大学实验报告实验名称熟悉MATLAB环境快速傅里叶变换(FFT)及其应用 IIR数字滤波器的设计FIR数字滤波器的设计课程名称数字信号处理A班级学号_ 12006311____ 姓名_______张文欣_____________开课时间 2014/2015学年，第二学期实验一熟悉MATLAB环境一、实验目的（1）熟悉MATLAB的主要操作命令。
（2）学会简单的矩阵输入和数据读写。
（3）掌握简单的绘图命令。
（4）用MATLAB编程并学会创建函数。
（5）观察离散系统的频率响应。
二、实验内容(1) 数组的加、减、乘、除和乘方运算。
输入A=[1 2 3 4]，B=[3,4,5,6]，求C=A+B， D=A-B，E=A.*B,F=A./B,G=A.^B 。
并用stem语句画出A、B、C、D、E、F、G。
n = 0:1:3;A=[1 2 3 4];subplot(4,2,1)stem(n,A)xlabel('n')ylabel('A')B=[3,4,5,6];subplot(4,2,2)stem(n,B)xlabel('n')ylabel('B')C=A+B;subplot(4,2,3)stem(n,C)xlabel('n')ylabel('C')D=A-BSubplot(4,2,4)stem(n,D)xlabel('n')ylabel('D')E=A.*Bsubplot(4,2,5)stem(n,E)xlabel('n')ylabel('E')F=A./Bsubplot(4,2,6)stem(n,F)xlabel('n')ylabel('F')G=A.^Bsubplot(4,2, 7) stem(n,G) xlabel('n') ylabel('G')nAnBnCnDnEnFnG(2) 用MATLAB 实现下列序列： a) 08(). 0n 15nx n =≤≤ n=0:1:15; x1=0.8.^n; stem(n,x1) xlabel('n') ylabel('x(n)')title('2(a)')nx (n )b) 023(.)() 0n 15j nx n e+=≤≤ n=0:1:15;i=sqrt(-1); a = 0.2+3*i; x2=exp(a*n); figuresubplot(1,2,1) stem(n,real(x2)) xlabel('n')ylabel('x(n)实部') subplot(1,2,2) stem(n,imag(x2)) xlabel('n')ylabel('x(n)虚部')nx (n )实部nx (n )虚部2(b)c) 3012502202501()cos(..)sin(..)x n n n ππππ=+++ 0n 15≤≤ n=0:1:15;x3=3*cos(0.125*pi*n+0.2*pi) + 2*sin(0.25*pi*n+0.1*pi); stem(n,x3) xlabel('n') ylabel('x(n)') title('2(c)')nx (n )2(c)(4) 绘出下列时间函数的图形，对x 轴、y 轴以及图形上方均须加上适当的标注： a)2()sin() 0t 10s x t t π=≤≤t=0:0.001:10; x=sin(2*pi*t); plot(t,x,'r-')xlabel('t'),ylabel('x(t)'),title('sin(2\pit)')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81tx (t )sin(2πt)b) 100()cos()sin() 0t 4s x t t t ππ=≤≤t=0:0.001:4;x=cos(100*pi*t).*sin(pi*t); plot(t,x,'b-')xlabel('t'),ylabel('x(t)'),title('cos(100\pit)*sin(\pit)')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81tx (t )cos(100πt)*sin(πt)(6)给定一因果系统12121106709()()/(..)H z z z z ----=++-+，求出并绘制H (z )的幅频响应和相频响应。
数学物理方法傅里叶变换法
数学物理方法傅里叶变换法傅里叶变换法是一种将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的叠加的方法。
这种方法在数学和物理学中广泛应用，在信号处理、图像处理、调制和解调等领域具有重要意义。
本文将详细介绍傅里叶变换法及其在数学和物理学中的应用。
傅里叶变换法的基本原理是基于傅里叶级数展开的思想。
傅里叶级数展开是将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这种展开的思想被扩展到了非周期函数，即傅里叶变换。
傅里叶变换可以将一个函数表示为连续的正弦和余弦函数的积分形式。
傅里叶变换的定义公式如下：\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\]傅里叶变换的逆变换公式如下：\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega\]傅里叶变换法在数学中有广泛的应用。
它可以用于求解偏微分方程和积分方程等问题。
傅里叶变换法可以将微分方程转化为代数方程，简化求解过程。
例如，在热传导方程中，傅里叶变换法可以将其转化为常微分方程来求解。
在物理学中，傅里叶变换法用于分析和解释各种物理现象。
例如，在波动现象中，傅里叶变换法可以将一个周期信号分解为不同频率的正弦和余弦函数，从而可以分析波的频谱特性。
在光学中，傅里叶变换法可以用于分析光的传播和衍射现象。
在量子力学中，傅里叶变换法被广泛用于求解薛定谔方程。
傅里叶变换还具有信号处理和图像处理方面的重要应用。
在信号处理中，傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以方便地进行滤波、降噪等处理。
在图像处理中，傅里叶变换可以将一个图像从空域转换到频域，并可以进行图像增强、去噪等操作。
此外，傅里叶变换还有一些与之相关的变换方法，如离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。
离散傅里叶变换是一种将离散信号转换到频域的方法，而快速傅里叶变换是一种计算傅里叶变换的高效算法。
南京邮电大学 数字信号处理
802--《数字信号处理》考试大纲一、基本要求掌握离散时间信号与系统的时域、频域和Z域分析的基本理论，线性时不变系统、因果稳定系统的概念；离散傅里叶变换的原理及其性质，快速傅里叶变换及其在信号处理中的应用；IIR数字滤波器的设计方法，包括脉冲响应不变法和双线性变换法；线性相位FIR数字滤波器的实现条件和设计方法；数字系统的实现结构和有限字长效应。
二、考试范围1、课程相关知识基本要求：掌握数字信号的概念和产生过程、数字信号的表示方法、数字信号处理系统的组成；了解数字信号处理的优点和局限性、数字信号处理的发展与应用。
2、离散时间信号与系统（1）知识点一：离散时间信号（2）知识点二：信号的采样与重建（3）知识点三：离散时间信号的抽取与插值（4）知识点四：离散时间信号的傅里叶变换与Z变换（5）知识点五：离散时间系统（6）知识点六：系统的频率响应与系统函数基本要求：掌握常用的典型序列、序列的运算，信号的采样与重建，离散时间信号的抽取与插值；掌握Z变换、序列傅氏变换的概念及其相互关系，熟悉典型序列的变换对；掌握线性时不变系统、因果稳定系统的概念；掌握序列频谱、系统频响的计算方法及几何法确定系统频响；掌握线性时不变离散时间系统的单位脉冲响应、差分方程和系统函数三种描述方法及其相互关系；系统函数的零极点分布及其与系统频响的关系。
3、离散傅里叶变换及其快速算法（1）知识点一：离散傅里叶级数（2）知识点二：离散傅里叶变换（3）知识点三：利用DFT做连续信号的频谱分析（4）知识点四：快速傅里叶变换（5）知识点五：快速傅里叶变换的应用基本要求：了解周期序列的定义，掌握周期序列的离散傅里叶级数及其性质；重点掌握离散傅里叶变换的定义、性质、物理意义，熟悉频域抽样理论；掌握利用DFT对连续信号进行频谱分析的方法；理解快速傅里叶变换的分解思路，掌握按时间抽取和按频率抽取的基2FFT 算法及其反变换、混合基FFT算法，FFT算法的运算量分析；理解重叠相加法和重叠保留法的原理和方法；熟悉FFT的典型应用。
数理方程2 行波法与傅里叶变换PPT37页
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
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50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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南邮 数理方程2 行波法与傅里叶变换共41页文档
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
பைடு நூலகம்
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
x x2 at
x at C
特征线
影响区域
x1
x2
行波法又叫特征线法
x
x at
x at
特征变换
南京邮电大学、数理学院
数理方程 一维波动方程 的两族特征线
utt a uxx
2
x at 常数
2
恰好是常微分方程
dx
a dt 0
2 2
的积分曲线, 这个常微分方程称为一维波动方程的特征方程 . 推广到一般的二阶齐次线性偏微分方程：
数理方程 利用复合函数求导法则得
x at
x at u u u u u x x x 2 u u u u u ( ) ( ) 2 x x x
u | y0 3x
解: 特征方程
2
u y | y 0 0
2
dy
2
2dxdy 3dx 0
两族积分曲线为
(dy 3dx) dy dx 0 3x y C1 x y C2
3x y x y
做特征变换
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数理方程 弦的横振动、均匀杆的纵振动和理想传输线具有相同的 泛定方程 :
utt a 2u xx
( x , t 0)
u | t 0 x
考虑代换
u t | t 0 x
x at
x at
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2u 2u 2u 9 2 6 2
2u u u u u (3 ) (3 ) xy y y
2u 2u 2u 3 2 2 2
( x)
u0
x1 x2 2
t 0
t1 t2 t3 t4 t5 x1
2u0 ( x) 2u0 0
x x1 x2 x1 x x1 x2 x1
x1 x2 2
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1或x x2
u
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
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数理方程
例2、初速为零 ( x) 0，而初始位移 ( x) 只在区间 ( x1 , x 2 )上不为零，于 x ( x1 x2 ) / 2 处达到最大值 ，如图所示，求出该问题的解。 解：根据图形，初始位移为
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u( x, t ) [e
1 2
( x at )2
e
( x at )2
]
1 2a
1 [e 2
( x at ) 2
2
e
( x at ) 2
]
1 2
x at
x at
x at
2ase
s2
ds
( x at ) 1 [ e 2
x1
x2
x
x2
x x x x x x
根据初始条件，利用达朗贝尔公式直接求出
1 1 u( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 2
该初始位移分为两半，分别向左右两方以速度a
移动，而这两个行波的和就给出如图所示的各个
时刻的波形。
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数理方程
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
数理方程
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics 主讲：周澜
南京邮电大学 、 理学院、应用物理系
:
zhoul@
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数理方程
行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确 定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分 的齐次二阶偏微分方程。
( x )
就可得到波动方程的解
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数理方程
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a 1 u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) a. 只有初始位移时， 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
2u 2u 2u 2 2 2
代入方程化简得:
u 0
2
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数理方程
2u 0 的通解为: u f1 ( ) f2 ( ) f1 (3x y) f 2 ( x y)
代入初始条件得：
1 1 x C f1 ( x) ( x) ( )d 0 2 2a 2 f ( x) 1 ( x) 1 x ( )d C 2 2 2a 0 2
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数理方程
1 1 x at C f1 ( x at ) ( x at ) ( )d 0 2 2a 2 f ( x at ) 1 ( x at ) 1 x at ( )d C 2 2 2a 0 2
u t 0 ( x) u t t 0 ( x)
( x )
u ( x, t ) f1 x at f 2 x at
把初始条件代入泛定方程的通解，得到:
f1 ( x) f 2 ( x) ( x) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) 1 x af1( x) af 2( x) ( x) f1 ( x) f 2 ( x) 0 ( )d C a
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a的波的叠加，故称为行波法。 南京邮电大学、数理学院
数理方程
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
例：达朗贝尔公式的应用
2 utt a u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
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数理方程
u u u u u y y y
3x y x y
2u u u u u ( ) ( ) 2 y y y
u | y0 3x 2 u y | y 0 0
f1 (3x) f2 ( x) 3x2
f '1 (3x) f '2 ( x) 0 可解得： 1 f 3 x f x C 1 2 3 9 2 3 2 f1 3x x C ' f2 x x C ' 4 4
2u 2u 2u 2 2 2
同理：
u u u 2 u a ( 2 2 2 ) 2 t
2 2 2 2
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数理方程 代换后：
utt a uxx
2
2u 0
u f ( )
两个方向传播出去，波速为
a ，也即 :
沿
f1 ( x at)
f 2 ( x at )
以速度 以速度
a
x
负方向移动的行波
a 沿 x 正方向移动的行波
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数理方程
若研究的弦、杆、传输线为无限长（相对波长而言）的，那么就不存在边界 条件，只有初始条件。设初始条件为：
(2) 函数 f1 和 f 2 的确定
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数理方程 代入通解可得：
1 3 2 2 u x, y 3x y x y 3x 2 y 2 4 4
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数理方程 例2 求方程 的一般解. 解 特征方程为
uxx 2sin x uxy cos xuyy cos xuy 0
1 1 x at u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
——无限长弦振动的达朗贝尔公式
u t 0 ( x) 只要知道初始条件： ut t 0 ( x)
数理方程
u u u u u 3 x x x
3x y x y
2u u u u u (3 ) (3 ) 2 x x x
u2
f2 ( x)
u2 x
a 2
a
a
t=0
x
3a 2 t=1/2
随着时间t 的推移u2 的图形以 速度a 向x 轴正向移 动.
u2
u2
t=1
2a
x
t=2
a
3a
x